Компонентные и топологические уравнения в системах

Тема 4. Математическое обеспечение анализа проектных решений
1. Математический аппарат, применяемый в моделях
различных иерархических уровней
К математическому обеспечению анализа относят:
– математические модели;
– численные методы;
– алгоритмы выполнения проектных процедур.
Состав и вид этих компонентов определяется базовым математическим
аппаратом, специфичным для каждого иерархического уровня проектирования.
На микроуровне используются распределённые модели. Типичный представитель таких моделей – дифференциальные уравнения в частных производных вместе с краевыми условиями. Такие уравнения широко используются в
математической физике. Объектом исследования являются поля физических
величин (анализ прочности строительных сооружений и машиностроительных
конструкций, процессы в жидких и сыпучих средах, моделирование концентраций и потоков частиц).
Количество совместно исследуемых элементов (деталей, слоёв материала, фаз агрегатного состояния) не может быть очень большим из-за сложностей вычислительного характера. Снижение вычислительных затрат в многокомпонентных системах возможно только при применении иного подхода к
проектированию, основанного на принятии допущений.
Принятие допущения в виде дискретизации пространства позволяет перейти от моделей микроуровня к моделям макроуровня, которые называются
сосредоточенными. Чаще всего это системы алгебраических и обыкновенных
дифференциальных уравнений, а независимая переменная – это время. Упрощение описания отдельных компонентов (деталей) позволяет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, узлах, количество компонентов в которых достигает нескольких тысяч.
Если количество компонентов в системе превышает некоторый порог,
сложность модели системы на макроуровне вновь становится чрезмерной. В
этом случае, принимая ряд соответствующих допущений, переходят на функционально-логический уровень.
На этом уровне используются:
1) для исследования аналоговых (непрерывных) процессов – аппарат передаточных функций;
2) для исследования дискретных процессов, т.е. процессов с дискретным
множеством состояний – математическая логика или теория конечных автоматов.
Для исследования ещё более сложных объектов (предприятия и их объединения, вычислительные системы и сети, социальные системы) применяют
модели системного уровня. Такие модели создаются, например, на основе аппарата теории массового обслуживания.
2. Требования к математическим моделям САПР
Основные требования к математическим моделям:
1. Адекватности.
2. Точности.
3. Экономичности.
Адекватность модели – это способность отражать заданные свойства
объекта с приемлемой точностью. Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – это область в пространстве параметров, в которой погрешности модели остаются в
допустимых пределах. В большинстве случаев области адекватности определяются в пространстве внешних перменных.
Точность модели – это степень соответствия оценок одноименных
свойств объекта и модели.
Экономичность модели определяется затратами ресурсов. необходимых
для реализации модели. Так как в САПР используются математические модели, то экономичность характеризует в данном случае вычислительную эффективность, т.е. затраты машинных ресурсов.
Аналогичные требования по точности и экономичности предъявляются
также к численным методам решения уравнений модели.
3. Исходные уравнения математических моделей
на макроуровне проектирования
Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитические решения таких систем в практических
задачах возможно получить очень редко, поэтому в САПР преимущественно
используются алгоритмические модели, основанные на применении численных методов.
Исходными для формирования математических моделей объектов являются компонентные и топологические уравнения.
Компонентные уравнения – это уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов) системы, т.е. это уравнения математических моделей
элементов системы.
Топологические уравнения описывают взаимосвязи элементов в составе
моделируемой системы.
В совокупности эти уравнения представляют собой исходную математическую модель системы.
Компонентные и топологические уравнения в системах различной природы отражают разные физические свойства, но могут иметь одинаковый
формальный вид. Одинаковая форма записи позволяет говорить о формальных
аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических, электрических, гидравлических, пневматических и
тепловых объектов.
Наличие таких аналогий приводит к важному следствию: большая часть
алгоритмов формирования моделей в САПР могут быть применены к анализу
объектов в совершенно различных предметных областях.
Компонентные уравнения имеют вид:
Fк (dV/ dt, V, t) = 0,
а топологические:
Fт (V) = 0,
где V = (v1, v2,…, vn) – вектор фазовых переменных; t – время.
Различают фазовые переменные двух типов:
1) переменные типа потенциала (например, электрическое напряжение);
2) переменные типа потока (например, сила тока).
Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными
фазовыми переменными, относящимися к одному компоненту, а топологическое – связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.
4. Примеры компонентных и топологических уравнений
Электрические системы. Фазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами системы могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные элементы. К простым двухполюсникам относятся сопротивление, ёмкость и индуктивность R,
C и L.
Компонентные уравнения простых двухполюсников:
du
di
u = i R;
i=C
;
u= L ,
dt
dt
где u – падение напряжения на элементе, i – ток.
Эти модели лежат в основе моделей других более сложных компонентов.
Большая сложность может определяться нелинейностью указанных выше
уравнений (т.е. связью R, C и L с фазовыми переменными), или учётом зависимостей R, C и L от температуры, или наличием более двух полюсов. Однако
многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных более простых элементов.
Топологические уравнения выражают закон Кирхгофа для напряжений
(ЗКН) и токов (ЗКТ). Согласно ЗКН, сумма напряжений на компонентах вдоль
любого замкнутого контура в эквивалентной схеме равна нулю, а в соответствии с ЗКТ сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы
равна нулю:
 uk  0 ;
i j  0.
Механические системы. Фазовыми переменными в механических поступательных системах являются силы и скорости. Для составления компонентных и топологических уравнений используют одну из двух возможных электромеханических аналогий. Выберем ту из них, в которой скорость относят к
фазовым переменным типа потенциала, а силу считают фазовой переменной
типа потока.
Компонентное уравнение, характеризующее инерционные свойства тел,
в силу второго закона Ньютона имеет вид
du
F=M ,
dt
где F – сила; M – масса; u – поступательная скорость.
Упругие свойства тел описываются компонентным уравнением, которое
получается из закона Гука. В одномерном случае (если рассматриваются продольные деформации упругого стержня)
 = E ,
где  – механическое напряжение, E – модуль упругости,  – относительная
деформация,  = /l.
Учитывая, что  = F/S, где S – площадь поперечного сечения тела, и дифференцируя (4), имеем
dF ( SE) dl
dF
или
= j u,


dt
l
dt
dt
где j – жёсткость, j = SE/l (величина, обратная жёсткости, – податливость Lм); u
– скорость, u = d(l)/dt.
Диссипативные свойства в механических системах твёрдых тел выражаются соотношениями, характеризующими связь между силой трения и скоростью взаимного перемещения трущихся тел, причём в этих соотношениях
производные сил или скоростей не фигурируют.
Топологические уравнения характеризуют, во-первых, закон равновесия
сил: сумма сил, приложенных к телу, включая силу инерции, равна нулю
(принцип Даламбера); во-вторых, закон скоростей, согласно которому сумма
относительной, переносной и абсолютной скоростей равна нулю.
В механических вращательных системах справедливы компонентные и
топологические уравнения поступательных систем с заменой поступательных
скоростей на угловые, сил – на моменты вращения, масс – на моменты инерции, жёсткостей – на вращательные жёсткости.
Несмотря на аналогию между электрической и механической системами,
имеется и существенное отличие: электрические системы одномерны, а процессы в механическиз часто приходится рассматривать в двух- или трёхмерном пространстве. Следовательно, при моделировании механических систем в
общем случае нужно использовать векторное представление фазовых переменных, каждая из которых имеет шесть составляющих.
Гидравлические системы. Фазовыми переменными в гидравлических системах являются расход и давление. Как и для механических систем, компонентные уравнения описывают свойства жидкости рассеивать или накапливать
энергию.
Для вывода компонентного уравнения для жидкости на линейном участке трубопровода длиной l воспользуемся уравнением Навье-Стокса в следующей его форме (для ламинарного течения жидкости)
u
p
    2au ,
t
x
где  – плотность жидкости, u – скорость, p – давление, a – коэффициент линеаризованного вязкого трения. Так как u = Q/S, где Q – объёмный расход, S –
площадь поперечного сечения трубопровода, то, заменив пространственную
производную отношением конечных разностей, получим
dQ
S
2a

 Q
dt (l )p 
или
dQ
p  Lг
 Rг Q ,
dt
где p – падение давления на рассматриваемом участке трубопровода, Lг –
гидравлическая индуктивность, отражающая упругие свойства жидкости, Lг =
(l)/S; Rг – гидравлическое сопротивление, отражающее вязкое трение, Rг =
2a/.
Явление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением, вытекающим из закона Гука
p = E l/l.
Дифференцируя (5) и учитывая, что объёмный расход связан со скоростью u =
d(l)/dt соотношением u = Q/S, получаем
dp
 Cг Q ,
dt
где Cг – гидравлическая ёмкость; Cг = E/(S l).