Контрольная работа № 1 Введение…………………………………………………………………………………3

2
Контрольная работа № 1
Введение…………………………………………………………………………………3
1. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей,
консолидирование задолженности, определение размера и срока
консолидированного платежа……………………………………………………….4
2. Расчеты в условиях инфляции……………………………………………………....8
3. Виды потоков платежей и их основные параметры, прямой метод расчета
наращенной суммы и современной стоимости потока платежей………………..13
Заключение……………………………………………………………………………...17
Список литературы……………………………………………………………………..18
Контрольная работа № 2
Решение задач № 12, 42, 72, 102, 132, 21, 51, 81, 111, 46…………………………….19
3
Контрольная работа № 1.
Введение.
В практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно
обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно
погасить задолженность, объединить несколько платежей в один
(консолидировать платежи) и т.п. В таких ситуациях неизбежно возникает
вопрос о принципе, на котором должно базироваться изменение контракта.
Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность
обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон
до и после изменения контракта.
Инфляция – это экономическое явление, которое возникает вследствие целого
комплекса как политических, так и социально-экономических событий. Уровень
инфляции
выступает
обобщающим
показателем
финансово-экономического
положения страны.
Современные
финансово-банковские
операции
часто
предполагают
не
отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени,
например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление
доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т.д. Такого рода последовательность,
или ряд платежей, называют потоком платежей.
Формирование потока платежей (далее – поток) есть необходимый этап в
получении экономической оценки инвестиционного проекта. Другими словами,
потоки – это необходимая модель, позволяющая (на абстрактном уровне)
определить показатели эффективности, финансовой реализуемости и риска
инвестиционного проекта. Элементом потока является отдельный платеж. Каждый
элемент потока ставится в соответствие с определенным шагом расчетного
периода.
4
1. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей,
консолидирование задолженности, определение размера и срока
консолидированного платежа.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведены"
к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется
путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы
платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий
принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих
сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. По существу,
принцип эквивалентности следует из формул наращения и дисконтирования,
связывающих величины Р (первоначальная сумма долга) и S (наращенная сумма,
или сумма в конце срока), Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной
ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые
в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные
(или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и
на один момент времени, одинаковы. Замена S1 на S2 в этих условиях формально
не изменяет отношения сторон.
Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной
ставки, и, следовательно, результат зависит от выбора ее величины. Однако,
что практически весьма важно, такая зависимость не столь жестка, как это
может показаться на первый взгляд. Допустим, что сравниваются два платежа
S1 и S2 сроками n1 и n2 , измеряемыми от одного момента времени, причем
S1 < S2 и n1 < n2. Их современные стоимости Р1 и Р2 в зависимости от размера
процентной ставки.
С ростом i величина Р уменьшается, причем при i = i0 наблюдается
равенство Р1 = Р2. Для любой ставки i < i0 имеем Р1 < Р2. Таким образом,
результат сравнения зависит от критического (барьерного) размера ставки,
равного i0.
На основе равенства
S1
S2

1  n1i0 1  n2 i0
5
1
Находим
i0 
S1
S2
S1
n 2  n1
S2
.
Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическая ставка
находится из равенства
S1 1  i0 
 n1
 S 2 1  i0 
 n2
В итоге
i0  n2 n1
S2
 1.
S1
Принцип эквивалентности применяется при различных изменениях условий
выплат денежных сумм. Общий метод решения подобного рода задач заключается
в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма
заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени,
приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той
же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на
основе простых ставок, для средне- и долгосрочных — с помощью сложных
ставок. Заметим, что в простых случаях часто можно обойтись без специальной
разработки и решения уравнения эквивалентности.
Одним из распространенных случаев изменения условия является
консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S1, S2, …, Sm со сроками
n1, n2, …, nm заменяются одним в сумме S0 и сроком n0. В этом случае
возможны две постановки задачи: если задается срок n0, то находится сумма
S0, и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S0, то
определяется срок n0.
При определении суммы консолидированного платежа уравнение
эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда n1< n2, <…< nm ,
искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных
платежей. При применении простых процентных ставок получим:
S 0   S j 1  t j i    S k 1  t k i  ,
1
j
k
6
где Sj – размеры объединяемых платежей со сроками nj<n0,
Sk– размеры объединяемых платежей со сроками nk>n0,
tj=n0 - nj, tk=nk - n0.
Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных
процентных ставок (для общего случая n1<n0<nm):
S 0   S j 1  i  j   S k 1  i  k .
t
t
Если при объединении платежей задана величина консолидированного
платежа S0, то возникает проблема определения его срока n0. В этом случае
уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных
стоимостей соответствующих платежей.
При применении простой ставки это равенство имеет вид:
S 0 1  n0 i    S j 1  n j i  ,
1
1
j


S0
.

1
i   Si 1  n j i 1 
1
откуда n0 = 
Очевидно, что решение может быть получено при условии, что
S 0   S j 1  n j i  , иначе говоря, размер заменяющего платежа не может быть
1
меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Искомый срок
пропорционален величине консолидированного платежа.
Определение срока консолидированного платежа на основе сложных процентных
ставок. Уравнение эквивалентности:
S 0 1  i 
 n0
  S j 1  i 
n
j
S 
 0 
Q
Для упрощения дальнейшей записи примем Q   S j 1  i  n j . → n0    .
1  i 
Средний взвешенный срок:
n0 
S
j
S0
nj
.
7
Пример 1: На принципе эквивалентности основывается сравнение
разновременных платежей. Пример: имеются два обязательства. Условия первого:
выплатить 400 000 руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 000 руб.
через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными?
Решение: Так как платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало
срока применим простую ставку, равную, допусти, 20%:
P1 
400
 375.00
8
1  0.2
12
P2 
450
 397.06 тыс.руб.
8
1  0.2
12
Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и
в силу этого не могут адекватно заменять друг друга.
Пример 2: Два платежа 1 и 0,5 млн.руб. со сроками уплаты соответственно 150 и
180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на
применении при конверсии простой ставки, равной 20%. Консолидированная
сумма долга составит?
Решение: S 0  10001 

200  150

 200  180

0.2   5001 
0.2   1532.87 тыс.руб.
365
365



8
2. Расчеты в условиях инфляции.
Инфляция – многомерное и многоаспектное явление, которое можно
классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением
инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на
товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную
единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.
В современных условиях инфляция в денежных отношениях играет
заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой
условную величину. С одной стороны, сумма, положенная, например, на
депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость
в результате инфляции.
При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе
инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных
понятия: номинальная и реальная сумма денежных средств.
Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение
покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств - это
оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в
связи с процессом инфляции.
В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:
темп инфляции, характеризующий прирост среднего уровня цен в
рассмотренном периоде, и индекс инфляции (изменение индекса
потребительских цен).
Рассмотрим учет инфляции в двух случаях: при расчете наращенной
суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности)
финансовый операции.
Введем обозначения:
S – наращенная сумма денег, измеренная по номиналу,
С – наращенная сумма денег с учетом ее обесценения,
Jp – индекс цен,
9
Jc – индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег
за период.
Очевидно, что С  S  J c .
Индекс покупательной способности денег равен обратной величине
индекса цен – чем выше цены, тем ниже покупательная способность: J c 
1
.
Jp
Указанные индексы, естественно, должны относиться к одинаковым
интервалам времени.
Не трудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции
h понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в
процентах и определяется как h  100J p  1. В свою очередь J p  1 

h 
.
100 
Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает,
что цены выросли в 1,3 раза.
Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за
несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:
n
h 

J p  П 1  1 
1
 100 
(1)
где ht – темп инфляции в периоде t.
Пусть речь идет о будущем. Если h – постоянный ожидаемый (или
прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов
h 
получим: J p  1 

 100 
n
(2)
Грубейшей ошибкой, которая встречается в российской практике,
является
получения
суммирование
обобщающего
темпов
инфляции
показателя
отдельных
инфляции
за
периодов
весь
срок.
для
Что
существенно занижает величину получаемого показателя.
Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма
с учетом покупательной способности равна: C 
S
1  ni
1  ni
P
P
n
Jp
Jp
h 

1 

 100 
(3)
10
Отсюда следует, что увеличение наращенной суммы с учетом ее
инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда 1 + ni > Jp.
Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Наращенная
сумма с учетом инфляционного обесценения находится как
C
1  i 
S
P
Jp
Jp
n


 1 i 

 P
h 

1

 100 
n
(4)
Величины, на которые умножаются P в формулах (3) и (4),
представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый
уровень инфляции. Посмотрим теперь, как совместно влияют сложная ставка
i и темп инфляции h на значение этого множителя. Очевидно, что если
среднегодовой темп инфляции равен процентной ставке, то роста реальной
суммы не произойдет – наращение будет поглощаться инфляцией, и
следовательно, C = P. Если же h/100 > i , то наблюдается «эрозия» капитала –
его реальная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда
h/100 < i , происходит реальный рост, реальное накопление. Очевидно, что
при начислении простых процентов ставка, компенсирующая влияние
инфляции, соответствует величине i  
J p 1
n
.
Ставку, превышающую критическое значение i’ (при начислении
сложных процентов i’ = h), называют положительной ставкой процента.
Владельцы денег, разумеется, не могут смириться с их инфляционным
обесценением и предпринимают различные попытки компенсации потерь.
Наиболее распространенной является корректировка ставки процента, по
которой производится наращение, т. е. увеличение ставки на величину так
называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать
брутто-ставкой.
Определим брутто-ставку (обозначим ее как r) при условии полной
компенсации инфляции при наращении по сложной процентной ставке
находим брутто-ставку из равенства:
11
h 

1  r  1  i 1 
.
 100 
Откуда
r i
h
h
i
100 100
(5)
На практике скорректированную по темпу инфляции
рассчитывают проще, а именно: r  i 
ставку часто
h
100
(6)
Формула (5) по сравнению с (6) содержит один дополнительный член,
которым при незначительных величинах i и h можно пренебречь. Если же
они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма
ощутимой. Например, при ставке i = 5% и h = 1% «вклад» этого
произведения в брутто-ставку составит 0,005, или 0,5%. Брутто-ставка в этом
случае равна 5,5% (вместо 5% по формуле (6)). Однако при годовой
инфляции в 100% и той же исходной ставке наращения брутто-ставка
увеличится уже до 0,05 + 1 + 0,05 * 1 = 1,1, т. е. до 110%.
При наращении по простым процентам имеем:
r
1  ni J p  1
n
,
где Jp – индекс цен за учитываемый период.
Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки
имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных
операций.
Перейдем теперь к измерению реальной доходности финансовой
операции, т. е. доходности с учетом инфляции. Если r объявленная норма
доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде
годовой процентной ставки i можно определить при наращении сложных
процентов на основе (6): i 
1 r
1
h
1
100
(7)
Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле (6), то i  r 
h
.
100
Аналогичный по содержанию показатель, но при начислении простых
процентов, находим как
i
1  1  nr 

 1.
n  Jp

(8)
12
Как видно, реальная доходность
здесь зависит от срока операции.
Положительной простая ставка i может быть только при условии, что
1 + nr > Jp.
Компенсации инфляции можно достичь и путем индексации исходной
суммы задолженности. В этом случае: C  P  J p  1  i n .
Следует обратить внимание, что формулы расчета наращенной суммы с
учетом инфляции выбираются в зависимости от применяемого процента
(простой и сложный).
С
экономической
точки
зрения,
правильнее
рассчитывать
инфляционные изменения методом сложного начисления, так как инфляция –
процесс непрерывный, то есть обесцениваются уже обесцененные деньги
или,
начисление
процентов
осуществляется
не
на
первоначальную
стоимость, а на стоимость с учетом ранее начисленных процентов.
Пример: Рассчитаем реальную годовую ставку для следующий условий:
годовой темп инфляции – 20%, брутто-ставка – 25% годовых,
n =0,5 года.
Решение: Индекс цен за половину года: 1,2 0,5  1,0954
Для простых процентов получим
i
1  1  0,5  0,25 
 1  0,05404

0,5  1,0954

Изменим условия задачи. Пусть срок теперь равен 5 годам и речь идет о
сложной ставке. Индекс цен за этот период 1,7. В этом случае:
h
 5 1,7  1  0,11196 ,
100
i
1  0,25
 1  0,1241 .
1  0,11196
13
3. Виды потоков платежей и их основные параметры, прямой метод
расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей.
Любой поток характеризуется следующими основными параметрами:
- размер отдельного платежа (величиной элемента потока);
- период – временной интервал между двумя последовательными платежами
(элементами потока);
- срок потока – время от начала первого периода потока до конца последнего
периода;
- число элементов потока в году.
Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или
следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы
между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как
положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).
Классификация потоков:
1. По количеству элементов потока на протяжении года потоки делятся:
1.1. на годовые, у которых в течение года осуществляется только один
платеж;
1.2. р-срочные, у которых количество платежей в году равно р.
2. По частоте осуществления платежей потоки делятся:
2.1.
на дискретные, у которых элементы потока осуществляются с
периодичностью в один шаг:
2.2. непрерывные, у которых платежи производятся в бесконечно малые
отрезки времени.
3. По величине элементов потоки делятся:
3.1. на постоянные, элементы которых равны по величине;
3.2. переменные, элементы которых изменяются по величине во времени,
следуя определенному закону.
4. По вероятности выплат потоки делятся:
4.1. на верные, то есть подлежащие безусловной уплате;
14
4.2.
условные, то есть выплаты ставятся в зависимость от наступления
некоторого случайного события.
5. По количеству элементов выделяют потоки:
5.1. ограниченные, с конечным числом элементов;
5.2. бесконечные (вечные), в которых срок не определен.
6. По соотношению начала срока платежа потоки делятся:
6.1 немедленные
6.2 отложенные (отсроченные)
7. По моменту выплат платежей в пределах периода потоки делятся:
7.1.
на постнумерандо (обыкновенные), если платежи осуществляются в
конце периодов:
7.2. пренумерандо, если платежи осуществляются в начале периодов;
7.3. потоки с платежами в середине периодов.
В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей
предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной
суммы (сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу
срока процентами) или современной стоимости потока (сумма всех членов,
дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий
момент времени). Конкретный смысл этих характеристик определяется
содержанием его членов или их происхождением.
Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накоплений
задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный
денежный резерв и т.д. В свою очередь современная стоимость характеризует
приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты,
суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от
реализации проекта и т.п.
15
Прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости
потока платежей.
Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt,
выплачиваемых спустя время nt после некоторого начального момента
времени. Общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на
конец срока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по
сложной ставке I, то, обозначив искомую величину через S, получим по
определению S   Rt 1  i nn .
t
t
Современную стоимость такого потока находим прямым счетом как сумму
дисконтированных платежей: A   Rt v n ,
t
t
где А – современная стоимость потока платежей,
v nt - дисконтный множитель по ставке i.
Наращенная сумма также является обобщением всех членов потока в виде
одного числа, однако эта оценка приурочена к концу срока. Нетрудно
обнаружить, что между величинами A и S существует функциональная
зависимость. В самом деле, дисконтируем сумму S с помощью дисконтного
множителя v n , получим
Sv n   Rt 1  i 
t
n  nt
 v n   Rt v nt  A .
t
Наращивая сумму А по той же ставке, получим
A1  i   S .
n
Пример: График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во
времени: 1 июля 2005 г. – 5 млн. руб., 1 января 2006 г. – 15 млн. руб., 1 января
2008 г. – 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало
2009 г. При условии, что проценты начисляются по ставке 20%.
16
Решение:
S  5  1,2 3,5  15  1,2 3  18  1,2  56,985 млн. руб.
По этим же данным определим современную стоимость потока на момент
выплаты первой суммы. При прямом счете получим:
A  5  15  1,2 0,5  18  1,2 2,5  30,104 млн. руб.
Или по другой формуле:
A  56,985  1,2 3,5  30,104 млн. руб.
17
Заключение.
В современных условиях инфляция в денежных отношениях играет
заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой
условную величину. С одной стороны, сумма, положенная, например, на
депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость
в результате инфляции.
При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе
инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных
понятия:
номинальная и реальная сумма денежных средств.
Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение
покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств - это
оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в
связи с процессом инфляции.
В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:
темп
инфляции,
рассмотренном
характеризующий
периоде,
и
прирост
индекс
среднего
инфляции
уровня
(изменение
цен
в
индекса
потребительских цен).
Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная
стоимость, широко применяются в различных финансовых расчетах. Так, без
них, например, невозможно разработать план последовательного погашения
задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить
сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие
другие практические задачи.
18
Список литературы:
1. Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб.
пособие. — М.: Финансы и статистика, 2007. - 256 с.
2. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие. М.: Издательство
«Экзамен», 2005. — 128 с.
3. Левин Л.А. Финансовая математика: Учебное пособие. Красноярск. 2006. –
120с.
4. Лукашин Ю.П. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА: Учебно-методический
комплекс / М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 200 с.
5. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 237 с.
6. Четыркин Е . М . Ф и н а н с о в а я математика: Учебник. — 5-е изд.,
испр. — M: Д е л о , 2005. - 400 с.
19
Контрольная работа № 2.
Задача 12. Г-н Иванов приобрел в кредит набор мебели, обязавшись
выплачивать за него по 200 р. каждый квартал в течение трех лет. Через год,
сделав четыре платежа, г-н Иванов пожелал сразу погасить оставшийся долг.
Какую сумму он должен заплатить, если на деньги начисляются 8% годовых
(простых)?
Решение: R 
200 
S
;
43
200 
S
;
12
S
;
mn
S  200 12  2400
P
S
2400
2400


 1935,5
1  ni 1  3  0,08 1,24
200  4  800 - за год
1935,5  800  1135,5
Ответ: Г-н Иванов должен заплатить 1135,5р.
Задача 42. Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом 500 тыс.
р., выпущенной на пять лет, если предусмотрен следующий порядок
начисления процентов: в первые два года — 13,5% годовых, в следующие
два года — 15% и в последний год — 20% годовых.
Решение:
24
12
 24

S  5000001 
 0,135 
 0,15   0,20  
12
12
 12

 5000001  0,27  0,3  0,2 
 500000  1,77  885000
Ответ: 885000 руб.
20
Задача 72. Сумма в 5 млн. р. выплачивается через 5 лет. Необходимо
определить ее современную величину при условии, что применяется ставка
сложных процентов, равная 12% годовых.
Решение:
S  P  1  i 
n
5  P  1  0,12 
5
P  5  1,762341683  2,837
Ответ: 2,837 млн. руб.
Задача 102. На какую годовую ставку процентов нужно заменить
номинальную ставку годовых сложных процентов i =12%, если начислять
сложные проценты ежеквартально по 3 %?
Решение:
f  1  i / m   1
m
f  1  0,03  1  0,216 → 12,6%
4
Ответ: 12,6%
Задача 132. Заем был взят под 18% годовых, выплачивать осталось
ежеквартально по 100 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения в стране
процентная ставка снизилась до 10% годовых. В банке согласились с
необходимость. Перерасчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть
новый размер выплаты?
а (8;5)  1  1  0,05 / 0,05  6,463213
8
8
Решение: а(8;10 / 4)  1  1  0,025  10 / 4  7,1701372
r  a (8;10 / 4)  6,463213  100
r  6.463213  100 / 7,1701372  90,14
Ответ: 90,14
21
Задача 21. Клиент вложил в банк 1-000 р. Какая сумма будет на счете этого
клиента через 1 год, если банк начисляет проценты по ставке: a) j1 = 5%, б)
j6=5%, в) j12 = 5%, г) j360 = 5%, д) j=5% (для j S  P  et )?
Какая сумма будет на счете клиента при условии д) j=5% через 8 лет?
Решение:
S  P1  ni 
S  10001  8  0,05  1000 1,4  1400
Ответ: 1400 руб.
Задача 51. Рассчитайте, через сколько лет произойдет погашение займа
размером 50 млн. р., если выплаты по 400 тыс. р. производятся в конце
каждого квартала, а ставка процента — 15% годовых.
Решение: S  P1  ni 
4


S  500000001   0,15   500000001  0,33  0,15  50000000  1,05  52500000
 12

R
S
S
52500000

 32,8
; n
mn
Rm 1600000
Ответ: 32,8
Задача 81. Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной
годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб., на
поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5 % годовых.
Найти величину фонда на конец срока.
Решение:
1  r 1  i 
n 1
/ i  41  0,185  1 / 0,185  28,9 млн. руб.
Ответ: 28,9 млн. руб.
5
22
Задача 111. Первые два года переменная ставка сложных процентов равна
8% плюс маржа 2%, в третий год 3% и четвертый 5%. Определить множитель
наращения за 4 года.
Решение:
1,08  0,022  1,03  0,05  1,21  1,03  1,05  1,31
Ответ: 1,31
Задача 46. Рассчитайте, какую сумму надо положить на депозит, чтобы
через четыре года она выросла до 20-000 тыс. р. при норме процента 9%
годовых.
Решение:
P
S
20000
20000


 14706
1  ni 1  4  0,09
1,36
Ответ: 14 706.