Спецкурс Математика плюсx

Министерство образования Российской Федерации
Автор- учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ СОШ №5
Вдовина Надежда Владимировна
ИСКИТИМ
2009
Пояснительная записка
Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких
представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие
возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и
разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых
понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в
частности ЕГЭ. При желании учитель может по-разному расставить акценты в процессе ведения
данного курса. Можно, к примеру, сделать крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому
способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса. Особенно такой темы, как
алгебраические задачи с параметрами, в ходе изучения которой с учащимися будут разобраны
такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметрами, иррациональные задачи с
параметрами, параметры и модули, критические значения параметра, метод интервалов в
неравенствах с параметрами, замена переменной в задачах с параметрами, метод разложения на
множители в задачах с параметрами, решения задач с помощью «разрешения относительно
параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами, метод
областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами, применение
производной при анализе и решении задач с параметрами, выписывание и «собирание» ответа в
задачах с параметрами.
Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на
систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач),
реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса
математики, а с другой — служит для внутрипрофильной дифференциации и построения
индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения
математической теории, направлен на рассмотрение фундаментальных понятий математики
(действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий,
самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его
освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также
профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики.
Объем аудиторных часов — 70 (по одному часу в неделю). Курс целесообразно изучать в 10
-11 классе. Он предназначен для реализации в рамках информационно-математического
профиля. Часть его материалов может быть включена в базовый курс математики либо
реализована в рамках предпрофильной подготовки.
Содержание курса
В скобках после наименования темы указано ориентировочное время на ее изучение
ТЕМА 1. МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Степень многочлена.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на
двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Общая теорема Виета.
Элементы коминаторки: перестановки, сочетания, размещения,
повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
перестановки
с
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание
корней.
Разложение.
Метод
неопределенных
коэффициентов.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.
Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
ТЕМА 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)
Представление о рациональных
возвратные многочлены и уравнения.
алгебраических
выражениях.
Симметрические
и
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены
при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом
сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости.
Стандартные неравенства. Метод областей.
ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (15 ч)
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки.
переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Метод
исключения
Замена переменных в системах уравнений.
Симметрические системы с двумя переменными.
Метод разложения при решении систем уравнений.
Сведение уравнений к системам.
ТЕМА 4 . ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (10 ч.)
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и
алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее
уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от
радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков
знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных
неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при
раскрытии модулей.
Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в
неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах
(«правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.
Смешанные системы с двумя переменными.
ТЕМА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание
множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения
относительно параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат в задачах с параметрами. Идея метода.
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход.
Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Тематическое планирование
№п/п
Тема
Число часов
10 класс
МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Представление о целых рациональных алгебраических 1
выражениях
Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с 1
остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов.
1
Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о 1
числе корней многочленов
Перестановки
1
Сочетания
1
Размещения
1
Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
1
Квадратный трехчлен
1
Кубические многочлены
1
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения
1
Метод неопределенных коэффициентов
1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)
Представление о рациональных алгебраических выражениях. 1
Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.
1
15
16
17
18
19
20
21
22
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема
решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема
решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод
интервалов
решения
дробно-рациональных
алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при
решении неравенств.
Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на
координатной плоскости.
Стандартные неравенства. Метод областей.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (14 ч)
1
1
1
1
1
1
1
1
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Уравнения с несколькими переменными.
1
Рациональные уравнения с двумя переменными.
2
Однородные уравнения с двумя переменными.
2
Замена переменных в системах уравнений.
2
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. 2
Метод разложения при решении систем уравнений.
1
Сведение уравнений к системам.
2
Системы с тремя переменными. Основные методы
1
Системы Виета с тремя переменными.
1
11 класс
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ( 22 ч.)
32
33
Иррациональные алгебраические выражения и уравнения
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
Замена с ограничениями.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к
системам.
Иррациональные алгебраические неравенства
Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах
(сведение к системам и совокупностям систем).
34
35
36
37
39
40
41
42
43
44
45
46
1
3
4
4
3
Дробно-иррациональные неравенства. Сведение к совокупностям 3
систем.
Уравнения с модулями
4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Применение производной при анализе и решении задач с
параметрами.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения
параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с
помощью разрешения относительно параметра.
Системы с параметрами
1
1
1
1
1
1
1
47
48
Метод координат
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных
алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра
и метод «Оха»
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных
алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами.
Аналитический подход. Метод координат
Применение производной при анализе и решении задач с
параметрами
49
50
51
1
1
1
1
1
Рекомендуемая литература
Вавилов В.В. Задачи по математике
Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике .М.: «Наука» 1986
Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск: Сибирское
университетское издательство. 2003
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения М.:Аркти 2001
Локоть В.В.Задачи с параметрами и их решения М.:Аркти 2002
Матвиевская Г.П. Рене Декарт: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1987.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Большая российская
энциклопедия, 1995.
Сканави М.И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа .1969
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 М.: Просвещение 1991
Образовательный комплекс «Алгебраические задачи с параметрами»
Этот комплекс включает в себя уроки по следующим разделам:
 Элементарные функции в уравнениях с параметрами
 Решение неравенств с параметрами
 Некоторые особые приёмы решения задач с параметрами
К каждому уроку прилагаются цифровые ресурсы следующих типов








Теоретический слайд
Динамическая модель
Мультимедиа демонстрации
Разборы примеров
Пошаговые тренажёры
Упражнения
Задачи для самопроверки
Контрольные задания