6429x

6429. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается
от неё. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. На какое расстояние по
горизонтали перемещается шарик между первым и вторым ударами о плоскость?
Скорость шарика в момент первого удара направлена вертикально вниз и равна 1 м/с.
Решение. Направим оси прямоугольной декартовой системы координат так, как
показано на рисунке: ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Начало координат совместим с точкой,
в которой шарик в первый раз соударяется с плоскостью. Так как этот удар абсолютно
упругий, то после него скорость шарика сохраняет свой модуль, равный v0 = 1 м/с.
При абсолютно упругом соударении проекция скорости шарика на наклонную
плоскость остается неизменной, а проекция скорости шарика на нормаль к наклонной
плоскости
изменяет
свой
знак
на
противоположный. Поэтому сразу после первого
удара вектор скорости шарика направлен под
углом
𝜋
−2∙𝛼
2
к горизонту, то есть под углом α к оси Y (угол α =
30°). Вектор ускорения свободного падения g
имеет проекции на оси X и Y, равные
𝑔 ∙ sin 𝛼 и 𝑔 ∙ cos 𝛼,
соответственно.
Запишем закон равноускоренного движения шарика (в промежутке между первым и
вторым ударами) в проекциях на оси X и Y:
𝑔 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑡 2
𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑡 2
𝑥(𝑡) = 𝑣0 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑡 +
; 𝑦(𝑡) = 𝑣0 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑡 −
.
2
2
Пусть через время t=τ после первого соударения шарик ударится о наклонную
плоскость во второй раз. В этот момент времени координата y шарика обратится в
ноль, то есть
𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝜏 2
𝑦(𝜏) = 𝑣0 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝜏 −
= 0.
2
Отсюда
2 ∙ 𝑣0
𝜏=
.
𝑔
За это время шарик сместится вдоль оси X (то есть вдоль наклонной плоскости) на
расстояние
𝑔 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝜏 2 4 ∙ 𝑣02 ∙ sin 𝛼
𝐿 = 𝑥(𝜏) = 𝑣0 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝜏 +
=
.
2
𝑔
При этом перемещение шарика по горизонтали составит
2 ∙ 𝑣02 ∙ sin 2𝛼
𝑆 = 𝐿 ∙ cos 𝛼 =
.
𝑔
Считая, что ускорение свободного падения g=10 м/с2, получим численный ответ:
𝑆 = 0.17 м = 17 см.
При решении этой задачи большую роль играет удачный выбор направления осей
прямоугольной системы координат. Выбор, сделанный в приведенном решении,
заметно упрощает формулы, необходимые для получения ответа. Если же направить
оси системы координат традиционным способом - горизонтально и вертикально - то
решение задачи заметно усложнится, так как исходные формулы и вычисления станут
гораздо сложнее.