ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, КУЛЬТУРЫ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ Школьное отделение
advertisement
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, КУЛЬТУРЫ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ Валуйский колледж Школьное отделение Предметно-цикловая комиссия физико-математических дисциплин Косенкова Анастасия Геннадьевна Студентка 43 группы ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНИК ПО ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Выпускная квалификационная работа По специальности 05020152 – преподавание математики Квалификация – учитель математики основной школы Научный руководитель: Преподаватель Старокожева Е.И.. Рецензент Работа защищена г. с оценкой: Валуйки, 2010 Содержание Содержание .............................................................................................................. 1 Введение ................................................................................................................... 3 Глава 1. Теоретические аспекты изучения уравнений в 7 - 9 классах 1.1. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики ........................................................................................................... 7 1.2. Квадратичная функция ................................................................................. 9 1.3. Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной в школьном курсе алгебры .................................................................................. 14 Глава 2. Методические основы электронного учебника 2.1. Линейные уравнения с одним неизвестным ............................................ 23 2.2.Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним ......................... 27 2.3. Электронный учебник как мультимедийное средство обучения .......... 37 2.4. Рекомендации по применению электронного учебника......................... 46 Заключение ............................................................................................................ 51 Список литературы ............................................................................................... 53 Приложение 1 ........................................................................................................ 56 2 Введение Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий. Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур [10, 35]. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования: a) уравнение как средство решения текстовых задач; 3 b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения; c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением. Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным. Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектное, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования, модернизация которого в XXI веке была официально признана генеральной, стратегической линией государственной политики Российской Федерации в данной области в предстоящее десятилетие. Одной из приоритетных задач модернизации является расширение и повышение эффективности мер, направленных на информатизацию системы образования, в первую очередь, в рамках Федеральной Целевой Программы «Развитие единой образовательной информационной среды». В качестве приоритетов реализации Программы был определен ряд задач, в которые входит необходимость создания электронных учебников и учебных компьютерных программ по всем дисциплинам базового учебного плана. Информатизация современного общества оказывает влияние на все сферы общественной жизни, в том числе и на образование. Происходящее в настоящее время изменение образовательной парадигмы, направленное на обеспечение развития и саморазвития личности учащегося влечет не только появление новых предметов изучения, но и изменение подходов к изучению традиционных дисциплин. Целью обучения в таком случае становится как передача и усвоение знаний, так и выработка умений и навыков исследования информации, обмена ею и использования для получения новых знаний и создания образа окружающего мира. На наш взгляд существенно новый информационный подход к концепции математического образования в 4 школе позволит повысить уровень качества знаний по математическим дисциплинам. Вопрос применения мультимедиа в обучении новый и недостаточно изученный. Все это обосновало выбор проблемы, которую предполагается рассмотреть в дипломном проекте. Целью дипломного проекта является создание электронного учебника по теме «Квадратные уравнения» для 8 классов, с методическим обоснованием его использования и рекомендациями по его применению. Нами выполнена курсовая «Квадратичная функция в уравнениях». работа по теме Цель нашей курсовой работы состояла в определении теоретического содержания учебника по теме «Квадратные уравнения». Цель выпускной квалификационной работы состоит в изготовлении электронного учебника по изученной теме и переводе теоретического материала в электронную форму, а также написания пояснительной записки по использованию учебника. Вопрос о решении уравнений достаточно полно исследован, но актуален, потому что в математике появляются новые подходы к решению уравнений, меняются программы по математике в основной школе, меняются требования к знаниям учащихся на выпускных и вступительных экзаменах, а так же происходят коренные образования. Поэтому изменения в существующей выбранная нами тема дипломной системе работы «Электронный учебник по теме «Квадратные уравнения»» актуальна и своевременна. Средством обучения решению уравнений в 7-9 классах мы определяем самостоятельную деятельность учащихся и наше методическое пособие. В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке и апробации системы самостоятельных работ по решению уравнений, обоснование возможности и целесообразности их использования в школьном математическом образовании. Объект исследования – виды квадратных уравнений в программе по математике. 5 Предмет исследования – квадратные уравнения, изучаемые в школьном курсе математики. Гипотеза исследования – использование самостоятельной работы учащихся в совокупности с применением мультимедиа на уроке математики способствуют развитию интереса учащихся к изучаемому вопросу. В соответствии с целью и гипотезой в ходе исследования решались следующие задачи: 1) На основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использования различных видов самостоятельных работ в решении квадратных уравнений; 2) Изучение специальной методической и учебной литературы по разработке электронного учебника и его использованию; 3) Разработка электронного учебника, апробирование его на преддипломной практике, составление пояснительной записки по его применению. В соответствии с поставленными задачами использовались следующие методы: Теоретические – теоретический анализ методической, дидактической, психологической литературы, анализ учебников; отбор учебного материала для использования на занятиях. Тип проекта: профессионально - прикладной Для создания электронного учебника необходимо проделать трудоемкую работу, изучить большое количество материала, которое будет являться базой для учебника. Для того чтобы рассматривать виды квадратных уравнения и способы их решения необходимо переработать материал в курсе элементарной математики, касающийся этой темы и отобрать подходящую теорию по выбранной теме. 6 Глава 1. Теоретические аспекты изучения уравнений в 7 - 9 классах 1.1. Содержание и роль линии уравнений в современном школьном курсе математики Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики [22, 14]. а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики. В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. 7 б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Так в основе изучения квадратных уравнений и неравенств лежит понятие квадратичной функции. Использование графика и свойств квадратичной функции дает наглядное представление о количестве корней квадратного уравнения, позволяет считывать с чертежа решение квадратичного неравенства. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений. в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений и их систем. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хk = b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b. Связь линии уравнений с числовой линией двусторонняя. Приведенный пример показывает влияние уравнений на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь 8 введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом. Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений заключается, прежде всего, в возможности использования ее понятий для описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов. 1.2. Квадратичная функция Определение. Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y переменные, а a, b, c - заданные числа, причем a=0 , называется квадратичной функцией. График квадратичной функции - парабола. Если a > 0 , то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0 , то ветви параболы направлены вниз. 9 Большинство изучаемых в школьной математике функций образуют классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для непосредственно, длительность без периода неё, с общим выделения представлением промежуточных независимого рассмотрения о функции звеньев. Однако каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса. К изучению класса квадратичных функций привлекается прием, основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду а(х— b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения — графика функции у=ах2, а≠0. 10 Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2 на промежутке -2≤х≤3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4≤x≤9. Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=х2. Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на промежутке -1≤x≤1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например, -3≤х≤3. Построение можно вести методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса. Наиболее рассмотрении существенное понятия применение, иррационального эта функция числа. имеет Первый при пример иррационального числа (-√2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2. 11 Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением. Пример1. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже график функции у=х2+1. Заметим, что при заданном значении аргумента х0 (рассматриваются, конечно, конкретные значения) значения функции у=х2+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой х0. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой. Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат». После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2. Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида 12 у=x2+с, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений. Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Этот прием можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера, связанные с изучением квадратичных функций. Пример 2. На рисунке изображены графики функций у=х 2 и у= —0,5х2. Как относительно них пройдет график функции y=0,5х2; -2х2; Зх2? Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение. Пример 3. На рисунке изображен график функции у=х 2+1, —2<х<2. Пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции у=х 2+0,3. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции у = х2 при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием можно перевести график функции у=х2-1 в график функции у=х2? 13 Цель задания — согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу. График функции у = x 2 + 0,3 симметричен относительно оси ординат, значит, рисунок не должен быть скошенным. Его симметричность подчеркивается симметричным расположением «пробных» значений аргумента. Положение точек на чертеже должно выправить распространенную неточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные от руки ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должны быть. Поэтому пробные точки (их ординаты вычисляются по условию, а не ищутся по чертежу) попадают в полосу между изображенными линиями. То, что графики сближаются по мере удаления от начала координат, требует пояснений, которые можно сделать при обсуждении. 1.3. Обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной в школьном курсе алгебры 14 Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений с одним неизвестным алгебраическим способом. Она вытекает из следующего. Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим. Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) — эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую трудность для учащихся. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения уравнений: решение простейших уравнений данного вида; анализ действий, необходимых для их решения; вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его; решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими; анализ действий, необходимых для их решения; 15 формулировка частного приема решения; применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца; работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе; сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решений; применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений [14, 34]. Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения, его формулировки, отработки. В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах. Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, вопервых, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде: 1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности; 2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном; 16 3) упростить уравнение; 4) найти значение неизвестного; 5) записать ответ. Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7» под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи» [2, 287]. В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения). Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени): 1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2; 2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных; 3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0; 4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п. 5, если bс0, то п. 6; 5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b0 17 b y f ( x), x 0, x ; при b=0 и c<0 при с>0 решений нет; 1 2 a F ( x, y ) 0 6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac; 7) найти х по формуле: при D>0 x1, 2 x1, 2 b D ; при D=0 2a b ; при D<0 решений нет; 2a 8) если нужно, сделать проверку; 9) записать ответ. Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется решением задач с помощью квадратных уравнений, где уместно использовать перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой степени. Сформулируем обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной. 1) определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2; 2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных; 3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к линейному ах=b; 4) найти x b b при а0 ( x при а><0); a a 18 5) если нужно, сделать проверку, исследование; 6) записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси). Сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений второй степени с одной переменной. Частным случаем квадратного уравнения является дробно- рациональное уравнение, решение которого подчиняется обобщенному приему. Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений существенно новый компонент, связанный с рассмотрением области определения выражения, входящего в уравнение, и возможных посторонних корней. Учитывая это, сформулируем прием решения дробно-рационального уравнения: 1) определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т. е. уравнением вида P( x) 0 ; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2; Q( x) 2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду P( x) 0 : раскрытие скобок, перенесение членов из одной части в другую, Q( x) приведение подобных, приведение к общему знаменателю; 3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к виду P( x) 0; Q( x) 4) заменить данное уравнение равносильной ему системой P( x) 0, Q( x) 0, содержащей: а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q (x); 19 б) неравенство, характеризующее область определения дроби; 5) решить полученную систему; 6) если нужно, сделать проверку; 7) записать ответ. Программа по математике IX класса предусматривает знакомство и с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах. Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований уравнений к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь следующий вид: 1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2 ; 2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, замена уравнения равносильной ему системой уравнений; 3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим; 4) решить известным способом простейшее уравнение; 5) если нужно, сделать проверку, исследование; 6) записать ответ [25, 56]. Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую, целостную систему. Здесь существенно производить разбор 20 решаемых заданий, выделять особенности различных классов заданий и их общие черты, отмечать ценность тех или иных применяемых средств. По своему положению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем. Для уравнений и систем уравнений ее можно изобразить в виде схемы [16, 124]. Уравнения Системы линейные линейные 1-й степени 1-й степени целые алгебраические дробно - рациональные линейно - рациональные линейно - квадратные квадратные 2-й степени биквадратные иррациональные В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяющие различные классы. На этом, более высоком уровне владения материалом связи становятся намного более освоенными, так что учащиеся в процессе выполнения заданий могут самостоятельно их восстанавливать. Резюмируя изученную литературу, мы пришли к выводу, что работа на уроке должна способствовать развитию мотивации учения у обучаемых. При 21 этом учителю-практику надо знать психологические особенности обучаемых, рекомендации современных психологических концепций усвоения знаний. В главе раскрыты основные виды уравнений, решаемых в курсе основной школы. Основу предлагаемой системы составляют линейные и квадратные уравнения. Определяются виды уравнений вторичных классов, одним из которых являются дробно-рациональные уравнения, выделяется совокупность требований для управления деятельностью учащихся при их решении. Указываются этапы организации работы, определяются виды помощи и руководства. В качестве компонентов выступают учебные задания, ориентированные на изменение учебных возможностей учащихся. Определены психолого-педагогические требования к построению системы учебных заданий и приведены обобщенные приемы решения уравнений с одной переменной в школьном курсе алгебры. Сказанное позволяет представить четкую последовательность этапов обучения. 22 Глава 2. Методические основы электронного учебника 2.1. Линейные уравнения с одним неизвестным Этот класс уравнений — первый в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере зависят особенности организации всего последующего изучения линии уравнений. При изучении этого класса уравнений, помимо его непосредственного выделения и описания, приходится останавливаться на вопросах, относящихся к формированию общего понятия об уравнении, вводить терминологию. Ранее были приведены различные взгляды на содержание понятия уравнения. Было отмечено, что каждый из них имеет определенную ценность в развертывании содержания курса алгебры. Поскольку рассматриваемый класс является первым в курсе, указанные взгляды тем или иным способом должны найти место на этом этапе изучения материала линии уравнений и неравенств. Первая методическая задача, с которой учитель сталкивается, приступая к изложению этой темы, состоит в выделении формальной части понятия уравнений из той содержательной ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой ситуации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой алгебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным. Учителю следует обратить внимание учащихся на основной метод, примененный в решении задачи,— переход к ее алгебраической модели, общий вид которой f(x)=g(x), где f u g — некоторые выражения, содержащие неизвестное х. Далее, на основе анализа конкретно полученной формулы учитель приводит формулировку общего понятия уравнения, принятую в учебнике, и вводит (или напоминает) связанные с ним термины. Вслед за этим нужно обратить внимание на те формальные характеристики составленного уравнения, которые уже непосредственно приводят к описанию изучаемого конкретного класса уравнений. 23 В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придается. Опишем несколько подходов к выделению первого изучаемого в курсе алгебры класса уравнений. В учебнике для для 6 класса средней школы Макарычева это линейные уравнения с одной переменной, т. е. уравнения вида ах=b, где х — переменная, а и b — числа. Естественно, что это определение выделяет очень узкий класс уравнений, недостаточный для решения самых простых задач. Какую роль он выполняет? Это роль двоякая. Во-первых, уравнения этого класса просто решаются, причем так описанный класс допускает полное исследование (что и осуществляется в учебнике). Во-вторых, запись уравнений из этого класса играет роль образца, к которому могут быть сведены посредством простейших преобразований уравнения более широкого класса. Большая часть времени, отводимого на изучение линейных уравнений по этому учебнику, используется именно на то, чтобы сформировать навыки сведения к линейным других уравнений, не входящих в этот класс. В [2, 3, 4] вводится и рассматривается класс уравнений, названный поиному — уравнения первой степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого класса следует отнести то, что явного определения он не получает: определение заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами. Предполагается, что в итоге их рассмотрения учащиеся получат достаточно ясное представление об объеме понятия. Основное внимание уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения ко все более простому виду. Фактически при этом приходят к уравнению ах=b. Этот последний класс уравнений явно не выделяется, но на примерах рассматриваются все возможные случаи решения уравнений из него. Такой 24 подход позволяет сконцентрировать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений. В [1, 61] также вводится понятие уравнения первой степени с одним неизвестным и объясняется алгоритм его решения. В отличие от [2, 3, 4] здесь дано явное определение: «Алгебраическое уравнение от одного неизвестного называется уравнением первой степени, если обе его части являются многочленами первой степени относительно неизвестного». По поводу этого определения следует сказать, что по смыслу понятия степени многочлена, введенного в этом учебнике, оно относится к конкретной записи многочлена без приведения подобных членов; например, многочлен 2х+ 1 — (2х—3) — первой степени. В [11, 44] в системе изучения присутствуют оба понятия: и линейного уравнения с одним неизвестным, и уравнения первой степени. Первое из них описывает широкий класс уравнений (левая и правая части уравнения — нуль или многочлены не выше первой степени), а второе—более узкий (уравнение вида kx+b=0, k0). Выделение подкласса уравнений первой степени в классе линейных уравнений в принципе может облегчить изложение этого класса. В частности, введение двух терминов (линейное уравнение, уравнение первой степени) позволяет четче описать сам процесс решения. Однако при этом возникает необходимость в усвоении двух, а не одного термина. Точно так же указание явного определения изучаемого понятия по сравнению с описанием имеет преимущество большей четкости, но предъявляет более высокие требования к развитию логического мышления учащихся. Охарактеризованные четыре варианта изложения теории уравнений, имеющих вид ax + b = сх + d, свидетельствуют о том, что эта теория допускает несколько различных по стилю и методике изучения развертывании. Можно (как это сделано в первом и четвертом случаях) сконцентрировать внимание на выделении более узкого класса, играющего роль «канонического вида», к которому приводятся данные уравнения; но 25 можно (как во втором и третьем случаях) обойтись и без этого, а сразу изучать способы решения уравнений общего класса, используя изученные типы преобразований уравнений. Точно так же можно с разной степенью выявленности описывать вводимые термины: четким определением или же посредством описания. Несмотря на наличие таких разных подходов к введению первого класса уравнений, значительная часть методики его изучения одинакова при любом из них. Это объясняется прежде всего тем, что основной целью изучения в данном случае всегда является освоение правил решения уравнений данного класса, образующих сравнительно компактную систему и относящихся исключительно к преобразованиям буквенно-числовых выражений. В последнем отношении рассматриваемый класс сильно отличается от большинства других классов, в изучении которых определенную, а иногда значительную роль играют логические, графические, вычислительные компоненты. При изучении этого класса уравнений учащиеся подходят к осознанию того, что уравнения, с первого взгляда мало отличные друг от друга, могут резко различаться по количеству корней. Это ответственный момент, один из самых существенных в изучении всего курса алгебры, поскольку при этом учащиеся впервые сталкиваются с необходимостью теоретического осмысления именно класса уравнений, а не каждого уравнения в отдельности. Конкретные способы изложения материала, относящегося к исследованию, могут быть различными. Зависят они в первую очередь от стиля выделения этого класса. Если он выделяется явным определением, то и результаты исследования формулируются в виде четкой системы условий, при выполнении которых имеет место один из трех возможных случаев. Если же этот класс уравнений выделяется посредством описания, то реализация каждого из этих случаев показывается на примерах, но общего обоснования не дается. 26 Отметим еще, что рассматриваемый класс является единственным, для которого в современной методике есть разные подходы к проведению исследований. Для каждого из остальных классов уравнений, неравенств, систем исследование проводится, по существу, одинаково при любом построении курса алгебры. Именно те классы уравнений, неравенств, систем, алгоритмы решения которых заучиваются при усвоении материала, исследуются аналогично первому способу; для тех классов, где результирующих формул для получения ответа не указывается, используется второй способ. В итоге тематического изучения первого класса уравнений учащиеся должны овладеть: алгоритмом решения уравнений данного класса; умением применять результаты исследования уравнений данного класса; основными понятиями общей теории уравнении; применением уравнений данного класса к решению текстовых задач. 2.2. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых обоснованность с ее помощью изложения. Поэтому связей она в обучении, занимает логическая исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям. Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие 27 признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета. Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х2—а=0 или к уравнению х2=а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах2+bх+с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах. Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах2+bх+с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный - b/2a; если дискриминант положителен, то b b 2 4ac уравнение имеет два корня ». 2a Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней. В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, приводятся еще формулы корней уравнения x2+px+q=0 или x2+2px+q=0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть. При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении 28 данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители. Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида a c k и биквадратные уравнения. xb xd Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык 29 математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. Рассмотрим подробнее теорию квадратных уравнений. Уравнение вида ax 2 bx c 0 , где a, b и c -некоторые числа a 0 , где x - переменная, называется квадратным уравнением. Формула решения квадратного уравнения. Сначала разделим, обе части уравнения ax 2 bx c 0 на a – от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения b c x2 x 0 a a выделим в левой части полный квадрат 2 2 2 2 b 2 c b b 2 4ac b c 2 b b b c b x x x 2 x 2 x 2 x 2 4a a a 2a 2a 4a a 2a a 2a 4 a 2 Для квадратности обозначим выражение (b² - 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид 2 b c b D x x x 2 a a 2a 4 a 2 Возможны три случая: если число D положительно D 0 , то в этом случае можно 1) извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D= D . Тогда 2 D D 2 D , поэтому тождество принимает вид 4a 2 2a 2 2a 2 2 b D b c x x x 2a 2a a a 2 2 По формуле разности квадратов выводим отсюда: b c b D b b D b D x 2 x x x x x 2a 2a a a 2a 2a 2a Теорема: Если выполняется тождество ax 2 bx c ax x1 x x2 , 30 то квадратное уравнение ax 2 bx c 0 при x1 x2 имеет два корня x1 и x2 , а при x1 x2 - лишь один корень x1 . В силу этой теоремы из, выведенного b c выше тождества следует, что уравнение x 2 x 0 , а тем самым и a a уравнение ax 2 bx c 0 , имеет два корня: x1 b 2a D ; x2 b D . 2a b c Таким образом, x 2 x x x1 x x 2 . a a Обычно эти корни записывают одной формулой: x1, 2 b b 2 4ac 2a где b 2 4ac D . 2) если число D равно нулю D 0 , то тождество 2 b c b D x x x 2 . a a 2a 4a 2 принимает вид 2 b c b x 2 x x . a a 2a Отсюда следует, что при D 0 уравнение корень кратности 2: x1 ax 2 bx c 0 имеет один b ; 2a 3) если число D отрицательно D 0 , то и поэтому выражение 2 b c b D x x x 2 a a 2a 4 a 2 является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение b c x 2 x 0 a a не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение 31 ax 2 bx c 0 . Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D b 2 4ac . Если D 0 , то квадратное уравнение имеет единственное решение: x b . 2a Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня: x1 b 2a D ; x2 b D . 2a Если D 0 , то квадратное уравнение не имеет корней. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта: c c 0 : x1, 2 a a 1) b 0; c 0 : 2) b 0; c 0 : x1 0, x 2 b a Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называются приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение обозначают так: x 2 px q 0 . Корни приведенного квадратного уравнения обычно находятся по формуле p p q 2 2 2 x1, 2 Теорема Виета Мы вывели тождество b c x 2 x x x1 x x 2 , a a где x1 , x2 – корни квадратного уравнения ax 2 bx c 0 . Раскроем скобки в первой части этого тождества. 32 b c x 2 x x 2 x1 x x 2 x x1 x 2 x 2 ( x 2 x1 ) x x1 x 2 . a a Отсюда следует, что мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603): Теорема 1. (Виета, 1591г.). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при x , взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при x 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при x 2 . Теорема 2. (обратная). Если выполняются равенства x1 x 2 b c и x1 x2 , a a то числа x1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 bx c 0 . Замечание. Формулы x1 x 2 b c и x1 x2 остаются верными и в случае, a a когда уравнение ax 2 bx c 0 имеет один корень x1 кратности 2, если положить в указанных формулах x2 x1 . Поэтому принято считать, что при D 0 уравнение ax 2 bx c 0 имеет два совпадающих друг с другом корня. При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения 1 1 x1 x2 ; x1 x2 x1 x2 x12 x 22 x1 x 2 2 x1 x 2 ; 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 x1 x 2 x12 x 22 x 2 x1 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 ; x13 x 23 x1 x 2 x12 x1 x 2 x 22 x1 x 2 x1 x 2 3x1 x 2 . Пример 1. Решить уравнение 2 x 2 5 x 1 0 Решение.D = 25 – 42(-1) = 33 > 0; x1 5 4 33 ; x2 5 4 33 . 33 2 Пример 2. Решить уравнение x 3 5 x 2 6 x 0 Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x x 2 5 x 6 0 , отсюда x 0 или x 2 5 x 6 0 . Решая квадратное уравнение, получаем x1 2, x2 3 . Ответ: 0; 2; 3 Таким образом, изучение и использование преобразований уравнений с одной стороны, предполагает достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений квадратных уравнений. Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида a c k xb xd уравнения и являются биквадратные следующим уравнения. по сложности Дробно-рациональные типом стандартных уравнений. Функция f (x) называется рациональной (дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов: f x Pn x (степени Qm x n и m многочленов могут быть произвольными). Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g (x) являются дробно-рациональными функциями. Другими словами, рациональные уравнения, левая или правая части которых являются 34 дробными выражениями, называются дробно-рациональными. Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм. 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель. 3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами. 4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ [15, 86]. Решение дробно-рациональных уравнений Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений 2 1 4 x 2 2 x 4 x 2x x 2x 2 Переносим все в левую часть Раскладываем каждый знаменатель 1. на множители 1) записываем общий знаменатель 2 1 4 x 2 2 0 x 4 x 2x x 2x 2 x2 x2 4 x 0 2 1 2. x 2x 2 xx 2 xx 2 x 3. 2 x x 2 4 x x2 8 2 x 0 xx 2x 2 2) дополнительный множитель в пункте 2 3) запишите новый числитель Область допустимых значений 4. О.Д.З. x 0, x 2, x 2 Числитель равен нулю 2 x x 2 4 x x2 8 2 x 0 Решаем полученное уравнение x2 5x 6 0 Д = 25 х=3 х =2 Проверяем, принадлежат ли корни О.Д.З. x 3 О. Д .З. , x 2 О. Д .З. Ответ Ответ: 3. 35 Таким образом, процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра. Пример. Решить уравнение x 2 3 a2 a ( x 1) x 2 a( x 1)( x 2) (1) Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (1) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то после преобразований уравнение (1) примет вид: х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0. (2) Найдем дискриминант уравнения (2) D = (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4. 4 Находим корни уравнения (2): х1 =а + 1, х2 = а — 3. При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка. Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0. Если х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а = - 2. Таким образом, при а = - 2 х1-посторонний корень уравнения (1). Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3 x1- посторонний корень уравнения (1). Если х2+1 =0, т. е. (а-3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х2 - посторонний корень уравнения (1). 36 Если х2+2=0, т. е. (а - 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а = 1 х2- посторонний корень уравнения (1). При а = - 3 получаем х= - 6; при a = - 2 х = - 5; При a=1 х = 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Итак, можно записать Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6; 2) если a = -2, то х = - 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a = 1, то х=2; 5) если а=2, то х=3; a 3 a 2 6) если a 0 , то х1 = а + 1, х2 = а – 3. a 1 a 2 2.3. Электронный учебник как мультимедийное средство обучения Использование компьютеров в обучении оказало многоплановое влияние на содержание и методы математического обучения. Компьютеры не только позволили осуществлять новые методы исследования, но и во многих ситуациях изменили форму самого математического исследования и мышления. Использование информационных технологий в математическом обучении означает также построение и использование компьютерных обучающих программ, в которых реализуется отличная от традиционного обучения педагогико-обучающая логика, новая организация школьных уроков и изменение роли и функций преподавателя. Школьная математика во многих вопросах отделилась от действительности, не обращает внимания на мир молодых людей, их способ мышления и творческие способности. Компьютерные обучающие программы по математике побуждают учащегося 37 к энергичному участию в математическом процессе, к поиску решения проблемы с помощью компьютера. Ключевым вопросом компьютеризации образования является методическая оправданность применения компьютера в изучении данного курса, темы, раздела. Степень сложности реализации методических концепций зависела, однако, и от уровня сложности используемого компьютера, от его возможностей. Так, первоначально, компьютерные программы были, в основном, контролирующими. Примером такого подхода служат обучающие программы-тренажеры. Подобные программы разрабатывались самими учителями, были достаточно простыми, но достигали поставленных учебных целей. Так, применение первой из перечисленных программ позволило учащимся более свободно оперировать с разложением квадратного трехчлена на линейные множители, лучше усвоить решение квадратных неравенств и систем уравнений [3, 25]. Следующий уровень развития компьютерного обучения - моделирующие программы, использование таких обучающих программ может привести к существенному пересмотру состава и содержания соответствующих учебных курсов на всех ступенях непрерывного образования. Разные исследователи отмечали многообразие обучающих функций компьютера при использовании и его на уроках математики. Выделим пять основных функций компьютера в преподавании математики: 1) выполнение упражнений (выдача заданий, контроль выполнения, комментарии процесса выполнения); 2) электронная доска (цветное, динамическое, визуальное учебное средство); 3)моделирование; 4) исследование (обучаемый выбирает и аргументирует собственное решение); 5) математические расчеты в курсах других дисциплин. 38 Электронный учебник – это программно-методический комплекс, обеспечивающий возможность самостоятельного или при участии преподавателя освоения учебного курса или его большого раздела именно с помощью компьютера. Электронный учебник или курс обычно содержит три компонента: презентационную составляющую, в которой излагается основная информационная часть курса; упражнения, способствующие закреплению полученных знаний; тесты, позволяющие проводить объективную оценку знаний учащегося. Обучающая программа должна базироваться на оригинальном педагогическом приеме, учитывающем специфику предмета и изучаемой темы, и должна исполнять как можно больше функций учителя. Разработка обучающих программ – очень сложная и трудоемкая работа. При этом наиболее эффективно совместное применение обучающих программ и специально созданных для них учебников. Учебники которые будут занимать очень большой объем памяти на внешнем носителе типа CD – ROM, целесообразно снабжать электронными наблюдателями, который по желанию ученика выведет данные о том, какую часть конкретного учебного раздела обучаемый сумел прочитать, и подскажет, что при знакомстве с темой осталось нерассмотренным [15, 32]. При разработке обучающей программы очень важно использовать весь арсенал технологических информационными средств, технологиями. предоставляемых Электронный современными учебник особенно эффективен в тех случаях, когда он: 1. обеспечивает практически мгновенную обратную связь, т.е. является интерактивным; 2. помогает быстро найти необходимую информацию, поиск которой в обычном учебнике затруднен; 3. существенно экономит время при многократном обращении к гипертекстовым объяснениям; 39 4. не просто выводит текст на экран, но и рассказывает, показывает, моделирует и т.д. – именно здесь проявляются возможности и преимущества мультимедийных технологий; 5. позволяет быстро, но в темпе, наиболее подходящем для конкретного индивидуума, проверить знания по определенному разделу; 6. может обновить необходимую информацию, например, с помощью Интернет. Информация в виде электронных учебников является для учащихся более привлекательной, а значит, будет лучше усваиваться. Любое обучение, связанное с компьютерными технологиями, попадает на благоприятную почву. Для ряда школьных дисциплин или отдельных тем компьютер может выступать как специальный рабочий инструмент, не только заменяющий традиционные средства, но и вносящий совершенно новые элементы в технологии обучения. Тем не менее, целесообразно иметь при использовании электронных учебников “твердую” копию текстовых разделов, которые выбраны в этих пособиях для использования их учениками, т.е. распечатать с помощью принтера необходимый текст, а не читать его с экрана. Это связанно с тем, что при чтении книги мы воспринимаем текст в отраженном свете, а на экране монитора – в проходящем. От чтения с экрана монитора глаз устает значительно больше, а при использовании мониторов низкого качества ухудшается зрение. В некоторых случаях использование электронного материала полностью оправданно, например, при изучении спецдисциплин с быстро меняющейся предметной областью. В этом случае преподавателю удобнее поддерживать и актуализировать электронную версию учебника. Значительный объем текста может быть оправдан и при большом количестве гипертекстовых ссылок. В качестве примера можно привести энциклопедию The World Book, в которую введен толковый словарь английского языка на 250 тыс. слов, позволяющий получить разъяснение 40 любого используемого слова. Если электронный учебник содержит текст, то лучше всего предусмотреть возможность установки типа и размера шрифта в зависимости от желания пользователя. Таким образом, одними компьютерами не обойтись, часть занятий необходимо проводить в натуре, однако с помощью компьютеров можно значительно раздвинуть рамки возможного, повысить интерес учащихся к предметам, и, тем самым, улучшить качество обучения. Современные автоматизированные учебники должны обладать следующими основными свойствами: 1. соответствовать образовательным стандартам; 2. поддерживать компьютеризированную методику обучения; 3. быть реализованными на основе современных инструментальных средств; 4. иметь документацию для пользователя; 5. в них должно быть определено место и способ применения компьютерной обучающей программы в учебном процессе. Электронный учебник, как правило, представляет собой мультимедийный продукт и должен обеспечить эффективное обучение школьников и студентов в режиме самообразования и в режиме, при котором преподаватель от обычного инструктирования переходит к консультированию учащихся. Из этого следует, что учебник должен обеспечивать обучение как по всему курсу, так и по отдельным темам. Каждый выделенный заранее смысловой фрагмент курса должен заканчиваться практическими и контрольными занятиями, а каждый большой раздел курса - тестовым занятием или зачетом [8, 12]. Электронный учебник должен максимально облегчить понимание и запоминание (причем активное, а не пассивное) наиболее существенных 41 понятий, утверждений и примеров, он не может и не должен заменять книгу, а напротив, побуждать учащегося взяться за книгу. Электронный учебник во многом не уступает бумажным учебникам. Например, в удобстве использования. В осуществлении самопроверки. Так же он хорош тем, что его можно использовать в целях самообразования, то есть им можно пользоваться без помощи учителя. Электронные учебники хороши тем, что имеют систему самопроверки, чего, нет в обычных бумажных учебниках, оформить электронный учебник можно самыми различными способами, например с использованием различных движущихся картинок, что позволяет хорошему усвоению материала. Такой учебник не должен превращаться ни в текст с картинками, ни в справочник, так как его функция принципиально иная, поэтому для разработки электронного учебника необходимо соблюдать ряд педагогических принципов: Принцип квантования: разбиение материала на разделы минимальных по объему, но замкнутых по содержанию. Принцип полноты: каждый учебник должен иметь следующие компоненты (теоретическое ядро, контрольные вопросы по теории, примеры, задачи и упражнения для самостоятельного решения). Принцип наглядности: каждый раздел должен облегчать понимание и запоминание новых понятий, утверждений и методов. Принцип ветвления: каждый гипертекстными ссылками с раздел другими должен разделами, быть связан реализующих последовательное изучение предмета. Принцип адаптивности: электронный учебник должен допускать адаптацию к нуждам конкретного пользователя в процессе учебы, Принцип компьютерной поддержки: в любой момент работы учащийся может получить компьютерную поддержку, освобождающую его от рутинной работы и позволяющую сосредоточиться на сути изучаемого в данный момент материала. 42 Учащиеся могут применять этот учебник для закрепления, углубления и расширения своих знаний и умений в области математике. Учителя могут проводить занятия с компьютерной поддержкой, что позволяет наглядно продемонстрировать материал и индивидуализировать работу с учащимися. Это, в свою очередь, способствует глубокому усвоению материала учащимися. Особенности программированного и компьютерного обучения Название происходит от позаимствованного из словаря электронно – вычислительной техники термина “программа”, обозначающего систему последовательных действий (операций), выполнение которых ведет к заранее запланированному результату. Основная цель программированного обучения (ПО) – улучшение управления учебным процессом. Возникшая в начале 60-х годов на основе новых дидактических, психологических и кибернетических идей ПО направило свои усилия на создание такой технологии учебного процесса, которая позволила бы контролировать каждый шаг продвижения учащегося по пути познания и благодаря этому оказывать ему своевременную помощь, избавляя тем самым от многих затруднений, потери интереса и других негативных последствий, сопровождающих плохо управляемый процесс. У истоков ПО стояли американские дидакты и психологи Н. Краудер, Б. Скиннер, С. Пресси, в отечественной науке этими вопросами плодотворно занимались Н. Ф. Талызина, П. Я. Гальперин, Л. Н. Ланда, И. И. Тихонов, А. Г. Молибог, А.. М. Матюшкин, В. И. Чепилев и многие другие. Особенности программированного обучения заключаются в следующем: Учебный материал разделяется на отдельные порции (дозы); Учебный процесс состоит из последовательных шагов, содержащих порцию знаний и мыслительных действий по их усвоению; 43 Каждый шаг завершается контролем (вопросом, заданием и.т.д); При правильном выполнении контрольных заданий учащийся получает новую порцию материала и выполняет следующий шаг обучения; При не правильном ответе учащийся получает помощь и дополнительные разъяснения; Каждый учащийся работает самостоятельно и овладевает учебным материалом в посильном для него темпе; Результаты выполнения всех контрольных заданий фиксируются, они становятся известными как самим учащимся (внутренняя обратная связь), так и педагогу (внешняя обратная связь); Педагог выступает организатором обучения и помощником (консультантом) при затруднениях, осуществляет индивидуальный подход; В учебном процессе, широкое применение находят специфические средства ПО (программированные учебные пособия, тренажеры, контролирующие устройства, обучающие машины); Современные обучающие машины быстро устанавливают уровень обученности и возможности работающих с ними учеников, могут “приспосабливаться” к ним. Такие самоприспосабливающиеся программы называются адаптивными. Современные обучающие программы чаще всего составляются по смешанной (скомбинированной) схеме, что позволяет сделать их гибкими. Компьютерное обучение Ощутимые шаги в раскрытии глубинных закономерностей человеческого обучения сделаны мировой дидактикой, а также бурный прогресс в области развития персональных электронно - вычислительных машин, вывели педагогов на новую технологию компьютерного (компьютеризированного) обучения, которой, судя по всему, предстоит сыграть важную роль при формировании 44 учебно – воспитательного процесса. Оказалось, что компьютеры, снабжены специальными обучающими программами, можно эффективно приспособить для решения почти всех дидактических задач – предъявление (выдачи) информации, управления ходом обучения, контроля и коррекции результатов, выполнения тренировочных упражнений, накопления данных о развитии учебного процесса и т.д. Определились главные направления эффективного использования ЭВМ. В их числе два важнейших: повышение успеваемости по отдельным учебным предметам (математики, естественным наукам, родному и иностранному языку, географии и.д.р.), ориентированное на результат процесса; развитие общих когнитивных способностей – решать поставленные задачи, самостоятельно мыслить, владеть коммуникативными навыками (сбор, анализ, синтез информации), т.е. упор на процессы, лежащие в основе формирования того или иного навыка. Кроме того, компьютеры широко используются для автоматизированного тестирования, что позволяет высвободить время преподавателям и, тем самым, повысить эффективность педагогического процесса. Компьютерное или программированное обучение основываются на выделении алгоритмов обучения. Алгоритм как система последовательных действий, ведущих к правильному результату, предписывает учащемуся состав и последовательность учебной деятельности, необходимое для полноценного усвоения знаний и умений. Прежде чем составить обучающую программу, нужно разработать алгоритм выполнения мыслительных действий и учебных операций, по которому ЭВМ будет осуществлять управление учебным процессом. Эффективность обучающих программ из всего компьютерного обучения целиком зависит от качества алгоритмов управления мыслительной деятельностью. Компьютерные программы для школьников – это, прежде всего обучающие игры, в которых активно используется зрительные образы (для 45 формирования абстрактных понятий и навыков), а также активные формы работы самого ребенка. Поэтому плохо составленные алгоритмы резко снижают качество компьютерного обучения. Качество компьютерного обучения обусловливается двумя основными факторами: качеством обучающих программ; качеством вычислительной техники. И в той, и в другой области сегодня существуют значительные проблемы. Эффективных, хорошо разработанных с учетом закономерностей познавательного процесса обучающих программ пока мало, их составление сопряжено с большими затратами времени и сил специалистов, а поэтому стоимость таких программ очень высока. Именно поэтому нужно создавать электронные учебники, пытаться внести в этот процесс свой посильный вклад. Компьютерное обучение отличается большой вариативностью, в зависимости от конкретных условий и возможностей учителя практикуют различные по типу, структуре, длительности учебные занятия с применением ЭВМ. 2.4. Рекомендации по применению электронного учебника В качестве практической части дипломной работы мы создали электронный учебник для 8 класса по теме «Квадратные уравнения», апробировали его во время проведения уроков и факультативных занятий на преддипломной практике в 8 классах МОУ СОШ №1 г.Валуйки. Проведение факультативных занятий в школе осуществляется с 8-го класса, заканчивая 11-м классом. В 8-м классе факультативным занятиям уделяется 2 часа. Эти занятия, проводятся с целью углубить и расширить 46 знания, развивать математические способности, интерес учащихся к предмету, формировать математическую культуру. Факультативные занятия разрабатываются и проводятся независимо от основного курса программы по математике. Запись учащихся на такие занятия проводится добровольно, в соответствии с интересами учащихся. Группы учащихся можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов. Учитель, который проводит занятия, несет полную ответственность за качество факультативных занятий. Они должны быть полезными, увлекательными, интересными, занимательными для учащихся. Существуют различные формы проведения факультативных занятий по математике. Не следует останавливаться на какой-то одной из форм проведения занятий. В этом случае учащиеся могут быстро потерять интерес к предмету. Следует интегрировать или периодически менять методы проведения факультативного занятия по математике, полезно применять задания проблемного характера. На факультативных занятиях необходимо постоянно использовать дополнительную математическую литературу. Это можно осуществить с помощью электронной поддержки, в частности с помощью использования электронного учебника. Для проведения таких занятий необходим, методически грамотно разработанный электронный учебник. Он должен быть полным, интересным, написанным на доступном языке для учащихся, с рациональным использованием наглядностей. Для того чтобы создать такой учебник, необходимо знать, что такое программированное обучение и компьютерное обучение. Наш электронный учебник разрабатывался для использования на компьютерах среднего класса, на которых должна быть установлена операционная система Windows, где роль оболочек может выполнять пакет Microsoft Office. Рассматриваемый учебник состоит только из одной темы, потому что необходимо сосредоточить внимание учащихся на ее материале. Содержание учебника разбито на небольшие блоки, после каждого блока осуществляется 47 проверка усвоения материала, что отражает линейную форму программированного обучения. Наш электронный учебник содержит: обложку являющуюся титульным экраном с оглавлением, полное изложение материала по теме, систему проверки знаний, систему рубежного контроля, ссылки на словарь терминов. Учебник состоит из введения и четырех параграфов. Сам учебник представляет собой набор HTML-файлов, каждый из которых является отдельной страницей учебника. Титульный лист содержит наименование учебника. Содержание представлено в виде гиперссылок на отдельные параграфы, а также включает в себя гиперссылку на краткую справку об основных понятиях. Для того чтобы открыть какой-то параграф нужно щелкнуть курсором мыши по названию этого параграфа. Каждый параграф содержит теоретический материал, подкрепленный примерами, и гиперссылку на титульный лист. При создании данного учебника использовалась современная интегрированная оболочка для построения Webстраниц Microsoft Front Page, которая дает возможность создавать Webстраницы даже непрофессиональному пользователю. HTML - это специальный язык, на котором описывается, как должен быть показан документ на экране компьютера. Одним из элементов HTMLпрограммы (HTML-документа) является ссылка. Ссылка позволяет передавать управление из одного HTML-документа в другой по контексту, то есть непосредственно в той точке документа, где в этом есть необходимость по смыслу. Для того чтобы открыть данный учебник, необходимо открыть папку «учебник», а в ней нужно найти файл «index» с иконкой, обозначающей Webдокумент. После того, как откроется этот файл, на экране появится титульный лист учебника. Содержание состоит из гиперссылок на отдельные параграфы. Для того чтобы открыть нужный параграф щёлкните мышью по названию этого параграфа. В конце каждого параграфа есть гиперссылка на титульный лист учебника. Для того чтобы вернуться к содержанию, 48 необходимо щёлкнуть мышью по картинке в конце параграфа. Закрывается учебник также как и любое окно операционной системы WINDOWS. Таким образом, проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы, относительно электронных учебников: 1. Информация по выбранному предмету или курсу должна быть хорошо структурирована, и представлять собой законченные фрагменты курса с ограниченным числом новых понятий; 2. Структурным элементам учебного курса должны соответствовать ключевые темы с гипертекстом, иллюстрациями, аудио и видео комментариями; 3. Основные фрагменты учебника наряду с текстом должны содержать видео и аудио записи, содержащие материал по изучаемой теме; 4. Текстовая распечатки информация необходимых должна фрагментов обеспечивать текста. Должна возможность существовать возможность адаптации используемого шрифта к запросам пользователя; 5. Система, мгновенные содержащая подсказки, сложные появляющиеся и модели должна исчезающие содержать синхронно с движением курсора к отдельным элементам программы, кроме этого возможность увеличивать отдельные элементы иллюстраций и копирования; 6. В электронных учебниках рекомендуется использовать многооконный интерфейс, когда в каждом окне будет представлена связная информация; 7. Текстовая часть должна строится на основе перекрестных ссылок, позволяющих сократить время поиска необходимой информации, а также мощным поисковым центром и индексом; 8. Полезно подключать звуковые сигналы для указания правильности навигации по электронному учебнику; 9. Весь курс должен содержать возможность копирования выбранной информации, а так же ее редактирование и распечатку на принтере; 49 10. Электронный учебник, должен обладать принципиально новыми качествами по сравнению с традиционным учебником. 50 Заключение В настоящее время предстоит большая работа по совершенствованию российской системы образования. Надо полагать, что важную роль в этой работе сыграет пересмотр концепции процесса обучения, приведение её в соответствие с реальным протеканием всякого учебного процесса, где деятельность педагога и деятельность учащихся связаны «не с голым» содержанием образования, а с учебными заданиями как формой, в которой это содержание воплощается. Такой подход выдвигает в центр внимания чрезвычайно важную, но пока не достаточно реализованную на практике проблему организации самостоятельной работы учащихся в учебном процессе в условиях информатизации образовательной системы. В выпускной квалификационной работе мы подробно рассмотрели особенности электронного учебника, возможности его применения на уроках математики. Основой обучающей системы, представленной для пользователя как компьютерный учебник, является база знаний. База содержит основные понятия курса математики, связи между ними, характеристики понятий, а также примеры их использования. Чем большее количество связей имеет каждое понятие, тем прочнее оно будет усвоено учащимся. С помощью связей можно построить индивидуальную обучающую последовательность для каждого учащегося, отследить путь введения понятия в курсе от первого упоминания до самого сложного применения при решении задач. При выполнении данной работы нами была изучена психологопедагогическая литература по названной теме, проведена необходимая работа с дополнительной литературой и составлен электронный учебник по теме: «Квадратные уравнения», где одно из ведущих мест занимает решение квадратных уравнений. Учебный материал курса объединен по темам, темы разделены по параграфам. При работе в обучающем режиме учащийся изучает один 51 параграф, отвечает на вопросы, выполняет контрольную работу и получает итоговую оценку. В каждом фрагменте параграфа, выдаваемом на экран компьютера, есть несколько возможностей для различных видов деятельности обучаемого, в том числе, для самостоятельного решения зада. Благодаря выполнению этой работы сделаны выводы, что эффективность процесса обучения решению уравнений зависит от многих факторов. И одним из таких важных факторов является использование самостоятельной работы учащихся во всем ее многообразии в сочетании с использованием компьютерных технологий обучения Учащимся важно не только дать твердые знания, но и научить их самостоятельно применять свои знания на практике, в частности при изучении темы «Квадратные уравнения» с использованием электронного учебника по данной теме. Подводя итог сказанному можно сделать вывод, что подтверждается выдвинутая нами гипотеза о том, что использование самостоятельной работы учащихся при решении квадратных уравнений в совокупности с применением мультимедиа на уроках математики целесообразно, доступно и способствует развитию логического мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися. Организация различные формы самостоятельной восприятия и работы усвоения учащихся учебного активизирует материала, а использование электронного учебника повышает их информационную культуру. Оптимальное использование всех компонентов современного образования поможет успешно решить те задачи, которые ставятся перед средней школой и воспитать творческую личность. 52 Список литературы 1. Авдеева Ф.М. Самостоятельная работа учащихся при изучении нового материала и в процессе заключительного повторения. [Текст] /Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике М: Просвещение, 1985.- с.76 – 87. 2. Алгебра; Учебник для 7 класса средней школы [Текст] / под ред. А. Теляковского.–2-е изд.– М.: Просвещение, 1992г.-297с. 3. Алгебра; Учебник для 8 класса средней школы [Текст] / под ред. А. Теляковского.–2-е изд.– М.: Просвещение, 1990г.-284с. 4. Алгебра; Учебник для 9 класса средней школы [Текст] / под ред. А. Теляковского.–2-е изд.– М.: Просвещение, 1992г.-271с. 5. Божович Л.И. Изучение мотивации поведения детей и подростков. [Текст] – М.: Просвещение, 1972. 6. Бурдин А.О. Формирование у учащихся навыков самостоятельной работы и её организация в школе. [Текст] / Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике - М: Просвещение, 1985.- с.118 – 132. 7. Буткин Г.А., Володарская И.А. Формирование самостоятельной познавательной деятельности учащихся. [Текст] / Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе. М.: Прогресс, 1980.- с.148 – 150. 8. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасеченко П.И. Задачи по математике. Начало анализа: Справочное пособие. [Текст] - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1990-608с. 9. Веткин Л.Г. Самостоятельная работа учащихся на уроке (лекция по педагогике для студентов университета). [Текст] – Издательство Саратовского университета, 1978. 24 с. 10. Выгодский М. Я. Алгебра и арифметика в древнем мире» 2-е изд. [Текст] – М. – Л., 1967. 53 11. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII – VIII классы. [Текст] – М.: Просвещение, 1982 г 12. Демидова С. И., Денищева А. О.. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике. [Текст] – М.: Просвещение, 1985 г 14. Дидактические материалы по алгебре и начале анализа для 8 кл. [Текст] / сост. Б.М. Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 1991г. – 192с. 15. Дидактические материалы по алгебре и начале анализа для 9 кл.: Пособие для учителя [Текст] / сост. Б.М. Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. – 2-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1987г. 16. Есипов Б. П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. [Текст] – М.: Уч.пед.издат, 1961. 17. Леонтьева М.Р. Самостоятельные работ на уроках алгебры. [Текст] – М.: Педагогика. 1978. 18. Луковецкий В.И., Маланюк М.П. Задания для самостоятельных работ учащихся на уроках математики в 6 классе. [Текст] / Преподавание алгебры и геометрии в школе. М.: Просвещение, 1982.- с. 146 – 179. 19. Лында А. С. Самостоятельная работа и самоконтроль в учебной деятельности старших школьников. [Текст] – М.: Просвещение, 1972. 20. Маслова Г.Г. Роль прикладной и политехнической ориентации обучения математики в формировании умений самостоятельной работы учащихся 5 – 8 классов. [Текст] / Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике - М: Просвещение, 1985.- с.30 – 45. 21. Мацкин В.М. Формирование умений самостоятельной работы в заочной школе. [Текст] / Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике - М: Просвещение, 1985.- с.162 – 175. 22. Минаева С.С. Закрепление умений самостоятельной работы учащихся при решении текстовых задач 54 по математике. [Текст] / Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике М: Просвещение, 1985.- с.89 – 36. 23. Миндюк Н.Г. Подготовка учащихся к самостоятельной деятельности и её отражение в организации работы на уроках математики. [Текст] / Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике М: Просвещение, 1985.- с.107 – 117. 24. Муравин К.С. Организация самостоятельной работы учащихся с помощью настенных таблиц. [Текст] / Преподавание алгебры в 6 – 8 классах. М.: Просвещение, 1980.- с.249 – 261. 25. Пидкасистый П.И. Самостоятельная деятельность учащихся (Дидактический анализ процесса и структуры воспроизведения и творчества). [Текст] – М.: Педагогика, 1972, 184 с. 26. Слабодская В.А. Краткий курс высшей математики. Изд. 2-е, переработ. и доп. [Текст] / Учеб. пособие для втузов.- М., Высшая школа-1969г.544с. 27. Система тренировочных задач и упражнений по математике [Текст] / сост. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. – 28. Сергиенко Л.Ю., Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по М.:Просвещение,1991г.-208с. математике. [Текст ] – М.: Высшая школа, 1987г. – 192с. 29. Столяр А. А., Черкасов Р. С. Общая методика преподавания математики. [Текст ] – М.: Просвещение, 1985 г. 30. Трескин К.К. О формировании навыков самообразования учащихся с помощью системы самостоятельных работ. [Текст] /Преподавание алгебры и геометрии в школе. М.: Просвещение, 1980.- с.18 – 26. 31. Унт И.Э. Повышение эффективности методов самостоятельной работы учащихся. [Текст ] / Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе. М.: Прогресс, 1980.- с.133 – 136. 55 Приложение 1 Электронный учебник по теме «Квадратные уравнения» (Диск) 56