РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Волосникова Л.М./
__________ _____________ 201__г.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЁТАХ ПРОЧНОСТИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки» по
профилю подготовки «Вычислительные, программные, информационные системы
и компьютерные технологии очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы __________________/Салтанова Т.В./
«______»___________2011г.
Рассмотрено на заседании кафедры математики и информатики 28.04.2011
протокол № 7 Соответствует требованиям к содержанию, структуре и
оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем _________стр.
Зав. кафедрой ___________________/Мальцева Т.В./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и
информационных технологий 13.05.2011 протокол № 2
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/Фёдорова С.А./
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математики и информатики
Салтанова Татьяна Викторовна
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЁТАХ ПРОЧНОСТИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки»
по профилю подготовки «Вычислительные, программные, информационные
системы и компьютерные технологии очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салтанова Т.В. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЁТАХ
ПРОЧНОСТИ. Учебно-методический комплекс. Рабочая программадля
студентов направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки» по
профилю подготовки «Вычислительные, программные, информационные
системы и компьютерные технологии очная форма обучения Тюмень, 2011,
___ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ: МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЁТАХ ПРОЧНОСТИ.
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математики и информатики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой Мальцева Татьяна
Владимировна, д.ф. – м.н., доцент
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Салтанова Т.В., 2011
1. Пояснительная записка
1.1.Цели дисциплины
Метод конечных элементов является численным методом решения
дифференциальных уравнений. Метод конечных элементов применяется в
различным задачам: задачи о распространении тепла, задачи теории
упругости, гидромеханики и в других областях. Цель курса – обучить
студентов численному методу, разобрать различные случаи дискретизации
области, и аппроксимации функций. Научить использовать стандартный
пакет программ по МКЭ.
Задачи дисциплины:
Освоить основные виды конечных элементов, различные виды
дискретизации
областей,
научиться
применять
метод
для
решения
дифференциальных уравнений.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «метод конечных элементов в расчётах прочности»
относится к разделу Б3. Профессиональных цикл. Дисциплина по выбору.
Дисциплина связаны с предшествующими дисциплинами: математический
анализ, алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, основы
программирования. Необходимые знания, умения и навыки: умение
интегрировать, дифференцировать, решать основные задачи математического
анализа, алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений.
1.3.Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
Выпускник
компетенциями:

должен
способность
обладать
применять
следующими
в
общекультурными
научно-исследовательской
и
профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной
и прикладной математики и естественных наук (ОК – 6);

способность совершенствовать и углублять свои знания, быстро
адаптироваться к любым ситуациям (ОК – 8);

фундаментальная
подготовка
в
области
фундаментальной
математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных
знаний в профессиональной деятельности (ОК – 10);

навыки
самостоятельной
работы
с
компьютером,
программирования, использования методов обработки информации и
численных методов решения базовых задач (ОК – 12);

базовыми знаниями в областях информатики и современных
информационных
технологий,
навыками
использования
программных
средств и навыками работы в компьютерных сетях, умением создавать базы
данных и использовать ресурсы Интернета (ОК – 13);
Выпускник
компетенциями
должен
обладать
следующими
профессиональными

умение понять поставленную задачу (ПК – 2);

умение формулировать результат (ПК – 3);

умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного
результата (ПК – 6);

умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК –

умение ориентироваться в постановках задач (ПК – 8);

знание корректных постановок классических задач (ПК – 9);

понимание корректности постановок задач (ПК – 10);

понимание того, что фундаментальное знание является основой
7);
компьютерных наук (ПК – 12);

понимание сути точности фундаментального знания (ПК – 15);

навыки контекстной обработки информации (ПК – 17);

способность
математических
и
передавать
прикладных
результат
исследований
проведенных
в
виде
физико-
конкретных
рекомендаций, выраженной в терминах предметной области изучавшегося
явления (ПК – 19);

умение извлекать полезную научно-техническую информацию из
электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет (ПК – 20);

владеть методом алгоритмического моделирования при анализе
постановок математических задач (ПК – 21);

владеть
методами
математического
и
алгоритмического
моделирования при анализе и решении прикладных и инженернотехнических проблем (ПК – 22);

владеть
проблемно-задачной
формой
представления
математических и естественнонаучных знаний (ПК – 23);

уметь увидеть прикладной аспект в решении научной задачи,
грамотно представить и интерпретировать результат (ПК – 25);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать:
основные
конечные
элементы,
способы
дискретизации
областей,
интерполяционные полиномы для дискретных областей,
 Уметь:
дискретизировать область, сочетать разбиение одной области на различные
виды конечных элементов, решать задачи из разделов теории упругости,
уравнений в частных производных. Разрабатывать программы для расчёта
с помощью метода конечных элементов.
 Владеть: алгоритмами решения задач по методу конечных элементов,
навыками работы с программными продуктами.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
3.
Тематический план.
Тематический план
Таблица 1.
Виды учебной работы
1.
3
Модуль 1
1-6
Метод конечных
элементов
2.
Дискретизация
области
3.
работа, в час.
7
работа*
6
по
теме
ьная
е
Семинарски
часов
ие) занятия*
занятия*
ые
Самостоятел
2
о
(практическ
Лабораторн
1
Итог
и самостоятельная
Лекции*
Тема
недели семестра
№
В том числе
в
интерактив
ной форме
8
Итого
количество
баллов
4
5
9
2
2
2
2
0-10
4
4
4
4
0-10
6
6
10
6
0-10
12
12
16
12
0-30
2
2
2
2
8
8
10
8
0-30
2
2
2
2
0-10
12
12
14
12
0-40
Линейные
интерполяционные
полиномы
Всего
Модуль 2
4.
7-13
Интерполяционные
полиномы для
дискретизованной
области
5.
Решение краевых
задач с помощью
метода конечных
элементов
6.
Реализация метода
конечных элементов
на компьютере
Всего
Модуль 3
14-18
7.
Реализация метода
конечных элементов
на компьютере
8.
2
2
2
2
0-10
2
2
4
2
0-10
2
2
2
2
0-10
6
6
8
6
0-30
48
30
0-100
30
0-100
Радиальные и
осесимметричные
задачи теории поля
9.
Нестандартные задачи
теории поля
Всего
Итого (часов,
30
баллов):
30
В том числе в
30
интерактивной форме
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 2.
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
Техническ
Информ
ие формы
ационны
контроля
е
ы
комплекс
компьюте
ные
рного
электронн
ситуацион
тестирова
ые
ные
другие
ния
практику
задания
формы
Итого количество баллов
м
системы
и
техноло
программ
эссе
реферат
ая работа
тест
ная работа
контрольн
семинаре
лаборатор
аниена
ответ
мы
собеседов
коллоквиу
гии
Модуль 1
1. Метод
конечных
0-10
0-10
0-10
0-10
элементов
2.
Дискретизация
области
3. Линейные
интерполяцион
0-10
0-10
0-10
0-30
ные полиномы
Всего
0-20
Модуль 2
4.
Интерполяцион
ные полиномы
для
0-5
0-5
дискретизован
ной области
5. Решение
краевых задач с
помощью
0-20
0-20
0-5
0-10
0-15
0-10
0-30
0-40
метода
конечных
элементов
12. Реализация
метода
конечных
элементов на
компьютере
Всего
Модуль 3
13. Реализация
метода
конечных
0-10
0-10
элементов на
компьютере
14. Радиальные
и
осесимметричн
0-10
0-10
ые задачи
теории поля
15.
0-10
0-10
Нестандартные
задачи теории
поля
Всего
0-10
0-10
0-10
0-30
Итого
0-40
0-10
0-50
0–
100
Организация самостоятельной работы студентов
Таблица 3
№
Модули и темы
Модуль 1
1. Метод
конечных
элементов
2. Дискретизация области
Виды СРС
обязательн дополнитель
ые
ные
Домашние
задание
Домашнее
задание
Линейные
Контрольны
интерполяционные
е работы
полиномы
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4. Интерполяционные
полиномы
для Домашнее
задание
дискретизованной
области
5. Решение краевых задач с
помощью
метода Контрольная
работа
конечных элементов
6. Реализация
метода
конечных элементов на Контрольная
работа
компьютере
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7.
Реализация
метода
Контрольная
конечных элементов на
работа
компьютере
8.
Радиальные
и
Домашнее
осесимметричные задачи
задание
теории поля
9.
Нестандартные
задачи Домашнее
теории поля
задание
Недел
я
семест
ра
Объе Колм
во
часов балло
в
2
4
3.
6
0-10
12
0-10
2
8
0-20
2
0-10
12
0-30
2
0-10
2
2
10.
11.
12.
4.
Элементы
высокого Домашнее
порядка
задание
Треугольный
и
Домашнее
тетраэдральный элемент
задание
высокого порядка
Четырёхугольные
Контрольная
элементы
работа
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Разделы
дисциплины
и
2
2
2
0-10
12
36
0-20
0-60
междисциплинарные
связи
с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование
п/п
обеспечиваемых
(последующих)
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2,3 4,5,6
7
8,9,10,11
12
14
16
18
дисциплин
1.
Современные
численные методы
решения задач
+
+
алгебры
5.
Содержание дисциплины.
Т 1. Метод конечных элементов. Основная концепция метода конечных
элементов. Преимущества и недостатки.
Т 2. Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы.
Нумерация узлов.
Т 3. Линейные интерполяционные полиномы. Одномерный, двумерный,
трёхмерные симплекс - элементы. Интерполирование векторных
величин. Местная система координат. Свойства интерполяционного
полинома.
Т 4. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.
Т 5. Решение краевых задач с помощью метода конечных элементов.
Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового сечения. Уравнение переноса тепла (одномерный и
двумерный случай переноса).
Т 6. Реализация метода конечных элементов на компьютере.
Т 7. Радиальные и осесимметричные задачи теории поля. Симметричные
и осесимметричные задачи теории поля
Т 8. Нестандартные задачи теории поля. Конечно – разностное решение
дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания.
6.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Т 1. Основная концепция метода конечных элементов. Преимущества и
недостатки.
Т 2. Типы конечных элементов. Разбиение области на конечные
элементы. Нумерация узлов.
Т 3. Одномерный, двумерный, трёхмерные симплекс - элементы.
Интерполирование векторных величин. Местная система координат.
Свойства интерполяционного полинома.
Т 4. Скалярные и векторные величины.
Т 5. Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового сечения. Уравнение переноса тепла (одномерный и
двумерный случай переноса)
Т 6. Рассмотрение стандартных программных продуктов, решение уже
изученных задач на компьютере.
Т 7. Симметричные и осесимметричные задачи теории поля.
Т 8. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений.
Численная устойчивость и колебания.
Т 9. Квадратичные и кубичные элементы и их применение.
Т 10. Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление
производных функций формы и составление матриц элементов.
Т 11. Линейны, квадратичные и кубичные четырёхугольные элементы.
Соотношения, определяющие элементы.
7.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении
домашних заданий, аудиторных и домашней контрольных работ.
Вариант контрольной работы:
1. Разбейте область на 16 треугольных элементов и вычислите
ширину полосы, при наличии двух степеней свободы.
2. Разбейте четырёхугольник на 24 элемента, используя 5 узлов вдоль
одной
пары
сторон
и
четыре
узла
вдоль
другой
пары.
Пронумеруйте узлы так, чтобы получилось минимальное значение
величины R.
3. Прогиб опёртой балки, подверженной действию постоянного
изгибающего
уравнением
момента
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
+
𝑀
𝐸𝐼
M,
описывается
= 0, 𝑦0 = 𝑦𝐿 = 0,
дифференциальным
где
EI
–
жёсткость
поперечного сечения, не зависящее от длины. Дайте вариационную
формулировку этой задачи. Выведите систему уравнений для
𝑌2 , 𝑌3 , 𝑌4 , используя четырёхэлементную модель.
4. Вычислите числовые значения R, необходимые для определения
узловых перемещений 𝜏𝑥𝑥 .
Вопросы к зачёту:
1. Основная концепция метода конечных элементов. Преимущества и
недостатки.
2. Типы конечных элементов.
3. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов.
4. Двумерный, трёхмерные симплекс - элементы. Интерполирование
векторных величин. Местная система координат. Свойства
интерполяционного полинома.
5. Скалярные и векторные величины.
6. Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового сечения. Уравнение переноса тепла (одномерный и
двумерный случай переноса)
7. Стандартные программные продукты, решение уже изученных
задач на компьютере.
8. Симметричные и осесимметричные задачи теории поля.
9. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений.
Численная устойчивость и колебания.
10.Квадратичные и кубичные элементы и их применение.
11.Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление
производных функций формы и составление матриц элементов.
12.Линейны, квадратичные и кубичные четырёхугольные элементы.
Соотношения, определяющие элементы.
8.
Образовательные технологии.
Практические занятия проводятся все в интерактивной форме: студенты
получают задание на практических занятиях и работают у доски с
участием преподавателя, самостоятельно на местах, в малых группах.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
9.1. Основная литература:
1. Деклу Ж. Метод конечных элементов. – М.: Мир., 2006. – 95с.
2. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными
производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. – М.: Мир., 2001. – 216 с.
3. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.
– М.: Мир.,2006. – 464 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 2009.
– 393с.
9.2. Дополнительная литература:
1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и МКЭ. – М.:
Стройиздат, 1982. - 448 с.
2. Голованов А.И., Бережной Д.В. МКЭ в механике деформируемых
твёрдых тел. – Казань: «ДАС», 2001. – 300 с.
3. Сахаров А.С. и др. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел.
Киев: Вища школа, 1982. 480 с.
10.
Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение дисциплины.
Мультимедийные аудитории, компьютерные классы.