Lecture 7
advertisement
Ортогональное композиционное планирование второго порядка Для детального изучения области оптимума и участков поверхности отклика со значительной кривизной линейная модель становится неадекватной. В таких случаях для математического описания может быть достаточно полинома второго порядка, реже третьего порядка, полученного используя планы соответственно второго и третьего порядков. Планы 2-го порядка позволяют получить математическое описание в виде полной квадратичной модели, содержащей кроме основных эффектов bi все парные взаимодействия bij и квадратичные эффекты bii. n n 1 n n y(x1, x 2 ,..., x n ) b0 bi x i bijx i x j bii x i2 i 1 i 1 j i 1 i 1 Подобные планы применяют, как правило, либо в том случае, когда использование планирования первого порядка не позволило получить адекватную регрессионную модель, и выяснилась необходимость ее усложнения, либо если заранее известно, что объект исследования обладает существенными нелинейными свойствами. Планы 2k не могут обеспечить получение раздельных оценок коэффициентов bjj при квадратичных функциях и коэффициента b0. Применение полного факторного эксперимента типа 3k для получения раздельных оценок коэффициентов полинома второго порядка не является рациональным, так как планирование на трех уровнях характеризуется резким увеличением объема эксперимента. Целесообразнее для этой цели использовать композиционный план, образованный путем добавления некоторого количества специальных точек к «ядру», состоящему из планов 2 k или 2k–p. Если к «ядру» добавить точку в центре плана с координатами (0, 0...0) и 2k так называемых «звездных» точек с координатами (±α, 0...0), (0, ±α, ..0), …, (0, 0... ±α), то получим центральный композиционный план, предложенный Боксом. В качестве ядра используются точки ПФЭ – вершины квадрата и куба соответственно. Используют эти планы обычно на заключительном этапе исследования: при описании экспериментальной области в ситуациях, когда отсутствует априорная информация об объекте и его полиномиальную модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое затем достраивается до полной квадратичной модели. В таких случаях применение композиционных планов оказывается наиболее выгодным по числу опытов. В зависимости от применяемого критерия оптимальности различают ортогональное и рототабельное композиционное планирование. Рассмотрим ортогональное композиционное планирование, в котором в силу ортогональности матрицы плана все коэффициенты квадратичной модели оцениваются независимо друг от друга. Центрально–композиционные планы (ЦКП) любой модификации состоят из трех частей. Первая часть – основа или ядро плана – это ПФЭ 2k или ДФЭ 2k–p, где k – количество неизвестных коэффициентов регрессии, p = 0,1,2. При этом требуется, чтобы ядро плана обеспечивало раздельную оценку коэффициентов регрессии и всех парных взаимодействий. Данное условие накладывает весьма жесткое ограничение на возможную степень дробности используемого ДФЭ. В частности, при k 4, как показывают расчеты, может применяться лишь ПФЭ 2k; если 5 k 7, то кроме ПФЭ 2k можно использовать и ДФЭ 2k–1, а для k > 7 допустим также и ДФЭ 2k–2. Вторая часть ЦКП – так называемые «звездные» точки, расположенные на координатных осях на расстоянии ±α от центра эксперимента. Общее число таких точек равно 2k. Третья часть ЦКП – опыты в центре плана; число таких опытов N0 1. Произвольный симметричный ЦКП приведен в таблице: Составные части Факторы Число точек ЦКП G x1 x2 … xk Ядро плана (ПФЭ 2k или ДФЭ 2k–p) 1 2 3 4 … 2k–p 2k–p+1 «Звездные» точки 2k–p+2 2k–p+3 2k–p+4 … k–p 2 +2k–1 2k–p+2k k–p 2 +2k+1 Центральные точки … k–p 2 +2k+N0 Общее число опытов N=2k+2k+1 –1 +1 –1 +1 … –1 –1 +1 +1 … … … … … … –1 –1 –1 –1 … +1 – + 0 0 … 0 0 0 … 0 +1 0 0 – + … 0 0 0 … 0 … … … … … … … … … … … –1 0 0 0 0 … – + 0 … 0 2k–p p=0;1;2; 2k N0 Конкретные значения и N0 выбираются исходя из тех или иных критериев оптимальности регрессионных экспериментов (–звездное плечо, N0–количество экспериментов в центре плана). В связи с этим принято выделять ортогональные (ОЦКП) и рототабельные (РЦКП) центрально–композиционные планы. В ОЦКП, как правило, N0 = 1, а план целиком строится с учетом критерия ортогональности (сумма по парных произведений значений уровней двух любых факторов (столбцов) равна нулю). Для обеспечения по парной ортогональности столбцов, отвечающих свободному члену 0 и квадратичным коэффициентам i2 , i = 1, 2, …, k, а также столбцов, отвечающих квадратичным членам между собой, необходимо принять специальные меры. С этой целью, прежде всего, несколько видоизменяют систему базисных функций, а именно – ищут регрессионную модель в виде: k 1 k k k y(x) b0 bi x i bijx i x j bii x i2 x' i2 , i 1 где x' i2 i 1 j1 i 1 1 N 2 2k p 2α 2 x ig N ; N – общее число точек плана: N 2k p 2k 1; N g 1 k β0 β0 βii x' i2 (где p–число, определяющее дробность эксперимента, а β i – коэффициенты i 1 уравнения регрессии). Как видно, в этой модели при квадратичных коэффициентах используются центрированные переменные. Переход к таким переменным обеспечивает ортогональность столбца свободного члена уравнения регрессии (базисная функция f0 1), и любого из столбцов центрированных квадратов (базисная функция вида ~ x i2 x i2 x' i2 ). Действительно, для указанных столбцов имеет место следующее равенство: N N N 1 N 2 2 2 2 2 2 f x x' x Nx' x N x ig 0. 0 ig i ig i ig N g1 g 1 g 1 g 1 Это равенство справедливо независимо от конкретного значения . Однако, при произвольном , остаются неортогональными столбцы матрицы планирования, отвечающие различным центрированным квадратичным переменным. Поэтому, в ОЦКП числовое значение и выбирается как раз из условия ортогональности именно этих столбцов, т.е. исходя из условия: x N g 1 i j 2 ig x' i2 x 2jg x 2j 0, или, в развернутом виде: 2 2 2k p 2α 2 2 2k p 2α 2 2k p 2α 2 2k p 2α 2 2 1 2k 3 0 4 α N N N N После несложных преобразований получаем уравнение для требуемого значения : k p α 2k p 2 2k p 2k 1 2k p 1 N2 k p 2k p /2 С помощью этой формулы найдены конкретные числовые значения при л = 2 8: N Ядро ЦПК 2 ПФЭ 22 3 ПФЭ 23 4 ПФЭ 24 ПФЭ 25 5 N 9 1,000 15 1,215 25 1,414 43 1,596 6 ДФЭ 25–1 27 1,547 ПФЭ 26 77 1,761 7 ДФЭ 26–1 45 1,724 ПФЭ 27 143 1,909 ДФЭ 27–1 79 1,885 ПФЭ 28 273 2,045 8 ДФЭ 28–1 145 2,029 ДФЭ 28–2 81 2,000 Общее количество опытов N в ОЦКП равно N = 2k–p+2k+ N0. Таким образом, переходя к квадратичной модели с центрированными квадратичными переменными и используя указанные значения , можно добиться полной ортогонализации столбцов матрицы планирования. х0 x1 x2 … xk x1x2 … xk–1xk x12–x'12 x22– x'22 … xk2– x'k2 –1 –1 … –1 +1 … +1 1– x'12 1– x'22 … 1– x'k2 +1 –1 … –1 –1 … +1 1– x'12 1– x'22 … 1– x'k2 –1 +1 … –1 –1 … … 1– x'12 1– x'22 … 1– x'k2 2 2 +1 +1 … –1 +1 … … 1– x'1 1– x'2 … 1– x'k2 … … … … … … … … … … … +1 +1 … +1 +1 … +1 1– x'12 1– x'22 … 1– x'k2 0 … 0 0 … 0 – x'22 … – x'k2 – 2– x'12 0 … 0 0 … 0 – x'22 … – x'k2 + 2– x'12 0 0 0 … 0 – x'12 … – x'k2 – … 2– x'22 2 0 0 0 … 0 – x'1 … – x'k2 + … 2– x'22 … … … … … … … … … … … 2 2 2 0 0 … – 0 … 0 – x'1 – x'2 … – x'k2 2 2 0 0 … + 0 … 0 – x'1 – x'2 … 2– x'k2 2 2 0 0 … 0 0 … 0 – x'1 – x'2 … – x'k2 … … … … … … … … … … … 2 2 0 0 … 0 0 … 0 – x'1 – x'2 … – x'k2 Следовательно, оценки коэффициентов регрессии, полученные с помощью ОЦКП, некоррелированы между собой, что, впрочем, характерно для любого ортогонального плана. +1 +1 +1 +1 … +1 +1 +1 +1 +1 … +1 +1 +1 … +1 Реализация эксперимента по выбранной матрице планирования проводится также с дублированием опытов в каждой точке плана аналогично ПФЭ 2k. Оценки коэффициентов регрессии для соответствующих групп равны: N Для свободного члена β0 x 0i y' i i 1 N ; N Для линейных слагаемых β u x 2 i 1 k p ui y'i 2α 2 , u = 1,2,…,k; N Для попарных взаимодействий β ju x i 1 jui 2k p y'i , j, u = 1,2…k; ju; N x 2 ki y' i β 2α 4 . Для центрированных квадратичных переменных Приведем теперь уравнение регрессии к более привычному для нас виду: 2 k k 1 k k i 1 k y(x) β0 βi x i βijx i x j βi2 x i2 , i 1 i 1 j1 i 1 N k где β0 β0 x' i2 βi2 i 1 x i 1 0i N y'i 2k p 2α 2 k 2 βi N i 1 Условие нормировки в случае ортогонального ЦКП не соблюдается, т.к. N x i 1 2 iu N (u – номер любого столбца, кроме нулевого). Это значит, что точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова. Оценки дисперсий для каждой из четырех однородных групп для m параллельных опытов подсчитываются по следующим формулам: Sв2 2 S βi m2k p 2α 2 Sв2 S βij m 2k p Sв2 S2 βi2 m 2α 4 Sв2 2 S β 0 m N 2α 4 2 ; где S – дисперсия воспроизводимости. Таким образом, дисперсия оценки Y' функции отклика в некоторой точке факторного пространства зависит не только от расстояния этой точки до центра плана , но и от ее положения на гиперсфере. Значит, ОЦКП не удовлетворяет условию рототабельности. Поэтому, если не предъявляются особые требования к точности предсказания выходной величины по уравнению регрессии в любом направлении факторного пространства от базовой точки, предпочтительно применение ортогонального ЦКП ввиду его простоты. 2 в
