Сложные проценты

Сложные проценты
(Наращение по сложным процентным ставкам)
Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных
процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты начисленные
за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При
этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с
которой начисляются проценты, постоянно возрастает.
Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой
база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на
проценты.
Для пояснения разницы между простыми и сложными процентами рассмотрим ситуацию: клиент положил в банк на несколько лет сумму, равную
P, под простые проценты по ставке i, причем счет можно закрыть в любое
время. Если клиент закроет счет через 2 года, то на руки он получит сумму
S1 = P(1 + 2i).
Но клиент может поступить таким образом: через год закрыть счет, получить на руки сумму S = P(1 + i), а затем положить эту сумму еще раз на
год, осуществив операцию реинвестирования. Такое действие позволит ему в
конце второго года получить
S2 = P(1 + i) = P(1 + i)(1 +i) = P(1 + i)2.
Величина S2 > S1 ,ясно, что клиенту выгодно каждый раз пере оформлять счет, поэтому с целью предотвращения такого рода действий банки в
некоторых случаях используют сложные проценты.
В схеме сложных процентов очередной годовой доход исчисляется не с
исходной, а с общей суммы, включающей начисленные проценты. Происходит капитализация процентов, т. е. база, с которой они начисляются, все время возрастает.
Размер возвращаемой суммы рассчитывается по формулам:
• через 1 год: S1 = S + Pi = P(1 + i);
• через 2 года: S2 = S1 + S1i = S1 (1 + i) = P(1 + i)2;
...
• через n лет:
Sn = P (1 + i)n
- формула наращения сложных процентов
S – наращенная сумма
I - годовая ставка сложных процентов
n- срок ссуды
(1+i) – множитель наращения
Формулу наращения для сложных процентов используют в том случае, когда
срок для начисления процентов является дробным числом.
1
Величина начисленных процентов составит:
I = S −P = P [(1+i)n −(1+ni)].
Пример1 . Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5
лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
S = P(l + i)n =1000000-(1 + 0,155)5 =2055464,22 руб.
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.
Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных
ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока.
В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже
формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):
- для срока меньше года простые проценты больше сложных:
(1 + nis) > ( 1 + i)n
- для срока больше года сложные проценты больше простых:
(1 + nis) < ( 1 + i)n
- для срока равного году множители наращения равны друг другу.
Заметим также, что при п>1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическая
иллюстрация соотношения множителей наращения представлена на рис
Формулы, приведённые выше, предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму
долга. Усложним условия начисления процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i, а проценты на проценты – по ставке r≠1. В
этом случае:
S = P + Pi[1 + (1 + r) + (1 + r)2 + ... + (1 + r)n-1 ]
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + г ) . В итоге имеем:
2
Если на каждом этапе t (t=l, 2, ..., к) срока вклада процентная ставка it
меняется, то величина наращенной суммы может быть определена по
формуле:
где i1,i2,…ik - последовательные значения ставок процентов, действующих
в соответствующие периоды п 1 , п 2 …п к и п = п1+ п2 +... + пк.
Пример2. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года,
8% - в третий год 5% - в четвертый год. Вычислить величину множителя
наращения за 4 года.
Искомый множитель наращения равен (1 + 0,3)2(1 + 0,28)(1 + 0,25) =
2,704.
В ранее полученных формулах при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно
календарных периодов. Очевидно, что часто даты начала и окончания ссуды
находят в разных периодах, но начисленные за весь срок проценты не могут
быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтерском учете, при
налогообложении, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулировать на основе графика, построенного для двух смежных календарных периодов
Общий срок ссуды делится на два периода n1 и n2. Соответственно:
I=I1+I2
3
Пример. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г.
Размер ссуды 10 млн руб. Необходимо распределить начисленные проценты
(ставка 14% АСТ/АСТ) по календарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб.):
за период с 1 мая до конца года (244 дня):
за 1999 г.:
;
наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день):
.
Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Такой же результат получим для всего
срока в целом:
10000 * ( 1 , 1 4 2 - 1) =2996
Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В
этом случае говорят, что проценты начисляются т раз в году. В контрактах
обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом
случае называется номинальной.
Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов раз в году. Если номинальную ставку
обозначить через j , то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а
количество начислений равно тп. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
𝑗
𝑠 = 𝑃(1 + )𝑚𝑛
𝑚
Пример . Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет
при росте по сложной ставке 15,5% годовых, если проценты начисляются не
раз в году, а поквартально?
0.155 4∗5
𝑠 = 1000000(1 +
) = 2139049,01 руб.
4
(сравним сумму с примером 1 когда проценты начислялись раз в году)
Заметим, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс).
4
Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в годах для
начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При
этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по
формуле простых процентов:
,
где
– срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему,
так как для п < 1 справедливо соотношение
Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.
Пример Клиент внес в банк 2,5 тыс. руб. под 9,5% годовых. Через 2 года и
270 дней он изъял вклад. Определить полученную сумму 2 способами.
1)
2)
Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная
база для начисления одна и та же, уровень процентных ставок совпадает,
тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простым и сложным процентам
можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной
суммы в n раз. Для этого необходимо, что бы коэффициенты наращения были равны величине n:
1) для простых процентов
5
2) для сложных процентов
Формулы для удвоения капитала имеют вид:
а)
б)
Пример 4.5 Определить время, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза. Используя простую и сложную процентную ставку
равную 10% годовых.
1)
2)
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по
ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой
j/m, то, по определению, можно записать следующее равенство для соответствующих множителей наращения:
𝑗
(1 + 𝑖эф )𝑛 = (1 + )𝑚𝑛
𝑚
где jэф - эффективная ставка;
j - номинальная ставка.
Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками
выражается соотношением:
𝑗
𝑖эф = (1 + )𝑚 − 1
𝑚
Обратная зависимость имеет вид:
1
𝑗 = 𝑚 [(1 + 𝑖эф )𝑚 − 1]
6
Пример. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет
проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение: По формуле, связывающей номинальную и эффективную
ставки, находим
0.1
𝑖эф = (1 + )4 − 1 = 0.1038, т.е. 10,38%.
4
Решение задач
Задача 1. Депозит в размере 500 тыс. руб. внесен в банк на 3 года под
10% сложных годовых. Определить наращенную сумму при: ежегодном, полугодовом,
квартальном
и
ежемесячном.
Ежедневном начислении процентов.
1)
2)
3)
4)
5)
Задача 2. На сумму 600 тыс. руб. ежеквартально по ставке 12% годовых
начисляются сложные проценты в 14 месяцев. Определить величину наращеннойсумм 2 методами.
Задача 3. Определить эффективную ставку в сложных процентах, с тем, что
бы получить такую же наращенную сумму как и при использовании номинальной ставки 18% при ежеквартальном начислении. Проверить полученные результаты при P=400000; n = 2 года.
7
Задача 4. За какой срок сумма 75000 руб. достигнет 200000 при начислении
процентов по сложной ставке 15% и поквартальным начислениям.
8
Пример 1. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8% сложных.
Клиент положил в этот банк 20000 руб. Какая сумма будет на счету
а) через 5 лет, б) через 6 лет и три месяца?.
Решение,
а) По формуле St = P(1+i)t находим S, если
Р = 20000, г = 0.08, п = 5, а именно
S= 20000(1+0.08)5 = 20000×1.469328 = 29386.56 руб.
Заметим, что если бы банк выплачивал 8% простых, то через 5 лет на
счету была бы сумма
S= 20000(1 -I- 0.08×5) = 20000× 1.4 = 28000 руб.
б) В этом случае п = 6.25 и
S= 20000(1+0.08)6.25 = 20000× 1.617702 = 32
354.04 руб.
. Пример начисления сложных процентов
Сложные проценты начисляются ежеквартально. Следует вычислить такую ставку процента за квартал, чтобы годовая доходность эффективность) составляла 20%. В этом примере:
j=20%=0,2, g = ?
g = (1 + 0,2)1/4 - 1 = 0,047 или g = 4,7%
Теперь, наоборот, по квартальной ставке процента 4,7% рассчитаем годовую:
Задачи на расчет сложных процентов
Задача №1. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20
000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.
Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17%
годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля.
Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным
решением, при данном значении процентной ставки.
Задача №2. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей,
положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14%
годовых?
Преобразуем формулу к следующему виду:
(1 + r)n = FV / PV и подставим значения;
1,14n = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log 1,14 20 = 22,86 года.
Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.
9
При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют
приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению
лет.
Задача №3. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10
000 рублей нарастились до30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?
Преобразуем формулу к следующему виду:
r = (FV / PV)1/n - 1 и подставим значения;
r = (30 000 / 10 000)1/5 - 1;
r = 0,24573 или 24,573 %.
Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке
ссудного процента 24,573% .
Задание
У Вас есть свободная сумма PV = 1000 руб., которую Вы намерены пустить в рост на 12
месяцев под сложные проценты. Куда вы положите свои деньги, если доступные альтернативы таковы:
Банк "Алиса" принимает вклады от населения под 16% годовых, начисляемых ежеквартально.
Банк "Базилио" предлагает 12% годовых при ежемесячном начислении.
Отделение иностранного банка "Carabas" дает 20% годовых, выплачиваемых каждые
полгода.
Таблица 6
Сравнение условий приема вкладов по эффективной норме процента
Банк A
("Алиса")
Банк B
("Базилио")
Банк C
("Carabas")
16%
12%
20%
R – номинальная годовая ставка сложных %
4
12
2
m – частота внутригодового начисления %;
4% за квар1% в месяц
тал
10% за полгода
1,044 =
1,12 =
1,0112 =
ставка %, соответствующая длине
внутригодового периода начисления
FV – будущая стоимость вклада через 1 год
(N = 1)
10