Geogebrax - Всероссийский фестиваль педагогического

Использование динамической среды Geogebra на уроках математики
Екатеринчева И.А., учитель математики
Хавронина О.В., учитель информатики
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 72»
Необходимость
компьютерной
поддержки
учебного
процесса
определяется сегодня стремительным развитием информационных и
коммуникационных технологий, проникновением их во все сферы
общественной жизни, в том числе и в сферу образования, и регламентируется
требованиями государственного образовательного стандарта.
Одной из причин трудного усвоения математики является абстрактность
этой науки. Задача учителя состоит в том, чтобы приблизить математику к
жизни, сделать математические факты зримыми, а значит понятными. Одним из
путей визуализации математики, внесения в нее движения является
использование компьютерной среды Geogebra.
GeoGebra — бесплатная программа предоставляющая возможность
создания динамических («живых») чертежей для использования на разных
уровнях обучения геометрии, алгебры и других смежных дисциплин.
Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java , переведена на
45 языков, в том числе полностью поддерживает русский язык
Программа обладает богатыми возможностями работы с функциями
(построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.).
В отличии от других программ для динамического манипулирования
геометрическими обьектами, идея GeoGebra заключается в интерактивном
сочетании геометрического, алгебраического и числового представления.
Можно создавать конструкции с точками, векторами, линиями,
коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем
динамически изменять их. Кроме того, GeoGebra позволяет напрямую вводить
уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно легко
составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора
необходимых параметров, искать производные, и использовать команды вроде
корня и последовательности.
В нашей школе учащиеся знакомятся с программой GeoGebra в курсе
информатики в рамках изучения темы «Моделирование», осваивая технологии
построения динамических моделей как на плоскости, так и в пространстве.
Приобретенные навыки позволяют школьникам эффективно использовать
данную среду в процессе обучения математике как на уроках, так и дома, а
также в проектной и исследовательской деятельности. Первое применение
среды GeoGebra в образовательном процессе было в гимназическом 10 классе,
которое переросло в широкое использование и в других классах.
Рассмотрим приемы использования среды GeoGebra на конкретных
примерах:
I.
Изучение новой темы с привлечением динамических чертежей,
созданных в среде GeoGebra.
1.
Построение графиков тригонометрических функций
При изучении тригонометрии одним из моментов, требующих динамики
– изменение положения точки на единичной окружности (в зависимости от
угла) и одновременное отображение ее на графиках тригонометрических
функций.
Построим график функции синус на отрезке [0;2π]. Отметим на оси
ординаты точек (0;-1) и (0;1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2π . Слева
нарисуем единичную окружность.
При статичной иллюстрации разделим единичную окружность и отрезок
[0,2π] на 16 равных частей и воспользуемся определением синуса для
построения ее графика. Отметим точку Pα на единичной окружности и
проведем через нее линию, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой
линии с прямой x=α и есть искомая точка графика функции синуса. Ее ордината
совпадает с ординатой точки Pα, а функция sin по определению и есть ордината
точки Pα.
Для продолжения графика по оси ОХ дальше, чем точка x=2π,
необходимо воспользоваться свойством периодичности функции sin(x):
sin(x+2πn)=sin(x), где n - целое число. Таким образом, график синуса на всей
числовой прямой получается путем параллельного переноса его части на
отрезке [0;2π] вдоль оси ОХ на 2π, 4π, 6π, и т.д.
Динамический чертеж позволяет наблюдать процесс построения графика
данным методом, при этом фиксировать неограниченное количество точек и
рассматривать линию, выходя за пределы отрезка [0;2π].
2.
Понятие "производной".
Одной их самых сложных тем в курсе математики является
«Производная». Перед введением понятия производной даются определения
секущей и касательной к графику функции, при этом статичный рисунок не
эффективен для понимания смысла данных понятий.
Для наглядного представления определения касательной в среде Geogebra
можно создать анимационный чертеж.
Задаем анимацию точки X (по отрезку АВ) и
наблюдаем, как «T l, двигаясь по кривой l, стремится к
точке М», а касательная есть «предельное положение
секущей».
Для иллюстрации физического смысла производной
можно решить следующую задачу.
Задача. Тяжелый снежный ком падает с крыши
пятнадцатиэтажного дома (высота одного этажа три
метра). Чему равна скорость падения снежного кома в
момент удара о землю?
Решение.
По
закону свободного
падения
S=S(t)=
, где g – коэффициент свободного падения,
приблизительно равный 10м/с2 Находим t=3с. Для
вычисления мгновенной скорости находим производную:
. При t=3 получаем
.
На анимационном рисунке шар падает с высоты 45
м. При падении шара т. F вычерчивает график свободного
падения (зависимость пути от времени), а точка P рисует график изменения
скорости от времени (производную).
3.
Построение сечений многогранников.
Построение сечений многогранников также вызывает затруднения, т.к.
пространственное воображение учащихся не всегда развито в полной мере.
«Увидеть» пространство, рассмотрев геометрическое тело с разных ракурсов,
понять смысл задачи и правильно построить чертеж снова помогает GeoGebra.
Например, построение куба и его сечений плоскостью.
II.
Исследовательская деятельность учащихся
Чтобы выдвинуть гипотезу, связанную с открытием новых свойств или
алгоритмов при исследовании объекта необходимо многократное повторение
действий с целью анализа их результатов. GeoGebra позволяет не строить
множество объектов, а лишь изменять имеющийся и фиксировать результаты.
1.
Формулы длины окружности и площади круга
Исследование может быть коллективным, например, для поиска метода
доказательства формул длины окружности и площади круга. Динамический
рисунок позволяет заметить учащимся, что при увеличении количества сторон
вписанного (описанного) правильного многоугольника получается фигура,
периметр которой практически равен длине окружности.
Например, изменяя параметр n – количество сторон многоугольника,
можно
наблюдать
все
промежуточные
изображения
вписанных
многоугольников от n=3 до n=30.
2.
Сумма углов треугольника.
При изучении темы «Сумма углов треугольника» многие учителя
предлагают учащимся выполнить практическую работу по измерению углов
нескольких треугольников различного вида и вычисления их суммы. Эту
работу можно автоматизировать. Работая в среде GeoGebra, учащимся
достаточно одного треугольника, который они исследуют: изменяя положение
вершин получать различные треугольники и фиксировать результаты
измерений как самостоятельно, так и автоматически в таблице. Анализируя
полученные результаты, учащиеся выдвигают гипотезу, что сумма углов
треугольника равна 180 градусов.
3. Зависимость расположения графиков функций у = ax+b от
коэффициентов a и в.
Учащимся предлагается в среде Geogebra построить график линейной
функции. Меняя параметр а, затем выдвигают гипотезу расположения графика.
Проводя исследования, подтверждают гипотезу опытным путём.
4.
Построение графиков с помощью преобразований
Geogebra может использоваться для поиска способа построения графика
более сложных функций путем преобразования графиков элементарных
функций. Например, построение графиков функций вида: y=af(x). y=f(ax),
y=|f(x)|, y=f|x|, y=f2(x), y=f(x2) и т.п.
Учащиеся сначала строят график элементарной функции, например,
у=sin(x). При построении графиков сложных функций используют параметры,
что в GeoGebre реализовано через инструмент «ползунок»: изменяя положение
ползунка, получают преобразование графика (растяжение, сжатие, смещение,
отражение и т.д.). Сравнение полученного изображения с графиком
элементарной функции и наблюдение за динамикой преобразования позволяет
«открыть» метод построения графика соответствующей функции.
5.
Построение геометрического места точек
Например, окружность, серединный перпендикуляр к отрезку,
биссектриса.
Окружность, как множество всех точек плоскости, равноудаленных от
данной учащиеся могут увидеть при построении точек инструментом «отрезок»
с фиксированной длиной и одним из концов в заданной точке. Перемещая
второй конец отрезка (и включая «след») получают искомое множество точек.
Серединный перпендикуляр к отрезку как множество всех точек
плоскости, равноудаленных от двух данных точек (концов отрезка).
Равноудаленные точки находятся на пересечении окружностей равного радиуса
с центрами в данных точках E и F. Изменяя радиус окружности учащиеся
получают несколько пар таких точек. Строят предположение о том, что все они
располагаются на прямой, подтверждают предположение, проведя эту прямую
и изучают ее свойства. Отметив точку пересечения полученной прямой и
отрезка EF, измеряют расстояние от этой точки до концов отрезка и угол,
образованной прямой и отрезком, высказывают предположение, что
построенное множество точек – серединный перпендикуляр к отрезку EF.
III. Решение прикладных задач.
Задания имеют практическую направленность, что соответствует
требованиям ФГОС на подготовку учащихся к жизни в информационном
обществе.
1. Уравнение прямой.
Изучить тему «График линейной функции» и отработать навыки записи
формулы линейной функции по ее графику можно совместить с прикладной
задачей. На фотографии архитектурного объекта, импортированной в Geogebrу,
проводим прямые, содержащие границы объектов и используя координатную
плоскость записываем соответствующие формулы.
а
2. Измерение угла наклона объекта
Предположим, что нам необходимо определить угол наклона знаменитой
Пизанской башни или любого другого строения. Вставляем фотографию
реального объекта и строим соответствующий угол, который автоматически
отображает его градусную меру. Для дальнейшего исследования полученного
чертежа фотографию можно скрыть и работать только с геометрическими
объектами.
3. Измерение расстояния и площади территории
Для расчёта площади территории (например, школы) необходимо
выбрать подходящие инструменты. Можно использовать Яндекс.Карты, тем
более, что на карте автоматически отображается масштаб при любом
увеличении.
Скриншот карты помещаем в приложение Geogebra. Далее следует
обязательно определиться с масштабом. На скриншоте карты указан отрезок,
соответствующий 10 м.
Измеряем расстояние между концами этого отрезка в масштабе Geogebra.
Получаем: EF = 0,8. Значит, 10 м = 0,8 ед. (соответственно 1 ар = 0,64 кв.ед.)
Для того, чтобы найти площадь территории школы, например, школьного
двора, строим на его границах многоугольник. Площадь многоугольника
составляет 5,8 кв.ед. (9,06 а).
Аналогичную работу можно выполнять с использованием фотографии,
если на ней изображен объект, длину (высоту) которого мы знаем или можем
измерить в реальности.
Данный способ можно использовать при решении задач ЕГЭ типа В5 на
нахождение площадей многоугольников (когда нужно показать учащимся как
можно «разбить» многоугольник на «хорошие» многоугольники или вписать
данный многоугольник в прямоугольник или квадрат).
IV. Решение задач с параметром.
В последние годы задание С5 в вариантах ЕГЭ традиционно является
задание с параметром. Эти задания типичны и для вступительных экзаменов в
ВУЗ с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов.
При освоении функционально-графического метода решения задач с
параметром высока эффективность применения среды Geogebra.
1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция
f(x) = х² - 4 |х - а²| - 8х имеет хотя бы одну точку максимума.
Решение:
1) При х ≥ а² f(x) = х² - 4( х - а²) – 8х, или f(x) = х ² - 12х + 4а², поэтому
графиком функции является часть параболы с ветвями вверх и осью симметрии
х = 6.
2) При х ≤ а² f(x) = х² +4( х - а²) – 8х, или f(x) = х ² - 4х - 4а², поэтому
графиком функции является часть параболы с ветвями вверх и осью симметрии
х=2
3) Каждая из парабол имеет по одной точке минимума, и обе они
проходят через точку (а²; f(а²)) поэтому вид графика функции f(x) зависит от
расположения точки х = а², относительно точек 2 и 6
Функция f(x) имеет более двух точек экстремума, тогда и только тогда,
когда точка х = а² является ее точкой максимума, т е когда 2 < а² < 6
Ответ: √2 <|а| <√6
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
имеет единственное решение
.
1) Преобразуем уравнение у² + ху – 7х – 14у + 49 = 0
(у² – 14у + 49) + ( ху – 7х) = 0 ; (у – 7)² + х(у – 7) = 0;
( у – 7)( у – 7 + х)=0
Графиком данного уравнения является совокупность прямых
у – 7 = 0 и х + у – 7 = 0.
2) Выделяем части полученных прямых, удовлетворяющих условию х ≥ 3.
3) Строим прямую у = ах + 1. Меняя параметр а находим такое положение
данной прямой, при котором она пересекает только прямую у – 7 = 0 или
прямую х + у – 7 = 0.
а) прямая у = ах + 1 проходит через точку ( 3; 7), значит 7 = 3а + 1, а = 2
б) если прямая у = ах + 1 проходит через точку ( 3; 4) ( а = 1), то она
пересекает график уравнения уже в двух точках, значит система имеет
единственное решение при а принадлежащем промежутку ( 1; 2]
в) прямая у = ах + 1 параллельна прямой у – 7 = 0, т е а = 0
г) если прямая у = ах + 1 параллельна прямой х + у – 7 = 0, ( а = - 1) то
система не имеет решений, значит система имеет единственное решение при а
принадлежащем промежутку (- 1; 0]
Ответ: (- 1; 0]; ( 1; 2] .
Опыт применения GeoGebra в нашей школе позволяет сделать выводы,
что:
1.
Реализуется системно-деятельностный подход, направленный на
развитие исследовательской деятельности учащихся, поскольку GeoGebra
может эффективно применяться не только в передаче знаний, но и
способствовать саморазвитию ученика.
2.
Изменяется характер учебной деятельности через разнообразие
методов и способов достижения учебных целей с помощью ИКТ.
3.
Изучение интерактивной среды доступно для учащихся разного
возраста, начиная с 5 класса, т.к. программа русифицирована и проста в
использовании в сравнении с другими аналогами.
4.
При изучении математики применение среды GeoGebra способно
более эффективно влиять на развитие познавательного интереса обучающихся
за счет интерактивности средств, лёгкости построения чертежей, высокой
степени наглядности.
5. Осуществляется дифференцированный подход в обучении.
6.
Происходит оптимизация учебного процесса за счёт более
рационального использования времени на различных этапах урока.
7.
Снижается эмоциональное напряжение на уроке, т.к. возрастает
уровень понимания учебного материала.
Все эти выводы говорят о эффективности использования интерактивной
динамической среды в обучении математике, что делает ее одним из важных
педагогических инструментов. И как любой новый педагогический инструмент
требует времени на освоение, пересмотра имеющихся методик и определенной
технической базы.
Поэтому возможными перспективами внедрения GeoGebra в
образовательный процесс является: распространение опыта, интеграция с
другими образовательными предметами (физика, география, химия), создание
банка информационных ресурсов для поддержки образовательного процесса
(педагогические материалы и работы учащихся), проведение конкурсов и
фестивалей,
Думаем, что в дальнейшем для каждого учителя интерактивная
динамическая среда GeoGebra станет необходимым инструментом в его
педагогической деятельности.
Литература:
1.
Сайт GeoGebra. http://www.geogebra.org
2.
Рождественская Л. Помощница GeoGebra или учителя учат
учителей...
https://edugalaxy.intel.ru/?automodule=blog&blogid=8&showentry=1017
3.
Данелян С. А. Организация самостоятельной работы выпускников в
рамках подготовки к ЕГЭ по математике с применением программного
обеспечения GeoGebra / С. А. Данелян, И. И. Данелян // Педагогическое
мастерство: материалы II междунар. науч. конф. (г. Москва, декабрь 2012 г.).
— М.: Буки-Веди, 2012.
4.
Маркова Т. В., Тарасова Л. В., Куркова Н. Н. Использование
интерактивной геометрической среды GEONExT и GEOGEBRA при обучении
геометрии в 7-8 классах
http://sc-journal.mggush.ru/media/articles/2013_issue1/Markova_Tarasova_Kurkova__Use_of_interactive_
geometry_enviroment_GEONExT_and_Geo_Gebra_for_teatching_Geometry_in_7_
8_classes.pdf
5. Яникова Н. Математика в парке имения Алтун.
https://edugalaxy.intel.ru/index.php?automodule=blog&blogid=8190&showentry=62
86
6. Методическое пособие по GeoGebra 3D: построение 3D графиков
http://kpfu.ru/portal/docs/F487527991/Shigapov.pdf
7.
Информационные технологии в математике и математическом
образовании: материалы II Всероссийской научно-методической конференции.
Красноярск, 14-15 ноября 2013 г.
http://www.kspu.ru/upload/documents/2013/12/01/177f94bf69a68473a81b57d041e6
9a73/sbornik-forum-pdf.pdf