М – 11

Варианты вступительных экзаменов по математике в 11 класс
М – 11 - 1
1. Упростите выражение
2. Решите уравнение
3. Решить неравенство
4. Решить систему уравнений
5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
6. Найти все
7. Найти все целые корни уравнения
М – 11 - 2
1. Вычислить
1
√3
−
sin 10о cos 10о
2. Вычислить
1
7
2 arc tg + arc tg
4
23
3. Решить уравнение
tg 𝑥 ∙ (cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥 − 2)
√187𝜋 2 + 36𝜋𝑥 − 36𝑥 2
=0
4. Решить неравенство
sin 𝑥 ∙ sin|𝑥| ≤
1
2
5. Решить уравнение
√𝑥 2 − 2𝑥 + 1
= 2𝑥
𝑥−1
6. Решить неравенство
5
13
2
+
𝑥
+
3𝑥
≤
−
2𝑥 2 + 6𝑥
4
7. Найти все a, при которых уравнение имеет единственное решение
(𝑎 − 3)𝑥 2 + 5𝑥 − 2
=0
𝑥−4
М – 11 - 3

1) Вычислить tg  arccos  3arcctg (2)  ;
1
2
3
5
2) Найти D (f), если f(x)=

 1

x3  2x 2

;

arccos

2
 x 1

( x 2  3x  4)( x 2  2 x  8)


3) Исследовать свойства функции y 
3x
и построить ее график;
x  4x  4
2
4) Решить уравнения: а) 43  18 cos 2 x  60 sin x  sin x  1
б) 3  x  x  1  x  6
5) График квадратного трехчлена, наименьшее значение которого, равное 0,
достигается при x=1, проходит через точку A (-1; 4). Записать уравнение касательной
к этому графику в точке A.
6) Найти наибольшее значение функции y  2 x 2  ax  3 на 1;2 .
М – 11 - 4
№1. Вычислить:
 3 1
 4 
а) tg 
 arcsin     ;
 5 
 4 2
б ) 3  ctg 700  4cos 700  .
№2. Решить уравнения:
1
а ) cos8 x  3cos 4 x  3cos 2 x  8cos x cos3 3 x  ;
2
б ) 5sin 2 x  11 sin x  cos x   7.
№3. Решить неравенство
cos 2 2 x  cos 2 x  1.
 2 x  3
y
7
 3x  1
3
№4. Вычислить производную функции
№5. При каких значениях параметра р прямая
функции y  x2   p 1 x .
.
yx p
является касательной к графику
М – 11 - 5
№1. Найти значение выражения



3
 1
tg  arcsin  
 arc cos     arc tg1



 2
 2 


.

3
ctg  arc ctg   1  arcsin

2 

№2. Найти площадь треугольника, ограниченного осью Ox , прямой
x2
и
касательной к графику функции y  4  2 x  x в точке с абсциссой x0  2 . Сделать
чертеж.
2
1  cos3 x
№3. Решить уравнение cos 2 x  tg x 
. Найти сумму корней данного
cos 2 x
2
уравнения, принадлежащих промежутку
5 

   ; 3 
№4. Решить уравнение
10  x  1  10  x  x
№5. Решить систему неравенств
2

1

2
 x  2 x  24   4
 2
 x  2 x  24

 2
 x  2x 1  2
0

x

 2 x  3
y
7
 3x  1
3
№6. Вычислить
y  1 ,
если
.
№7. При каких значениях параметра р прямая
2
функции y  x   p  1 x .
yx p
является касательной к графику
М – 11 - 6
𝜋
1.Вычислите значение ctgx при условии cos (𝑥 + ) = −
6
√3
.
2
2.Найдите все значения y,которые не входят в область значений функции y=f(x), где
f(x) =
|𝑥 2 −4𝑥|
3𝑥
.
3.Корни 𝑥1, 𝑥2 квадратного уравнения 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑏 ≠ 0 таковы, что
𝑏
𝑐
числа− , 𝑥1 , 𝑥2 , являются последовательными членами геометрической прогрессии
6
2
с отрицательным знаменателем. Чему равен коэффициент c?
4.Решите уравнения
𝑎)√13𝜋𝑥 − 3𝑥 2 (√√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)=0
5
5
𝑏)√9 + |𝑥 2 − 9| = + |𝑥 − |
2
2
5. Решите неравенство
6. Решите уравнение
3𝑥 2 −2𝑥−1
2𝑥 2 +5𝑥+3
<
2𝑥 2 −3𝑥+1
3𝑥 2 +7𝑥+4
1
x
π
arcsinx − arccos ( − ) = − .
2 √3
3
М – 11 - 7
1. Вычислите:
𝜋
3
𝜋
𝑡𝑔2 ( −𝛼)
6
cos2 ( +𝛼)
𝜋
𝜋
3
6
+ sin2( + 𝛼)𝑡𝑔2 ( − 𝛼)
3𝜋
2. Решите уравнения:√2 sin( 2 − х) ∙ sin х = cos х
Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [−5𝜋; −4𝜋]
3. Решите уравнение:√х + 5 − 4√х + 1 + √х + 10 − 6√х + 1 = 1
5
4. Зная, что cos 2𝛼 = 13, вычислите sin4 𝛼 + cos4 𝛼
5. Решите систему неравенств:
6. При каких значениях параметра a один из корней уравнения (a − 2)x 2 + (a+3)x+ a+6=0 больше
или равен -1, а другой меньше 1?
х−4у
х−9у
√
√
7. Упростите выражение (х+
− х+6
ху−6у
)
ху+9у
у−0,5 (х−9у)
1
√х−3у2
М – 11 - 8
1. Найти значение выражения



3
 1
tg  arcsin  
  arc cos     arc tg1

 2
 2 

.


3
ctg  arc ctg   1  arcsin

2


№2. Найти площадь треугольника, ограниченного осью Ox , прямой x  2 и касательной к графику
функции y  4  2 x  x 2 в точке с абсциссой x0  2 . Сделать чертеж.
1  cos3 x
. Найти сумму корней данного уравнения,
cos 2 x
принадлежащих промежутку    ; 5 
3 

№3. Решить уравнение cos 2 x  tg 2 x 
№4. Решить уравнение
10  x  1  10  x  x
№5. Решить систему неравенств
2

1

2

x

2
x

24
 2
 4
 x  2 x  24

 2
 x  2x 1  2
0

x

 2 x  3
y
7
 3x  1
3
№6. Вычислить y  1 , если
.
№7. При каких значениях параметра р прямая y  x  p является касательной к графику функции
y  x2   p  1 x .