Синтез методов теоретико-экспериментального и теории

СИНТЕЗ МЕТОДОВ ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО И ТЕОРИИ
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Г. С. Гизатулина1, Ю. Г. Коноплев2, А. В. Спесивцев3
Военный технический университет, Москва, Россия,
Казанский государственный университет, Казань, Россия,
3
Норильский индустриальный институт, Норильск, Россия
1
2
В работе исследуется устойчивость конических оболочек эллиптического поперечного
сечения с большим эксцентриситетом, находящихся под действием осевого сжатия.
Трудность теоретического решения подобных задач заключается в необходимости
использования нелинейных уравнений с учетом моментности исходного состояния. При этом
система разрешающих уравнений имеет переменные коэффициенты, определение которых в
аналитическом виде не представляется возможным. Применение теории планирования
эксперимента в сочетании с теоретико-экспериментальным методом позволило построить
нелинейные полиномиальные модели данного явления.
Введение. В соответствии с теоретико-экспериментальным методом был выполнен
анализ исходных геометрически нелинейных уравнений, описывающих механику
деформирования усеченных конических оболочек эллиптического сечения и проведено их
упрощение без потери базы определяющих параметров до такого вида, который позволил
установить структурные формулы, аналогичные известным структурным формулам круговых
конических оболочек [1]. Структурные формулы критических нагрузок для указанного типа
оболочек при осевом сжатии для случаев общей и локальной потери устойчивости приняли
вид:
pk 1 
2πEh 2
3 1 - μ 2 
χ1  t, ε, cos γ  , pk 2 
2πEh 2
3 1 - μ 2 
χ 2  t, ε, cos γ  ,
(1)
где  и E – коэффициент Пуассона и модуль упругости материала, из которого изготовлена
оболочка, h – толщина оболочки, t  ln  r1 / r0  – параметр высоты, r1 и r0 – расстояния вдоль
образующей от вершины до нижнего и верхнего основания соответственно;   1  b2 / a 2 –
эксцентриситет поперечного сечения, a и b – большая и малая полуоси сечения; 2 – угол
конусности между высотой оболочки и образующей, проходящей через малые полуоси
эллипсов оснований; 1  t,  , cos   ,  2  t,  , cos   – корректирующие функции,
определяемые из эксперимента для общей и локальной потери устойчивости соответственно.
Из структурных формул следует, что в ходе эксперимента необходимо менять значения
трех параметров: t, , , – при этом моментность и нелинейность докритического состояния
учитываются автоматически. Однако перебор всех вариантов весьма трудоёмок и может быть
обобщен лишь построением громоздких таблиц. Таким образом, ощущается необходимость в
создании методики представления экспериментальных результатов в компактном виде и
минимизации их количества.
Известно, что требуемыми свойствами обладают методы теории планирования
эксперимента [1, 3]. При этом варьирование всех факторов одновременно приводит к
минимизации числа экспериментов, а аппроксимация результатов полиномиальной функцией
позволяет учесть и нелинейные эффекты.
1. Эксперименты и обработка результатов. Для конкретизации корректирующих
функций, входящих в выведенные структурные формулы (1), на базе и по методикам
Лаборатории механики оболочек Казанского государственного университета был проведен
цикл экспериментальных исследований образцов оболочек рассматриваемого класса при
варьировании установленных определяющих параметров [4]. В экспериментах моделировалось
жесткое защемление.
Проведенные исследования подтвердили наличие двух форм потери устойчивости:
локальную, при которой у оболочки появляются первые вмятины, и общую, когда оболочка
полностью теряет свою несущую способность.
Выбор переменных сделан на основании теоретико-экспериментального метода в
соответствии с формулой (1). В качестве определяющих были выбраны три независимые
переменные: x1 = a/b, х2 = 2, х3 = r1/r0.
Теория планирования эксперимента ставит условие проведения серий экспериментов в
виде матрицы планирования 2n, где n – количество независимых переменных, в данном
случае n = 3.
2. Случай общей потери устойчивости. Для случая полной потери устойчивости при
действии осевого сжатия данные для проведения эксперимента приведены в таблице 1.
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
x1 = a/b
х2 = 2
2.0
0.5
2.5
1.5
45
15
60
30
Таблица 1
х3 = r1/r0
2.38
0.95
3.33
1.43
На основании матрицы планирования эксперимента проводится расчет коэффициентов
регрессии и оценка значимости коэффициентов регрессии.
Расчетное уравнение после проведенной оценки значимости коэффициентов приобрело
вид
(2)
Y = 5.714  1.258 X 1  0.651X 2  0.559 X 3  0.316 X 2 X 3
Оценка адекватности уравнения в целом проводилась по F-критерию Фишера и
результаты анализа позволяют считать уравнение (2) моделью исследуемого явления.
Наибольшее влияние на функцию отклика (величину нагрузки) в случае полной потери
устойчивости оказывает параметр X1 – эксцентриситет. Увеличение эксцентриситета
оболочки снижает величину критической нагрузки в 2–3 раза быстрее по сравнению с
другими параметрами. Это объясняется тем, что с увеличением X1 оболочка стремится к
форме двойной пластины, перпендикулярной к основанию конуса, с соответствующей
потерей устойчивости, а при уменьшении эллиптичности – к форме кругового конуса, при
котором устойчивость максимальна. Эллиптичность оболочки естественно рассматривать как
начальную неправильность.
По степени оказываемого воздействия далее следует параметр X2 – угол конусности.
Рост параметра X2 снижает значение критической нагрузки.
Параметр высоты X3 оказывает чуть меньшее влияние, чем угол конусности. Его рост
снижает значение критической нагрузки. Данное положение количественно оценивает
известный факт: чем короче оболочка, тем она устойчивее. Однако влияние X3 более чем в 2
раза слабее влияния X1.
Нелинейность уравнения регрессии представлена слагаемым, учитывающим совместное
действие факторов X2X3. Одновременное увеличение или уменьшение параметров, то есть
одновременное как увеличение, так и уменьшение эксцентриситета и высоты оболочки,
дополнительно ослабляет ее. При увеличении одного параметра с уменьшением другого
действие этих факторов носит подкрепляющий характер. Количественный вклад
взаимодействия этих параметров сравним с их линейными вкладами по отдельности.
Совместными действиями других факторов можно пренебречь как величинами меньших
порядков.
Анализ полученных результатов позволяет сделать заключение, что рост всех факторов
оказывает отрицательное влияние на устойчивость оболочки, но влияние эффекта
нелинейности положительное. Это подчеркивает тот факт, что описываемое явление
довольно сложное в силу своей нелинейности.
3. Случай локальной потери устойчивости. В ходе экспериментальных исследований
отмечено, что локальная форма потери устойчивости возникает не у всех оболочек [4],
поэтому исходные значения факторов для проведения экспериментов по матрице
планирования представлены таблице 2.
Таблица 2
x1 = a/b
х3 = r1/r0
х2 = 2
Основной уровень
Интервал варьирования
2.3
0.3
45
15
2.38
0.95
Верхний уровень
Нижний уровень
2.5
2.0
3.33
1.43
60
30
Реализация матрицы планирования и проведенная оценка адекватности уравнения
доказывает, что математической моделью изучаемого явления с высокой доверительной
вероятностью можно считать уравнение
(3)
Y=3.251  0.273 X1  0.265 X 2  0.432 X 3  0.154 X1 X 2  0.141X1 X 2 X 3 .
Анализ коэффициентов регрессии показывает, что наибольшее влияние на величину
критической нагрузки локальной формы потери устойчивости оказывает параметр X3 –
параметр высоты оболочки. Получается, что чем выше оболочка, тем она более склонна к
появлению локальных вмятин.
Параметры X1 и X2 оказывают практически одинаковое воздействие. При этом
увеличение обеих переменных закономерно снижает значение критической нагрузки.
Из нелинейных взаимодействий присутствуют X1X2 и тройное воздействие параметров.
Совместное действие параметров X1 и X2 увеличивает значение нагрузки потери
устойчивости при одновременном возрастании этих параметров. Наличие тройного
взаимодействия свидетельствует о высокой чувствительности оболочки к появлению
начальных вмятин (дефектов).
4. Сравнительный анализ двух форм потери устойчивости. Предлагаемая методика
дает возможность количественно оценить влияние каждого из выбранных факторов и
сравнивать их между собой не только для одной формы потери устойчивости, но и между
двумя изучаемыми формами – локальной и общей потерей устойчивости.
В таблице 3 приведены значимые коэффициенты регрессии для обеих форм потери
устойчивости.
Таблица 3
b0
Локальная форма потери
3.251
устойчивости
Общая потеря устойчивости 5.714
b1
b2
b3
b12
-0.273
-0.265
-0.432
0.154
-1.258
-0.651
-0.559
-
b13
b23
b123
-
-
-0.204
-
-
-0.316
Сравнение полученных коэффициентов регрессии позволило установить следующее.
В случае локальной формы потери устойчивости наибольшее влияние на величину
критической нагрузки оказывает параметр высоты оболочки (параметр X3).. В случае же
общей потери устойчивости, напротив, его влияние наименьшее. Следовательно, параметр
высоты радикальным образом влияет на возникновение первой формы потери устойчивости.
Влияние эллиптичности и угла конусности на критическую нагрузку локальной потери
устойчивости несколько меньше (параметры X1 и X2). Их действие одинаково и по
направлению и по модулю. Но для общей потери устойчивости степень их воздействия
становится основной, то есть в два – три раза превышает степень воздействия других
параметров.
Угол конусности при общей потере устойчивости оказывает непосредственное
воздействие. При возникновении локальной формы его влияние усложняется, проявляясь
также и во взаимодействиях с другими параметрами. В ходе дальнейшего нагружения
влияние угла конусности на возникновение последующих равновесных форм возрастает.
Роль параметра эллиптичности в возникновении последующих равновесных форм
усиливается более чем в два раза, а вот непосредственное влияние параметра высоты
несколько ослабевает, но зато проявляется его опосредованное – во взаимодействии с
эллиптичностью.
Отметим и то, что величина критической нагрузки локальной потери устойчивости в
большей мере, чем величина нагрузки общей потери устойчивости, зависит от взаимного
влияния параметров геометрии оболочки. Даже тройное взаимодействие значимо. Это
означает то, что любые начальные неправильности существенно ослабляют оболочку,
вызывая локальную форму потери устойчивости и способствуя снижению критической
нагрузки общей потери устойчивости.
Экспериментальные исследования [4] выявили, что между появлением первых вмятин,
то есть возникновением первой локальной формы потери устойчивости, и последующей
потерей несущей способности, оболочка принимает еще от 2 до 5 равновесных форм,
сопровождающихся небольшим скачкообразным падением нагрузки. Таким образом,
предлагаемая методика планирования эксперимента дает возможность проследить динамику
влияния параметров на процесс потери устойчивости.
Заключение. Синтез теоретико-экспериментального метода и метода планирования
эксперимента позволил получить и количественно оценить нетривиальное поведение
эллиптической конической оболочки под действием осевого сжатия при общей и локальной
потере устойчивости и аппроксимировать эти результаты в виде нелинейного уравнения
(полинома).
Поскольку раскрытие нелинейности с помощью теоретических методов представляет
трудную, а иногда и неразрешимую для получения аналитического решения задачу, то
предлагаемый метод имеет несомненное преимущество, так как позволяет выявить и
проанализировать совместное нелинейное воздействие геометрических параметров оболочки
на величину критической нагрузки потери устойчивости.
В результате проведенных исследований установлено, что переход из исходного
стационарного состояния в состояние общей потери устойчивости всегда осуществляется через
промежуточные состояния – локальные формы потери устойчивости оболочки, главной из
которых является первая. Таким образом, под действием возрастающей нагрузки процесс
потери устойчивости происходит скачкообразно в несколько стадий.
Разработанная методика позволяет оценить также остаточную устойчивость оболочки
после появления первой локальной формы потери устойчивости и проследить характер
влияния параметров на величину критической нагрузки в ходе дальнейшего нагружения
оболочки, что имеет несомненное практическое значение.
Синтез теоретико-экспериментального метода и метода планирования эксперимента
дает возможность по-новому оценить роль эксперимента. Поскольку данная область знаний –
феноменологическая, то теоретической части присущ выбор стратегии исследования явления,
а экспериментальной – тактики получения, сбора и обобщения данных. До настоящего
времени не существовало формализованного аппарата экспериментальной части теоретикоэкспериментального метода. Наша методика вооружает экспериментатора математическим
аппаратом и для проведения экспериментов. При этом на каждом этапе осуществляется
выбор направления проведения экспериментов и минимизации их количества. А
аппроксимация результатов в виде аналитической функции позволяет корректировать и саму
теорию, то есть появилась обратная связь от эксперимента к теории.
Сочетание идей теоретико-экспериментального метода и метода планирования
эксперимента привели к созданию универсального подхода к решению задач не только в
области устойчивости оболочек, но и для изучения целого спектра сложных явлений, для
которых можно определить факторное пространство, а факторы удовлетворяют требованиям
управляемости. Применение такого подхода позволяет сэкономить время и затраты на
проведение эксперимента, получить нетривиальные результаты оценок и анализ степени
сложности изучаемого явления, а также простые и удобные при практическом использовании
формулы для критических нагрузок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости
пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 6–7. – Казань: Издво КГУ, 1970. – С. 391–433.
2.Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. – 280 с.
3. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных
экспериментов. – М.: Наука, 1965. – 340 с.
4. Гизатулина Г.С. Экспериментальное исследование устойчивости усеченных конических
оболочек эллиптического поперечного сечения при осевом сжатии / Норильский
индустриальный ин-т, Норильск, 1998. – 23 с. – библиогр. 4 назв. – Деп. в ВИНИТИ 29.12.98,
№ 3924-В98.