Особые линии плоскости. - Тольяттинский государственный
advertisement
Федеральное агентство по образованию Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия» МОДУЛЬ №2 Тольятти 2007 УДК 514.18(076) ББК 22.15.3 Н36 Рецензент: к.т.н., доцент А.Г. Егоров (ТГУ). Н36 Начертательная геометрия. Модуль №2 : учеб.-метод. Пособие / сост. Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова. – Тольятти : ТГУ, 2007.- 48 с. Содержит полный теоретический материал для успешного освоения студентами курса «Начертательная геометрия». Учебный материал разбит на 4 модуля. Каждый модуль является логически завершенной частью, заканчивается контрольными вопросами и тестом с ответами для самоконтроля студента. Для студентов технических специальностей высших учебных заведений Рекомендовано к изданию методической комиссией автомеханического института Тольяттинского государственного университета © Т.А. Варенцова, Г.Н. Уполовникова, Составление, 2007 © Тольяттинский государственный Университет, 2007 2 3 Содержание Комплексный чертёж плоскости и поверхности .............................................................................6 Задание плоскости на комплексном чертеже ..................................................................................6 Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости ............................................................7 Плоскости частного положения ...................................................................................................9 Проецирующие плоскости .....................................................................................................10 Горизонтально проецирующая плоскость .......................................................................10 Фронтально проецирующая плоскость ............................................................................10 Плоскости уровня (дважды проецирующие) .......................................................................11 Горизонтальная плоскость уровня ...................................................................................11 Фронтальная плоскость уровня ........................................................................................12 Особые линии плоскости. ................................................................................................................13 Горизонталь плоскости ...............................................................................................................13 Фронталь плоскости ....................................................................................................................14 Линия наибольшего наклона плоскости....................................................................................16 Прямая, параллельная плоскости ...................................................................................................20 Взаимная параллельность плоскостей ...........................................................................................21 Справочный материал ......................................................................................................................22 Примеры изображения плоскостей общего и частного положения, заданные геометрическими фигурами .......................................................................................................22 Плоскости общего положения ...............................................................................................22 Горизонтально проецирующие плоскости ...........................................................................23 Фронтально проецирующие плоскости ................................................................................23 Горизонтальные плоскости уровня .......................................................................................23 Фронтальные плоскости уровня ............................................................................................24 Контрольные вопросы .....................................................................................................................24 Тест № 1 ........................................................................................................................................25 Задание поверхности на комплексном чертеже ............................................................................25 Определитель поверхности ........................................................................................................26 Очерк проекции поверхности .....................................................................................................26 Классификация поверхностей ....................................................................................................27 Алгоритм конструирования поверхности .................................................................................28 Задание линейчатых поверхностей на комплексном чертеже .....................................................30 Развертывающиеся поверхности ................................................................................................30 Многогранные поверхности ..................................................................................................30 Комплексный чертеж пирамидальной поверхности ...........................................................31 Комплексный чертеж призматической поверхности ..........................................................36 Проецирующая призма ...........................................................................................................38 Задание кривых линейчатых поверхностей ...................................................................................39 Задание конической поверхности общего вида на комплексном чертеже ............................40 Задание цилиндрической поверхности общего вида на комплексном чертеже ....................42 Неразвертывающиеся линейчатые поверхности с двумя направляющими ...............................44 Цилиндроид ..................................................................................................................................46 4 Коноид ..........................................................................................................................................49 Гиперболический параболоид ....................................................................................................51 Поверхности вращения ....................................................................................................................52 Комплексный чертеж поверхности вращения общего вида ....................................................53 Поверхности вращения второго порядка .......................................................................................57 Цилиндр вращения ......................................................................................................................57 Конус вращения ...........................................................................................................................57 Сфера ............................................................................................................................................58 Поверхности вращения второго порядка .......................................................................................60 Эллипсоид вращения ...................................................................................................................60 Эллипсоид сжатый ..................................................................................................................61 Эллипсоид вытянутый ............................................................................................................61 Параболоид вращения .................................................................................................................61 Гиперболоид вращения ...............................................................................................................62 Алгоритм построения главного меридиана однополостного гиперболоида, ...................65 Тор- поверхность вращения 4 порядка ..........................................................................................68 Винтовые поверхности ....................................................................................................................75 Прямой геликоид .........................................................................................................................76 Наклонный геликоид ...................................................................................................................76 Контрольные вопросы .....................................................................................................................80 Ответы на тест - № 4 ........................................................................................................................80 Справочный материал ......................................................................................................................81 Задание плоскости на комплексном чертеже ...........................................................................81 Задание поверхности на комплексном чертеже .......................................................................81 5 Комплексный чертёж плоскости и поверхности В данном модуле вы познакомитесь с различными видами поверхностей и их модификациями, способами задания их на комплексном чертеже, особенностями построения. Узнаете, что простейшая поверхность - это плоскость. Задание плоскости на комплексном чертеже «Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину» (Евклид «Начала», век до н.э., книга 1, определение 5.) Как вы думаете? 1. Не дана ли в "Началах" трактовка поверхности слишком упрощенно? 2. Какая фигура в современном понимании имеет "только длину и ширину"? 3. Безразмерна ли плоскость, или она имеет границы? 4. Можно ли задать плоскость пространственными линиями? Плоскость является частным случаем поверхности - это двумерная геометрическая фигура, она имеет только длину и ширину, и не имеет толщины. Обозначается прописными буквами греческого алфавита. Плоскость - это множество точек, но определяется она тремя точками (напомним, что прямую линию определяют две точки). Плоскость можно задать на чертеже: 1. Тремя точками: (А, В, С); À2 À1 Â2 Â1 Ñ2 Ñ1 2. Прямой и точкой, не лежащей на данной прямой: Г(а, В); à2 Â2 à1 Â1 Двумя параллельными прямыми: (с а); à2 ñ2 ñ1 à1 3. Двумя пересекающимися прямыми: (m n); 6 ò2 ï2 ï1 ò1 4. Любой плоской фигурой: (АВС); Â2 À2 Ñ2 À1 Ñ1 Â1 5. Своей главной проекцией: (1); 1 6. Линией наибольшего наклона плоскости (g1 ,g2); g2 g1 Рис. 2-1 Плоскости бывают общего и частного положения Ï ëî ñêî ñò ü ×àñò í î ãî ï î ëî æåí èÿ Î áù åãî ï î ëî æåí èÿ Ï ðî åöèðóþù èå Ãî ðèçî í ò àëüí î ï ðî åöèðóþù àÿ Ï ëî ñêî ñò è óðî âí ÿ Ï ðî ô èëüí î Ôðî í ò àëüí î ï ðî åöèðóþù àÿ ï ðî åöèðóþù àÿ Ãî ðèçî í ò àëüí àÿ Ôðî í ò àëüí àÿ Ï ðî ô èëüí àÿ Рис. 2-2 Если плоскость не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения Примеры чертежа плоскости общего положения см. варианты 1 - 5; 7 (рис. 2-1). Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. 7 Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой. Задача: Плоскость задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М2 ) принадлежит плоскости. Найти М1. Краткая запись условия задачи: (а b), М(М2 ) ; М1 = ? à2 b2 M2 a1 b1 Рис. 2-3 Решение: Через точку М2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую k : k2 a2 =12; k2 b2 =22; затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 11 и 21 проводим прямую k1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М1. И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество. à2 12 k2 2 2 k1 21 a1 11 b2 M2 M1 b1 Рис. 2-4 Прямая принадлежит плоскости, если она: 1. Проходит через две точки плоскости; 2. Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС. 8 Задача: Плоскость Г задана АВС (рис. 2-5). Точка М(М1) принадлежит Г. Найти М2. М(М1) Г(АВС). М2 = ? Â2 À2 Ñ1 Ì À1 Ñ2 1 Â1 Рис. 2-5 Решение: Через точку М1 (рис.2-6) проведём прямую k, параллельную стороне треугольника АВ. Она пересечёт сторону АС в точке 1: k1 A1 B1 ; k1 A1 C1 =11; с помощью линии связи найдём 12, проведём k2 параллельно А2В2 ней найдём точку М2: Â2 Ì À2 k2 12 À1 11 2 Ñ2 Ñ1 k1 Ì 1 Â1 Рис. 2-6 Алгоритмическая запись решения: 11 A1C1 12 A2C2; 12 k2, k2 A2B2; M2 k2. Как вы думаете? Сколько решений имеет эта задача? Плоскости частного положения Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения. Имеется две группы таких плоскостей: 1. Проецирующие плоскости 2. Плоскости уровня 9 Проецирующие плоскости Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей. Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами. Горизонтально проецирующая плоскость Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г П1 (рис. 2-7а, 2-7б). Графический признак: Горизонтальная проекция Г1 горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция. Например: Г П1 - горизонтально проецирующая плоскость. Г П1 Г1 - прямая линия, главная проекция. - угол наклона плоскости Г к П2. Ï2 à Ã1 Ï 1 Рис. 2-7а Пространственный чертеж Ã1 Рис. 2-7б Плоский чертеж Фронтально проецирующая плоскость Это плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций: П2 (рис. 2-8а, 2-8,б) Графический признак: Фронтальная проекция 2 фронтально проецирующей плоскости - прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция. 10 Ï2 M2 Ì 2= à2 = b2 = M2 à b a1 M1 b1 Ï 1 Рис. 2-8а Пространственный чертеж M2 2= à2 = b2 = M2 M1 a1 b1 Рис. 2-9б Плоский чертеж (а b) П2 - фронтально проецирующая плоскость. П2 2 - главная проекция. - угол наклона плоскости к П1. Прямые а и b а2, b2 = 2 Точка М М2 = 2 Плоскости уровня (дважды проецирующие) Если плоскость перпендикулярна одновременно двум плоскостям проекций, а, следовательно, параллельна третьей, то она называется плоскостью уровня. Горизонтальная плоскость уровня Это плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций: П1 (рис. 2-9а, 2-9,б). À2 2 =ò 2 Â2 Ï 2 ò  Â1 À ò1 Ï1 À1 Рис. 2-8а Пространственный чертеж 11 2=ò 2 À2 Â2 ò1 Â1 À1 Рис. 2-8б Плоский чертеж 2 П1 – горизонтальная плоскость уровня. 2 – главная проекция. 2 А2А1. 3 m m2 =2; П1 m1 - натуральная величина m Графический признак: Фронтальная проекция 2 горизонтальной плоскости уровня - прямая линия, перпендикулярная линиям связи в системе П2 –П1. Это главная проекция. Так как каждая плоскость уровня параллельна одной из плоскостей проекций, то все плоские фигуры, расположенные на плоскости уровня, проецируются на соответствующую плоскость проекций без искажений. Фронтальная плоскость уровня Это плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций: Ф П2 (рис. 2-10а, 2-10б). Ï2 Â2 Ñ2 À2  À Ñ À1 Ï Ô 1 Ô1 Â1 Ñ1 Рис. 2-10а Пространственный чертеж 12 2 Â2 Ñ2 À2 À1 Ñ1 Â1 1 Рис. 2-10б Плоский четеж Плоскость задана АВС, - фронтальная плоскость уровня. Ф 1 Ф П2 ; Ф1 А2А1; АВС Ф А1В1С1 = Ф1; A2B2C2 -натуральная величина Ф 3 АВС Графический признак: Горизонтальная проекция Ф1 фронтальной плоскости уровня - прямая линия, перпендикулярная линиям связи в системе П1 –П2 . Это - главная проекция. Особые линии плоскости. Если прямая принадлежит плоскости и занимает в ней какое-то особое положение, то она называется особой линией плоскости. К ним относятся линии уровня плоскости: горизонталь, фронталь и профильная прямая, а также линии наибольшего наклона плоскости. Горизонталь плоскости Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций Г (a b) Построить: h Г; h П1 1. Проводим h2 перпендикулярно линиям связи. à2 12 h2 11 b2 22 21 b1 a1 Рис. 2-11а 2. Так как h принадлежит плоскости, то h1 находим по двум точкам в плоскости (1 а, 2 b). h1 -натуральная величина h. 13 à2 b2 12 h2 22 21 b 1 h 1 a1 11 Рис. 2-11б Построение горизонтали в плоскости начинают с фронтальной проекции h2: она всегда перпендикулярна линиям связи в системе П2 –П1. h1 находят по принадлежности плоскости. Если плоскость - фронтально проецирующая, то горизонталь такой плоскости – фронтально проецирующая прямая (рис. 2-12). à2 =b2 =Ã2 12 =22 =h2 21 h1 a1 b1 11 Рис. 2-12 Г(a b) П2; h Г; h П1 Так как плоскость Г - фронтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П1 - фронтально проецирующая прямая h П2 Фронталь плоскости Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций (m n) Построить: f ; f П2 1. Проводим f1 перпендикулярно линиям связи. 14 22 12 m2 n2 n1 21 m1 11 f 1 Рис. 2-13а 2. Так как f принадлежит плоскости, то f2 находим по двум точкам в плоскости (1 m, 2 n). 12 f2 2 2 m2 n2 n1 21 m1 11 f 1 Рис. 2-13б Построение фронтали в плоскости начинают с горизонтальной проекции f1 : она всегда перпендикулярна линиям связи в системе П2 –П1. f2 находят по принадлежности плоскости. Это - натуральная величина f. Если плоскость - горизонтально проецирующая, то фронталь такой плоскости горизонтально проецирующая прямая (рис. 2-14). (m n) П1; f ; f П2 m2 n2 22 f2 12 1= n1= ò 1 11=21=f 1 Рис. 2-14 Так как плоскость - горизонтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П2 - горизонтально проецирующая прямая f П1 . 15 Линия наибольшего наклона плоскости Это прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная одной из линий уровня плоскости. С её помощью определяют угол наклона заданной плоскости к одной из плоскостей проекций. Условимся линию наибольшего наклона плоскости к П1 обозначать буквой g , к П2 буквой е. Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската (рис. 2-15). Из физики известно, что шар, выпущенный из руки в точке А, покатится в плоскости Ф по линии ската g , перпендикулярной m - линии пересечения плоскостей Ф и П1. Ô À g Ï1 m Рис. 2-15 Рассмотрим подробно построение этой линии на конкретном примере. Задача: Определить угол наклона плоскости Ф к горизонтальной плоскости проекций (рис. 2-16). Ô Ï1 Рис. 2-16 Пространственная модель. Мерой двугранного угла является линейный угол. Следовательно, нам нужно определить угол между прямой g , перпендикулярной m (линии пересечения плоскостей Ф и П1), и её горизонтальной проекцией g1 (рис. 2-17). 16 Ô g g1 Ï1 m Рис. 2-17 Однако, в плоских чертежах линии пересечения заданных плоскостей с плоскостями проекций чаще всего отсутствуют. Поэтому, для построения линии g в плоскости Ф возьмём в этой плоскости горизонталь h (рис. 2-18). Она будет располагаться параллельно m , так как m = Ф П1, а h П1. Поскольку g m , а h m , то g h . Ô h g Ï1 m Рис. 2-18 Спроецируем h на П1, получим h1 (рис. 2-19). Так как h m , mo h1 m1. Ô h g h1 m Рис. 2-19 17 Ï1 Согласно теореме о проецировании прямого угла (2 свойство ортогонального проецирования), если g h, mo g1 h1. Проводим g1 (рис. 2-20). Угол между g u g1 - есть угол наклона плоскости Ф к П1. Ô h g h1 g1 Ï1 m Рис. 2-20 Таким образом, угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций - это угол между горизонтальной проекцией линии ската этой плоскости и её натуральной величиной. Выполним алгоритмическую запись вышеизложенного: Ф П1 = g g1; g h g1 h1. Плоский чертёж. Зададим плоскость Ф треугольником АВС (рис. 2-21). Алгоритм решения задачи: 1. Проводим в плоскости Ф(АВС) горизонталь h(h1,h2). 2. Проводим g1(B1K1) h1. Находим g2(B2K2) по принадлежности плоскости. 3. Находим натуральную величину g методом прямоугольного треугольника (рис. 2-21). Â2 Â2 h2 12 h2 12 Ñ2 À2 Â2 À2 h1 À1 Ê1 Ñ1 g1 À1 11 Â1 Ê2 Ê1 Ñ1 h1 g1 À1 11 11 Â1 Â1 Рис. 2-21 4. Угол между g1 u g - есть угол наклона плоскости Ф(АВС) к П1. 18 Ñ2 g2 À2 h1 h2 12 Ñ2 Ñ1 Â2 Ñ2 g2 À2 Ê2 Ñ1 Ê1 À1 g1 í . â. g Ê 1 Â1 Рис. 2-22 Полное решение задачи представлено на рис. 2-23. Â2 12 À2 h2 Ê2 Ê1 h1 g1 À1 Ñ2 g2 11 Ñ1 í . â. g Ê 1 Â1 Рис. 2-23 Аналогично можно решить задачу на определение угла наклона плоскости Ф к П2. Для этого в плоскости Ф нужно взять фронталь, линию наибольшего наклона плоскости к П2 - е строить перпендикулярно фронтали (е2 f2 е) и находить натуральную величину е на П2. После вышесказанного, рассмотрим задание плоскости с помощью линии ската g (рис.2-24а) и линии наибольшего наклона плоскости к П2 - е (рис.2-25а). В первом случае при решении конкретных задач к линии ската необходимо добавить горизонталь (h2 линиям связи, h1 g1) (рис.2-24б); во втором к линии наибольшего наклона е добавляют фронталь (f1 линиям связи, f2 е2)(рис. 2-25б). В обоих случаях плоскость получается заданной пересекающимися прямыми. 19 g2 g2 h2 h1 g1 g1 а) б) Рис. 2-26 e2 e2 f2 f1 e1 e1 а) б) Рис. 2-27 Прямая, параллельная плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Задача: Через точку К(К2,К1) провести прямую m(m1), параллельную плоскости (ab) b2 a1 K2 à2 m1 b1 K1 Рис. 2-27 Алгоритм 1. В плоскости (рис. 2-28) проведём прямую n, параллельную m. Для этого сначала проведём 1121 m1, затем найдём 1222 в плоскости. Это будет n2 20 12 b2 à2 K2 m1 b1 a1 11 22 n1 K1 21 Рис. 2-28 2. Через 1222 проведем n2 .Через точку К2 проводим m2 параллельно n2. 3. Согласно пятому свойству параллельного проецирования прямая m параллельна прямой n, но n , следовательно, m 12 n2 b2 à2 n1 m2 K2 K1 b1 a1 11 22 m1 21 Рис. 2-29 Взаимная параллельность плоскостей Построение двух взаимно параллельных плоскостей основано на известном положении, что две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Задача: Через точку К(К1К2) (рис. 2-31.а) провести плоскость , параллельную плоскости Г(АВС). Плоскость задать пересекающимися прямыми. À2 Ê2 Â2 À1 Ñ2 Â1 Ñ1 21 Ê1 Рис. 2-30 Алгоритм: 1. Плоскость зададим прямыми m n = K (рис. 2-31). 2. Прямую m возьмём параллельно стороне СВ треугольника. Если m СВ, то m1 C1B1, a m2 C2B2 3. Прямую n возьмём параллельно стороне АВ треугольника. Если n AB, mo n1 A1B1, a n2 A2B2. 4. Таким образом, плоскости (АВС) и (m n) параллельны. À2 Ê2 Â2 À1 ò2 ï2 ò1 ï1 Ñ2 Â1 Ê1 Ñ1 Рис. 2-31 Как вы думаете? 1. Сколько решений может иметь задача, представленная на рис. 2-30? 2. Чем можно ещё задать плоскость , кроме решения, приведённого на рис. 2-31? 3. Сколько ответов может быть у задачи, представленной на рис. 2-29? Почему? Выводы: 1. В общем случае плоскость определяют три точки. 2. Общий признак плоскостей частного положения - одна из проекций вырождается в прямую линию. 3. Точку в плоскости находят по принадлежности какой-нибудь прямой этой плоскости. 4. В любой плоскости можно построить прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к каждой из плоскостей проекций. 5. Через точку, лежащую вне плоскости, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной плоскости, но только одну плоскость, параллельную заданной. Справочный материал Примеры изображения плоскостей общего и частного положения, заданные геометрическими фигурами Плоскости общего положения Графический признак плоскости общего положения: ни одна из проекций не есть прямая линия. 22 Â2 À2 Â1 À1 à2 Ñ2 à1 Ñ1 1. (À,Â,Ñ) Â2 ñ2 Â1 ñ1 à1 ò2 ï2 ï1 ò1 4. (ñ à) 3. (ò ï) 2.Ã(à,Â) Â2 à2 À2 Ñ2 À1 Ñ1 Â1 5. (ÀÂÑ) Рис. 2-32 Горизонтально проецирующие плоскости Плоскости горизонтальные проекции которых есть прямые линии не и не Л.С.(линиям связи). Â2 À2 À1 Ñ2 à2 1. (À,Â,Ñ) à2 ñ2 Â2 ò2 ï2 Â1 à1 Ñ1 Â1 Â2 ñ1 =à1 3. (ò ï) 2.Ã(à,Â) Ñ2 À2 ï 1 =ò 1 Â1 À1 4. (ñ à) Ñ1 5. (ÀÂÑ) Рис. 2-33 Фронтально проецирующие плоскости Плоскости, фронтальные проекции которых есть прямые линии не и не Л.С. À2 Â2 À1 Ñ2 à2 Â1 Ñ1 1. (À,Â,Ñ) Â2 Â1 à1 ò2 = ï 2 à2 =ñ2 2.Ã(à,Â) ñ1 à1 3. (ò ï) ï1 4. (ñ à) ò1 À2 Â2 Ñ1 À1 Â1 5. (ÀÂÑ) Рис. 2-34 Горизонтальные плоскости уровня Плоскости, фронтальные проекции которых есть прямые линии Л.С. 23 Ñ2 Â2 Ñ2 À2 À1 Â2 à2 Â1 Ñ1 à2 =ñ2 Â1 à1 1. (À,Â,Ñ) ò2 = ñ1 ï1 à1 ò1 À2 Â2 Ñ2 Ñ1 À1 Â1 5. (ÀÂÑ) 4. (ñ à) 3. (ò ï) 2.Ã(à,Â) ï2 Рис. 2-35 Фронтальные плоскости уровня Плоскости, горизонтальные проекции которых есть прямые линии Л.С. À2 Â2 Ñ2 Â2 à2 à1 À1 Â1 Ñ1 1. (À,Â,Ñ) Â1 2.Ã(à,Â) à2 ñ2 ñ1 =à1 3. (ò ï) ò2 ï 1 =ò 1 4. (ñ à) Â2 ï2 Ñ2 À2 À1 Â1 5. (ÀÂÑ) Рис. 2-36 Контрольные вопросы 1. Чем может быть задана плоскость на чертеже? 2. Как могут располагаться плоскости относительно плоскостей проекций и как они называются? 3. Сформулируйте условие взаимной принадлежности точки и прямой плоскости. 4. Какие прямые называются особыми линиями плоскости? 5. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей. 24 Ñ1 Тест № 1 À2 Â2 Â1 1 À2 Ñ2 Ê2 Ê1 ò2 ò Ñ1 1 À1 À1 2 3 Ê2 ï2 Ì ï1 À1 Ê1 Ê2 2 À2 Ì 4 ò ï2 ï1 Ì À2 5 Ê2 2 Â2 ò 1 À1 Ê1 Ì 2 1 Â1 Ì Â2 À1 1 1. На каком чертеже точка М принадлежит плоскости? 2. В каком случае АК является фронталью плоскости? 3. На каком чертеже показан прямоугольный треугольник? 4. На каком чертеже АК - горизонталь плоскости? 5. Укажите чертёж плоскости уровня. 6. На каком чертеже АК является линией ската плоскости? 7. Укажите чертёж горизонтально проецирующей плоскости. 8. На каком чертеже имеется натуральная величина треугольника? Задание поверхности на комплексном чертеже Самая занимательная для нас поверхность на земле - это человеческое лицо. Г.Лихтенберг В этом разделе Вы узнаете, что поверхности подразделяются на линейчатые и нелинейчатые. Научитесь задавать и конструировать поверхности. Строить точки и линии по принадлежности поверхности. Узнаете, чем отличается цилиндрическая линейчатая поверхность от цилиндра вращения и цилиндроида. Как Вы думаете? 1. Какая поверхность применялась для создания прожекторов и фар автомобилей? 2. Какая поверхность использовалась для создания конструкции радиомачты на Шаболовке высотой 160м в 1921 году? 3. Принадлежит точка А поверхности , или нет (рис. 2-37)? 4. Чем отличается сфера от шара? 2 1 À1 25 Ñ2 Â1 à1 Ê1 1 À2 à2 Ì 2 6 Ñ1 Рис. 2-37 Мы живем в мире поверхностей - плоских и кривых, простых и сложных, созданных природой и рукой человека. Как их отобразить на чертеже? Существует несколько способов задания поверхности: аналитический, графический, кинематический. В начертательной геометрии чаще поверхность задают кинематически - как множество всех положений перемещающейся по определенному закону линии в пространстве. Эта линия называется образующей - l. Как правило, она скользит по некоторой неподвижной линии, называемой направляющей - m, направляющих может быть одна или несколько. Образующая l , скользя по неподвижной направляющей m, создает плотную сеть линий. Такое упорядоченное множество линий поверхности называется ее каркасом: ò s l Ì Рис. 2-38 Каркасы бывают непрерывными – поверхность задана всем множеством образующих, или дискретными, когда имеется конечное число образующих. При построении дискретного каркаса поверхности необходимо учитывать закон каркаса. Закон каркаса - это закон движения образующей. Любое тело ограничивается своей поверхностью. Тело - конечно и состоит из конкретного материала - металла, пластмассы, древесины. Поверхность является абстрактной фигурой, не имеющей толщины, т.е. образно говоря, это тонкая пленка, натянутая на каркас поверхности. Например, шар - тело, которое ограничено сферой - поверхностью. Определитель поверхности Минимальная информация, необходимая и достаточная для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже, есть определитель - D поверхности. Определитель состоит из двух частей: D = G + А. Геометрическая часть - G устанавливает набор геометрических фигур (геометрических элементов), участвующих в образовании поверхности, например: (m,s) (рис 2-38); Алгоритмическая часть - А устанавливает закон (характер) взаимодействия геометрических фигур в процессе образования поверхности, например: l m, l s (рис. 2-38) При построении чертежа поверхности алгоритмической частью определителя является закон каркаса поверхности. Очерк проекции поверхности На рис. 2-39а показана поверхность Г, которую ортогонально проецируют на плоскость проекций П1 (рис. 2-34б). Проецирующие прямые касаются поверхности Г и образуют цилиндрическую поверхность П1. Эти проецирующие прямые касаются поверхности Г в 26 точках, образующих некоторую линию m принадлежащую Г, называемую контурной линией данной поверхности. Проекция контурной линии на плоскость проекций называется очерком проекции поверхности - m1. П1 = m1 ò ò - êî í ò óðí àÿ ëèí èÿ ò1 ò 1 - ëèí èÿ î ÷åðêà 1 Рис. 2-34а 1 Рис. 2-34б 1 Рис. 2-34в m1 - очерк поверхности на горизонтальную плоскость проекций (очертание, линия очерка, очерковая линия). Таким образом, очерком проекции поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части какой-либо плоскости проекций. Классификация поверхностей Мир поверхностей велик и разнообразен. Существует много подходов к вопросу классификации поверхностей. За основу классификации, чаще всего, принимаются форма образующей и закон ее перемещения в пространстве. Надо иметь в виду, что одни и те же поверхности могут быть отнесены одновременно к нескольким типам. Например, цилиндрическая поверхность вращения: как к поверхностям вращения, так и к линейчатым; прямой геликоид: как к винтовым поверхностям, так и к линейчатым (винтовой коноид). 27 Ï Î ÂÅÐÕÍ Î ÑÒÈ Ëèí åé÷àò ûå Ì í î ãî ãðàí í ûå Ï ðèçì àò è÷åñêèå Ï èðàì èäàëüí ûå Êðèâûå Öèëèí äðè÷åñêèå Êî í è÷åñêèå Êàí àëî âàÿ Öèëèí äðî èäû Êî í î èäû Ãèï åðáî ëè÷åñêèå ï àðàáî ëî èäû Òðóá÷àò àÿ Í åðàçâåðò ûâàþù èåñÿ ï î âåðõí î ñò è Ï ðÿì î é ãåëèêî èä Ðàçâåðò ûâàþù èåñÿ ï î âåðõí î ñò è Öèêëè÷åñêèå Í àêëî í í ûé ãåëèêî èä Âèí ò î âûå (êàñàÿ ï ëî ñêî ñò ü) Ï î âåðõí î ñò è âðàù åí èÿ Î áù åãî âèäà Öèëèí äð Êî í óñ Ñô åðà Ýëëèï ñî èä Ï àðàáî ëî èä Ãèï åðáî ëî èä î äí î ï î ëî ñò í ûé Ãèï åðáî ëî èä äâóï î ëî ñò í ûé Ï î âåðõí î ñò è 4- ãî ï î ðÿäêà Ï î âåðõí î ñò è 2- ãî ï î ðÿäêà Çàêî í î ì åðí ûå Òî ð î ò êðûò ûé (êî ëüöî ) Òî ð çàêðûò ûé (ñàì î ñî ï ðèêàñàþù èéñÿ) Òî ð çàêðûò ûé (ñàì î ï åðåñåêàþù èéñÿ) Рис. 2-40 Алгоритм конструирования поверхности Поверхность считается графически заданной на комплексном чертеже, если можно построить точку на поверхности. Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности. Так какую линию лучше выбрать для построения точки на поверхности? Для линейчатых поверхностей выбирают образующую. Для других поверхностей выбирают графически простые линии, к которым относят прямую и окружность. 28 Напомним, что основным требованием, предъявляемым к чертежам, является их обратимость и наглядность. При задании поверхности только геометрической частью определителя можно построить, в принципе, каждую точку поверхности (примером может служить плоскость, заданная тремя точками). Рассмотрим пример задания замкнутой треугольной призмы проекциями геометрической части определителя (АВС,S) (рис. 2.41). Ì Ñ2 S2 2 À2 Â2 À1 S1 Â1 Ñ1 Рис. 2-41 Поверхность действительно задана, т.к. можно построить недостающую проекцию точки М(М1) (рис. 2.42), т.е. чертеж обратим, но не является наглядным. Следовательно, необходимо дополнить чертеж поверхности ее очертаниями. Поэтому конструировать поверхности мы будем с помощью построения дискретного каркаса, проекции которого обеспечат обратимость и наглядность чертежа поверхности. Ì Ñ2 S2 2 À2 Â2 À1 Â1 S1 Ì 1 Ñ1 Рис. 2-42 Сконструировать поверхность - это значит построить проекции поверхности, состоящие из проекций определителя и проекций характерных линий, к которым относятся линии контура и линии обреза. Алгоритм (последовательность построения чертежа любой поверхности): 1. Задать проекции элементов определителя (будем иметь в виду задание проекций геометрической части определителя). 2. Построить проекции дискретного каркаса, состоящего из конечного числа графически простых линий. 29 3. Построить проекции линии обреза, которые для образования поверхности существенной роли не играют, они лишь ограничивают, обрезают поверхность. 4. Определить видимость проекций поверхности. 5. Обвести видимые линии проекций поверхности сплошной толстой линией. Задание линейчатых поверхностей на комплексном чертеже Развертывающиеся поверхности Многогранные поверхности Многогранники - геометрические тела, поверхность которых состоит из отсеков плоскостей, ограниченных многоугольниками. l S S2 ò l2 Ì Ì À2 Â2 À1 ëèí èÿ î áðåçà l1 S1 Â1 Рис. 2-43а Рис. 2-43б 30 2 Ñ2 Ì 1 ò2 Ñ1 ò1 ò s l l2 Ì ò2 Ì2 À2 Â2 Ñ2 D2 Ñ1 ò1 Ì l 1= À1 ëèí èÿ î áðåçà Рис. 2-43в D1 1 Â1 Рис. 2-43г Эти многоугольники называются гранями (например: АВS и ВСS на рис. 2-43б); общие стороны смежных многоугольников - ребрами (например: АS, ВS на рис. 2-43б); вершины многогранных углов, образованных его гранями - вершинами многогранника (например: S рис. 2-43б); совокупность вершин и соединяющих их ребер - дискретным каркасом многогранника. Различают два вида гранных поверхностей с одной направляющей: 1. Пирамидальная поверхность общего вида, рис. 2-43а, (частный случай-пирамида, рис. 2-43б). 2. Призматическая поверхность общего вида, рис. 2-43в, (частный случай-призма, рис. 2-43г). Комплексный чертеж пирамидальной поверхности Пирамидальная поверхность образуется в результате перемещения прямолинейной образующей (l) по ломаной направляющей (m), в каждый момент движения проходя через некоторую фиксированную точку - S (вершину). Задача: сконструировать пирамидальную поверхность с дискретным каркасом из трех образующих М(М2 ) , М1 = ? Определитель поверхности: (m, S) - геометрическая часть l m(АВС), S l алгоритмическая часть или закон каркаса Алгоритм построения 1. Задать проекции элементов определителя (рис. 2-44) 31 S2 À2 ò2 Â2 Ñ2 S1 Ñ1 ò1 Â1 À1 Рис. 2-44 2. Построить проекции поверхности (дискретный каркас) - это значит провести три образующие, соединив точки А,В,С с точкой S (рис.2-45). 2 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 42 Ì À2 S2 2 (12 )=22 Â2 Ñ2 Ñ1 À1 S1 32 11 1 (31)=41 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 21 Рис. 2-45 32 Â1 S2 2 Ì 2 À2 S1 52 Â2 Ñ2 Ñ1 Ì À1 1 1 Â1 51 Рис. 2-46 3. Построить проекции линии обреза. В данном случае это- m (АВС) 4. Определить видимость поверхности (ребер и направляющей ломаной относительно друг друга методом конкурирующих точек). Точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие, определяют видимость относительно П2. Точки 3 и 4 - горизонтально конкурирующие, определяют видимость относительно П1. Часть С2S2 - видима, т.к. рассматриваем только боковую поверхность без основания (рис. 2.46). 5. Точка М(М2) принадлежит грани АВS(А2В2S2). Чтобы построить М1 (рис.2.41) нужно через точку М2 провести какую - либо линию принадлежащую (точнее, грани А2В2S2), проще всего провести образующую 52S2 М2 , построить ее горизонтальную проекцию 51S1 М1. Точка М1 - видима, т.к. на П1 грань А1В1S1 - видима. Задача: сконструировать пирамидальную поверхность общего вида , а(а2) , а1 = ? Определитель поверхности: (АВDС, S), l ABCD, l S 1. Задать (построить) проекции элементов определителя. 33 S2 Â2 ò2 À2 À1 ò1 À2 D2 S1 Ñ2 C1 D1 Â1 ò2 S2 Â2 À1 ò1  1 D2 Ñ2 C1 S1 D1 Рис. 2-47 Для удобства построения ломаную АВDС делаем плоской. Для этого проводим ее диагонали. Поднимая или опуская одну из точек (D) , добиваемся того, чтобы m стала плоской (рис. 2-47). 2. Построить проекции поверхности (дискретный каркас) - это значит провести четыре образующих (ребра). 3. Построить проекции линии обреза -сама направляющая является линией обреза: m(АВСD) (рис. 2-48) 4. Определить видимость поверхности. а) Относительно П2: точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие. б) Относительно П1: точки 3 и 4 горизонтально конкурирующие. 34 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 ò2 S2 Â2 42 (12 )=22 À2 D2 32 À1 C1 (31 )=41 ò1 Â1 S1 Ñ2 11 à2 D1 21 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Рис. 2-48 5. а , а2 52, 62, 72, 82 - точки строятся по принадлежности образующим (ребрам), следовательно а1 51, 61, 71, 81 (рис. 2-49). 35 2 S2 à2 Â2 52 (62 ) 72 82 D2 À2 Ñ2 À1 61 (C1) 71 51 Â1 (81 ) D1 S1 1 à1 Рис. 2-49 Комплексный чертеж призматической поверхности Представим, что вершиной пирамидальной поверхности станет несобственная точка S , т.е. все ребра поверхности будут параллельны друг другу, тогда получим призматическую поверхность с направлением движения образующей - s. Призматическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по ломаной направляющей (m), при этом всегда оставаясь параллельной некоторому направлению (s) Задача: сконструировать призматическую поверхность с дискретным каркасом из трех образующих, М(М2), а(а1) , М1, а2 =? Определитель поверхности: (m,s); l АВС, l S Алгоритм построения 1. Задать проекции элементов определителя (рис. 2-50). 36 Â2 À2 Ñ2 s2 Ñ1 s1 À1 Â1 Рис. 2-50 2. Построить проекции поверхности. Длины ребер возьмем одинаковыми (рис. 2-51): а) Провести фронтальные проекции образующих из точек А2В2С2 s2 , отложить на них отрезки одинаковой длины: А2А21, В2В21, С2С21, А21В21С21 - проекция линии обреза б) Провести горизонтальные проекции образующих из точек А1В1С1 s1; в) Построить в проекционной связи с А21В21С21 А11В11С11. Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 Â2 À2 s2 À2 12 =(22 ) Ì 21 À1 11 Ñ1 (31)=41 à1 Â1 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Рис. 2-51 3. А1 В1 С11 1 и А2 В21С21 1 - проекции линии обреза. 4. Определить видимость поверхности: 37 1 1 Ñ1 Â1 1 Ñ2 2 À1 1 42 32 Ñ2 s1 1 Â2 1 1 а) Относительно П1: точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие б) Относительно П2: точки 3 и 4 - горизонтально конкурирующие. 5. Построить М (рис. 2-52). Точка М принадлежит грани ВСВС, т.к. М2 задана видимой. Через М2 проводят l2 s2, через точку 9(91,92) строят l1 s1 , из точки М2 проводят линию связи на l1 М1, которая частично невидима, т.к. горизонтальная проекция грани В1С1В1С1 невидима (рис. 2-52). 6. Построить а(а2) , ломаную линию а строят по принадлежности ее звеньев соответствующим граням, для этого на а отмечают точки пересечения с ребрами 51, 61, 71, 81. Из каждой точки проводят линию связи до пересечения с соответствующими ребрами (рис. 2-52). Видимость а2 определяется видимостью граней, которым принадлежат звенья ломаной линии. à2 Â2 52 À2 62 (À2 ) Ì 72 2 Ñ2 À1 2 Â2 82 92 l2 Ñ2 À1 51 (Ñ)1 (61 ) à1 (Ì 1 ) (71 ) Â1 81 l1 91 Â1 Ñ1 1 Рис. 2-52 Проецирующая призма У призматической поверхности все ее образующие (ребра) параллельны (l s). Если направление s совпадает с направлением проецирования, то поверхность займет проецирующее положение. При этом ее ребра на П1 (рис. 2-53) спроецируются в точки - 11,21,31,41, а грани в отрезки - 1121; 2131; 3141; 4111. 38 Ì 12 2 2 à2 22 41 s2 32 42 21 11 ò2 31 ò 1= 1 =Ì 1 =à1 s1 Рис. 2-53 Если П1, то ее горизонтальная проекция 1 вырождается в линию, которая обладает собирательными свойствами и называется главной проекцией: П1, М(М2), а(а2), значит М1, а1 = 1. Призма может занимать горизонтально; фронтально; профильно проецирующие положения. Задание кривых линейчатых поверхностей Продолжаем изучение линейчатых поверхностей. У линейчатых кривых поверхностей образующая - l также является прямой линией, а направляющая - m (в отличие от ломаной у гранных) кривая линия. Как гранные, так и кривые линейчатые поверхности относятся к развертывающимся, они могут без деформаций (без складок и разрывов) совмещаться с плоскостью (рис. 2-54; 2-55). S l ò Ì Ëèí èÿ î áðåçà 39 Рис. 2-54 Коническая поверхность общего вида ò s Ì l Ëèí èÿ î áðåçà Рис. 2-55 Цилиндрическая поверхность общего вида Задание конической поверхности общего вида на комплексном чертеже Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по кривой направляющей (m), в каждый момент движения проходя через некоторую фиксированную точку (s). Задача: сконструировать коническую поверхность общего вида ; М(М2), а(а1) , М1, а2 =? Определитель поверхности: (m, S); l m, l S 1. Задать проекции элементов определителя: (m, S) (рис. 2-56) S2 ò2 ò1 S1 Рис. 2-56 2. Построить дискретный каркас из 6 образующих на П1 и П2 (рис. 2-57): точками 11, 21, 41 - обозначены точки, принадлежащие очерковым образующим на горизонтальной проекции, при этом 41 - является точкой касания очерковой к направляющей m1; 40 точками 12, 22, 32, 42 - обозначены точки, принадлежащие очерковым образующим на фронтальной проекции, при этом 32, 42 являются точками касания очерковых образующих к направляющей m2 . 3. Определить видимость (Рис 2-57 ): а) Относительно П1 точки 5 и 6 - фронтально конкурирующие. б) Относительно П2 точки 7 и 8 - горизонтально конкурирующие. 4. Построить линию обреза, в данном случае, сама m является линией обреза. Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 S2 82 ò2 32 12 22 72 ò1 2 42 51 31 11 Ì (52 )=62 41 à1 (71 )=81 21 61 S1 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Рис. 2-57 5. Чтобы построить М1 (Рис 2.58), через М2 проводят образующую и строят ее горизонтальную проекцию, т.к. горизонтальная проекция образующей является невидимой, то точка М1 будет невидимой. 6. Чтобы построить а2 (Рис. 2.58), на а1 отмечают несколько точек (чем больше, тем точнее будет построена кривая) и строят их по аналогии с точкой М, определяют видимость а2. 41 à2 ò2 2 32 12 S2 Ì 22 2 42 À2 ò1 31 11 41 à1 1 21 (Ì 1 ) À1 S1 Рис. 2-58 Задание цилиндрической поверхности общего вида на комплексном чертеже Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей (l) по кривой направляющей (m), в каждый момент движения оставаясь параллельной заданному направлению (s). Задача: сконструировать цилиндрическую поверхность общего вида , М(М2), а(а1) , М1, а2 =? Определитель поверхности: (m, s); l m, l s 1. Задать проекции элементов определителя: (m, s) (рис. 2-59) 42 ò2 s2 Ì 2 à1 s1 ò1 Рис. 2-59 2. Построить две проекции дискретного каркаса поверхности из пяти образующих. а) Прямая s(s1 s2), определяющая направление движения образующей, занимает положение фронтали. На фронтальной проекции направляющей m2 берется несколько точек (12, 22, 32, 42, 52), положение точки 42 определяется образующей, касательной к m2 .Из всех точек проводятся линии связи, определяющие положение горизонтальных проекций этих точек (11 ,21, 31, 41, 51). б) Из точек (12, 22, 32, 42, 52) проводятся образующие, параллельные s2 (рис. 2-60). в) Из точек (11, 21, 31, 41, 51) проводятся образующие, параллельные s1 (рис. 2-60). г) На П2 строится линия обреза. Длина образующих выбирается одинаковой (можно задать в мм, например, 45 мм). Образующие на П2 проецируются без искажения, как фронтали. д) Линия обреза на П1 строится по точкам, в проекционной связи. ò2 s2 12 22 32 4 2 Ì 2 52 51 s1 31 21 ò1 à1 41 11 Рис. 2-60 3. Построить горизонтальную проекцию линии обреза, определить видимость поверхности (рис. 2-61), с помощью конкурирующих точек А и В или рассуждая о положении образующих на П1 относительно П2. Образующая, проходящая через точку 11, ближе к наблюдателю, чем образующая, проходящая через 51, поэтому на П2 образующая 52 будет невидима. 43 ò2 s2 Ì 22 32 (À2 )=Â2 12 2 52 42 51 s1 à1 41 31 21 ò1 À1 Â1 11 Рис. 2-61 4. Обвести поверхность с учетом видимости. Чтобы построить М1, нужно через М2 провести образующую и построить ее горизонтальную проекцию (рис. 2-62). Чтобы построить а2, нужно отметить точки пересечения а1 с образующими поверхности, построить фронтальные проекции этих точек и соединить плавной кривой с учетом видимости. ò2 s2 12 Ì 22 32 à2 2 (52 ) 42 51 s1 31 21 41 Ì ò1 11 à1 1 Рис. 2-62 Неразвертывающиеся линейчатые поверхности с двумя направляющими К ним относятся поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана). 44 Линейчатые поверхности с двумя направляющими (m, n) - у которых образующая прямая линия (l) в каждый момент движения, пересекая направляющие, остается параллельной некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма. Различают три вида таких поверхностей: 2 2 ò2 ò2 ò2 ï2 ï2 ï2 ò1 ò1 ò1 ï1 ï1 1 1. Цилиндроид - если направляющими являются две кривые линии (плоские или пространственные) (рис. 2-63, 2-64) l ò ï Рис. 2-63 2 ò2 ï2 ò1 ï1 Цилиндроид 45 ï1 Рис. 2-64 2. Коноид - если одна из направляющих- прямая линия, а вторая - кривая (2-65). ò2 ï2 ò1 ï1 1 Коноид Рис. 2-65 3. Гиперболический параболоид (косая плоскость) - если обе направляющие - прямые линии (2-66). 2 ò2 ï2 ò1 ï1 Гиперболический параболоид Рис. 2-66 Цилиндроид Алгоритм построения цилиндроида Для построения образующих (если поверхность уже сконструирована) проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма, и определяют точки их пересечения с направляющими (m, n) (Рис. 2-67). lï ï l1 Рис. 2-67 Для удобства построения часто за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций; тогда образующие становятся линиями уровня. 46 Задача: сконструировать поверхность Ф - цилиндроид, М Ф, М1 = ? 1. Задать проекции элементов определителя: Ф(m, n, П1) (Рис. 2-68) ; 2. Построить проекции поверхности - дискретный каркас из пяти образующих: l m, l n, l П1 Задать проекции элементов определителя m(m1, m2); n(n1, n2). 12 22 ò2 32 ï2 42 52 ò1 ï1 Рис. 2-68 а) На m2, например, взять 5 точек (но чем больше, тем точнее построение поверхности) (12, 22, 32, 42, 52) (рис. 2-69); б) Через эти точки провести пять l П1 62, 72, 82, 92, 102 (рис. 2-70), все l2 линиям связи, т.е. образующие занимают положение горизонталей. 12 22 32 ò2 ï2 42 62 52 51 ò1 ï1 61 Рис. 2-69 в) Построить горизонтальные проекции этих точек на m1 и n1 г) Построить горизонтальные проекции образующих, соединяя: 47 11-101; 21-91; 31-81; 41-71; 51-61 (рис. 2-70). 102 12 92 22 ò2 32 42 72 82 ï2 62 52 51 41 ò1 11 101 31 91 ï1 21 81 61 71 Рис. 2-70 3. Линиями обреза являются образующие 1-10, 5-6. 4. Определить видимость (рис. 2-71). а) Относительно П2 все образующие видимы. б) Относительно П1: образующая 12102 выше всех, поэтому она видима на П1. Другим способом: точки А и В - горизонтально конкурирующие. Обвести проекции поверхности плавной огибающей кривой, учитывая, что это линейчатая, но кривая поверхность. 5. Для построения М1 необходимо провести дополнительную образующую C2D2 C1D1, М1 C1D1. 48 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 À2 102 12 22 Ì 92 2 C2 82 32 42 D2 72 Â2 62 52 51 41 31 C1 11 21 101 À1 =(Â1 ) Ì 91 1 D1 Î ãèáàþù àÿ 81 61 71 Рис. 2-71 Проекции коноида (рис. 2-72) и гиперболического параболоида (рис. 2-74) строятся аналогично цилиндроиду Коноид Т (m, n, П2) М(М2) Т, М1 =? Закон каркаса: l m, l n (n П2), l П2, 49 ò2 ï2 ï1 ò1 Рис. 2-72 Задать проекции элементов определителя m(m1, m2); n(n1, n2). n - фронтально проецирующая прямая. ò2 2 42 32 52 62 7 2 82 92 22 Ì 2 12 ï2 91 ï1 81 71 61 41 51 ò1 31 21 Ì 1 1 11 Рис. 2-73 50 Гиперболический параболоид Г (m, n, ) а(а2) Г, а1 = ? Закон каркаса: l m, l n, l 2 ï2 ò2 ò1 ï1 Рис. 2-74 Задать проекции элементов определителя m(m1, m2); n(n1, n2). 51 2 2 ò2 82 72 ï2 92 102 62 112 122 à2 52 42 32 22 12 11 81 à1 21 91 31 41 51 61 71 132 142 101 111 Î ãèáàþù àÿ ò1 1 ï1 121 132 142 Рис 2-75 Поверхности вращения Поверхности вращения широко распространены в технике - это связано с простотой их обработки. Поверхность вращения образует какая - либо линия - образующая (l) при ее вращении вокруг неподвижной оси (i). Образующая (l) может быть как прямая, так и кривая линия - плоская или пространственная. Свойства поверхности вращения: Каждая точка образующей (l) при вращении вокруг оси опишет окружность с центром на оси, плоскость которой перпендикулярна оси. Эти окружности называются параллелями. Все параллели параллельны между собой. Самая большая параллель называется экваториальной (экватор) (рис. 2-76)- точка (В) максимально удалена от оси; самая малая параллель называется горловой (горло), у некоторых поверхностей вращения отмечают верхнюю (С) и нижнюю (D) параллели (часто они являются линиями обреза поверхности). Линии, которые получаются в сечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами. Все меридианы равны между собой. Каждый меридиан рассекается этой плоскостью на два полумеридиана (правый и левый). 52 Ññ i l À à ëåâûé ï î ëóì åðèäèàí â  D d l - î áðàçóþù àÿ i - î ñü âðàù åí èÿ ñ - âåðõí ÿÿ ï àðàëëåëü à - ãî ðëî â - ýêâàò î ð d - í èæí ÿÿ ï àðàëëåëü ï ðàâûé ï î ëóì åðèäèàí Рис. 2-76 При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось была перпендикулярна к плоскости проекций. (например, i П1) Тогда все параллели проецируются на соответствующую плоскость (П1) без искажения, причем экватор и горло на такой поверхности, как на рис. 2-76, определяют горизонтальную проекцию поверхности. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на плоскость П2. Этот меридиан называется фронтальным или главным, он определяет очерк проекции поверхности на фронтальную плоскость проекций и границу видимости относительно П2. Комплексный чертеж поверхности вращения общего вида Задача: построить поверхность вращения общего вида, (l, i) l i, i П1 (рис. 2-77) 1. Задать проекции элементов определителя, графическая часть определителя может быть задана образующей (l) (рис. 2-77) или любой кривой (k), лежащей на поверхности и пересекающей все ее параллели. i l k 53 Рис. 2-77 Алгоритм построения Если поверхность вращения задана (i, k), i П1, то: 1. Достраивается фронтальная проекция левого полумеридиана Проводятся проекции параллелей в виде отрезков прямых (тонкими линиями), перпендикулярных оси (i): горло, экватор, нижняя и верхняя; дополнительные параллели для точного построения кривой (рис. 2.79). i2 l2 l1 i1 Рис. 2-78 Определитель задан осью – i и образующей – l, которая совпадает с плоскостью фронтального меридиана 2. После симметрично достроенного левого полумеридиана основной сплошной линией обводится очерк на П2 -фронтальный (главный) меридиан. 3. Горизонтальная проекция поверхности вращения есть концентрично расположенные окружности-параллели, которые проецируются без искажения на П1 (т.к. i П1) поэтому i1точка - центр окружностей. Экватор, верхняя параллель, горло на П1 видимы, нижняя невидима, т.к. расположена ниже экватора, а диаметр ее больше горла (рис.2-79). 54 i2 R * R * * * * * * l2 * * * * * i1 l1 Рис. 2-79 4. Видимость точек, принадлежащих поверхности, относительно П1 определяется особыми параллелями (заштрихованные зоны на фронтальной проекции поверхности): относительно П2 главным меридианом (заштрихованная зона на горизонтальной проекции). (Рис. 2-80) 55 2 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 Çî í à âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 (Â2 ) ò2 ò2 1 Ì 2 Ì 2 1 Çî í à âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 À2 ï2 * * Ï ëî ñêî ñò ü ãëàâí î ãî (ô ðî í ò àëüí î ãî ) ì åðèäèàí à Â1 Çî í à âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Ì1* 1 (À1) ò1 ï1 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Рис. 2-80 5. Пусть А(А2) и В(В2) , А1 и В2 = ? Чтобы построить вторую проекцию точки, лежащую на поверхности, через заданную проекцию точки проводят параллель. а) Через точку А2 проводят окружность - параллель (n2). Замеряют радиус этой параллели от оси до очерка и строят ее горизонтальную проекцию (n1). Из точки А2 проводят линию связи на n1 , которая пересекает n1 в двух точках, выбирают нижнюю, т.к. А2 видима, т.е. точка А2 находится перед главным меридианом. Определяют видимость точки А1 - она невидима, т.к. расположена ниже экватора (в незаштрихованной зоне). б) Через точку В1 проводят параллель m1, отмечают точку пересечения с главным меридианом М1, по принадлежности ему отмечают М2, М21, выбирают М2, т.к. В1 на П1 видима, т.е. ее параллель на П2 должна находиться в зоне видимости относительно П1. Через М2 проводят фронтальную проекцию этой параллели m2, из точки В1 проводят линию связи до пересечения с m2. Точка В2 - невидима, т.к. на В1 находится в незаштрихованной зоне, т.е. за главным меридианом. 56 Поверхности вращения второго порядка Цилиндр вращения Цилиндр вращения образуется вращением образующей- l(прямой линией) вокруг параллельной ей оси. Г(i.l), а(а2) Г; а1, а3 =? i2 2 (63 ) à2 42 22 i3 3 l2 52 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 3 12 62 32 13 (53 ) à3 (43 ) 33 23 ó i1 l 1 =61 ó 11 21 31 41 51 1= à1 Рис. 2-81 Алгоритм построения 1) i П1, l i, l - горизонтально проецирующая прямая, значит Г П1 -цилиндр занимает проецирующее положение относительно П1. 2) Г1 - главная проекция, которая обладает собирательными свойствами, поэтому а1 = Г1, 3) а3 строится по свойству принадлежности линии данной поверхности (а Г) (см. рис. 281) 4) Точка 3 расположена на профильном меридиане, поэтому точка 33 является границей видимости на П3 Конус вращения Конус вращения образуется вращением образующей- l (прямой линией) вокруг оси, которую она пересекает. (i, l), a(а2) ; а1, а3 = ? i П1, l i; l - занимает положение прямой уровня (фронтали) l- прямая линия, поэтому цилиндр и конус относят так же и к линейчатым поверхностям. Например, конус можно задать другим способом, как линейчатую поверхность (m,S), S - фиксированная точка, m (окружность, основание конуса) - неподвижная направляющая. Или как циклическую поверхность (m,l), у 57 которой l-образующая есть монотонно меняющаяся окружность, движущаяся по неподвижной направляющей (прямой линии) -m. Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 i2 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 3 3 R2 22 2 3 l2 42 ï ðî ô èëüí ûé ì åðèäèàí * * 32 i3 (43 ) (33 ) 23 * * 2 12 R2 l 1=ãëàâí ûé ì åðèäèàí 13 ó 41 i1 31 11 ï ðî ô èëüí ûé ì åðèäèàí Ãëàâí ûé ì åðèäèàí 2 ó 21 Рис. 2-82 Алгоритм построения а1, а3 1. Сначала отмечают на а2 особые точки (рис. 2.82): Точка 12 11, 13 - по принадлежности окружности основания Точка 42 41, 43 - по принадлежности главному меридиану 2. Промежуточные: 32 31, 33 по принадлежности параллели радиусом – R23 3. Точка 22 21 по принадлежности параллели – R22 22 - 23 по принадлежности профильному меридиану Видимость кривой - а: 1) На П1 кривая а1 видима, т.к. на П1 видима вся поверхность. 2) На П3 границей видимости служит профильный меридиан (точка 23). Сфера Сфера образуется вращением окружности (l) вокруг оси (ее диаметра) (i) Г(i l), - сфера, i П1 А(А2) Г; А1, А3 = ? 58 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î 1 * R2 à2 â1 ñ3 ñ1 ó R2 * y Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î 2 â3 À3 l2 à1 (À1) à3 y À*2 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î 3 ñ2 â2 l1 ó Рис. 2-83 а (а1, а2, а3) - экватор, определяет видимость относительно П1 в (в1, в2, в3) - главный (фронтальный) меридиан, определяет видимость относительно П2 с (с1, с2, с3) - профильный меридиан, определяет видимость относительно П3 Алгоритм построения точки А(А1, А3) 1. а) Для построения А1 через точку А2(задана видимой) проводят параллель, замеряют радиус – R2(от оси до очерка), строят горизонтальную проекцию этой параллели, проводят линию связи из точки А2 А1. б) Определяют видимость А1 - невидима, т.к. точка А(А2) на расположена ниже экватора ( на П2 - в незаштрихованной зоне). 2. а) Для построения А3 из точки А2 проводят линию связи на П3, на П1 замеряют расстояние от фронтального меридиана (в1)- у (параллельно оси У), переносят на П3, откладывая от проекции фронтального меридиана (в3) по линии связи (параллельно оси У) А3 б) Определяют видимость А3 - видима, т.к. точка А(А1) на П1 расположена перед профильным меридианом (на П1 в заштрихованной зоне) (рис.2-83). Пример: (i, l), а(а2) , а1, а3 = ? (рис. 2-84) 59 l2 32 72 62 (33 ) (73 ) (23 ) 1 R2 22 2 (63 ) R2 3 R2 52 42 53 43 3 R2 12 ó 13 ó (11 ) 31 l1 (41 ) (51 ) 71 (61 ) 21 Рис. 2-84 1. Сначала отмечают особые точки (рис. 2-84): Точка 22 21, 23 - по принадлежности экватору Точки 12 11, 13 и 32 31, 33 - по принадлежности главному меридиану Точка 52 51, 53 по принадлежности профильному меридиану 2. Промежуточные: 4, 6, 7 находят с помощью параллелей, радиусы которых замеряют от оси до очерка на П2. Профильные проекции точек находят см. (рис. 2-83) А3. Особые параллели и точки на них являются границами видимости кривой на соответствующих проекциях сферы. Поверхности вращения второго порядка Это поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг оси, лежащей в плоскости симметрии кривой. Эллипсоид вращения Образуется вращением эллипса вокруг оси (рис. 2-85). 60 À Рис. 2-85 Эллипсоид сжатый Эллипс вращается вокруг малой оси (рис. 2-86) l2 i2 À2 i3 =l 3 À3 l1 i1 À1 Рис. 2-86 Эллипсоид вытянутый Эллипс вращается вокруг большой оси (рис. 2-87) l2 À2 i2 À3 i3 l3 À1 l 1 =i1 Рис. 2-87 Параболоид вращения Образуется вращением параболы вокруг её оси (рис. 2-88). 61 l2 ì2 i2 l ì i1 l1 ì1 i Рис. 2-88 Параболоид применяется в прожекторах и фарах автомобилей, где используются фокальные свойства параболы; если в фокусе параболы поместить источник света, то световые лучи, отражаясь от параболы, будут распространяться параллельно друг другу (рис. 2-88-1). На этом же свойстве основано и действие звукоуловителей и радиотелескопов. Рис. 2-88-1 Гиперболоид вращения Образуется вращением гиперболы вокруг её оси. Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения. Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91). 62 ì2 l2 i2 Ì l1 i1 ì1 Рис. 2-89 R1 2 R i2 1 3 5 F2 F1 l2 l1 i1 Определитель однополостного гиперболоида (l, i П1) Рис. 2-90 Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям (l, i П1, l i) (рис. 2-91). l2 i2 i1 l1 Рис. 2-91 63 (ì 2 ) l2 l1 i1 ì 1 Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси. Рис. 2.93. Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла. Ð2 C2 D2 F2 K2 E2 B2 22 32 l A2 12 À1 Â1 11 21 31 42 Ñ1 D1 F1 52 62 72 Ð1 K1 E1 71 61 51 41 Рис. 2-92 Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков). Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l) от экватора до горла (рис. 2-92): 64 1. Разбить горловую (А,В,С...) и нижнюю (1,2,3,..) параллели на 12 равных частей; 2. Из точки 41 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В1 и Е1), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р1, которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П2 пройдут через те же точки (42, В2, Е2). 3. Для остальных точек построение повторить. Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка: 1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x2 + y2 = R2; 2. конус, если образующая пересекает ось вращения k2(x2 + y2) – z2 = 0; 3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются (x2 + y2) / a2 – z2 / d2 = 0 Алгоритм построения главного меридиана однополостного гиперболоида, (i, l) (образующая - прямая линия). При построении однополостного гиперболоида, как линейчатой поверхности, главный (фронтальный меридиан) строится по точкам, чем больше точек, тем точнее построения. Рассмотрим алгоритм построения одной точки (Е), взятой на образующей. i2 i2 l2 Å2 i1 Ï ëî ñêî ñò ü áóäóù åé ï àðàëëåëè l1 Å2 Å1 i1 l1 Å1 l2 Å2 Å1 i1 l1 Å1 i2 l2 Å2 i1 Ï ëî ñêî ñò ü ô ðî í ò àëüí î ãî ì åðèäèàí à Å1 i2 l2 l1 Å1 Графический алгоритм построения одной точки Рис. 2-94 i2 22 22 62 l2 62 12 12 52 52 42 42 32 32 i1 i1 i1 l1 31 41 51 11 61 21 31 41 51 11 61 i1 21 Графический алгоритм построения поверхности 65 31 41 51 11 61 21 Рис. 2-95 1) Задать проекции определителя (i, l), i П1 (рис. 2-95); 2) Распределить точки на l1, которые определят положение будущих параллелей на П1 и П2: Точка 1(11) - определит положение горловой параллели (т.к. это ближайшая точка к оси вращения) Точка 2(21) - определит положение верхней параллели; Точка 3(31) - определит положение нижней параллели и одновременно будет экватором; Точки 4, 5, 6(41, 51, 61) - промежуточные точки; 3)Точки (11.....61 12....62). 4). Далее все точки нужно ввести в плоскость фронтального меридиана (рис. 2-96), используя основное свойство поверхности вращения: каждая точка вращается вокруг оси по окружности (параллели),плоскость которой перпендикулярна оси, Точки 11.......61 11’.......61’ Точки 11’.......61’ 12’.......62’ óâåëè÷åí î 22 62 12 52 42 32 51 =61 31 41 11 21 41 31 Ï ëî ñêî ñò ü ô ðî í ò àëüí î ãî 11 21 ì åðèäèàí à 61 51 Рис. 2-96 6) Полученные точки соединить плавной кривой правый полумеридиан (рис. 2-97) 66 óâåëè÷åí î 22 62 12 22 62 12 52 52 (À2 ) 42 42 32 32 51 =61 11 31 41 51 11 3 2 1 41 1 61 21 Â1 Рис. 2-97 7) Все полумеридианы поверхностей вращения равны, поэтому симметрично правому достраиваем левый (рис. 2-98) 8) Определить видимость поверхности (см. рис. 2-98) 67 Çî í û âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 Ì (À2 ) * 2 Â2 N2 * (À1 ) Ì N1 1 * * Â1 Çî í à âèäèèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 Рис. 2-98 9) А(А2) и В(В1) , А1, В2 = ? Точки находят так же, как на любой поверхности вращения. а) Через точку А2 проводят параллель до пересечения с главным (фронтальным) меридианом (точка М2), М2 М1. Через М1 проводят горизонтальную проекцию этой параллели или замеряют радиус этой параллели на П2 и проводят на П1. Проводят линию связи из точки А2, которая пересекает построенную параллель в двух точках, выбрать нужно верхнюю, т.к. точка А2 в скобках, значит она находится за фронтальным меридианом (сзади). Точку А1 нужно взять в скобки, т.к. она не расположена в зоне видимости (в не заштрихованной зоне). б) Через точку В1 проводят параллель (вводят в плоскость фронтального меридиана N1), N1 N2. Через N2 проводят фронтальную проекцию этой параллели, из В1 проводят линию связи В2. Точка В2 - видима, т.к. В1 находится перед фронтальным меридианом. Тор- поверхность вращения 4 порядка Как Вы думаете, что имеют общего баранка с маком и термоядерный реактор? Да, их объединяет конфигурация торовой поверхности. Форму тора имеют обода маховиков и шкивов, галтели -плавные переходы от одной поверхности изделия к другой, создаваемые с целью уменьшения напряжений в месте перехода. 68 Поверхность тора образуется при вращении окружности вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Определитель (l, i) l i. Произвольная прямая пересекает тор в общем случае в четырех точках, следовательно это поверхность четвертого порядка (рис. 2-99). l l R R l2 2 3 R R l2 l1 l1 R l2 l2 l1 Ï ðî ï ðÿ èçâî ë 4 ì àÿ üí àÿ Открытый тор R<a Или тор – кольцо. Внутренняя его часть называется глоболоидом l à R l2 l1 1 2 l à l2 l1 1 l l 3 Ï ðî ï ðÿ èçâî ë 4 ì àÿ üí àÿ Рис. 2-99 Закрытый тор (Самосоприкосающийся) R=a 69 l1 l à R l2 l1 Рис. 2-100 Закрытый тор (самопересекающийся) R>a (тор - яблоко) l à R l2 l1 Рис. 2-101 Закрытый тор (тор - лимон) 70 l R l2 l1 Рис. 2-102 Глоболоид l R l2 l1 Рис. 2-103 Сконструировать поверхность: тор-кольцо (l, i), i П2 n(n2) , n1 =? Алгоритм: 1. Задать проекции элементов определителя (Рис. 2-104) 71 i2 l2 i1 l1 Рис. 2-104 2. Построить горизонтальную проекцию правого полумеридиана. i2 ï ðàâûé ï î ëóì åðèäèàí i1 Рис. 2-105 3. Достроить левый полумеридиан симметрично правому 4. Фронтальная проекция - это концентрично расположенные особые параллели 72 à2 (ñ2 )d2 Çî í à âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 1 â2 ï2 2 à1 = â1 ñ1 1 d1 Çî í à âèäèì î ñò è î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 a – горло; в – экватор; с – дальняя параллель; d – ближняя параллель Рис. 2-106 5. Алгоритм построения n1 (рис. 2-107; 2-108): Кривую n1 строят по точкам, используя свойство принадлежности точки поверхности, проводя через точку простейшую линию. Для тора, как и для всех поверхностей вращения, простейшей является параллель (окружность). а) Сначала выбирают особые точки (рис 2-107): 1(12) и 2(22) экватору, 3(32) = 4(42) и 7(72) = 8(82) ближней и дальней параллелям, 5(52) = 6(62) главному меридиану (или образующей l2), 9(92) = 10(102) определяют положение точек, максимально приближенных к оси (кратчайшее расстояние между ветвями кривой), т.е. эти точки будут расположены на самых малых параллелях. Все особые точки, кроме 9,10, находятся без дополнительных построений. Для построения точек 9,10 проводят через 92(102) параллели до пересечения с главным меридианом K2(L2), Находят положение этих точек K1(L1), на П1, через них проводят горизонтальные проекции параллелей, на которые проводят линии связи из соответствующих точек 92(102) 91,101. 73 óâåëè÷åí î 22 ï2 72 (82 ) 92 (102 ) 52 (62 ) * K (L ) 32 (42 ) 2 2 12 81 41 61 L1 101 * 11 31 * K1 91 51 21 71 Рис. 2-107 б) Промежуточные точки (рис. 2-108): 11(12), 13(14), 15(16) строят по аналогии с точками 9(10), с помощью параллелей A2(B2), C2(D2), M2(N2). 74 22 2 72 (82 ) ï2 152 (162 ) 132 (142 ) 92 (102 ) 52 (62 ) À2*(Â2 ) C*2 (D2 ) Ì *2 (N2 ) 32 (42 ) 12 112 (122 ) (41 ) (6 ) (142 ) 81 1 Â1 (101 ) * (121 ) 11 À1* (111 ) (91 ) (131 ) 7 (31 ) (51 ) 1 D1 162 21 152 ï1 N1 * * * Ñ1 * M1 1 Рис. 2-108 в) Плавной кривой соединяют все точки г) Видимость кривой n1 определяется ближней и дальней параллелями (точками 7 и 8), т.е. кривая n на П1 будет видима от точки 71 до точки 81 через 21. Винтовые поверхности Как Вы думаете, какое свойство винтовых поверхностей обеспечивает им широкое применение в технике: винты, шнеки, сверла, пружины? Оказывается эти поверхности могут сдвигаться, т.е. совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя. Винтовой называется поверхность, которая описывается какой - либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Как уже отмечалось, что винтовое движение является сложным движением, при котором каждая точка образующей совершает одновременно два движения: вращательное и поступательное. При этом вращение происходит вокруг оси винта, а поступательное вдоль оси винта. Если образующая - прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид является основой образования резьбы. Геликоиды подразделяются на прямые и наклонные в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонена. Шагом винтовой поверхности называется линейное перемещение образующей за один полный оборот. 75 Прямой геликоид Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей - l по двум направляющим, оставаясь в любой момент движения оси, (i, m), А(А2) , А1 = ? i - ось цилиндрической винтовой линии m - цилиндрическая винтовая линия Закон каркаса: l i, l m, l i Прямой геликоид может быть отнесен к числу коноидов и назван винтовым коноидом (плоскость параллелизма перпендикулярна оси, i и m - направляющие) 2 h - øàã ò2 Î2 1 Î1 11 21 31 ò1 Рис. 2-109 Проекции элементов определителя поверхности прямого геликоида Наклонный геликоид Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его прямолинейная образующая при винтовом перемещении пересекает ось геликоида под постоянным углом, отличным от прямого. Иначе говоря, образующая (l-прямая линия) наклонного геликоида при винтовом движении скользит по двум неподвижным направляющим (ось и цилиндрическая винтовая линия, как и у прямого), причем во всех своих положениях угол наклона образующей к оси не меняется. Поэтому можно сказать, что образующая в каждый момент движения будет параллельна соответствующим образующим некоторого конуса вращения, называемого направляющим конусом. Построить наклонный геликоид Ф(i, m) i - ось цилиндрической винтовой линии m - цилиндрическая винтовая линия Закон каркаса: l i, l m, l не i , i П1 76 Алгоритм построения 1. Задать проекции элементов определителя: построить цилиндрическую винтовую линию из 12 точек (рис. 2-112); ò2 72 62 92 2 52 91 42 32 101 22 111 81 12 121 1 71 ò1 132 h 82 112 102 122 11 =131 21 61 51 41 31 Проекции элементов определителя наклонного геликоида Рис. 2-112 Задать проекции направляющего конуса (провести 12 образующих) (рис. 2-111), наклон образующих которого к оси определит угол наклона образующих геликоида. Углы у образующих конуса (121) и геликоида (12) не искажаются, т. к. эти образующие занимают положение фронтали. 77 S2 4 2 (10 2 ) 1 72 1 1 52 (9 2 ) 1 1 1 1 6 2 (8 2 ) 1 1 12 1 32 (112 ) 1 1 91 10 1 1 1 2 2 (12 2 ) 1 111 1 1 81 12 1 S1 1 1 71 11 1 1 21 61 1 1 51 41 1 31 Проекции направляющего конуса Рис. 2-111 2. Построение геликоида начинаем с горизонтальной проекции. Из точек 11 и 21 провести образующие геликоида параллельно соответствующим образующим конуса 111 и 211 до пересечения с осью – i1 (рис. 2-113). ò2 82 92 112 102 122 132 l2 2 72 52 42 32 62 22 12 101 91 81 111 121 1 71 11 =131 21 61 ò1 51 41 31 l1 Рис. 2-113 3. На фронтальной проекции из точек 12 и 22 провести образующие геликоида параллельно соответствующим образующим конуса 121 и 221 до пересечения с осью – i2. 78 4. Остальные образующие геликоида строить таким же образом Направляющий конус может быть соосным с наклонным геликоидом (рис. 2-114) N2 î åí ÷ è 2 åë óâ 2 132 122 112 ò2 102 (92 ) 82 Ñ2 ï ëî ñêî ñò ü 2 D2 72 62 (ì 2 ) À2 (Â2 ) 52 l2 42 Í àï ðàâëÿþù èé êî í óñ 32 12 101 91 22 111 121 81 1 71 11 =131 Â1 l1 D1 61 À1 C1 51 Ñï èðàëü Àðõèì åäà 21 ò1 31 41 Âèäèì î ñò ü î ò í î ñèò åëüí î Ï 2 79 1 Рис. 2-114 5. Определить видимость поверхности, как всегда, с помощью конкурирующих точек, например выбрать фронтально конкурирующие А2 = В2, т.е. образующая 32 закрывает образующую 22, направляющая и образующие от точки 8 до точки 10 - невидимы. 6. Обвести проекции поверхности на П2 с учетом видимости. Очертание геликоида на фронтальной проекции получается как огибающая семейство прямолинейных образующих. 7. В сечении геликоида плоскостью (2), перпендикулярной ее оси, получается спираль Архимеда. Каркас образующих наклонного геликоида можно построить и без применения направляющего конуса. Образующие 12М2 и 132N2 П2, т.е. занимают положение фронталей, поэтому при заданном угле наклона образующей геликоида сразу определяют положение точек М2 и N2. Расстояние (шаг) между этими точками делят на 12 равных частей и соединяют с соответствующими точками на цилиндрической винтовой направляющей. Контрольные вопросы 1. Что означает "кинематический принцип образования поверхности"? 2. Что называется определителем поверхности? 3. Какие поверхности называются линейчатыми? 4. Сформулируйте признак принадлежности точки поверхности. 5. Перечислите поверхности вращения второго порядка. 6. Назовите поверхности с плоскостью параллелизма. 7. Какие поверхности могут занимать проецирующее положение? Ответы на тест - № 4 1-5 2-3 3-6 4-2 5-6 6-1 7-5 8-6 80 Справочный материал Задание плоскости на комплексном чертеже Â2 À2 Ñ2 À1 Â1 Ôðî í ò àëüí î ï ðî åöèðóþù àÿ Ñ1 (ÀÂÑ) Â2 À2 Ñ2 À1 Â1 (ÀÂÑ) Â2 À2 À1 Ï ëî ñêî ñò è óðî âí ÿ Â1 Ñ1 Ñ2 Ñ1 Ãî ðèçî í ò àëüí àÿ Ôðî í ò àëüí àÿ ï ëî ñêî ñò ü óðî âí ÿ ï ëî ñêî ñò ü óðî âí ÿ (ÀÂÑ) Ï ëî ñêî ñò è ï ðî åöèðóþù èå Ãî ðèçî í ò àëüí î ï ðî åöèðóþù àÿ Ï ëî ñêî ñò ü î áù åãî ï î ëî æåí èÿ Задание поверхности на комплексном чертеже (геометрическая часть определителя некоторых поверхностей) 81 (ÀÂÑ) À 2 Â2 Ñ2 Ñ1 À1 Â1 (ÀÂÑ) Â2 À2 À1 Ñ2 Â1 Ñ1 Ëèí åé÷àò ûå ï î âåðõí î ñò è Ï èðàì èäàëüí àÿ ï î âåðõí î ñò ü î áù åãî âèäà (S,ÀÂÑD): l ÀÂÑD, l S Â2 À2 D2 Â1 D1 À1 Â2 S2 Ñ2 S1 Ñ1 À2 Â1 À1 Ñ1 D1 s1 ò2 ï2 1 ò2 ï1 ò1 Ï î âåðõí î ñò è 1 l2 l1 Öèëèí äðî èä (ï ,ò , ): l ï , l ò , l ï1 Ñô åðà ( ,l ) l2 2 2 l2 1 ò1 s1 ò2 ï2 ò1 ï1 1 âðàù åí èÿ Öèëèí äð âðàù åí èÿ ( ,l ) Êî í óñ âðàù åí èÿ ( ,l ) 2 ò2 s2 S1 ò1 ï2 1 Öèëèí äðè÷åñêàÿ ï î âåðõí î ñò ü î áù åãî âèäà (s,ò ): l ò , l s S2 Êî í î èä (ï ,ò , ): l ï , l ò , l (ï ,ò , ): l ï , l ò , l ò1 s2 Ñ2 D2 Ãèï åðáî ëè÷åñêèé ï àðàáî ëî èä (êî ñàÿ ï ëî ñêî ñò ü) ò2 Êî í è÷åñêàÿ ï î âåðõí î ñò ü î áù åãî âèäà (S,ò ): ò l ò , l S Ï ðèçì àò è÷åñêàÿ ï î âåðõí î ñò ü (s,ÀÂÑD): l ÀÂÑD, l S 1 l1 82 Î äí î ï î ëî ñò í ûé ãèï åðáî ëî èä âðàù åí èÿ 2 ( ,l ) l2 1 l1 l1
