Глава 4. Предел функции. Непрерывная функция – 6 ч. § 10. Определения, примеры и свойства предела функции Пусть Е , и пусть а – предельная точка множества Е. Пусть f: E , (или y=f(x)). Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если >0 =(, a)>0 такое, что xE, удовлетворяющих неравенству 0<|x – a|< выполняется |f(x) – A|<. Обозначение A lim f ( x) . x a Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой удалена сама точка. Если U (a) окрестность точки а, то проколотую окрестность обозначают U (a) . Кроме того будем обозначать U E (a) E U (a) . Если а – предельная точка множе ства Е, то U E (a) – не пусто. Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если V R ( A) U E (a), что f [U E (a)] V R ( A) . Пример. f(x) = x sin(1/x) при x0. Определение 2. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к а, если для любой последовательности {xn} точек xnE\{a}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к А. Теорема 10.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны. Доказательство: очевидно (самостоятельно). Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если >0 =(, a)>0 такое, что xE, удовлетворяющих неравенству 0<x – a< (0<а – x<) выполняется |f(x) – A|<. Обозначение A lim f ( x) f (a 0) ( A lim f ( x) f (a 0) ) . xa 0 x a 0 Теорема 10.2. Функция f(x) имеет предел при xa тогда и только тогда, когда в точке а существуют левый и правый пределы, равные между собой. Доказательство: очевидно (самостоятельно). Определение 4. Число A : lim f ( x) , если >0 =()>0 такое, что xE, удоx влетворяющих неравенству |x|> выполняется |f(x) – A|<. Замечание: Если A lim f ( x) , то f ( x) A ( x), где (x) 0 при x a . x a Теорема 10.3. (Арифметические свойства предела). Пусть f: E ли существует lim f ( x) A и lim g ( x) B , то xa и g: E . Ес- x a а). lim ( f ( x) g ( x)) A B; xa б). lim ( f ( x) g ( x)) A B; xa f ( x) A , если B 0. x a g ( x) B г). f(x) ограничена в некоторой окрестности точки а. в). lim Доказательство основывается на определении предела по Гейне и арифметических свойствах предела последовательности (самостоятельно). 1 Pn ( x) P (a) n , (Qm (a) 0) . xa Q ( x) Qm (a ) m Теорема 10.4. (Предельный переход в неравенствах) а). Пусть f: E и g: E . Если существует lim f ( x) A и lim g ( x) B , при- Пример. Предел рациональной функции lim xa x a чем А<B, то U E (a) , что f(x)<g(x) x U E (a) . б). Если для f,g,h: E выполняется f(x)g(x)h(x) и lim f ( x) lim h( x) C , то xa x a существует lim g ( x) C . x a Доказательство: а). Пусть С таково, что А<C<B. Из определения предела следует, что для =С-А 1>0, что для x, удовлетворяющих 0<|x – a|<1 выполняется |f(x) – O A|<C-A, т.е. f U ( a) V ( f ( a)) . Аналогично, для =B-C>0 2>0, что для x, удовлетвоE ряющих 0<|x – a|<2 выполняется |g(x) – B|<B-C, т.е. B-(B-C)=C<g(x). Обозначим =min(1,2), тогда для x, удовлетворяющих неравенству 0<|x – a|< одновременно выпол няется f(x)<C<g(x), таким образом, U E (a) = {xЕ/0<|x – a|<}. б). Очевидно. Следствие. Пусть lim f ( x) A и lim g ( x) B , если в некоторой U E (a) выполняxa x a ется f(x)>g(x), то АВ; f(x)g(x) , то АВ. 1. 2. § 11 Вопросы существования предела функции Пусть f: XY и g: Y . Определим сложную функцию h:X по правилу h=gf, т.е. h(x)=g(f(x)). Теорема 11.1. Пусть lim f ( x) y 0 , причем f(x)y0 при xx0. Пусть, кроме того, x x0 существует lim g ( y) A , тогда существует lim h( x) A . x x0 y y0 – Доказательство: Используем Определение 1 предела функции. Пусть VR (A) ) произвольная окрестность точки А. По условию теоремы существует W Y ( y 0 ), что g[W Y ( y 0 )] V R ( A) . Однако для данной окрестности W Y ( y 0 ) , в силу суще- ствования предела функции f(x) найдется такая окрестность U X ( x0 ) , что f [U X ( x 0 )] W Y ( y 0 ) . Тогда h[U X ( x0 )] g ( f [U X ( x0 )]) g[W Y ( y0 )] VR ( A) , т.е. А яв- ляется пределом h(x) при xx0. Замечание. Данную теорему называют также правилом замены переменной под знаком предела. 11.2. Критерий Коши 2 Теорема 11.2. Функция f : E R имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда 0 ( ) 0 , что x' , x" E , удовлетворяющих условиям 0 | x'a | , 0 | x"a | справедливо: | f ( x' ) f ( x" ) | (условие Коши). Доказательство. 1) Необходимость. Пусть lim f ( x) A . Фиксируем 0 . В силу определения 1 xa § 1 0 , что если 0 | x'a | и 0 | x"a | , то | f ( x' ) | A | 2 и | f ( x" ) | A | 2 , то- гда | f ( x' ) f ( x" ) || f ( x' ) A | | f ( x" ) A | . 2) Достаточность. Пусть f (x) удовлетворяет условию Коши в точке a , покажем наличие предела. Пусть {x n } – произвольная последовательность из E \ a сходящаяся к a . Согласно определению 3 предела по Гейне, достаточно доказать, что: а) соответствующая последовательность { f ( x n )} сходится к некоторому числу A ; б) это число одно и тоже для всех сходящихся к a последовательностей {xn } E \ {a} . а) Фиксируем 0 согласно условию Коши 0 так как {x n } – сходится к a , то по этому 0 N , что n N 0 | xn a | и p 0 0 | x n p a | , но тогда по условию Коши | f ( x n p ) f ( x n ) | n N , p 0 . Это означает фундаментальность последовательности { f ( x n )} и, следовательно, в силу критерия Коши Т.1 §2 гл.3 последовательность { f ( x n )} сходится к некоторому числу A . б) Покажем, что A не зависит от выбора последовательности {x n } сходящейся к a ( x n a) . Пусть {x n' } E \ a также сходится к a , но f ( x n' ) A' . Рассмотрим последовательность x1 , x1' , x 2 , x 2' , , x n , x n' ,... – эта последовательность также сходится к a . По ранее доказанному последовательность f ( x1 ), f ( x1' ), f ( x 2 ), f ( x 2' ), , f ( x n ), f ( x n' ),... обязана сходиться к некоторому пределу A" . Но тогда и любая ее подпоследовательность обязана сходиться к этому же пределу. Итак, подпоследовательность с нечетным номером сходится к A , а с четными к A' . Следовательно, A A' A" . Теорема доказана. Определение 2. Функция f : E R называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если C R , что x E выполняется f ( x) C ( f ( x) C , f ( x) C ). Определение 3. Функция f : E R ( E R) называется возрастающей на E , если x1 , x2 E, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) , неубывающей x1 , x2 E, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) , невозрастающей x1 , x2 E, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) , убывающей на E x1 , x2 E, x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) . Функции перечисленных типов называются монотонными. § 12. Два замечательных предела п. 1. Первый замечательный предел sin x 1. x 0 x Теорема 12.1. lim 3 sin x – ордината точки, в которую переходит точка (1,0) при повороте на угол x радиуса. 1) докажем, что cos 2 x sin x sin x 1 при 0 | x | . Так как cos x и – четные x 2 x формулы, то достаточно рассмотреть 0 x SOCD 2 . 1 1 1 1 1 1 2 OC CD cos x 2 x x cos 2 x S AOB sin x 1 sin x SOAB x . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin x 1. Итак, x cos 2 x sin x x cos 2 x 2 2 2 x . B 2) | sin x || x | (причем равенство возможно только при x 0 . x D x R О C Действительно, для 0 x A | x | 2 2 2) следует из 1), а для 1 , также получаем | sin x || x | . 3) lim sin x 0 , т.к. 0 | sin x || x | и lim | x | 0 . x 0 x 0 sin x sin 1 , т.к. sin 2 x 1 , для | x | . x 0 x x 2 4) lim x 1 п. 2. Теорема 12.2. lim 1 e . x x Доказательство. Рассмотрим f ( x) [ x] – целая часть наибольшее целое число, не превосходящее x . f : R N , очевидно f ( x) [ x0 ] , если x x0 [ x] x . n 1 Вспомним, что 1 e . n 1 1 [ x] 1 [ x] 1 1 1 1 x [ x] x [ x ]1 x 0 x 1 т.е. lim 1 e . x x x 1 Аналогично lim 1 e . x x x 1 lim 1 e x x 1 1 Замена t приводит к lim 1 t t e . t 0 x § 13. Сравнение асимптотического поведения функций Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, то говорят что интересуются асимптотикой или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции характеризуют обычно с помощью бо4 лее простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с достаточно малой погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции. sin x 1 Так как при x 0 ведет себя как 1. x 2 x sin при x как x 2 , а при x x 1 x . x 0 как sin , (x ) как ln x x Определение 1. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке a , если lim f ( x) 0 . xa Заметим, что если lim f ( x) A , то ( x) f ( x) A бесконечно малая и xa f ( x) A ( x) . Определение 2. Говорят, что функция f (x) есть бесконечно малая по сравнению с функцией g ( x ) в точке a и пишут f o( g ) при x a , если в некоторой окрестности 0 f ( x) 0 ). V (a) справедливо f ( x) ( x) g ( x) , где (x ) – бесконечно малая, (т.е. lim xa g ( x) Пример 1. x 2 0( x) при x 0 , x 0( x 2 ) при x . Если f o(1) , то это означает, что f – бесконечно малая в точке a . Определение 3. Если f 0( g ) и g (x ) – бесконечно малые при x a , то говорят, что f – есть бесконечно малая более высокого по сравнению с g : Y R порядка при x a . Определение 4. Функция f (x) называется бесконечно большой в точке a справа (слева) 0 , что a x a (a x a ) | f ( x) | , lim f ( x) . x a 0 Если же R , что a x a lim f ( x) ( lim f ( x) ) . (a x a) f (x) ( f ( x) ) , x a 0 xa 0 Определение 5. Если f , g бесконечно большие при x a и f o( g ) , то говорят, что g есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f . 1 1 1 1 1 Пример 2. при x o , 2 при x o и 0 2 2 – бескоx x x x x 1 нечно большая более высокого порядка по сравнению с при x 0 . x Вместе в тем при x x 0( x 2 ) x 2 – бесконечно большое более высокого порядка по сравнению с x . 0 Определение 6. Будем говорить, что f 0( g ) при x a , если V (a) , что 0 o x V (a) , f ( x) ( x) y ( x) , где (x) – ограниченная функция в V (a) . 1 1 Пример 3. sin x x 0( x) при x , т.к. sin x x 2 x , при x 1, x 0 . x x Определение 7. Говорят, что f (x) и g (x ) в точке a одного порядка, если f 0( g ) и g 0( f ) f ( x) lim A 0 или c1 | g ( x) || f ( x) | c2 | g ( x) | x a g ( x) 5 Определение 8. Говорят, что при x a f (x) асимптотически и ведет себя как g (x ) , или f (x) эквивалентна g (x ) при x a , если f ( x) ( x) g ( x) , где lim ( x) 1 , т.е. xa lim x a f ( x) 1. g ( x) 1 Пример 4. x 2 x 1 x 2 ~ x 2 при x . x sin x ~ x при x 0 , ln( 1 x) ~ x при x 0 , ex 1 x (1 x) 1 x при x 0 . ~ ~ Теорема 13.1. Если f ~ f при x a , то lim f ( x) g ( x) lim f ( x)( g ( x) , если один x a x a из этих пределов существует. ~ Доказательство. f ( x) ( x) f ( x) , lim ( x ) 1 и т.д. xa ln cos x 1 ln cos x 1 sin x 2 1 lim lim . 2 2 2 x 0 sin x 2 x0 sin x 2 x 0 x 2 2 Пример 5. lim Пример 6. lim x lim x x 2 x 2 x ~ x при x . x x lim ( x x) x x 1 x2 x x 2 Теорема 13.2. При x a выполняются: 1) o( g ) o( g ) o( g ) ; 2) o (g ) тем более 0( g ) ; 3) o( g ) O( g ) O( g ) ; 4) O( g ) O( g ) O( g ) ; 5) если g 0 , то f O( f ) f o( f ) o и O . g ( x) g ( x) g g Доказательство. 1) пусть первое слагаемое есть 1 ( x) g ( x) , а второе 2 ( x) g ( x) , где 1 и 2 – б.м. O( g ) O( g ) (1 ( x) 2 ( x)) g ( x) 2 ( x) y( x) O( g ) ; 2) f o(g ) , т.е. f g , где lim 0 – огр. f O(g ) ; xa 3) как сумма ограниченных функций – 4) следует из 2) и 3); f f o( f ( x)) ( x) f ( x) f ( x) O( ) 5) ( x) 0 аналогично O . g ( x) g ( x) g ( x) g g g Позже будут доказаны следующие соотношения 1 1 e x 1 x ... x n O( x n 1 ) , при x 0 1! n! 1 (1) n cos x 1 x 2 ... O( x 2 n 2 ) , при x 0 2! (2n)! 1 1 (1)n 2 n1 sin x x ... x O( x 2 n2 ) , при x 0 1! 3! (2n 1)! 6 1 (1) n 1 n ln(1 x) x x 2 ... x O( x n1 ) , при x 0 2 n ( 1) 2 ( 1)...( n 1) n (1 x) 1 x x ... x O( x n 1 ) 1! 2! n! Использование эквивалентных функция является эффективным средством для отыскания пределов, при этом O( x n1 ) ( x) x n1 ( x) x x n ( x) x n o( x n ) при x 0. 1 x x x 3 O( x 5 ) x sin x 3! lim 1 O( x 2 ) 1 . Пример 7. lim lim 3 3 x 0 x 0 x 0 3! x x 3! x3 x 1 Пример 8. lim x 2 7 cos x 1 x3 x 1 1 2 1 3 x x 1 1 x 3 3 1 x x 1 x 1 2 1 3 1 1 x3 x x 1 3 x 1 1 1 1 1 1 2 1 3 O 6 1 2 O 3 при x , x x x x x 1 7 x3 x 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 O 3 1 2 O 3 1 2 O 3 3 2 7 x 7 x 7 x 1 x x x x 1 1 1 1 cos 1 O 4 при x , 2 x 2! x x 7 x3 x 1 1 1 1 1 1 9 1 1 cos 1 2 1 2 O 3 2 O 3 . 3 x 7 x 2 x 1 x x 14 x x § 14. Непрерывность функции п. 1. Определение. Примеры Пусть E – область определения функции f (x) , a E . Описательно говоря, функция f (x) непрерывна в точке a , если ее значение f (x) по мере приближения аргумента x к a приближается к значению f (a ) . Определение 1. f : E R непрерывна в т. a E , если V ( f (a)) U (a) , что E f U (a) V ( f (a)) , E или f : E R непрерывна в a E , если 0 U (a) x U (a) | f ( x) f (a) | , E E или f : E R непрерывна в a E , если 0 0 x E таких, что | x a | | f ( x) f (a) | . Обсудим приведенное определение: 1. Если a – не предельная точка, то U (a ) в которой нет отличных от a точек E тогда U (a) a f U (a) f (a) V ( f (a)) . E E 7 2. Пусть a – предельная точка, тогда определение 1 означает lim f ( x) f (a) , есx a O ли f – непрерывна в т.а, то U (a ) , и f U (a ) V ( f (a )) тем более f U (a ) V ( f (a )) . E E E Замечание. lim f ( x) f (a) можно представить так: lim f ( x) f lim x . x a x a x a Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно f (a ) . f (a o) f (a), f (a o) f (a) . Замечание. Если f (x) – непрерывна в точке a слева и справа, то она непрерывна в этой точке. Определение 3. f : E R называется непрерывной на множестве E , если она непрерывна в каждой точке E . Совокупность всех непрерывных функций на E обозначим C (E ) . Пример 1. Если f : E R – const, то f C (E ) , так как f ( x) c V (c) . Пример 2. f ( x) x – непрерывна на E x0 R | f ( x) f ( x0 ) || x x0 | . Определение 4. Если f : E R не является непрерывной в некоторой точке множества E , то эта точка называется точкой разрыва функции f . Иначе a E точка разрыва f , если a E V ( f (a)) U (a) x U (a ) f ( x) V ( f (a)) E E 0 0 x E | x a | | f ( x) f (a) | . Пример 3. f ( x) sgn x –непрерывная в окрестности любой точки a R (a 0) . Однако в точке а=0 разрыв. Действительно f (O) 1 , f (0) 1 и f (0) 0 . Пример 4. f ( x) | sgn x | , lim f ( x) 1 , но f (0) 0 – устранимый разрыв. x 0 Определение 5. Если точка разрыва a E функции f : E R такова, что суще~ ~ ствует непрерывная функция f : E R , такая что f ( x) f ( x) x E \ a , то a называется точкой устранимого разрыва. (Иначе, lim f ( x) A , но A f (a ) ). xa 1 sin , x 0 Пример 5. Функция f ( x) x разрывная, поскольку не существует 0, x0 1 f ( xn ) 0 , выбепредела. Действительно, предположим, что предел есть, пусть xn n 2 рем иначе, xn f ( xn ) 1 , противоречие. (1 n) Определение 6. Точка a E называется точкой разрыва 1-го рода для f : E R , если существует lim f ( x) f (a o) f (a o) , f (a o) f (a o) x a o Определение 7. Точка a E называется точкой разрыва второго рода для f : E R , если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов f (a 0) , либо f (a 0) . 1, если x - рациональное Пример. Функция D( x) , 0, если x иррациональное называется функцией Дирихле. 8 Эта функция разрывна во всех точках, причем, все ее точки разрыва – второго рода (на любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа). П.2. Локальные свойства непрерывных функций. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения. Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функции в достаточно малой окрестности точки, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свойство функции. Рассмотрим основные локальные свойства непрерывных функций. Теорема 14.1. Пусть f : E R – функция, непрерывная в точке a E . Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Функция f ограничена в некоторой окрестности U E (a) точки а. 2. Если f (a ) 0 , то в некоторой окрестности U E (a) точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с f (a ) . 3. Если функция g : U E (a) R непрерывна в точке а, то а) f ( x) g ( x) , б) f ( x) g ( x) , f ( x) в) ( g (a) 0) g ( x) определены в некоторой окрестности и непрерывны в точке а. 4. Если функция g : Y R непрерывна в точке b Y , а функция f такова, что f : E Y , f (a ) b и f непрерывна в точке а. Тогда сложная функция h g f – определена на Е и непрерывна в точке а. Доказательство. Для доказательства достаточно вспомнить, что непрерывность функции f и g в некоторой точке a E равносильно существованию предела этих функций и равенства его значению функции f (a) lim f ( x) , g (a) lim g ( x) . Таким образом, утверx a x a ждения 1 и 3 следуют из теоремы 10.2 § 10. В проверке нуждается лишь утверждение, что f ( x) определено в окрестности точки а, но g ( a ) 0 , следовательно, в силу б) U E (a) , g ( x) что g ( a ) 0 в U E (a) . Пункт 4 данной теоремы является следствием Т.1 § 3. Действительно, пусть h( x) y f ( x) g ( f ( x)) lim h( x) lim g ( f ( x)) lim g ( y) g (b) g ( f (a)) g f (a) h(a) x a x a y b Для применения теоремы о пределе суперпозиции нужно проверить, что VY (b) найдется U E (a) такая, что h[U E (a)] VY (b) В самом деле, т.к. VY (b) Y V (b) f : E Y – непрерывна в точке а, то для окрестности V (b) V ( f (a)) найдется окрестность U E (a) точки а в множестве Е такая, что f (U E (a)) V ( f (a)) . Пример 7. Многочлен Pn ( x) an x n ... a0 – непрерывен на R, так как f ( x) x – непрерывная функция, следовательно, по т.14.1 суммы и произведения также непрерывные функции. P( x) Пример 8. Рациональная функция R( x) – непрерывна всюду, где Q( x) 0 . Q( x) § 15. Глобальные свойства непрерывных функций 9 Глобальным свойством функции называется свойство, связанное со всей областью определения функции. Теорема 15.1. (Больцано-Коши о промежуточном значении). Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда внутри отрезка есть такая точка, в которой функция обращается в нуль. (( f C[a, b]))( f (a) f (b) 0)) (c [a, b] f (c) 0 . Доказательство. Делим отрезок [a, b] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком поступим так же, т.е. делим пополам и выбираем ту из половин, на концах которой функция имеет значения разных знаков. Продолжаем этот процесс далее. Тогда, либо на каком-то шаге попадем в точку c [ a, b] , где f (c) 0 , либо получим последовательность {I n } вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых f принимает значения разных знаков. На основе леммы о вложенных отрезках найдется единичная точка c [ a, b] общая для всех отрезков. По построению существуют две последовательности { xn' } и { xn" } концов отрезков I n такие, что f ( xn' ) 0 и f ( xn" ) 0 , lim xn' lim xn" c . По свойствам предела и n n определению непрерывности получаем lim f ( xn' ) f (c) 0 и lim f ( xn" ) f (c) 0 , т.е. f (c) 0 . n n Замечание 1. Доказательство дает простейший алгоритм отыскания корня уравнения f ( x) 0 на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков. 2. Теорема 2 утверждает, что при непрерывном отображении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот, не приняв по дороге значения нуль. 3. К описательным высказываниям типа 2 следует относиться с разумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается больше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную –1 на отрезке [0,1] и равную 1 на отрезке [2,3]. Ясно, что эта функция непрерывна на области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание показывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторого свойства ее области определения (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным). Следствие теоремы 2. Если функция непрерывна на интервале и в каких-то точках а и b интервала принимает значения (a) A и (b) B , то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с, лежащая между точками а и b, в которой (c) C . Доказательство. Отрезок I с концами a, b лежит в нашем интервале, поэтому функция f ( x) ( x) C определена, непрерывна на I и, поскольку f (a) f (b) ( A C )( B C ) 0 , по теореме 2 между а и b найдется точка с, в которой f (c) (c) C 0 . Теорема 15.2 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. При этом на отрезке есть точка, где функция принимает максимальное значение, и есть точка, где она принимает минимальное значение. Доказательство. Пусть f : E R – непрерывная функция на отрезке E [a, b] . В силу локальных свойств непрерывной функции для любой точки x E найдется окрестность U (x) такая, что на множестве U E ( x) E U ( x) функция ограничена. Совокупность таких окрестностей U (x) , построенных для всех точек x E , образует покрытие отрезка [a,b] интервалами, из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную 10 систему U ( x1 ),..., U ( xn ) интервалов, покрывающих в совокупности отрезок [a,b]. Поскольку на множестве E U ( xk ) U E ( xk ) функция ограничена, т.е. mk f ( x) M k , где mk , M k R и x U E ( xk ) , то в любой точке x E [a, b] имеем min{ m1 ,..., mn } f ( x) max{ M1 ,..., M n } . Ограниченность функции на отрезке [a,b] установлена. Пусть теперь M sup f ( x) . Предположим, что в любой точке x E f ( x) M . Тогда xE непрерывная на Е функция M f (x) нигде на Е не обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция 1 , с одной стороны, в силу локальных свойств непрерывных функций, непрерывM f ( x) на на Е, а с другой – не ограничена на Е, что противоречит уже доказанной ограниченности функции, непрерывной на отрезке. Итак, существует точка xM [a, b] , в которой f ( xM ) M . Аналогичным образом, рассмотрев m inf f ( x) и вспомогательную функцию xE 1 , докажем, что существует точка xm [a, b] , в которой f ( xm ) m . f ( x) m 1 Заметим, что, например, функции f1 ( x) x , f 2 ( x) непрерывны на интервале x E (0,1) , но f1 не имеет на Е ни максимального, ни минимального значений, а функция f 2 не ограничена на Е. Таким образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны с некоторым свойством области определения, а именно с тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Такие множества мы впоследствии назовем компактами. Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим Определение 1. Функция f : E R называется равномерно непрерывной на множестве E R , если для любого числа 0 найдется число 0 такое, что для любых точек x1 , x2 E таких, что | x1 x2 | , выполнено | f ( x1 ) f ( x2 ) | . Короче, f : E R равномерно непрерывна := 0 0 x1 E x2 E (| x1 x2 | | f ( x1 ) f ( x2 ) | ) . Обсудим понятие равномерной непрерывности. 1. Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном определении положить x1 x и x2 a и мы видим, что определение непрерывности функции f : E R в точке a E удовлетворено. 2. Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномерную непрерывность. 1 Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция f ( x) sin на интервале x (0,1) E непрерывна. Однако в любой окрестности точки 0 в множестве Е функция принимает как значение –1, так и значение 1, поэтому при 2 для нее уже не выполнено условие | f ( x1 ) f ( x2 ) | . Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства функции быть равномерно непрерывной: f : E R не является равномерно непрерывной := 11 0 0 x1 E x2 E (| x1 x2 | | f ( x1 ) f ( x2 ) | ) . Рассмотренный пример делает наглядным различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности, откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того, что значит, что функция f : E R непрерывна на множестве Е. f : E R непрерывна на Е := a E 0 0 x E (| x a | | f ( x) f (a) | ) . Таким образом, здесь число выбирается по точке a E и числу и потому при фиксированном может меняться от точки к точке, как это и происходит в случае функции 1 sin . x 1 Пример f ( x) , x R . x Теорема 15.3 (Кантор) Всякая непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной. Без доказательства Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора существенно опирается на некоторое свойство области определения функции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство состоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и выяснить, как, например, функция sin x 2 , равномерно непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной прямой, оказывается не равномерно непрерывной на R. Причина здесь вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция может оказаться не равномерно непрерывной. Утверждение 1. Непрерывное отображение f : E R отрезка E [a, b] в R инъективно в том и только том случае, когда функция f строго монотонна на отрезке [a, b] . Доказательство. Если функция f возрастает или убывает на произвольном множестве E R , то отображение f : E R , очевидно, инъективно: в различных точках множества Е функция принимает различные значения. Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 состоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение f : [a, b] R отрезка осуществляется строго монотонной функцией. Предположив, что это не так, мы найдем три точки x1 x2 x3 отрезка [a, b] такие, что f ( x2 ) не лежит между f ( x1 ) и f ( x3 ) . В таком случае либо f ( x3 ) лежит между f ( x1 ) и f ( x2 ) , либо f ( x1 ) лежит между f ( x2 ) и f ( x3 ) . Пусть для определенности имеет место последняя из двух указанных возможностей. По условию функция f непрерывна на отрезке [ x2 , x3 ] , и поэтому на нем есть точка x1' такая, что f ( x1' ) f ( x1 ) . Таким образом, x1 x1' и f ( x1 ) f ( x1' ) , что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда f ( x3 ) лежит между f ( x1 ) и f ( x2 ) , разбирается аналогично. Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция f : X R , определенная на числовом множестве X R , обладает обратной функцией f 1 : Y R , которая определена на множестве Y f ( X ) значений функции f и имеет на Y тот же характер монотонности, какой имеет функция f на множестве Х. 12 Доказательство. Отображение f : X Y f ( X ) сюръективно, т.е. является отображение на множество Y. Пусть для определенности f : X Y возрастает на Х. В этом случае x1 X x2 X ( x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )) . Таким образом, отображение f : X Y в различных точках принимает различные значения, т.е. оно инъективно. Следовательно, f : X Y биективно, т.е. f – взаимно однозначное отображение Х на Y. Значит, определено обратное отображение f 1 : Y X , задаваемое формулой x f 1 ( y) , если y f (x) . Сопоставляя определение отображения f 1 : Y X с соотношением (1), приходим к соотношению y1 Y y2 Y ( f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ) y1 y2 ) , означающему, что функция f 1 возрастает на области своего определения. Случай, когда f : X Y убывает на Х, очевидно, разбирается аналогично. В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции, полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций. Утверждение 3. Функция f : E R , монотонная на множестве E R , может иметь на Е разрывы только первого рода. Доказательство. Пусть, для определенности, f – неубывающая функция. Предположим, что a E есть точка разрыва функции f. Поскольку а не может быть изолированной точкой множества Е, то а – предельная точка по крайней мере для одного из двух множеств Ea {x E | x a}, Ea {x E | x a} . Поскольку f – неубывающая функция, для любой точки x Ea имеем f ( x) f (a ) и ограничение f | E функции f на множество a a x E оказывается неубывающей ограниченной сверху функцией. Тогда существует предел lim f | E ( x) lim f ( x) f (a 0) . Ea xa a E xa 0 Аналогично доказывается существование предела lim E x a 0 f ( x) f (a 0) , если а – предельная точка множества E a . Случай, когда f – невозрастающая функция, можно разобрать, повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции – f, свести дело к уже рассмотренному случаю. Следствие 1. Если а – точка разрыва монотонной функции f : E R , то по крайней мере один из пределов lim f ( x) f (a 0), lim f ( x) f (a 0) E x a 0 E x a 0 определен; по крайней мере в одном из неравенств f (a 0) f (a) f (a 0) , если f – неубывающая (или f (a 0) f (a) f (a 0) , если f – невозрастающая) функция, имеет место знак строгого неравенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством, нет ни одного значения функции; указанные интервалы, отвечающие различным точкам разрыва монотонной функции, не пересекаются. Доказательство. Действительно, если а – точка разрыва, то она предельная для множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва первого рода. Таким образом, по крайней мере одна из баз E x a 0, E x a 0 определена и по ней ( а в случае определенности обеих баз – по каждой из них) существует предел функции f. Пусть для определенности f – неубывающая функция. Поскольку а – точка разрыва, то по крайней мере в одном из неравенств f (a 0) f (a) f (a 0) на самом деле имеет место 13 строго неравенство. Поскольку f ( x) lim E x a 0 f ( x) f (a 0) , если x E и x a , и, анало- гично, f (a 0) f ( x) , если x E и a x , то интервал, определяемый строгим неравенством f (a 0) f ( x) или f (a) f (a 0) , действительно свободен от значений функции. Пусть a1 ,a2 – две различные точки разрыва функции, и пусть a1 a2 . Тогда, в силу неубывания функции f, имеем f (a1 0) f (a1 ) f (a1 0) f (a2 0) f (a2 ) f (a2 0) . Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы, отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. Следствие 2. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно. Доказательство. С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по следствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмножеству счетного множества Q всех рациональных чисел. Значит, оно само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва монотонной функции. Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Монотонная функция f : E R , заданная на отрезке E [a, b] , непрерывна на нем тогда и только тогда, когда множество f (E ) ее значений само является отрезком с концами f (a ) и f (b ) . Доказательство. Если f – непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности f все значения, которые функция принимает на отрезке [a, b] , лежат между значениями f (a ) и f (b ) , которые она принимает в концах отрезка. Ввиду непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между f (a ) и f (b ) . Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке [a, b] , действительно является отрезком с концами f (a ) и f (b ) . Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f – монотонная на отрезке [a, b] функция. Если она разрывна в некоторой точке c [ a, b] , то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов ] f (c 0), f (c)[, ] f (c), f (c 0)[ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции. Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами f (a ) , f (b ) , поэтому если на отрезке [a, b] монотонная функция имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами f (a ) , f (b ) не может лежать в области значений функции. Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция f : X R , строго монотонная на множестве X R , имеет обратную функцию f 1 : Y R , определенную на множестве Y f ( X ) значений функции f. Функция f 1 : Y R монотонна и имеет на Y тот же вид монотонности, какой имеет функция f : X R на множестве Х. Если, кроме того, Х есть отрезок [a, b] и функция f непрерывна на нем, то множество Y f ( X ) есть отрезок с концами f (a ) , f (b ) и функция f 1 : Y R непрерывна на нем. Доказательство. Утверждение теоремы о том, что в случае X [a, b] и непрерывности f множество Y f ( X ) есть отрезок с концами f (a ) , f (b ) , следует из доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что f 1 : Y R – непрерывная функция. Но f 1 монотонна на Y, Y есть отрезок и f 1 (Y ) X [a, b] – тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция f 1 непрерывна на отрезке Y с концами f (a ) , f (b ) . 14 Пример 8. Функция y f ( x) sin x возрастает и непрерывна на отрезке , . 2 2 Значит, ограничение этой функции на отрезок , имеет обратную функцию 2 2 x arcsin y , обозначаемую определенную на отрезке x f 1 ( y) , sin 2 , sin 2 1,1 , возрастающую от 2 до 2 и непрерывную на этом отрезке. Пример 9. Аналогично, ограничение функции y cos x на отрезок [0, ] есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую x arccos y , определенную ан отрезке [1,1] и убывающую на нем от значения до значения 0. Пример 10. Ограничение функции y tg x на интервал , есть возрастающая 2 2 от до непрерывная функция, которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую x arctg y , определенную на всей числовой прямой y и возрастающей в пределах интервала , своих значений. Чтобы доказать непрерыв 2 2 ность функции x arctg y в любой точке y0 ее области определения, возьмем точку x0 arctg y0 и отрезок x0 , x0 , содержащий x0 внутри и содержащийся в интервале 2 , 2 . Если x0 acrtg y0 1 и x0 acrtg y0 2 , то ввиду возрастания функции x arctg y можно утверждать, что при любом y таком, что y0 1 y y0 2 будем иметь x0 acrtg y x0 . Итак, arctg y arctg y0 при 1 y y0 и тем более при y y0 min 1 , 2 , что и проверяет непрерывность функции x arctg y в точке y0 . Пример 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в предыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции y ctg x на интервале 0, есть убывающая от +∞ до –∞ непрерывная функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую x arcctg y , определенную на всей числовой оси , убывающую на ней в пределах интервала своих значений 0, от до 0 и непрерывную на . Замечание. При построении графиков взаимно обратных функций y f ( x) и x f 1 ( y) полезно иметь ввиду, что точки плоскости с координатами x, f ( x) x, y и y, f ( y) y, x в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось х или ось y) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображенные в одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой биссектрисы. 15