Ответы к заданиям урока

учитель математики
Казанцева Елена Фёдоровна
идентификатор 222-853-812
Решение предложенных на уроке заданий:
Карточка №1
а) Найдите производную функции в точке х0:
у=4х2, х0=-1;

у=-7 cos2x, х0= ;
4
Решение:
у (-1)=8*(-1)=-8


у ( )=7 *2*sin2* =14
4
4
б) Используя правила нахождения производных, найдите производные
функций:
3
у= 4 ;
х
2
у=х – 4х+16;

у= х tg(х+ ).
3
Решение:
12
у =  5
х
у = 2х – 4
у =
tg ( х 
2 х

)
3 +
х
соs 2 ( x 

)
3
в) Найдите тангенс угла между касательной к графику функции и осью
абсцисс в указанной точке:
1
h(х)= 16 х  21 , х0= ;
4
18
h(х)=
, х0=1.
4х  1
Решение:
1
16
8
3
h( ) =
 1 .
4
5
5
1
2 16 *  21
4
h(1) = 
72
72
22

 2 .
2
25
25
4 *1  1
Карточка №2
а) Найдите производную функции в точке х0:
у=3+ х , х0=9;


у=sin(2х - ), х0= .
3
6
Решение:
у (9)=
1
2 9

1
;
6

  
)=2cos  2 *    2 * cos 0  2
6
6 3

б) Используя правила нахождения производных, найдите производные функций:
у=(4х-9)8;
у=х(1+ cos2x);
х
х
у=cos2 2 - sin2 2 .
Решение:
у =32(4х-9)7;
у =1*(1+ cos2x)+х*(-2 sin2х)=1+ cos2x - 2х sin2х;

x

у =  cos 2 *    sin x .
2

в) Вычислите скорость изменения функции в точке х 0:
h(х)= 21  5 х , х0= -20;



h(х)=cos   4 х  , х0= .
8
3

Решение:
5
5
h(20) =
 ;
22
2 * 21  5 *  20



 
h( ) =4sin   4 *   4 sin     2 .
8
8
3
 6
у (
2. Решение заданий у доски:
а) Найдите производную функции:
15
х
у=   4  ;
3

 х
у= cos    ;
 4 2


у=ctg   5 х  ;
4

у= 5 46  0,2 х .
Решение:
14
х

у =5   4  ;
3

1  x 
у = sin    ;
2  4 2
5
у =
;

2 
sin   5 x 
4

1
у = 
.
2 46  0,2 х
б) Вычислите скорость изменения функции у=g(х) в точке х0:
g(х)= х  1 х , х0=1;


12
, х0= -2;
х
ctgx

, x0  .
g(х)=
5
3
Решение:
1
11 1 2 3 2
g 1 



;
4
2 11 2 1
2 2
12
g  2  8 *  2 
 13;
4
1
1
4
 
g    

 .
2
15
 
3
 3
5 sin 2  


5
*
 2 
3


в) Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к
графику функции у=f(x) равен k, если:
f(x)= х  х , k=1;
1
f(x)=cos2x, k= .
2
Решение:
1
f  x  
1  1
2 x
1
1  1
2 x
1
2
2 x
1
2 x
2
1
x
16
1
Ответ: х  .
16
f  x   2 cos x sin x   sin 2 x
g(х)=4х2-
1
2
1
sin 2 x  
2
 sin 2 x 
 1
n
2 x   1 arcsin     n
 2
1
n 1
2 x   1 arcsin  n
2
2 x   1
n 1
x   1
n 1

6

12
 n
n

2
Ответ: x   1
n 1

12

n
2
.
 
г) Найдите корни уравнения f  (x)=0, принадлежащие отрезку 0,  , если
 2
2
известно, что f(x)=cos x+1+sinx.
  3 
Найдите корни уравнения f  (x)=0, принадлежащие отрезку  ,  , если
2 2 
2
известно, что f(x)=sin x – cosx - 1.
Решение:
f  x   2 cos x sin x  cos x  cos x1  2 sin x 
cos x1  2 sin x   0
cos x  0
x   arccos 0  2n;
x
x

2
или :

2
 2n
;
1  2 sin x  0
sin x 
1
2
x   1
n
x

6

6
 n
.
Ответ: x 
 
; .
2 6
f  x   2 sin x cos x  sin x  sin x2 cos x  1
sin x  0
x   1 arcsin 0  n
n
x  n
x 
или :
2 cos x  1  0
cos x  
1
2
1

x     arccos   2n
2

2
x
 2n
3
2 4
x
; .
3 3
2
4
; ;
.
Ответ: x 
3
3
д) Решите неравенство f  (x)0, если:
f(x)=х3 – х4;
f(x)=-4cosx+2х.
Решение:
f  x   3 x 2  4 x 3
3x 2  4 x3  0
4 x 2 0,75  x   0
+
+
__
0
0,75
Ответ: х  0,75; .
f  x   4 sin x  2
4 sin x  2  0
sin x  
1
2
5

 2т  х    2т
6
6
IV. Тестирование.
Разделите преложенные высказывания на две группы – верные и неверные:
а) Производная какой-либо функции – это совершенно новая функция, никак не
связанная с исходной функцией;
б) Производная функции, вычисленная в данной точке, выражает угловой коэффициент
касательной;
в) Процедуру отыскания производной называют дифференцированием функции;
г) Если функция непрерывна в точке х=a, то она и дифференцируема в этой точке;
д) Формулы дифференцирования – это формулы производных функций;
е) Если известна производная, то можно найти и саму функцию.
верные
неверные
б, в, д, е
а, г
Ответ: 