Глава 4. Практические приложения

Глава 4. Практические приложения
§1. Кредитные расчёты
Выданный заём P0 под i сложных годовых процентов необходимо погасить через n лет, причём
𝑃
равная доля основного долга, т.е. сумма 0, выплачивается в конце каждого года. Кроме того в конце
𝑛
каждого года платятся проценты с сумы P0, которой пользовались в течение этого года, которые за один год
составляю i·P0, за k + 1 год i·(P0 – k· P0/n). Таким образом, в конце первого года сумма необходимая для
выплаты составляет величину R1 = P0/n + i·P0, в конце 2-го года − R2 = P0/n + i(P0 – P0/n) и т.д., в конце k + 1
года: Rk = P0/n + i·(P0 – k·P0/n), в конце n-го года − Rn = P0/n + i·P0/n.
◄ Пример.
Пусть в банке выдан кредит в размере 6 000 руб. на срок 6 лет под сложные проценты 11 % годовых.
Определит график выплаты кредита, переплату по кредиту и доходность банка.
Дано:
P0 = 6 000 руб.
n = 6 лет
i = 0,11
Решение:
№
года
Остаток
Ежегодная
выплата
0
1
2
3
4
5
6
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
−
1000
1000
1000
1000
1000
1000
Ri − ?
D−?
r−?
Процент за
пользование
кредитом
−
660
550
440
330
220
110
Всего за
год
−
1660
1550
1440
1330
1220
1110
8310
D = Sn − P0 = 8310 – 6000 = 2 310 руб.
𝑆 −𝑃
2310
𝑟= 𝑛 0=
= 0,385 или 38,5 %.
𝑃0
6000
Ответ: переплата по кредиту равна 2 310 руб.; доходность банка равна
38,5 %. ►
§2. Конверсия валюты и начисление процентов
При рассмотрении вопросов конверсии (обмена) валюты и наращения процентов, размещая
имеющиеся денежные средства в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту,
возможны четыре варианта наращения процентов:
1. Без конверсии, когда валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение
первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы процентов.
2. С конверсией, при этом валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой
ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту.
3. Без конверсии, в этом случае рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который
начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.
4. С конверсией, когда рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту и
инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце
операции вновь конвертируется в рубли.
Рассмотрим операции наращения с двойной конверсией (варианты 2 и 4) для простой процентной
ставки.
Введем обозначения:
Рv − сумма депозита в валюте,
Рr − сумма депозита в рублях,
Sv − наращенная сумма в валюте,
Sr− наращенная сумма в рублях,
K0 − курс обмена в начале операции,
K1 − курс обмена в конце операции,
п − срок депозита,
i − ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),
j − ставка наращения для конкретной валюты.
1. ВАЛЮТА  РУБЛИ  РУБЛИ  ВАЛЮТА.
Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте имеет вид:
𝑃 ∙𝐾 ∙(1+𝑛𝑖)
𝑆𝑣 = 𝑣 0
(4.2.1)
𝐾1
Множитель наращения с учетом двойного конвертирования имеет вид:
𝐾
1+𝑛𝑖
1+𝑛𝑖
𝑚 = 0 ∙ (1 + 𝑛𝑖) = ⁄ =
где 𝑘 =
𝐾1
𝐾0
𝐾1
𝐾1 𝐾0
(4.2.2)
𝑘
темп роста обменного курса за срок операции.
Доходность операции определяется по формуле:
𝑆 −𝑃
𝑖= 𝑣 𝑣
(4.2.3)
𝑃𝑣 ∙𝑛
Если подставить в формулу (4.2.3) выражение для Sv, (4.2.1), то получим эффективную ставку:
𝑖э =
𝐾
𝑃𝑣 ∙ 0 ∙ (1+𝑛𝑖)−𝑃𝑣
𝐾1
𝑃𝑣 ∙𝑛
=
𝐾0
∙ (1+𝑛𝑖)−1
𝐾1
𝑛
1
1+𝑛𝑖
𝑘
𝑛
= ∙
−
1
𝑛
(4.2.3)
Из (4.2.3) можно сделать вывод, что с увеличением k доходность или эффективная ставка iэ падает,
при k = 1 доходность данной операции равна рублёвой ставке процентов, т.е. iэ = i. Если k > 1, то доходность
операции меньше рублёвой ставки iэ < i, если k < 1, то больше − iэ > i.
При некотором критическом значении k*, доходность операции равна 0 (iэ = 0). В этом случае
k* = 1 + ni,
(4.2.4)
или
𝐾1∗ = 𝐾0 ∙ (1 + 𝑛𝑖)
(4.2.5)
∗
Т.е. если величины k или 𝐾1 превышают критические значения, то операция убыточна.
Максимально допустимое значение курса обмена в конце операции К1 при котором эффективность
будет равна существующей ставке по депозитам в валюте имеет вид:
𝐾
1+𝑛𝑖
max 𝑘 = 1 =
(4.2.6)
𝐾0
или
1+𝑛𝑗
max 𝐾1 = 𝐾0 ∙
1+𝑛𝑖
1+𝑛𝑗
,
(4.2.7)
где i и j – множители наращения двух альтернативных операций.
Таким образом, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1, то депозит валюты
через конверсию в рубли выгоднее валютного депозита
2. РУБЛИ  ВАЛЮТА  ВАЛЮТА  РУБЛИ.
Множитель наращения в данном случае находится по формуле:
𝑃 ∙𝐾 ∙(1+𝑛𝑗)
𝑆𝑟 = 𝑟 1
(4.2.8)
𝐾0
Доходность операции определяется по формуле:
𝑖э =
𝑆𝑟 −𝑃𝑟
𝑃𝑟∙𝑛
=
𝐾
𝑃𝑟 ∙ 1 ∙ (1+𝑛𝑗)−𝑃𝑟
𝐾0
𝑃𝑟∙𝑛
=
𝐾1
∙ (1+𝑛𝑗)−1
𝐾0
𝑛
=
𝑘 ∙ (1+𝑛𝑗)−1
𝑛
(4.2.9)
Зависимость показателя эффективности iэ от k линейная, iэ = j при k = 1, it > j при k > 1, iэ < j при k < 1.
Критические значения k*, при которых iэ = 0 имеют вид:
1
𝐾
𝑘∗ =
или 𝐾1∗ = 0 .
(4.2.10)
1+𝑛𝑗
1+𝑛𝑗
Если ожидаемые величины k или К1 меньше своих критических значений, то операция убыточна.
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции),
обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, имеет вид:
1+𝑛𝑖
min 𝑘 =
(4.2.6)
1+𝑛𝑗
или
min 𝐾1 = 𝐾0 ∙
1+𝑛𝑖
1+𝑛𝑗
,
(4.2.7)
Таким образом, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K1, то депозит
рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита.
Рассмотрим операции наращения с двойной конверсией (вариант 2) для сложной процентной
ставки.
ВАЛЮТА  РУБЛИ  РУБЛИ  ВАЛЮТА.
Формула наращённой суммы для сложных процентов имеет вид:
𝑆𝑣 =
𝑃𝑣 ∙𝐾0 ∙(1+𝑖)𝑛
где i − ставка сложных процентов.
Множитель наращения находится по формуле:
𝑚=
𝐾0
𝐾1
(4.2.8)
𝐾1
(1 + 𝑖)𝑛 =
(1+𝑖)𝑛
𝐾1 ⁄𝐾0
=
(1+𝑖)𝑛
𝑘
(4.2.9)
𝑛 𝑆
Т.к. из формулы сложных процентов 𝑖э = √ 𝑣 − 1, то эффективная процентная ставка имеет вид:
𝑃
𝑣
𝑛 𝑃 (1+𝑖)𝑛 ∙ 𝐾0
𝑣
𝐾1
𝑖э = √
𝑃𝑣
−1=
1+𝑖
𝑛
√𝑘
− 1,
(4.2.10)
т.е. с увеличением темпа роста k эффективность iэ падает, причём при k = 1 iэ = i, при k > 1 iэ < i, а
при k < 1 iэ > i.
Если эффективность операции равна нулю, критическое значение k определяется следующим
образом:
k* = (1 + i)n,
(4.2.11)
т.е. среднегодовой темп роста курса валюты равен годовому темпу наращения по рублевой ставке.
Операция с двойной конверсией считается убыточной (iэ < 0), если ожидаемые величины k или К1
больше своих критических значений.
Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при
прямом инвестировании валютных средств по ставке j, находится по формуле:
𝑘𝑚𝑎𝑥 =
(1+𝑖)𝑛
(1+𝑗)𝑛
или max 𝐾1 = 𝐾0
(1+𝑖)𝑛
(1+𝑗)𝑛
(4.2.12)
Таким образом, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1, то депозит валюты
через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита.