новая Часть 3

Часть 3. Прочность дисков компрессоров и турбин ГТД
Лекция 3.1. Расчет на прочность дисков компрессоров и турбин. Основные
расчётные соотношения
Условия работы и требования, предъявляемые к дискам. Нагрузки, действующие на диск.
Задачи расчета на прочность и жесткость. Основные расчетные соотношения
3.1.1. Условия работы, нагрузки, действующие на диск и требования,
предъявляемые к дискам рабочих колёс ГТД
При работе турбины на диск действуют центробежные силы собственной массы
диска и массы рабочих лопаток турбины, газовые силы и моменты, создаваемые
этими силами, термические нагрузки, возникающие вследствие неравномерного
нагрева по радиусу и толщине диска. Диск испытывает, кроме того, действие
гироскопических моментов, возникающих при эволюциях самолёта в полёте или при
изгибе вала турбины.
Осевые составляющие газовых сил, действующих на лопатки и тело диска,
создают момент, изгибающий диск. Окружные составляющие газовых сил создают
крутящий момент, передаваемый диском на вал турбокомпрессора.
Температурные напряжения возникают при работе двигателя на
неустановившихся режимах в процессе запуска и остановки двигателя, когда
особенно велики градиенты температуры в диске. На режиме запуска обод диска
нагревается быстрее, чем его центральная часть. Из- за этого внешняя более нагретая
часть диска стремится к расширению в радиальном и окружном направлениях в
большей степени, чем менее нагретая внутренняя часть, препятствующая такому
расширению. Поэтому на ободе диска возникают большие окружные напряжения
сжатия. По мере прогрева диска величина температурных напряжений уменьшается.
Однако и на установившихся режимах работы двигателя температура центральной
части диска остаётся меньшей, чем у обода. Так, например, на одном из реальных
двигателей измеренная температура в центре диска составила 1500С, а у обода –
около 5000С. Суммарные температурные напряжения при этом были равны 250 МПа.
Другим опасным для прочности диска режимом может оказаться остановка
двигателя, когда обод охлаждается быстрее, чем центральная часть диска.
Стремление к снижению массы приводит к высоким рабочим напряжениям. В
некоторых случаях эти напряжения могут превосходить предел упругости и предел
текучести материала, в результате чего деформации наиболее нагруженных участков
диска будут носить пластический характер. С появлением пластических деформаций
напряжения в диске будут распределяться, изменяя всю картину напряжённого
состояния. При высоких температурах заметное влияние на прочность диска может
оказать ползучесть материала. В этих случаях для суждения о действительной
напряжённости диска расчёт его на прочность должен производиться с учётом
пластических деформаций и ползучести.
Задача о проверке статической прочности диска заключается в определении
напряжений, возникающих под действием эксплуатационных нагрузок. Сравнение
их с допустимыми напряжениями позволяет оценить работоспособность
73
конструкции. Оценка прочности диска может также производиться путём сравнения
рабочей частоты вращения ротора с частотой вращения, при которой происходит
разрушение диска или резкое увеличение его размеров по причине текучести
материала. В такой постановке задача составляет содержание проверочного расчёта
прочности диска.
При проектировании двигателя целесообразно решать обратную задачу, когда
по выбранным запасам прочности или допустимым напряжениям определяется закон
изменения толщины диска по его радиусу. Эта задача составляет суть
проектировочного расчёта и называется обычно задачей профилирования диска.
К диску турбины как одному из основных элементов газотурбинного
авиационного двигателя предъявляются требования минимальной массы
конструкции и высокой механической надёжности в течение всего срока
эксплуатации. Эти требования могут быть удовлетворены путём использования для
изготовления диска
жаропрочных высоколегированных сталей, организацией
надёжного охлаждения конструкции, грамотным профилированием диска на базе
возможно более точных расчётов статической и динамической прочности.
3.1.2. Основные расчётные соотношения
Сложность формы дисков и характера их комплексного нагружения приводит к
необходимости использования при их расчёте ряда допущений, которые сводятся к
следующему.
Рассматривается осесимметричный и симметричный в сечении относительно
нормальной к оси вращения плоскости диск, очертания профиля которого образуют
плавную линию.
Напряжения кручения и изгиба диска из плоскости вращения обычно невелики в
сравнении с напряжениями от центробежных сил и поэтому в расчёте не
учитываются.
Напряжения по толщине диска
считаются постоянными.
Диск
испытывает
воздействие
центробежных сил и неравномерного
нагрева.
Контурная нагрузка от центробежных
сил лопаток считается осесимметричной и
равномерно распределённой по контуру
диска.
Материал диска работает в области
линейной упругости.
Для вывода основных расчётных
Рис. 3.1 Элемент диска
соотношений рассматривается элемент диска
(рис.3.1), выделенный двумя плоскими сечениями, проходящими через ось вращения
диска под углом  друг к другу , и двумя цилиндрическими поверхностями с
радиусами r и r  r , оси которых совпадают с осью ротора.
74
Уравнение равновесия элемента можно получить, спроектировав все силы на
направление радиуса. В предположении малости угла 
РЦ  dR  T  0 ,
(3.1)
где Р Ц  центробежная сила элемента.
С точностью до малых второго порядка
РЦ   2  h r 2 dr ,
T   t hdr ,
(3.2)
dR  d ( r hr ).
Здесь   частота вращения диска,
  массовая плотность материала,
h  толщина элемента диска,
 r и  е  Радиальные и окружные напряжения в элементе.
В результате подстановки выражений (3.2) в уравнение (3.1) и деления всех
членов на dr , получим
d
( к hr )   t h   2 r 2 h  0.
dr
не содержится  , что
(3.3)
В уравнении (3.3)
является следствием
осесимметричности как самого диска, так и действующих нагрузок. В то же время
замечаем, что в уравнении фигурируют два неизвестных  r и  t - радиальные и
окружные напряжения. Дополнительные условия связи между ними можно найти из
рассмотрения деформаций элемента (рис.3.2)
Рис. 3.2. Деформации элемента
В обозначении радиальных перемещений через
деформация элемента запишется в виде:
r 
а в окружном направлении:
t 

полная радиальная
d
,
dr
(  r )  r 
 .
r
r
75
Закон Гука для двухосного напряжённого состояния с учётом температурных
деформаций  Т  Т :
r 
1
1
( r   t )  Т ,  t  ( t   r )  Т ,
E
E
(3.4)
где Е и   модуль упругости и коэффициент Пуассона материала диска,
  коэффициент линейного расширения,
T  температурный нагрев диска.
Или после подстановки выражений для упругих деформаций:
в
1
 T  ( r   t ),
dr
E

1
   ( е   к ).
r
Е
(3.5)
Дифференцирование второго уравнения (3.5) и подстановка его в первое
приводят к получению уравнения совместности деформаций, выраженных в
напряжениях, которое в предположении независимости модуля упругости от нагрева
имеет вид:
d
[r ( t   r  T )]   r   t  ET .
dr
(3.6)
Теперь уравнения (3.1) и (3.6) составляют замкнутую систему для определения
радиальных и окружных напряжений в диске. В общем случае переменного по
радиусу профиля диска эта система не решается в квадратурах и может быть решена
одним из приближенных способов.
При решении задачи профилирования диска уравнение совместности
деформаций может быть использовано следующим образом.
Задавая картину распределения напряжений по радиусу, например,  r  f1 (r ) , по
уравнению совместности определяют  t  f 2 (r ) . Подставляя затем эти функции в
уравнение равновесия (3.1), определяют из него закон изменения толщины диска по
радиусу, т. е. профиль диска h  f (r ) .
Проверочный расчет диска заданного профиля может быть построен в двух
вариантах.
В первом варианте, исключая из уравнения равновесия одно из напряжений,
например,  t , получают уравнение второго порядка относительно  r , решают его
приближённо и из уравнения совместности находят  t . Далее производится расчет
второго и последующих приближений до достижения необходимой точности.
Во втором варианте проверочного расчёта выражают напряжения с помощью
закона Гука через радиальную деформацию  и подставляют полученные
напряжения в уравнение равновесия. При этом получается дифференциальное
уравнение второго порядка с переменными коэффициентами относительно
неизвестной деформации  . Это уравнение может быть точно решено только для
диска гиперболического профиля, Для дисков конического и эллиптического
профилей решение получается в виде ряда. В общем случае решение может быть
получено лишь приближёнными методами.
76
Для того, чтобы сделать ряд качественных выводов об особенностях
напряжённого состояния под действием основных нагрузок и в чисто методических
целях, целесообразно рассмотреть расчёт диска постоянного сечения.
77
Лекция 3.2. Диск постоянной толщины
Определение напряжений и деформаций в диске постоянной толщины
3.2.1.Напряжения в диске постоянной толщины
Для диска постоянной толщины ( h  Cоnst ) уравнение равновесия (3.1)
записывается в виде:
d r
(3.7)
  r   t   2 r  0.
dr
В качестве второго соотношения для  к и  е можно было бы использовать
r
уравнение совместности деформаций (3.6). Однако тот же результат с некоторым
сокращением выкладок можно получить, воспользовавшись выражениями для
напряжений из закона Гука:
1
d

[    (1   )T ],
2
r
1   dr
1

d
t 
[ 
 (1   )T ]
2
dr
1  r
r 
(3.8)
Считая  ,  и E неизменными по радиусу (не зависящими от температуры),
подставим выражения для  r и  t в уравнение (3.8). После некоторых
преобразований это уравнение приобретает вид:
d 1 d
dT
[
(r )]  (1   )
 Ar ,
dr r dr
dr
1  2
A
 2
E
где
Дважды интегрируя левую и правую части этого уравнения получим выражение
для радиальных перемещений:
1  r
r3
1
 (r )  
Trdr  A  B1r  B2 ,

r
0
r
8
r
(3.9)
где r0  радиус полярного отверстия диска,
B1 и B2  константы интегрирования, определяемые из граничных условий.
Продифференцируем полученное выражение для перемещений  :
d
1  r
3r 2
1
 (1   )T   2  Trdr 
 B1  B2 2 .
r
0
dr
8
r
r
Подставив полученные выражения (3.9) и (3.10) для  и
(3.10)
d
в формулы для
dr
напряжений (3.8) после ряда преобразований, получим их в следующем
окончательном виде:
1 3   2 2 E r

r   2  Trdr ,
8
r2
r r0
1 1  3 2 2 E r
 t  K1  K 3 2 
r   2  Trdr  ET ,
8
r
r r0
 r  K1  K 2
(3.11)
где
K1 
B1 E
B E
, K2  2 .
1 
1 
78
Эти формулы являются наиболее общими в том смысле, что они учитывают
основные виды нагрузок: от центробежных сил самого диска, от неравномерного
нагрева, от контурной нагрузки и от посадки на вал с натягом. Первые два вида
нагрузок входят в формулы явно, вторые – через константы K1 и K 2 . Для
определения этих постоянных необходимо записать граничные условия, т.е. знать  r
и  t для одного какого – либо фиксированного радиуса, либо  r (или  t ) для двух
различных радиусов.
Практически всегда известна контурная нагрузка на внешнем радиусе от
центробежных сил лопаток  ra   л .
В случае диска с отверстием, кроме того, известны радиальные напряжения на
поверхности отверстия: при посадке на вал с натягом  r 0   Н , на поверхности
свободного отверстия радиальные напряжения отсутствуют  r 9  0 .
В случае сплошного диска радиальные и окружные напряжения в центре диска
равны между собой.
3.2.2.Диск постоянной толщины с ободом
Расчёт напряжений в диске постоянной толщины с ободом (рис.3.3) можно
производить, считая диск тонким кольцом, которое нагружено центробежными
силами самого обода, лопаток и реакциями связи с диском.
Рис. 3.3. Расчётная схема диска с ободом
Окружные напряжения в таком ободе:
 ОБ   a 2  2   Л
a


ha
.
FОБ
(3.11)
Первые два члена правой части есть составляющие напряжений от
центробежных сил массы самого обода и лопаток, последний член – напряжения в
ободе от сил связи с диском. Знак минус указывает направление сил связи.
Действительно, если всю внутреннюю поверхность обода считать нагруженной
силами связи с диском равномерно, то радиальные напряжения на ней равны  
h
.
hОБ
Окружные напряжения в ободе от этой радиальной нагрузки, очевидно, будут:

h a
ha
 
.
hОБ 
FОБ
79
Напряжения во вращающемся неравномерно нагретом диске h  Const с
нагруженным центральным отверстием и радиальной нагрузкой по внешнему
контуру  , заменяющей действие обода, определяются по формулам (3.11).
В предположении параболического закона изменения температуры T  qr 2 и
известных окружных напряжений натяга в отверстии  t 0 , опуская несложные
выкладки по определению констант интегрирования K1 и K 2 , приведем
окончательные выражения для напряжений при r  a :
 ra   ,
 ta 
 2
4
[(3   )r 2  (1   )a 2 ]  
a 2  r02 ETa
r02

(
1

).
2
a 2  r02
a2
(3.12)
Условия совместности деформаций требуют равенства перемещений диска с
ободом по контактной поверхности:
 aД   aОБ .
Радиальное перемещение диска:
 aД 
a
( ta   )  a (T0  Ta ) .
E
Радиальное перемещение обода:
 aОБ 
a
 0ОБ  a (T0  Ta ) .
E
Здесь T0  температура нагрева центра диска,
Ta  превышение температуры обода над температурой центра диска.
Следовательно,
 0ОБ   ta   .
Отсюда после подстановки значений  0ОБ и  ta следует выражение для
напряжений связи диска с ободом:
2r02
Ta
r02
3 
a
2
2
2
 (a  r0 )   Л   t 0 2
 E (1  2 )
4
8
2
a  r02
a
.

2
2
ha a  r0


FОБ a 2  r02
(3.13)
Вычислив напряжения связи по формуле (3.13) и подставив их значение в
выражения (3.11) и (3.12), можно получить напряжения в ободе и значения  ra и  ta ,
которые затем используются в качестве граничных условий для расчёта напряжений
в диске.
80
Лекция 3.3. Распределение напряжений в диске постоянной толщины при
раздельном действии эксплуатационных нагрузок
Определение напряжений и деформаций в диске постоянной толщины при раздельном
действии нагрузок от центробежных сил самого диска, от контурной нагрузки, от посадки диска
на вал с натягом, от неравномерного нагрева. Влияние конструкции диска и эксплуатационных
факторов на величину и распределение напряжений и деформаций
Для анализа особенностей напряжённого состояния диска от каждого вида
нагрузки следует в расчётных формулах (3.11) остальные нагрузки положить
равными нулю.
Рассмотрим напряжения в диске постоянной толщины при раздельном действии
каждой из видов нагрузки.
3.3.1.Напряжения в диске постоянной толщины только от контурной нагрузки
на ободе
В этом случае рассматривается распределение напряжений от контурной
растягивающей осесимметричной нагрузки  ra  0 равномерно нагретого ( Т  0 )
невращающегося (   0 ) диска. При этих исходных данных формулы (3.11)
приобретают вид:
K2
,
r2
(3.14)
K2
 t  K1  2 .
r
Используем для определения постоянных K1 и K 2 граничные условия.
Для сплошного диска при r  0  r   t , при r  a  r   ra .
 r  K1 
Отсюда следует:
 r   t   ra  Const ,
Таким образом, в сплошном диске постоянного сечения радиальные и окружные
напряжения одинаковы во всех сечениях диска и равны напряжениям от контурной
нагрузки.
Для диска с отверстием на поверхности отверстия r  r0  r 0  0 :
K1   ra
a 2 r02
a2
, K 2   ra 2
a 2  r02
a  r02
Напряжения:
 r   ra
a 2 r 2  r02
,
r 2 a 2  r02
 t   ra
a 2 r 2  r02
.
r 2 a 2  r02
На рис.3.4 показаны эпюры напряжений в сплошном диске и диске с
отверстием. Максимальные напряжения  t в диске с малым отверстием r0  0 вдвое
больше, чем в сплошном диске без отверстия. При увеличении радиуса отверстия
81
окружные напряжения
  a  r0 .
безгранично возрастают. В тонком кольце толщиной
окружные напряжения равны:
 t   ra
a

.
Рис. 3.4. Напряжения в диске постоянного сечения только от контурной нагрузки
3.3.2.Напряжения в диске постоянного сечения только от посадки на вал с
натягом
В этом случае диск не подвержен воздействию неравномерного нагрева ( T  0 ),
контурная нагрузка отсутствует (  ra  0 ), диск не вращается (   0 ). Действие натяга
от посадки на вал выражается в том, что на поверхности отверстия r  r0 напряжения
 r0  0 .
Исходные формулы для напряжений остаются такими же как и в предыдущем
случае (3.14), но граничные условия меняются:
при r  a , как уже отмечено выше,
 ra  0 , при r  r0  r   r 0 . Знак минус свидетельствует о том, что материал диска в
районе отверстия испытывает от натяга сжатие.
Использование граничных условий позволяет получить значение констант K1 и
K 2 в виде:
K1   r 0
a 2 r02
a2
,
K


.
2
ro
a 2  r02
a 2  r02
82
Напряжения в диске:
 к   к 0
r02 a 2  r 2
,
r 2 a 2  r02
 t   r 0
r02 a 2  r 2
.
r 2 a 2  r02
Для анализа распределения напряжений по радиусу диска от посадки на вал с
натягом можно пользоваться графиками рис. 3.4, если вместо
вместо
r

читать r и
 ra
 r0
t
t
читать
, а значения относительных напряжений снимать с правой
 t0
 ta
шкалы.
Увеличение размеров отверстия при постоянном удельном давлении натяга
вызывает рост  t .
3.3.3.Напряжения в диске постоянного сечения только от центробежных сил
самого диска
Диск вращается с частотой   0 , нагрев диска отсутствует (   0, T  0 ),
радиальные напряжения на внешнем контуре и на поверхности отверстия также
равны нулю (  r 0   ra  0 ).
Общие формулы для напряжений (3.11) для этого случая приобретают вид:
1 3  2 2

r  ,
8
r2
1 1  3 2 2
 t  K1  K 2 2 
r  .
8
r
 к  K1  K 2
Граничные условия:
- для сплошного диска на внешнем контуре при r  a  ra  0 , в центре диска при
r  0 радиальные и окружные напряжения одинаковы  r 0   t 0 ,
- для диска с отверстием радиальные напряжения на внешнем контуре также
равны нулю, а на поверхности отверстия при r  0  r 0  0 .
Определив константы K1 и K 2 , получим:
для сплошного диска:
3 
2 (a 2  r 2 ),
8
3 
1  3
t 
2 (a 2  r 2
;
8
3 
r 
для диска с отверстием:
a 2 r02
3 
2
2
2
2
к 
 (a  r0  r  2 ),
8
r
3 
1  3 a 2 r02
t 
 2 (a 2  r02  r 2
 2 ).
8
3 
r
На рис. 3.5 показаны эпюры напряжений в сплошном диске и диске с
отверстием при вращении с частотой  .
83
Как и ранее, малое отверстие в центре диска вызывает увеличение вдвое
максимального значения окружных напряжений  t в сравнении с напряжениями в
центре сплошного диска. Увеличение размеров центрального отверстия приводит к
незначительному росту окружных и уменьшению радиальных напряжений. В
предельном случае тонкого кольца:
 r  0,  t  a 2  2 .
Для стали (   0,3 ) выражение
3 
 0,41 . Отсюда максимальные напряжения в
8
центре сплошного диска примерно в 2,5 раза меньше, чем в тонком кольце.
Рис.3.5.Напряжения в диске постоянного сечения только от центробежных сил самого диска
3.3.4.Напряжения в диске постоянного сечения только от неравномерного
нагрева
В этом случае частота вращения равна нулю (   0 ), радиальные напряжения на
внешнем контуре и поверхности центрального отверстия отсутствуют
(  ra  0 ? r 0  0 ).
Общие формулы для напряжений имеют вид:
1 E r

Trdr ,
r 2 r 2 r0
1 E r
 t  K1  K 2 2  2  Trdr  ET .
r
r r0
 r  K1  K 2
Граничные условия остаются теми же, что и в предыдущем случае. Используя
эти условия для определения K1 и K 2 , получим расчётные формулы:
для сплошного диска:
1 r
1 r
Trdr

Trdr ),
a 2 0
r 2 0
1 r
1 r
 t   E ( 2  Trdr  2  Trdr  T );
a 0
r 0
 r   E(
84
для диска с отверстием:
r 
r 
r
r 2  r02
E r
E  Trdr  2  Trdr ,
2
2
2
r0
r (a  r0 )
r r0
r
r 2  r02
E r

E
Trdr

Trdr  ЕТ
r 2 (a 2  r02 ) r0
r 2 r0
Характер изменения напряжений зависит от вида функции T  f (r ) . При
линейном законе изменения температуры по радиусу формулы напряжений
приобретают следующий вид.
Для сплошного диска:
ETa
r
(1  ),
3
a
ETa
2r
t 
(1  ).
3
a
r 
Таким образом, при линейном законе изменения температуры по радиусу диска
постоянного сечения напряжения в нём меняются также линейно (рис.3.6).
Рис.3.6.Распределение напряжений в диске постоянного сечения только от неравномерного нагрева
при линейном изменении температуры по радиусу
При более нагретой периферийной части диска в его крайних волокнах за счёт
стеснения их удлинению менее нагретой средней частью возникают окружные
напряжения сжатия. Центральная часть диска испытывает растяжение более
85
нагретой частью диска. Из условий равновесия половины неравномерно нагретого
диска необходимо, чтобы площадь эпюры окружных напряжений была равна нулю.
Это осуществляется при равных значениях разного знака в центре и при r  a за счёт
того, что при r 
a
t  0.
2
В радиальном направлении весь диск, кроме внешней границы, растянут.
Для диска с отверстием расчётные формулы:
ETa a 2  r03
a 2 r02
к 
[
r 2
],
3a a 2  r02
r (a  r0 )
ETa a 2  r03
a 2 r02
t 
[
 2r  2
].
3a a 2  r02
r (a  r0 )
На рис. 3.7 показаны эпюры напряжений для диска с отверстиями различного
радиуса. Малое отверстие увеличивает максимальные окружные напряжения вдвое
по сравнению с напряжениями сплошного диска. Увеличение диаметра отверстия
ведёт к снижению окружных и радиальных напряжений.
86
Лекция 3.4. Диск произвольного профиля
Расчет напряжений и деформаций в диске произвольного профиля. Метод прямой и
обратной прогонки. Порядок расчёта диска методом прогонки. Суть методов конечных разностей
и конечного элемента
3.4.1.Метод прямой и обратной (двойной) прогонки
3.4.1.1.Вывод расчётных формул
Точные решения основных дифференциальных уравнений напряжённого
состояния диска могут быть получены для ограниченного числа профилей. Поэтому
при расчёте на прочность диска произвольного профиля применяются
приближённые методы определения напряжений в диске. Одним из таких методов
является метод прямой и обратной прогонки, который чаще называют методом
двойной прогонки.
При расчёте с помощью этого метода действительный профиль диска заменяют
ступенчатым, состоящим из участков постоянной толщины (рис 3.7). Тем самым
диск переменного сечения приближённо заменяют диском, собранным из колец
постоянной толщины, для расчёта которых
справедливы полученные ранее
формулы (3.11).
1 3   2 2 E r

r   2  Trdr ,
8
r2
r r0
1 1  3 2 2 E r
 t  K1  K 3 2 
r   2  Trdr  ET ,
8
r
r r0
 r  K1  K 2
где
K1 
B1 E
B E
, K2  2 .
1 
1 
Рис. 3.7. Расчётная схема диска переменного сечения
87
Положим, что напряжения на внутреннем контуре кольца с номером i , для
которых приняты обозначения  ti и  ri , известны. Тогда, выразив через них
постоянные K1 и K 2 , после преобразований получим следующие формулы:
 ri  a ri  b ti  Ck r 
 t  b ri  a ti  Ckt 
i
E
r2
E
r2

r
ri i

r
ri i
Trdr  bETi ,
Trdr  E (aTi  T ) .
Здесь использованы следующие новые обозначения:
ri 2
ri 2
1
1
nr об
a  (1  2 ), b  (1  2 ), C  ( 4 ),
см 2 ,
2
2
r
r
10 мин
2
6
 10
kr 
[1    (1   )a]b, кгсек 2 см 4 ,
18
 2 10 6
kt 
[1    (1   )a]b, кгсек 2 см 4 .
18
Коэффициенты a и b зависят только от отношения радиусов
ri
. Это же
r
относится к коэффициентам k r и k t , если плотность материала диска не меняется по
радиусу. Таким образом, вычисление этих коэффициентов может быть заменено
использованием готовых графиков (рис.3.8).
Рис. 3.8.Графики зависимости коэффициентов от отношения радиусов
Достаточную для практических целей точность даёт замена действительного
распределения температуры по радиусу кольца параболой T  qr 2 . При такой
зависимости:
E
1
  tEb ,
2
r ri
r
E
1
 2  Trdr  E[aTi  T )   tE (1  a),
r
2
r i

где
2
r
 Trdr  bET
i
t  T  Ti .
88
Рабочие формулы для определения напряжений в кольце постоянной толщины
по известным напряжениям на внутренней его поверхности приобретают следующий
вид:
1
2
1
 t  b ri  a ti  Ck t  tE (1  a) .
2
 r  a ri  b ti  Ck r  tEb ,
(3.15)
(3.16)
Эти формулы пригодны и для сплошного диска. В этом случае напряжения в
центре  r 0   t 0 .
Теперь выведем “формулы перехода”, позволяющие определить изменение
напряжений при ступенчатом изменении толщины диска (рис.3.9)
Рис.3.9.К выводу формул перехода
Из условия равновесия стыка двух колец:
2ri ri hi  2ri ri hi 1 .
Откуда:
 ri   ri
Из условия равенства
поверхности колец:
hi
.
hi 1
относительных
 ti   ri
E
 Ti 
окружных
 ti   ri
E
деформаций
общей
 T  .
При замене действительного распределения температур параболой,
удовлетворяющей условию равенства температуры на стыке двух колец Ti  Ti  и в
предположении неизменности модуля упругости материала по радиусу:
 ti   ti   (
hi
 1) ri .
hi 1
3.4.1.2. Порядок расчёта диска произвольного профиля методом двойной
прогонки
1. Вычерчивается профиль диска и выписываются исходные данные:
число оборотов в минуту и характер распределения температуры по
радиусу t  f (r ) ,
89
напряжения на внешнем контуре диска (от лопаток и их крепления)  rЛ , а в
случае диска с отверстием – напряжения на контуре отверстия  r 0 ,
физико-механические характеристики материала.
2.Диск разбивается на ряд колец постоянной толщины, равной для каждого
кольца средней толщине диска на соответствующем участке, для выбранных
значений радиусов стыка колец ri вычисляются коэффициенты a, b, C, k r и k t .
3.Неизвестные напряжения в центре диска  r 0   t 0 обозначаются x .
4.По формулам (3.15) и (3.16) вычисляются напряжения на внешнем контуре
первого кольца (либо центрального диска) в виде двух слагаемых, одно из которых
содержит множитель x .
5.По формулам перехода вычисляются напряжения на внутренней поверхности
второго кольца, и так продолжается расчёт от ступени к ступени. В итоге
определяются радиальные и окружные напряжения на внешнем контуре диска в
форме:
 ra  Ar  Br x,
 ta  At  Bt x.
В этих выражениях Ar , Br , At и Bt
получены в результате вычислений,
произведенных в соответствии с пунктами 4 и 5.
6.Из граничного условия  ra   rЛ определяется неизвестная величина:
x
 rЛ  Ar
Br
7.Производится вторая прогонка, в результате которой вычисляются
напряжения на всех радиусах диска и для иллюстрации расчёта строятся графики
 r  f 1 (r ) и  t  f 2 ( r ) .
3.4.2.Суть методов конечных разностей и конечного элемента
Для расчёта диска переменного сечения пользуются также другими
приближёнными методами. Используются, в частности, методы конечных разностей
и конечного элемента. Опуская подробности и вопросы, связанные с оценками
погрешности решений, остановимся коротко на сути этих методов.
Расчет диска методом конечных разностей основан на приближённом решении
системы дифференциальных уравнений равновесия (3.3) и совместности
деформаций (3.6) путём замены входящих в эти уравнения дифференциалов
конечными разностями. Для этого радиус диска разбивается условно на k частей
соответствующие этим частям сечения диска нумеруются от 0 до k , как показано на
рис. 3.10.
Дифференциалы заменяются конечными разностями:
d к   к   rn   rn1 , dr  r  rn  rn1 , dh  h  hn  hn1 ,
d t   t   tn   tn1 , dE  E  E n  E n1 , d (T )  (T )  (T ) n  (T ) n 1.
(3.17)
90
Рис. 3.10. расчётная схема метода конечных разностей
Замена производных на их конечно – разностные аналоги производится по
формулам:
d r  rn   rn1 d t  tn   tn1 dh hn  hn1 dE En  Tn1
,

,

,

,

dr
r
dt
r
dr
r
dr
r
r  rn  rn1 .
(3.18)
где
Индексы n , принимающие значения от 0 до k , указывают номер сечения диска.
Уравнение равновесия (3.3) запишем в форме:
d r   r (
dr dh
dr
dr
 ) t
  2 r
.
r
h
r
r
Уравнение совместности деформаций (3.6) также преобразуем к виду:
d t   t (
dr dE
dr
dh
dE
dr

) r (  

)   2 r 2
 Ed (T ) .
r
E
r
h
E
r
Подставив в эти уравнения вместо дифференциалов конечные разности (3.17),
придём к следующим уравнениям:
 rn   tn1 (
 tn   tn1 (1 
rn
r
h
r
 1)   rn1 (3  n  n )   2 rn21 ( n  1),
rn1
rn1 hn1
rn1
En
r
h
E
r
r
 n )   rn1[
 1   ( n  n  2)]   2 rn21 ( n  1) 
E n 1 rn1
rn 1
hn1 En1
rn 1
(3.19)
(3.20)
 En1[(T ) n  (T ) n1].
Граничные условия в центре сплошного диска  r 0   t 0   0 . Следует иметь в
виду, что нулевое сечение в данном случае необходимо сместить от геометрического
91
центра диска для того, чтобы избежать обращения в бесконечность отношения
r1
, на
r0
некоторую величину. Обычно принимают r0  0,05  0,1 . На поверхности свободного
отверстия, как и ранее ,  r 0  0 . Прежними остаются и граничные условия на
внешнем радиусе  ra   rЛ .
В результате соотношения (3.19 и (3.20) вместе с граничными условиями
составляют систему 2k линейных алгебраических уравнений для определения
неизвестных напряжений  rn и  tn, (n  1,2,...k ) .
При расчёте диска методом конечных разностей можно исходить из
приближённого решения дифференциального уравнения второго порядка, которое
получается следующим образом.
Если в уравнение (3.3) :
d
( к hr )   t h   2 r 2 h  0
dr
ввести функцию  , называемую функцией напряжений, которая подчиняется
соотношениям:
  hr r ,
d
 h t   2 r 2 h
dr
и использовать закон Гука, то это уравнение преобразуется к виду:
r2
d 2
r dh d
r dh
 r (1 
)
 (1  
)  (3   )  2 r 2 h .
2
h dr dr 
h dr
dr
Заменив входящие в это уравнение производные их конечно–разностными
представлениями по формулам, аналогичным (3.17) и (3.18), с учётом того, что
вторая конечно – разностная производная выражается в виде:
d  n1  2 n   n1
,

dr 2
(r ) 2
получим систему k алгебраических уравнений для определения неизвестных
значений n , n  1,2,...k .
Для расчёта диска широко используется метод конечного элемента.
Сущность этого метода заключается в том, что диск как континуальная система
представляется в виде системы соединенных между собой в узловых точках
дискретных пространственных элементов определённой конфигурации. В точках
соединения этих элементов должны выполняться условия равновесия и
неразрывности перемещений. Это обеспечивает и непрерывность перемещений на
границах элементов, поскольку предполагается, что перемещения линейно
изменяются вдоль любой линии внутри и на границе элементов. Вместе с тем,
деформации и напряжения будут различными для каждого из элементов, и,
следовательно, на границах будут испытывать разрывы. Наиболее широкое
применение получил вариант метода конечного элемента, соответствующий методу
перемещений при решении задач теории упругости. В этом варианте предполагается
выполнение следующих основных этапов:
1. Физическая область задачи (тело диска) делится на подобласти – конечные
элементы;
92
2. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек,
соответствующих узлам соединения элементов. Предполагается, что конечные
элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках. Определению
подлежат значения величин перемещений в каждой узловой точке;
3. Перемещения внутри каждого элемента выражаются через значения узловых
перемещений. Для этого перемещения внутри конечного элемента апроксимируются
полиномом, коэффициенты которого определяются с помощью узловых значений
перемещений;
4. Используя принцип возможных перемещений с учётом физических (закона
Гука) и геометрических соотношений, а также формул, связывающих перемещения
внутри элементов с узловыми перемещениями, получают условие равновесия
элемента. При этом предполагается, что внешние и упругие силы приложены в
узлах.
5. Представляя полную энергию системы в виде суммы энергий, каждая из
которых относится к соответствующему элементу, получают уравнение равновесия
конечно–элементной системы, решение которого сводится к решению системы
алгебраических уравнений.
Достоинством этого метода является возможность рассмотрения диска как
пространственной упругой системы. Сгущением элементов (за счёт увеличения
числа при уменьшении их размеров) можно увеличивать точность результатов
решения в интересующей расчётчика области диска.
К недостатку метода следует отнести возможные ошибки в местах резкого
изменения геометрии диска.
93
Лекция 3.5. Оценка прочности дисков
Оценка местной прочности по эквивалентным напряжениям. Запас прочности по
разрушающей и допустимой частоте вращения. Влияние условий эксплуатации на прочность и
надежность дисков. Конструктивные, технологические и эксплуатационные мероприятия,
повышающие статическую прочность дисков
При расчёте и анализе особенностей напряжённого состояния нами
использовалась расчётная схема двухосного напряжённого состояния, а для
предельных значений напряжений в материалах используются диаграммы
деформирования, полученные на основе испытаний образцов в одноосном
напряжённом состоянии. Поэтому оценка работоспособности диска должна
производиться по эквивалентным напряжениям:
 Э   r2   t2   r t .
Эти напряжения получены на основе энергетической теории прочности, в
соответствии с которой критерием эквивалентности многоосного напряжённого
состояния одноосному является одинаковое значение потенциальной энергии
изменения формы образца. То есть  Э , определённое по приведенной выше
формуле, есть такое напряжение одноосного напряжённого состояния, которое
эквивалентно двухосному по критерию равенства энергии формоизменения.
Прочность дисков обычно оценивают по величине коэффициентов запаса
длительной прочности:
KT 
T
.
Э
(3.21)
Значения пределов длительной прочности  Т , используемых в дисках
материалов, можно определить по графикам (рис.3.11).
Рис.3.11. Зависимости пределов длительной прочности материалов от температуры
Т
Т
——————  100
, - - - - - - - -  1000
Коэффициенты запаса пригодны для оценки местной прочности диска, т.к. они
изменяются вдоль радиуса диска в связи с изменением как эквивалентных
напряжений, так и температуры, от которой зависят предельные напряжения  Т .
Поэтому при оценке прочности диска следует определить минимальное значение
коэффициента запаса по радиусу и найти соответствующее ему опасное сечение.
94
Для учёта повторности нагружения дисков на расчётном режиме следует
минимальный коэффициент запаса прочности умножить на величину K  0,8  0,9 .
В процессе выполнения полёта двигатель используется на различных режимах
работы, которые отличаются как по уровню температур, так и по напряжениям в
диске. Для учёта влияния этих режимов на длительную прочность определяется так
называемый эквивалентный (приведенный) коэффициент запаса прочности:
n
1

1
K  [ ( T ) m ] m ,
z 1 K z
Т
Э
где K zT  K T K  коэффициент запаса прочности на режиме работы двигателя с
номером z , учитывающий повторность работы на этом режиме, n  число режимов в
полётном цикле (обычно учитывают взлётный, номинальный и максимальный
крейсерский режимы); m  показатель степени уравнения кривой длительной
прочности материала, соответствующей температуре максимального режима (в
расчётах принимают m  6  8 ).
Диск считается работоспособным, если минимальный коэффициент длительной
прочности составляет 1,3 – 1,5.
Однако в случае, если запас местной прочности оказывается меньше единицы,
то диск должен обязательно разрушиться. Это свидетельствует только о том, что
конкретный участок диска находится в условиях пластического деформирования.
При дальнейшем увеличении нагрузки напряжения в диске перераспределяются с
увеличением участка пластических деформаций (рис.3.12).
Рис.3.12.Перераспределение напряжений в диске
В пластической области напряжения в действительности не переходят в  Т , а
остаются напряжениями предела текучести, а нагрузка воспринимается ростом
напряжений на участке r .
Именно
перераспределением
напряжений
объясняются
результаты
многократных испытаний “на разнос”. При этих испытаниях определялись
разрушающие частоты вращения. Оказывалось, что сплошной диск и диск с малым
центральным отверстием разрушались при одинаковой частоте вращения.
95
Испытания показали, что в момент разрушения средние окружные напряжения в
диске примерно равны пределу длительной прочности материала:
 СР 
R
 (0,65  1,05) T ,
F
где R  равнодействующая всех радиальных сил полудиска,
F  площадь диаметрального сечения диска (рис.3.13).
Рис.3.13.Предельное состояние диска
Следовательно, перед разрушением весь диск пластически деформируется,
благодаря чему окружные напряжения в нём выравниваются.
В 1939 году В.И. Кадыковым было предложено определение запаса прочности
диска с учётом его пластических деформаций в виде:
KS 
S
,

где  S  частота вращения, при которой пластическая деформация
распространяется на весь диск (определяется с учётом длительности работы и
рабочей температуры);
  рабочая частота вращения.
Или
KP 
P
,

где  P  разрушающая частота вращения.
При частоте вращения, при которой весь диск пластически деформируется,
равнодействующая всех радиальных сил полудиска (рис.3.13) равна:
 2S
R  2( ra aha   I ) 2 ,

2
a
где I  0 hr 2 dr  половина момента инерции диаметрального сечения диска
относительно оси вращения;
96
2 ra aha 
результирующая контурной нагрузки полудиска на рабочей
частоте
вращения;
2
2 2 I  центробежная сила собственно полудиска на той же частоте
вращения.
Заметим, что температурные напряжения могут возникать только в упругом
диске. Когда весь диск начинает течь, температурные напряжения в нём исчезают. В
этом случае падают также до нуля напряжения от натяга при посадке диска на вал.
Именно по этим причинам выражение для равнодействующей не содержит
радиальных напряжений  r 0 и температурных напряжений от неравномерного
нагрева. Сила R уравновешивается окружными напряжениями (заменяющими
действие отброшенной половины диска), достигшими по своей величине предела
текучести материала  Т :
2( ra aha   2 I )
откуда
a
 2S
 2  S hdr ,
2
0

a
 2S
0  S hdr .
KS  2 

 ra aha   2 I
Если неравномерность нагрева диска невелика и можно считать, что  S
постоянно по радиусу диска, то
KS 
SF
 ra aqha   2 I
.
Эти же формулы используются для определения запасов прочности по
разрушающим оборотам K P после замены в них  S на  P .
Определённые таким способом запасы прочности дисков газотурбинных
двигателей даны в табл.3.1.
Таблица 3.1
Назначение диска
Турбины
Осевого компрессора
KS
1,2 – 1,5
1,5 – 2,3
KP
1,4 – 1,8
2-3
97