Расчет рамы испытывающей сложное сопротивление

Решение:
Построение эпюр N x , Q y , Qz , M x , M y и M z рассмотрим на
конструкции. Система стержней, соединенных, как показано на рис. 1, а,
нагружена силами P1  3 кН , P2  4 кН P3  2 кН q1  3кН / м , q2  4кН / м
М 1  3кН / м , М 2  4кН / м . Допускаемое напряжение на растяжении –
сжатии   = 160 МПа. Первый стержень длиной l1  4 м имеет
прямоугольное сечение с отношением сторон h b  1,5 , второй ( l  3 м) и
2
третий ( l 4  2 м) – круглое сечение.
Для данной конструкции (составного ломаного бруса) можно не
определять реакции в заделке, если все участки рассматривать со стороны
свободного конца конструкции.
Ординаты эпюр откладывают от продольной оси стержней, поэтому в
масштабе надо вычертить четыре контура ломаного бруса, на которых в
дальнейшем будут построены эпюры.
Стержень I. Составим выражения для внутренних усилий в элементах бруса,
пользуясь методом сечений. Возьмем сечение на расстоянии x1 от свободного
конца стержня.
В этом сечении будут действовать силы:
N x  P1  3 кН
QY  q1  x1
при x1  0, QY  0кН
при x1  4, QY  12 кН
QZ  0
M Z  q1 
при x1  0, M Z  0 кН  м
x1
 x1
при x1  4, M Z  24 кН  м
2
M Y  M1  3кНм
MХ 0
Стержень II
В этом сечении будут действовать силы:
Nx  0
QY  q1  4  P2  8кН
QZ  Р1  3кН
M Z  q1  4  x2  Р2  x2
M Y  M 1  Р1  x2
при x2  0, M Z  0 кН  м
при x2  3, M Z  24 кН  м
при x2  0, M Y  3 кН  м
при x2  3, M Y  6кН  м
M Х  q1  4  2  24кН
Стержень III
В этом сечении будут действовать силы:
N x  q1  4  P2  8кН
QY   P3  q2  X 3 
QZ  Р1  3кН
при x3  0, QY  2 кН
при x3  3, QY  6 кН
M Z  M 2  q2 
M Y   Р1  x3
при x3  0, M Z  4 кН  м
x32
 Р3  x3
при x3  2, M Z  8 кН  м
2
при x3  0, M Y  0 кН  м
при x3  2, M Y  6кН  м
M X  M1  Р1  3  6кНм
M Х  q1  4  2  24кН
Эпюры N , Q , M
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
СТЕРЖНЕЙ
На основании построенных эпюр определяем вид деформаций стержней.
Первый стержень работает на косой изгиб, так как изгибается в двух плоскостях
моментами M y , M z . Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении с
наибольшими моментами M y и M z . Условие прочности следует написать для точки,
наиболее удаленной от нейтральной оси, в которой напряжения от обоих моментов будут
одного знака.
Для определения знаков напряжений рассмотрим деформацию стержня. Так, под
действием момента M z верхние волокна растягиваются, нижние сжимаются, под
действием момента M y растягиваются правые, а сжимаются левые волокна. Полученные
знаки напряжений указаны на рисунке.
Запишем условие прочности для опасных точек 2 и 4:
M y max M z max

 [σ].
Wy
Wz
Для нашего случая
24
3
 2  [σ]
2
bh
bh
6
6
или
6 
h 
24  3   [σ].
2 
bh 
b 
По условию h
b
 1,5 , тогда
9
24  3  [σ],
h3
Откуда
924  3 3 9  27 10 3
h3

 0,115 м;
[ 
160
b  h / 1,5  0,08м .
Вычислим нормальные напряжения в точках:
 1, 2,3, 4  
24
3
24  10 3
3  10 3
,




bh2 b 2 h
0,08  0,115 2 0,08 2  0,115
6
6
6
6
откуда:
σ 1  136  24  112 МПа ;
σ 2  136  24  160 МПа ;
σ 3  136  24  112 МПа ;
σ 4  136  24  160 МПа .
Построим эпюры напряжений по контуру сечения. Положительные напряжения
откладываем от контура влево. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.
По эпюрам σ можно определить нулевые точки на контуре сечения и через них провести
нейтральную ось.
Касательные напряжения вычисляем по преобразованной формуле Журавского для
максимальных напряжений в прямоугольном сечении отдельно от Q y и Qz :
z 
3 Qz 3 (12 10 3 )

 1,95 МПа ;
2 bh 2 0,08  0,115
Суммарное касательное напряжение равно геометрической сумме
напряжений, а наибольшее касательное напряжение будет в центре стержня:
 max   z  1,95 МПа ;
 изг  160МПа     160 МПа.
Условие прочности выполняется.
этих
Второй стержень работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением.
Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием
результирующего момента:
M изг  M Z2  M Y2  24 2  12 2  26,8кН  м .
При плоском изгибе нейтральная ось перпендикулярна результирующему моменту,
поэтому её положение легко определяется.
В наиболее удаленных точках от нейтральной оси будут наибольшие нормальные
напряжения изгиба σ изг . Наибольшие касательные напряжения при кручении  кр будут на
окружности стержня. Кроме того, под действием перерезывающей силы возникают касательные
напряжения  изг , достигающие максимума в центре стержня.
Эпюры распределения всех напряжений приведены на рисунке. Напряжения от
перерезывающей и нормальной сил значительно меньше напряжений от изгибающего и крутящего
моментов, поэтому опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной оси точки А и Б.
Здесь материал находится в условиях плоского напряженного состояния.
Условие прочности по IV теории прочности имеет вид:
 2  3 2  [σ]
M изг
M
M
и    кр  x  x ,
W
W р 2W
где W – момент сопротивления относительно оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы, ввиду их малой величины,
можно пренебречь, тогда предварительное условие прочности примет вид:
при σ = σ изг 
2
M изг
 0,75M x2
W
M y2  M z2  0,75M x2
0,1d 3
 [σ],
 [σ],
отсюда
26,8 10 3
 0,14м.
0,1160
Вычислим нормальные и касательные напряжения.
Наибольшее нормальное напряжение от изгиба:
M
26,8  10 3
σ изг  изг 
 97,6МПа.
W
0,1  0,143
Наибольшее касательное напряжение при изгибе:
4Q
4  8 10 3
 изг 

 0,69 МПа.
3F
3,14  0,14 2
3
4
Наибольшее касательное напряжение при кручении:
M
26,8 10 3
 кр  x 
 48,8МПа .
W p 0,2  0,14 3
Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности
d 3
 2  3 2  [σ]:
 изг 2  3 кр2  [σ], 97,62  3  48,82  129 МПа.
условие прочности выполнено.
Третий стержень работает на изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением.
Поперечное сечение стержня круглое, поэтому изгиб будет плоским под действием
результирующего момента:
M изг  M Z2  M Y2  28 2  12 2  30,5кН  м .
При плоском изгибе нейтральная ось перпендикулярна результирующему моменту,
поэтому её положение легко определяется.
В наиболее удаленных точках от нейтральной оси будут наибольшие нормальные
напряжения изгиба σ изг . Наибольшие касательные напряжения при кручении  кр будут на
окружности стержня. Кроме того, под действием перерезывающей силы возникают касательные
напряжения  изг , достигающие максимума в центре стержня, и от нормальной силы – равномерно
распределенные по сечению нормальные напряжения σ N .
Эпюры распределения всех напряжений приведены на рисунке. Напряжения от
перерезывающей и нормальной сил значительно меньше напряжений от изгибающего и крутящего
моментов, поэтому опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной оси точки А и Б.
Здесь материал находится в условиях плоского напряженного состояния.
Условие прочности по IV теории прочности имеет вид:
 2  3 2  [σ]
M изг N
M
M
и    кр  x  x ,

W
F
W р 2W
где W – момент сопротивления относительно оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы, ввиду их малой величины,
можно пренебречь, тогда предварительное условие прочности примет вид:
при σ = σ изг+ σN 
2
M изг
 0,75M x2
W
M y2  M z2  0,75M x2
0,1d 3
отсюда
 [σ],
 [σ],
30,5 10 3
 0,14м.
0,1160
Вычислим нормальные и касательные напряжения.
Наибольшее нормальное напряжение от изгиба:
M
30,5  10 3
σ изг  изг 
 111МПа.
W
0,1  0,143
Наибольшее касательное напряжение при изгибе:
4Q
4  3 10 3
 изг 

 0,26 МПа.
3F
3,14  0,14 2
3
4
Наибольшее касательное напряжение при кручении:
M
30,5 10 3
 кр  x 
 55,5МПа .
W p 0,2  0,14 3
Нормальное напряжение от продольной силы:
3
σ N  N  8 10
 0,52МПа .
F 3,14  0,14 2
4
Из расчетов видно, что σ N и  изг действительно значительно меньше σ изг и  кр . Строго
d 3
говоря, нормальная сила смещает нейтральную ось от центра тяжести сечения. Определить новое
положение нейтральной оси можно графически по суммарной эпюре нормальных напряжений или
вычислить аналитически.
Обозначим смещение нейтральной оси с центра тяжести через u. Нормальные напряжения
на нейтральной оси равны нулю. Тогда уравнение примет вид:
M u N
 изг   0,
J
F
отсюда
d 4
N
2
64  8  0.14  3,2 10 4 м .
u
d 4 30,5 16
M изг 
4
Для окончательной проверки подставим вычисленные напряжения в условие прочности
  3 2  [σ]:
2
 изг   N 2  3 кр2
 [σ], 1112  3  55,52  146,8 МПа.
условие прочности выполнено.
ВЫБОР НАИБОЛЕЕ ЭКОНОМИЧНОГО ПРОФИЛЯ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
Пусть в рамках рассматриваемого примера площадь поперечного сечения стержня на всех
четырех участках одинакова. Необходимо выбрать наиболее экономичный, с точки зрения
металлоемкости, профиль из следующих двух: круглый; прямоугольный с соотношением сторон
h / b  1,5 ; и круглого трубчатый с соотношением диаметров d / D  0,75 (здесь D, d –
соответственно наружный и внутренний диаметры).
На основании построенных эпюр определим опасное сечение стержня. Для нашего
примера оно будет находиться в точке с наибольшими значениями изгибающего и крутящего
моментов, т.е. в заделке. Стержень на этом участке работает на изгиб в двух плоскостях с
кручением и растяжением.
Условие прочности (по III теории прочности) имеет вид:
 2  4 2  [σ],
где
M изг N
 ;
W
F
Mх Mх
   кр 

.
Wp 2W
При подборе сечения напряжениями от нормальной силы N, ввиду их малости, можно
пренебречь, тогда условие прочности примет вид:
σ =σизг+ σраст 
M z2  M y2  M х2
W
откуда
W
M z2  M y2  M х2
 

 [σ],
10 3  30,5
 190  10 6 м 3 .
160
Определим площади поперечных сечений для различных профилей стержня.
Для круга:
W  0,1d 3 ;
d  3 10W  3 10 *190 106  0.124 м;
F1 
d 2
4

3.14  0.124 2
 12  10 3 м 2 .
4
Для прямоугольника:
W
bh2
;
6
h  3 6W  0,108м ,
тогда b  h / 1,5  0,072 м2; F2  bh  7,77 10 3 м 2
Для трубчатого сечения:
D 3
W
(1   4 ),
32
где   d  0,75 ,
D
тогда
32W
 0.133 м;
 (1   4 )
d  0,75 D  0.1 м;
D3
F3 

4
( D 2  d 2 )  6  10 3 м 2
Таким образом, наименьшую площадь поперечного сечения имеет трубчатый профиль, т.е.
он является наиболее экономичным по металлоемкости.