Качественные методы гидродинамики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________Ю.А. Самарский
___________________2002 г.
ПРОГРАММА
по курсу: ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
по направлению 511600
факультет все
кафедра теоретической физики
курс V
семестр 9
лекции 32 (час)
Экзамен: 9 семестр
практические (семинарские)
занятия 32 (час)
Зачет нет
лабораторные занятия нет
Самостоятельная работа
2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ 64
Программу составил:
д.ф.-м.н., проф. Крайнов В.П.
Программа обсуждена на заседании
кафедры теоретической физики
25 мая 2002 года
Заведующий кафедрой
Ю.М. Белоусов
2
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ГИДРОДИНАМИКИ
1. Течение идеальной жидкости
1.1. Обтекание тел жидкостью.
1.2. Гравитационные волны на поверхности жидкости.
2. Течение вязкого газа и вязкой жидкости
2.1. Течение через трубки и поры.
2.2. Движение тел в жидкости.
2.3. Ламинарный след.
2.4. Поглощение энергии в вязкой жидкости.
3. Турбулентность
3.1. Развитая турбулентность.
3.2. Турбулентный след.
3.3. Релаксация турбулентного течения.
3.4. Модель Фейгенбаума.
3.5. Ренормализационные группы.
4. Пограничный слой
4.1. Ламинарный пограничный слой.
4.2. Турбулентный пограничный слой.
5. Теплопередача в жидкости и газе
5.1. Распространение теплоты в среде.
5.2. Нелинейная теплопроводность.
5.3. Теплопередача при обтекании тел жидкости.
5.4. Нагревание тел при обтекании их жидкостью.
3
6. Конвекция и диффузия
6.1. Свободная конвекция нагретой жидкости.
6.2. Восходящие потоки нагретого газа.
6.3. Диффузия частиц в жидкости.
7. Поверхностные явления
7.1. Движение жидкости по капиллярам.
7.2. Капиллярные волны.
8. Звуковые волны
8.1. Скорость звуковой волны.
8.2. Распространение звуковых колебаний.
8.3. Излучение звука колеблющемся телом.
8.4. Излучение звука пульсирующим телом.
8.5. Рассеяние звука на препятствиях.
8.6. Рассеяние звука на малых частицах.
8.7. Движение тел под действием звука.
8.8. Звуковые волны при колебаниях температуры излучателя.
8.9. Распространение звука в трубках.
8.10.Поглощение звука.
8.11.Распространение сверхзвуковых возмущений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Изд. 3-е. – М.: Наука,
1986.
Крайнов В.П. Качественные методы в физической кинетике и гидрогазодинамике. – М.: Высшая Школа, 1989.
Черный Г.Г. Газовая динамика. – М.: Наука, 1988.
Юдаев Б.Н. Теплопередача. – М.: Высшая Школа, 1981.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1987.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – М.: Наука,
1987.
4
ЗАДАНИЕ
по теоретической физике для студентов 5-го курса
9 семестр, 2002/2003 уч. год
1. Жидкость вытекает из наклонного желоба с характерным поперечным размером R под действием силы тяжести. Показать,
что расход жидкости пропорционален R5/2.
2. Показать, что при вертикальном падении тела массы М со
скоростью V в жидкость сила удара пропорциональна величине М2/3V2.
3. С какой минимальной скоростью должен бежать человек по
воде, чтобы не утонуть?
4. Жидкость вращают в стакане радиуса R ложечкой с постоянной угловой скоростью . Получить оценку для глубины образующейся воронки в виде
h
(R )
2
.
g
5. В жидкости с плотностью  на глубине h произошел подводный взрыв, при котором выделилась энергия Е и образовался
пульсирующий газовый пузырь. Показать, что период пульсаций пузыря имеет порядок величины
T 
1/ 3
(E /  )
5/6
.
( gh)
6. Пористость тела  определяется как относительный объем
всех пустот в данном теле. Показать, что если  << 1, то коэффициент проницаемости тела пропорционален 3.
7. Температура воздуха Т над горизонтальной границей
облачности в атмосфере выше температуры воздуха под этой
границей на малую величину T . Показать, что вдоль этой
границы могут распространяться гравитационные волны,
скорость которых как функция длины волны  имеет оценку
5
1/ 2
U
 gT 


 T 
.
8. Во сколько раз уменьшается конвективная теплопроводность
через окно с двумя рамами по сравнению с обычной теплопроводностью через окно того же размера с одной рамой?
9. Показать, что под действием большого перепада давления р
массовый расход вязкого газа при адиабатическом течении
через длинную трубку (малое число Рейнольдса) имеет оценку
Q  ( p )
(3   ) / 2
.
Здесь   c p / c v – коэффициент Пуассона.
10. Широкая труба, заполненная жидкостью, начинает двигаться
вдоль своей оси с малой скоростью u, увлекая за собой жидкость. Показать, что сила трения, действующая на единицу
внутренней поверхности трубы, уменьшается со временем t
по закону
F u

.
t
жидкости,
Здесь  – плотность
 – коэффициент
динамической вязкости.
11. Горизонтальная пластина массой m с характерным поперечным размером R находится в жидкости на малом расстоянии
h << R от дна сосуда. Под действием собственной силы тяжести пластина опускается, выдавливая жидкость из зазора. Показать, что скорость опускания пластины имеет оценку
3 4
v  mgh R .
Здесь  – коэффициент динамической вязкости жидкости.
12. В поток жидкости, движущейся со скоростью u, вводится частица с характерным размером R, имеющая плотность, сравнимую с плотностью жидкости, так что гравитационными
6
эффектами можно пренебречь. Показать, что частица приобретает скорость жидкости на расстоянии порядка
l 
uR
2

,
где  – коэффициент кинематической вязкости жидкости.
13. Слой жидкости высотой h скатывается по наклонному желобу, имеющему характерный поперечный размер b, под действием силы тяжести. Показать, что объемный расход жидкости Q имеет оценку
Q
3
gh b

,
где  – коэффициент кинематической вязкости жидкости.
14. Почему чаинки после окончания размешивания в стакане с
чаем ложечкой собираются в центре дна стакана?
15. Показать, что средняя скорость ламинарного течения вне затопленной струи мала по сравнению с характерной скоростью
турбулентного течения внутри этой струи при сравнимых
расстояниях от отверстия трубы, из которой вытекает затопленная турбулентная струя.
16. Показать, что за небольшое время t скорость данной частицы
жидкости при развитой турбулентности изменяется на величину порядка
 t , а изменение скорости жидкости в данной
точке пространства имеет другую оценку: 3  u t . Здесь u –
скорость потока, а  – мощность, поглощаемая в единице массы жидкости.
17. Показать, что продольная скорость vx вне турбулентного следа падает с расстоянием x от обтекаемого тела как x-2, т.е.
значительно быстрее, чем внутри турбулентного следа (последняя падает с расстоянием как x-2/3).
18. Показать, что при турбулентном течении в шероховатых трубах поглощение энергии определяется не абсолютным разме-
7
ром бугорков шероховатости, а отношением этого размера к
диаметру трубы.
19. Жидкость течет со скоростью v по шероховатой трубе (ось x
направлена вдоль оси трубы). Размер бугорков шероховатости r велик по сравнению с толщиной вязкого подслоя у поверхности трубы. Показать, что скорость жидкости в турбулентном пограничном слое изменяется с расстоянием y до поверхности трубы по закону
v x  v ln
y
.
r
20. Оценить высоту и длину волн в озере под действием ветра.
Задана скорость ветра и длина озера.
21. Найти форму струи, бьющей из отверстия горизонтально в
воздух и изгибающейся вниз под действием силы тяжести.
22. Стенки сосуда с характерным размером R поддерживаются
при постоянной температуре Т. В веществе внутри сосуда
происходит экзотермическая реакция, при которой в единичном объеме вещества выделяется тепловая мощность
j  exp( U / T ). Здесь U – энергия активации. Показать, что
в зависимости от величины j могут иметь место два режима:
1) установление стационарного распределения температуры в
сосуде; 2) «тепловой взрыв», при котором возникает быстрое
нагревание вещества внутри сосуда с ускорением процесса
реакции. Получить следующую оценку для граничного значения jc, разделяющего эти режимы:
jc 
T
2
.
2
UR
Здесь  – коэффициент теплопроводности вещества.
23. Показать, что коэффициент теплопередачи при турбулентном
течении с большим числом Прандтля Pr >> 1 пропорционален
Pr3/4.
24. Показать, что свободная конвекция в газе, находящемся в поле тяжести, возникает, если температура вверху меньше тем-
8
пературы внизу, причем ее градиент превышает значение порядка mg, где m – масса одной молекулы газа.
25. Горячая турбулентная затопленная струя газа бьет горизонтально из отверстия и слегка изгибается вниз под действием
силы тяжести. Показать, что форма этой струи представляет
собой кубическую параболу.
26. Из капли радиуса r раствора мыла в воде с концентрацией с
выдувается мыльный пузырь. Показать, что максимальный
размер пузыря имеет оценку
R
cr
3
.
d
Здесь d – среднее расстояние между молекулами воды в
капле. Показать также, что толщина пленки этого пузыря
не зависит от r.
27. Для жидкости с плотностью , средним межмолекулярным
расстоянием d и удельной теплотой парообразования  получить следующую оценку для коэффициента поверхностного
натяжения жидкости:
  d .
28. Показать, что при больших числах Рейнольдса дождевая капля разваливается на более мелкие капли в процессе свободного падения в воздухе, если ее радиус значительно превышает
 / g . Здесь  – коэффициент поверхностного
натяжения воды,  – ее плотность.
29. Объяснить, почему появляется рябь впереди твердого тела,
плывущего с небольшой скоростью (малые числа Рейнольдса) по поверхности воды.
30. Объяснить, почему в жидкости скорость звука увеличивается
с увеличением давления при постоянной температуре, в отличие от идеального газа.
31. Жидкая капля массы m и радиуса R, движущаяся со скоростью u, ударяется о неподвижную преграду. Показать, что сила удара имеет оценку
величину
9
F 
mUu
.
R
Здесь U – скорость звука в жидкости.
32. Показать, что мощность звукового излучения при турбулентном течении жидкости, отнесенная к единице массы жидкости, имеет оценку
W 
u
8
.
5
U R
Здесь u – скорость жидкости, R – характерный радиус
турбулентного вихря, U – скорость звука в жидкости.
33. Показать, что интенсивность рассеяния звуковой волны на
твердом теле максимальна в направлении, противоположном
направлению распространения волны.
34. Показать, что рассеяние звука на малых частицах, обязанное
теплопроводности среды, изотропно.
35. Объяснить, почему поглощение звука в жидкости определяется ее вязкостью, а вклад теплопроводности жидкости пренебрежимо мал.
36. Показать, что при истечении газа через суживающееся сопло
газ не может приобрести сверхзвуковой скорости.
37. Показать, что в ударной волне слабой интенсивности скачок
энтропии при прохождении фронта волны пропорционален
кубу скачка давления.
Срок сдачи первого задания (задачи 1–19): 21.10–26.10.2002
Срок сдачи второго задания (задачи 20–37): 9.12–14.12.2002
. Подписано в печать .2002
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Усл.печ.л. 0.6. Тираж 80 экз. Заказ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
“ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ”
Отдел автоматизированных издательских систем
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9