Различные методы решения уравнений алгебра 11 кл.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2
г.Зеленокумска Советского района» Ставропольского края
Конспект
обобщающего урока
алгебры и начал анализа
в 11 классе
по теме «Общие методы
решения уравнений»
Учитель МОУ «СОШ№2
г. Зеленокумска» Токарева Т.И.
2013 г.
Цель урока.
1. Обобщить теоретические знания по теме «Общие методы решения
уравнений»;
2. Рассмотреть решения задач, связанных с этой темой, базового и
повышенного уровней сложности;
3. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне,
соответствующем уровню уже сформированных у них знаний.
I этап урока – организационный (1 минута)
Учителем сообщается тема урока и цели урока.
II этап урока (10 минут)
Повторение теоретического материала по теме «Равносильность уравнений»
Учитель: Мы с вами познакомились с методами решения уравнений различных
видов:
 квадратных и линейных;
 показательных и логарифмических;
 иррациональных и тригонометрических.
Если обобщить известные нам способы решения этих уравнений, то мы
увидим – у них много общего. Сегодня мы постараемся систематизировать наши
знания по методам решения уравнений.
В процессе решения сложного уравнения вам приходится шаг за шагом
заменять его более простым уравнением. В итоге вы получаете достаточно
простое уравнение и находите его корни. В этот момент и возникает главный
вопрос: совпадает ли множество корней последнего уравнения с множеством
корней исходного уравнения? Если все преобразования были равносильными, т.е.
каждое последующее уравнение было равносильно предыдущему, то ответ на
поставленный вопрос положителен, если же равносильность хоть в каком то шаге
нарушилась, то возможно вы потеряли корни или получили посторонние.
Например:
Уравнение 2 х  7  х  3 заменили уравнением 2х + 7 = (х – 3)2.
Равносильность нарушилась?
Учащиеся: Да. Последнее уравнение определено для любых значений «х», а
2 х  7  0;
 х  3  0.
исходное только для «х», удовлетворяющих системе: 
Учитель: Вспомните: какие уравнения называют равносильными?
Учащиеся: Два уравнения с одной переменной называют равносильными, если
множества их корней совпадают;
Учитель: Какие преобразования могут привести к появлению посторонних
корней?
2
Учащиеся: Если в процессе решения выполнялись преобразования, приводящие
к расширению ОДЗ уравнения, то могут появиться посторонние корни;
Учитель: Какие преобразования могут привести к потере корней?
Учащиеся: И наоборот, если выполняли операции, приводящие к сужению ОДЗ,
то могли потерять корни.
Учитель: Замечательно. Ну а теперь перечислим возможные причины
 расширения ОДЗ и
 сужения ОДЗ.
Учащиеся
перечисляют
причины,
приводящие
к
нарушению
равносильности, а учитель корректирует их ответы и дополняет, если это
необходимо.
Должны быть перечислены следующие причины:
а) расширения ОДЗ (появление посторонних корней):
 Освобождение от знаменателей, содержащих переменную;
 Освобождение от корня четной степени;
 Отбрасывание знака логарифма.
б) сужения ОДЗ (потеря корней) :
 Деление на выражение с переменной;
 Приписывание знаков логарифма и корня четной степени;
 Неверное извлечение корня четной степени из четной степени
( 2 n x 2 m );
 Неверное применение других формул, например
logabc = log a b + log a c, где bc >0.
Учитель заранее подготовил формулировки теорем о равносильности
уравнений (на плакате или на интерактиной доске или на листах для
каждого ученика) и на протяжении всего урока теоремы должны быть
доступны для визуального обращения к ним (очень легко это организовать с
помощью интерактивной доски).
Теоремы равносильности уравнений:
№ Формулировка
Математическая
п\п
модель
Если какой-нибудь член уравнения перенести из
f ( x ) = g ( x )
одной части уравнения в другую, с
f ( x ) - g ( x )= 0
1
противоположным знаком, то получится уравнение
равносильное данному.
Если обе части уравнений возвести в одну и ту же
f ( x ) = g ( x )
2n+1
2 нечетную степень, то получится уравнение
f
( x ) = g2n+1 ( x )
равносильное данному.
Показательное уравнение a f ( x )= a g ( x ) ( где а >0, а
a f ( x )  a g ( x ) ;

≠ 0) равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ).

a 0;
3

a  1;
f ( x ) = g ( x ).
3
4
5
6
Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) умножить
на одно и то же выражение h ( x ), которое:
а) имеет смысл всюду в области допустимых
значений уравнения
f ( x ) = g ( x );
б) нигде в этой области не обращается в 0, то
получится уравнение
f ( x )h ( x )= g ( x)h (x ), равносильное данному.
Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x )
неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после
возведения его обеих частей в одну и туже четную
степень получится уравнение равносильное
данному.
Если f (x ) >0 и g ( x ) > 0, то логарифмическое
уравнение
log a f( x ) = log a g( x ), где а > 0, а ≠ 1,
равносильно уравнению
f ( x ) = g ( x ).
 f ( x )  g ( x );

ОДЗ  D ( h); 
h( x )  0;

f (x) h(x) = g(x) h(x).
 f ( x )  g ( x );


 f ( x ) 0;
 g ( x ) 0;

f 2n(x) = g 2n(x).
log a f( x ) = log a g( x )

 f ( x )  g ( x );

  f ( x ) 0;
 g ( x ) 0;

Учитель обращает внимание учащихся на то, что теоремы 1 – 3 не требуют
никаких дополнительных условий, а теоремы 4 – 6 гарантируют равносильность
только при выполнении всех условий, перечисленных в них. Полезно, также
заметить, что теоремы 3 и 6 можно объединить в общую теорему:
7
Уравнение h (f ( x )) = h (g ( x )) равносильно
уравнению
f (x) = g(x), если:
а) функция h ( t ) – монотонна;
б) ОДЗ исходного уравнения совпадает с ОДЗ
полученного уравнения.
h( f ( x))  h( g ( x));


h(t )  монотонная;
f (x) = g(x), ОДЗ!
III этап урока (24 минуты)
Общие методы решения уравнений
1. Замена уравнения вида h (f ( x )) = h (g ( x )) на уравнение f (x) = g(x).
Учитель: Рассмотрим следующие уравнения:
1) 3 2 -5х = 3 х² - 4х ;
4) ( 3х2 – 2)4 = (х – 3)4;
7  х  3 5х  1 ;
1
5) lg =lg(2x – 7);
х
7) 7  х  5х  1
2)
3
Для каких из них можно применить данный метод?
4
3) (2x4+1)5=(1-x3)5 ;
6) cos(3x-1) = cos(3 -9x).
Учащиеся: Для 1, 2, 3 и 5-го, т.к. функции y = a t , y = 3 t ,y = t , y = t 5 и
y = logat – являются монотонными, а функции: y = t4, y = cost не являются
монотонными.
Учитель: Решим уравнения 2 ,7 и 1, 5
№2
7  х  5х  1 
7-х=5х+1  х=1
3
3
Ответ: 1
№7
7  х  5 х  1;
7  х  5 х  1;


7  х  5 х  1  7  х  0;
 
7  х  0;
5 х  1  0;

 х  1;
х=1

 х  7;
Ответ: 1
Учитель обращает внимание на отсутствие дополнительных условий в уравнении
(2), и их наличии в уравнении (7), что связано с определением корня
нечетной(четной ) степени.
Возможен другой вариант рассуждений в уравнении (7):
7  х  5 х  1 , 7-х = 5х + 1, х = 1.
 х  7;
7  х  0;

ОДЗ: 
 
1 
х


;
5 х  1  0;

5


1
 х  7.
5
Т.к. число 1 принадлежит ОДЗ ур-ния, то оно является корнем исходного
уравнения.
Ответ: 1
№1
№5
2 - 5х
х² - 4х
3
=3

1
2
 х  2 х  7;
2-5х = х -4х 

 х  2;
х2+ х – 2=0  
 х  1.
Ответ: -2; 1

lg =lg(2x – 7)    0;
1
х
2 х  7 0;


1
х
2 х 2  7 х  1  0;
 

 х  3,5;

7  57
 0;
 х 
4

7  57
.
 
х =
7  57
4
 0;
 х 
4

 х  3,5;
Ответ:
7  57
.
4
Учитель снова обращает внимание на отсутствие дополнительных условий в
уравнении (1), и их наличии в уравнении (5), что связано с определением
логарифма. Возможен другой вариант решения уравнения (5):
5
1
х
lg =lg(2x – 7),
Ответ:
7  57
7  57
1
 ОДЗ .
= 2х -7, 2х2- 7х – 1 = 0, х1=
 ОДЗ; х2 =
4
х
4
1
 0;
ОДЗ:  х
 х>3,5.

2 х  7 0;
7  57
.
4
2. Метод разложения на множители.
Учитель: Вспомним способы разложения на множители.
Учащиеся:
 Вынесение за скобки общего множителя;
 Формулы сокращенного умножения;
 Группировка.
Учитель:
Совершенно верно. Решите данным способом следующие
уравнения:
1. x∙42x-1 + 16∙42x -1=0
2. х3- 3х2 - 4х+ 12 = 0.
3. (2 - х)log 5 (x - 3)+2 = x;
2x-1
2
4 (x + 16) =0 ,
х (х – 3) – 4(х – 3) = 12,
(2 - х)log 5 (x -3)+2 – x = 0;
2x-1
2
4 = 0 или х + 16 = 0
(х – 3)(х – 4) = 0,
(2 - х)(log 5 (x -3)+ 1) = 0,
2
Реш.нет
х = - 16
х – 3 = 0 или х – 4 = 0, 2–х=0 или log5(x -3)+1= 0
Ответ: - 16
х=3
х = ±2
х=2
log5(x -3)= -1
Ответ: ±2; 3
х – 3 = 5-1
Все
преобразования Все
преобразования
х = 3 + 1/5
равносильны
равносильны
x = 3,2
Равносильность
нарушилась
ОДЗ: х – 3 > 0, х > 3
2  ОДЗ, 3,2 ОДЗ.
Ответ: 3,2
Во время решения учитель постоянно обращает внимание учащихся на
выполнение или невыполнение равносильности в ходе преобразований, таблица с
теоремами о равносильных уравнениях помогает в этом.
3. Метод введения новой переменной.
Учитель: Мы часто пользовались этим способом в уравнениях различного вида.
1. Его применяют, если в уравнении встречаются одинаковые «конструкции»,
которые и заменяют новой переменной;
2. Затем решают уравнение с новой переменной, выполняют отбор полученных
корней;
3. Возвращаются к старой переменной, решают его, если необходимо, снова
производят отбор корней и записывают ответ.
6
Рассмотрим уравнения:
2. cos 2x – 5 sin x – 3 = 0;
Преобразуем уравнение к виду:
1 – 2 sin2x – 5 sin x – 3 = 0,
2
10
х u,
Пусть
тогда 2 sin x + 5sin x + 2 = 0,
пусть sin x = u, где u 1;1 .
2
2
10 2
5
10
х  х  х  u , где u ≥ 0 . Составим
уравнение
с
новой
переменной:
Уравнение примет вид:
2
2u2 + 5u + 2 = 0,
u - u – 2 = 0, u1=2, u2 = -1.
u1= -1/2,
Число «-1» не удовлетворяет условию
u2= -2, что не удовлетворяет условию
u ≥ 0.
10.
10
u1;1.
Значит: х  2 , х = 2
Решим уравнение
sin x = - ½,
1.
5
х  10 х  2  0;
 

X = (-1)n+1 6  n, n  Z .

Ответ: (-1)n+1 6  n, n  Z .
Ответ: 210.
4. Функционально-графический метод.
Учитель: Применяется в том случае, если в уравнении записаны функции разной
природы (тригонометрическая и показательная, логарифмическая и линейная и
т.д.). Идея графического метода решения уравнения f (x) = g(x), очень проста:
нужно построить графики уравнений y = f (x) и y = g(x) и найти точки их
пересечения. Т.к. метод называется функционально-графическим, а не просто
графическим, то построение графиков можно заменить ссылкой на какие-либо
свойства функций. Например:
 Если одна функции y = f (x) возрастает, а другая y = g(x) – убывает, то
уравнение f (x) = g(x) либо не имеет корней либо имеет один корень (который
можно найти подбором);
 Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f (x), y =
g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение
f (x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений:
 f ( x )  A;

 g ( x )  A.
Рассмотрим уравнения:
1. Сколько корней имеет уравнение:
2х = sin x, на промежутке [0;+∞).
2. Решите уравнение
х
1
   х4
3
7
Первое уравнение решаем графически (Ответ:0, решений нет), а второе,
х
используя различный характер монотонности функций
1
y =   и
3
у = х4
(Ответ: -1).
Необходимо указать учащимся на то, что подобрать корень в уравнении (2)
недостаточно, нужно доказать, что он единственный.
Более сложные уравнения лучше рассмотреть на следующих уроках.
Учитель: Итак, мы с вами повторили общие методы решения уравнений. Это не
значит, что других методов нет. В каждом случае при решении уравнения
необходимо руководствоваться знаниями, интуицией и здравым смыслом.
IV этап урока (20 минут)
Разноуровневая самостоятельная работа
Учитель сообщает учащимся о времени, отведенном на самостоятельную работу
(20 мин) и раздает карточки. Учащиеся разбиты на три группы:
1. Слабая математическая подготовка – репродуктивный уровень (они
выполняют задания под контролем учителя);
2. Учащиеся со средней математической подготовкой – конструктивный
уровень;
3. Учащиеся, интересующиеся математикой – творческий уровень.
Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает
учащимся 1-й группы выполнять задания наводящими вопросами. По истечении
времени учащиеся сдают работы.
Тексты вариантов самостоятельной работы
I группа
Вариант 1.1.
Вариант 1.2.
3, 2
0 ,8
1
1
1. Упростите выражение 4 р  р
1. Упростите выражение: 81b 4  b 4
5
2. Вычислите: log 1 20  log 1 5.
2. Вычислите: log 5   log
2
2
8
1
3. Решите уравнение :  
 27 
2
0 , 5 x 1
3. Решите уравнение :
 9.
2
 1 


 125 
0 , 2 x 1
4. Решите уравнение:
4. Решите уравнение:
5. Решите уравнение с помощью
введения новой переменной:
5 Решите уравнение с помощью
введения новой переменной:
lg( x  7)  1  lg( x  5)
4х -
ln( x  4)  ln 3  ln( x  3)
32
 14.
4х
2х -
6. Решите уравнение с помощью
разложения на множители:
х2 3  х  16 3  х  0.
16
 6 .
2х
6. Решите уравнение с помощью
разложения на множители:
2х  х2  9  4 х2  9  0
8
 25.
II группа
Вариант 2.1.
1. Вычислите: 4 2 log 3  12
2. Укажите число корней уравнения :
Вариант 2.2.
1. Вычислите: log 3 4  log 2 3  3
2. Укажите число корней уравнения :
4
log 2 ( x  6)  0,5 log 2 x
log 1 ( x 2  1)  log 1 (2 x )
3
3
3. Решите уравнение с помощью
введения новой переменной:

3. Решите уравнение с помощью
введения новой переменной:


2
x  3  3 x  3  10  0
4. Решите уравнение с помощью
разложения на множители:

2
x2 6 x2 7  0
4. Решите уравнений с помощью
разложения на множители:
3x  2  3x  216
5 x  2  11 5 x  180
5. Решите уравнение: 4 10 lg x  6 x  11.
5. Решите уравнение: 9  5lоо x  17 x  12.
5
III группа
Вариант 3.1.
1. Найдите ординату точки
пересечения графиков функций:
у  log 2 x и у  5  log 2 ( x  4)
Вариант 3.2.
1. Найдите абсциссу точки
пересечения графиков функций:
у  log 3 (2 x  1) и у  2  log 3 ( x  1)
2. Найдите сумму корней уравнения:
2. Найдите произведение корней
уравнения: 3х+2 + 3х+1 + 3х= 39.
3. Найдите произведение корней
уравнения:
64 x  x 2  4  6 x  x 2  4  0
2
3. Найдите наибольший корень
уравнения: 3  2 log 1 x 
16
1
log 1 x
2
2
7 2(log3 x )  8  7 (log3 x )  7  0
16
4. Решите уравнение:
log 2 (3  x)  6 x
2009
4. Решите уравнение:
5
log 2 (5  x)  х  1
IV этап урока (5 минут)
Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию
Учитель еще раз обращает внимание, на те теоретические факты, которые
вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее
успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет
отметки.
9
Д/З: Задачник Алгебра и начала анализа 10-11 кл., А.Г. Мордкович и др:
№№ 1681 (а,б*), 1683(а, в*), 1690(а), 1692*(а), 1695 (а), 1697*(а), 1700(в),
1705*(а).
* отмечены номера повышенного уровня сложности. Учащиеся их решают
по желанию.
10