Обучающе-развивающие тесты по математике для школьников

Департамент образования города Москвы
Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Полное название вуза
Научно-образовательный материал
Обучающе-развивающие тесты по математике для школьников
Москва 2009 г.
Разработаны варианты индивидуальных заданий по разделам, «Квадратный
трехчлен»,
«Алгебраические
«Планиметрия»,
уравнения,
«Тригонометрия»
для
задачи
9-х
на
классов.
составление
уравнений»,
Разработаны
варианты
индивидуальных заданий по разделам «Тождественные преобразования алгебраических
выражений», «Квадратный трехчлен», «Тригонометрические уравнения» для 10-х классов.
Образцы разработанных индивидуальных заданий для 9-х классов
«Квадратный трехчлен»
ВАРИАНТ 1
1 часть
1.
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y  x 2  3 x  1 и y  2  5 x 2 .
2.
Найти корни квадратного трёхчлена 
5 2
x  x  12 и проверить для них теорему
3
Виета (проверку записать аналитически).
3.
Разложить квадратный трёхчлен 5 x 2  11x  42 на линейные множители с целыми
коэффициентами.
4.
Найти все x, при которых квадратный трёхчлен 15 x 2  8 x  1 принимает только
неотрицательные значения.
5.
Построить график функции y   x 2  3 x  4 и найти её область значений.
2 часть
6.
Вычислить значение выражения
х1 х2
 , где х1 и х2 – корни уравнения
х2 х1
х2  х 2  7  0 .
7.
Найти координаты точек графика функции y  x 2  4 x  6 , для которых абсцисса
равна ординате.
8.
Известно, что график функции y  ax 2  bx  c пересекает оси координат в точках
А(3; 0) , В(3; 0) , С (0 ; 5) . Записать функцию аналитически и построить её график.
9.
При каких значениях a выражение ах 2  х  а принимает только положительные
значения?
10. Построить график функции у  x 2  2(3x  2 | x  2 | )  9 .
11. Числа x и y положительные и x  y  20 . Какое наименьшее значение может принять
выражение
1 1
 ?
х y
«Алгебраические уравнения, задачи на составление уравнений»
ВАРИАНТ 1
1 часть
12. На сколько процентов увеличится дробь, если её числитель уменьшить на 10%, а
знаменатель уменьшить на 50%?
13. Решить уравнение
2х
27
6
 2

1.
х  4 2х  7 х  4 2х  1
14. Проехав за 1 час половину пути, машинист увеличил скорость электропоезда на
15 км/ч и прошёл вторую половину пути за 45 мин. С какой скоростью ехал
электропоезд первую половину пути?
15. Решить уравнение ( x 2  2) 2  3( x 2  2)  2  0 .
16. Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Благодаря тому,
что токарь перевыполнил план на 10%, а ученик – на 20%, они изготовили 74 детали.
Сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько – его
ученик?
17. Найти целочисленные решения уравнения x 2  3x  2 | x  2 |  0 .
2 часть
18. Два подъёмных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 7,5 часов. За какое время
может разгрузить баржу каждый из них, работая отдельно, если один может
разгрузить её на 8 ч быстрее, чем другой?
 x 3  y 3  7 ,
19. Решить систему уравнений 
 x 2 y  xy 2  2 .
20. Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили,
их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса?
21. Найти все пары
( x ; y ) целых чисел, удовлетворяющие системе уравнений
 x 2  xy  y 2  4 ,

( x  2) 2  ( y  1) 2  1.
ВАРИАНТ 1
1 часть
22. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 25 см, а
разность катетов равна 10 см. Определить бóльший катет.
23. Вычислить мéньший угол между касательной и хордой (хорда выходит из точки
касания), если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3 : 7 .
24. В трапеции, площадь которой равна 161 см2, высота равна 7 см, а разность
параллельных сторон равна 11 см. Найти длину бóльшего основания трапеции.
25. Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соответственно равны 40 см и
20 см. Найти длину хорды, высекаемой на окружности этой секущей.
3 3 см, а её площадь равна площади
26. Средняя линия трапеции равна
равностороннего треугольника со стороной 11 см. Найти длину высоты трапеции.
2 часть
27. Высота равнобедренного треугольника на 40% меньше его боковой стороны. Найти
площадь треугольника, если его периметр равен 36 см.
28. Окружность радиусом
5 см описана около равнобедренного прямоугольного
треугольника. Найти площадь этого треугольника.






29. Найти скалярное произведение векторов a и b , если | a  b |  5 , | a  b |  4 .
30. Даны координаты двух противоположных вершин квадрата: A(3;  4) , C (2 ; 7) .
Найти координаты двух других вершин квадрата.
31. Через середины двух смежных сторон правильного шестиугольника, вписанного в
окружность радиуса 4 см, проведена хорда. Найти длину этой хорды.
32. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади
данного треугольника.
ВАРИАНТ 1
1 часть
1
.
cos2 x
1.
Доказать тождество (1  tg x) 2  2 tg x 
2.
Упростить выражение
3.
Расположить в порядке возрастания: tg 40 , tg 80 , tg 160 .
4.
Найти значение выражения
5.
Вычислить cos 2 , если sin    .
sin 
cos(180  )
.

1  sin( 270  ) cos(90  )
sin   3 cos 
, если tg   2 .
5 sin 
1
4
2 часть
6.
Вычислить sin 206 tg 13  cos 206 .



9
3
и 
.
 , если cos   
4
41
2
7.
Найти tg  
8.
Вычислить
9.
Представить в виде произведения cos10 cos8  cos8 cos 6 .

3  cos9

при  
.
2 sin(   ) sin     
2
2
12

2 (cos   cos ) , если     3 ,    
10. Вычислить

.
2
11. Вычислить sin 2 38  cos2 8  3 cos38 sin 98 .
Образцы разработанных индивидуальных материалов для 10-х классов
Вариант 1
1 часть
Найти значения выражений:
1. |1  3 |  | 3  3 | .
Упростить выражения:
3.

a 4  a6

a3  a 7
2. 135  375
5
.
4.
5. Представить в виде
6. Сократить дробь
n
x m выражение
3x 2  2 x  5
x 2  3x  2
a 3  b3
(a  b)2  ab
3
5
x  x3
x 4 /15
.
2 часть
Упростить выражения:
a  4  a3
32
 a4
7.  2
 2
 2
 2
 a  4a a  4a  a  16 a  16
8.
x3  7 x  6
x3  2 x 2  x  2
9.
.
10. Найти значение выражения
3
a3/ 2  b3/ 2
(a 2  ab)
:
2/3
(a  b)1/ 3  a 2 / 3
a3/ 2  b3/ 2
.
5  2  3 5  2.
«Тождественные преобразования тригонометрических выражений»
Вариант 1.
1 часть.
1. Вычислить sin 405 cos  600  ctg 660.
1
3
2. Определить знак выражения sin  cos
7
 tg 4  ctg(230) . Ответ обосновать.
8
3. Найти sin

7
, если известно, что cos   и   (2;3) .
2
8
4. Вычислить
cos33 sin 33
.

sin 41 cos 41
sin 2  sin 
 tg .
1  cos 2  cos 
cos 51  cos 39
.
6. Вычислить
sin 66  sin 54
5. Доказать тождество
2 часть.
7. Вычислить
1
 cos 20
4cos80
8. Найти значение выражения cos   sin , если cos   sin  
3

и 0 .
4
2
9. Пусть  , ,  - углы треугольника. Доказать равенство
sin 2   sin 2   sin 2   2  2cos  cos  cos .
10. Доказать, что неравенство
sin x  sin 2 x  sin 3x  0,75
справедливо при любом действительном значении x.
«Тригонометрические уравнения»
Вариант 1
1. Решить уравнение 2cos x 1  sin 5x   cos x .

2


2. Решить уравнение 2 tg   x   tg x  1  0 .
3. Найти корни уравнения 8sin 2 x  6 cos x  9 , удовлетворяющие условию ctg x  0 .
4. Решить уравнение cos 2 x  2sin 2 x  3sin 2 x  0 .
5. Найти корни уравнения sin3x sin5x  sin10x sin 2x  0 , принадлежащие промежутку
  
 ; .
 4 4
6. Решить уравнение sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  2 .
7. Решить уравнение 2 cos x  sin x  3 cos x .



1
8. Решить уравнение cos  2 x    sin x  .
3
2

9. Решить уравнение sin 2 x  4(sin x  cos x  1) .
10. Решить уравнение sin 2x  sin3x  sin 4x  3 .