8. Простейшие задачи векторной алгебры

§8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная
система координат. Выберем в пространстве V (3) (V ( 2 ) ) декартов прямоугольный базис i , j , k ( i , j ). Рассмотрим следующие задачи.
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны декартовы
координаты начала и конца вектора.
Пусть точки A и B лежат в плоскости xOy и имеют координаты
A( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . Рассмотрим векторы AB ,
y
A
B
OA и OB . Имеем:
AB  OB  OA .
Но
OB  ПрOx OB; ПрOy OB  x2 ; y2  ,


OA  ПрOx OA ; ПрOy OA x1; y1.
x
O
AB  x2  x1; y2  y1.
Следовательно,
Аналогично получаем, что если AB  V (3) и A( x1; y1; z1 ) , B ( x2 ; y2 ; z2 ) , то
AB  x2  x1; y2  y1; z2  z1.
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в
декартовом прямоугольном базисе.
Пусть a  V ( 2) и a  axi  a y j  {ax ; a y } . Имеем:
y
a x  Пр Ox a , a y  Пр Oy a .
Рассмотрим треугольник ABC . Имеем:
AB  a ,
AC  ПрOx a  ax ,
A
CB  Пр Oy a  a y .
AC
2

 CB
2

ay
ax
O
Следовательно, по теореме Пифагора,
AB 
B
2
C
x
2
ПрOx a  ПрOy a ,
a  (a x ) 2  (a y ) 2 .
Аналогично получаем, что если a  V (3) и
a  axi  a y j  azk  {ax ; a y ; az } ,
то
a  (a x ) 2  (a y ) 2  (a z ) 2 .
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его
орта.
1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора a называется вектор a0 , сонаправленный с вектором a и имеющий единичную длину.
Пусть a  axi  a y j  azk  {ax ; a y ; az } . Так как векторы a и a0 сонаправленны, то существует   0 такое, что a0    a . Следовательно
a0  {  ax ;   a y ;   az } .
Найдем  . Имеем:
a0    a    a    a  1,
1
 
.
a
Таким образом, получаем:
 a a y az 
a0   x ;
;
.
a
a
a


Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический
смысл. Обозначим через  ,  и  углы, которые вектор a образует с
координатными осями Ox , Oy и Oz соответственно. cos , cos  , cos
называются направляющими косинусами вектора a . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем:
если   90;
 a  cos ,
a x  Пр Ox a  
 A1B1   a  cos1  a  cos , если   90.
a
a

1

x
x
B1
A1
Аналогично находим:
a y  Пр Oy a  a  cos  , az  ПрOz a  a  cos .
Следовательно,
ay
a
a
cos  x , cos  
, cos  z .
a
a
a
Таким образом, получили, что координаты орта вектора a являются его направляющими косинусами.
Замечание. Так как a0  1 и a0   cos  ; cos  ; cos  , то
cos 2   cos 2   cos 2   1 .
Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.
2
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 в
отношении  (  1) если M1M0    M0M1 .
Если   0 , то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2 . В этом
случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 во внутреннем отношении.
Если   0 , то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M1M 2 и
говорят, что точка M 0 делит отрезок M1M 2 во внешнем отношении.
Пусть M1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) и
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) . Обозначим через r1 , r2 , r0 –
радиус-векторы точек M 1 , M 2 и M 0 соответственно. Тогда
M1M0  r0  r1 ,
M 0M 2  r2  r0 .
M1
r1
r0
M0
r2
M2
O
Так как M1M0    M0M1 , то
r0  r1    r2  r0  ,

r0    r0  r1    r2 ,

r0 (1   )  r1    r2 ,

r0 
r1    r2
1 
или в координатной форме:
y    y2
x    x2
z    z2
, y0  1
, z0  1
.
x0  1
1 
1 
1 
В частности, если M 0 – середина отрезка M1M 2 , то
(1)
(2)
M1 M 0  M 0 M 2 ,
т.е.   1 и формулы (1) и (2) примут вид:
r r
r0  1 2
2
x1  x2
y1  y2
z z
и
, y0 
, z0  1 2 .
x0 
2
2
2
Замечание. Если точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2 , то
обычно говорят, что M 0 делит отрезок M1M 2 в отношении m : n . В
m
этом случае   , а формулы (1) и (2) можно переписать в виде:
n
3
n  r1  m  r2
nm
n  x1  m  x2
n  y1  m  y2
n  z1  m  z2
, y0 
, z0 
.
x0 
nm
nm
nm
r0 
и
§9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
ВЕКТОРОВ
1. Скалярное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов
a и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число
a  b  cos .
Если a  0 или b  0 , то скалярное произведение векторов a и b полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов a и b обозначают (a, b ) или a b .
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
( a , b )  (b, a ) .
Это свойство очевидно из определения.
2) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно произведению длины вектора a на проекцию вектора b на вектор a (длины
вектора b на проекцию a на b ).
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора a на
b

вектор b называется проекция вектора a на
ось, определяемую вектором b .
Имеем:
Но
(a, b )  a  b  cos .
a  cos  Пр b a .
b  cos  Пр a b ,
Следовательно,
(a, b )  a  Пр a b ,
и
(a, b )  b  Пр b a .
4
3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак
скалярного произведения. Т.е.
(a, b )  (a, b )   (a, b) .
Действительно, пусть   0 . Тогда

a

( a , b )  ( a , b )   ,

(a, b )  a  b  cos 

a
b
   a  b  cos   (a, b) .
Пусть   0 . Тогда

(a, b )   ,


( a , b )     ,

(a, b )  a  b  cos(   ) 
   a  b  ( cos ) 
a
b
a
    a  b  cos    a  b  cos   (a, b) .
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно:
(a1  a2 , b)  (a1, b)  (a2 , b) ,
(a, b1  b2 )  (a, b1)  (a, b2 ) .
Действительно,
a1  a2
(a1  a2 , b)  b  Пр b (a1  a2 ) 
 b  Пр b a1  Пр b a2  
 b  Пр b a1  b  Пр b a2 
 (a1, b )  (a2 , b) .
a1
a2
b
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора)
равно квадрату его длины. Т.е.
2
(a, a )  a .
Это свойство очевидно из определения.
6) Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю (критерий перпендикулярности векторов).
Действительно, пусть векторы a и b перпендикулярны. Тогда

( a , b )  90
и
(a, b )  a  b  cos90  0 .
Обратно, пусть (a, b )  0 и a  0 , b  0 . Тогда
5
a  b  cos  0 и a  0 , b  0 ,
 cos  0 и   90 .
7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a и b имеют координаты:
a  {ax ; ay ; az }, b  {bx ; by ; bz },
(1)
(a, b )  axbx  a yby  az bz .
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через
декартовы координаты векторов. Она легко выводится из свойств 4, 5, и
6.
то
8) Если под действием постоянной силы F точка перемещается по прямой из точки M 1 в M 2 , то работа силы F будет равна


A  F, M1M 2
(физический смысл скалярного произведения).
6