Лекция № 4.

Лекция № 4.
Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков.
Движение заряженных частиц в аксиально-симметричном электрическом поле. Основные типы
электростатических линз.
IV. ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА.
§ 4.1. Аналогия световой и электронной оптики.
До сих пор мы изучали движение отдельных частиц в электронном и магнитном полях.
Электронная оптика изучает законы распространения пучков заряженных частиц –
электронов и ионов – в электрическом и магнитном полях. Пучки в электронной оптике,
как правило, считаются достаточно редкими, так что электрические и магнитные
микрополя от собственного объемного заряда пучка пренебрежимо малы по сравнению с
макрополями отклоняющей системы (линейная оптика). Уже первые эксперименты в
конце 19 века с катодными лучами показали, что законы распространения электронных
лучей подобны законам распространения световых лучей в геометрической оптике. И
дело вовсе не в том, что электроны можно считать электронной волной. Комптоновские
длины волн электрона  
h
12.25 .

A много меньше характерных размеров
mV
U [эВ]
оптических систем, т.е. электроны можно считать частицей. Аналогия между движением
заряженной частицы и распространением света более фундаментальна, и лежит она в
существовании вариационного принципа.
В геометрической световой оптике этот
a2
a2
a1
a1
принцип имеет название принципа Ферма:   ndl  0 , т.е. L  0 где L   ndl оптическая длина пути света, n  const - показатель преломления. Оптическая длина
реального пути света должна быть минимальна (свет распространяется по такому пути, на
котором он тратит наименьшее время). Свет распространяется прямолинейно. В механике
t2
вариационный принцип имеет вид:   Ldt  0 , где L 
t1

mV 2
q
 q  A V , A - векторный
2
c


потенциал ( H  rotA ), L- функция Лагранжа. Вариация интеграла равна изменению этого
интеграла
при
.
t2
изменении
.
t2
.
обобщенный
.
t2
  L qi , q i dt   L qi  qi , q i   q i dt   L qi , q i dt .
t1


t1


t1


координат:
То, что вариация равна 0, говорит о том, что
этот интеграл на действительной траектории
H  0 , то
имеет экстремум (рис.4.1). Если
функция
L  T U ,
Лагранжа
кинетическая энергия, а
a1
где
q
T-
U - потенциальная
 T  U dt  S
Реальная траектория
t1
принципом наименьшего действия: S  0 .
a2
Виртуальная траектория
называется
действием, а вариационный принцип называется
q
a1
t2
энергия. Величина
l
Рис. 4.1. Виртуальная и реальная
траектории частиц.
Принцип наименьшего действия можно записать через обобщенный импульс, который
a1
1
l1
n1
x
равен
H 0
.
L
q
p  . (где  q i  mV  A ):
c
 qi
a2
  pdt  0 ,
при
a1
a2
  Vdt  0 .
Покажем,
что
принцип
Ферма
a1
2
эквивалентен закону преломления геометрической оптики
l2
x
n2
a2
Рис. 4.2. Преломление света
на границе двух сред

V1
+
-
(рис.4.2). Оптическая длина L  l1n1  l2 n2 , ее вариация:
L  n1l1  n2l2  n1x  sin 1  n2x  sin  2  0 ,
следует
закон
преломления геометрической
откуда
оптики:
sin 1 n2
 .
sin  2 n1
Получим аналогичный закон для электронной оптики.
1
Так как параллельная границе раздела компонента
+
-
2
+
-
V2
U1
+
U2
скорости не меняется (рис.4.3), то V1 sin 1  V2 sin 2 .
Следовательно,
ускоряющее
Рис. 4.3. Преломление пучка
заряженных частиц на
границе потенциалов
электронной
sin 1 V2

sin  2 V1
или
напряжение)
–
оптики.
Таким
U2
sin  1

(где U sin  2
U1
закон
образом,
преломления
U-
аналог
показателя преломления.
Но у электронной оптики есть и существенные отличия от световой, они в основном
состоят в следующем:
1. Отдельные лучи в световой оптике независимы – электронные лучи взаимодействуют
друг с другом.
2. Показатель преломления для электронов всегда непрерывен, для света он, как правило,
меняется скачком.
3. Диапазон изменения показателя преломления для электронов не ограничен, в оптике n
 2.5.
4. Скорость электронов тем больше, чем больше показатель преломления, а скорость
света наоборот.
5. Преломляющие поверхности для электронов, в отличие от световых лучей, не могут
быть произвольными – распределение потенциалов всегда удовлетворяет уравнению
Лапласа (линейная электронная оптика) или Пуассона (нелинейная электронная
оптика).
§ 4.2. Потенциал аксиально-симметричного электростатического поля.
Задание преломляющих поверхностей в виде сеток затруднительно, поэтому часто
используют диафрагмы с аксиально-симметричным распределением потенциала U r, z 
(рис.4.4).
r
U1
Так как U  r, z  = U r, z  , то в результате
U2
разложения U по r будут только четные
z
степени:
U r , z   b0 z   b2 z r 2  b4 z r 4  ...  b2 k z r 2 k .
Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
Рис. 4.4. Аксиально-симметричное
поле диафрагм
 2U
r 2

1 
r r
U 
 2U
z 2
0
С учетом
 2U
 2b2 z   12b4 z r 2  30b6 z r 4  ... ;
2
r
 2U
 b0z   r 2 b2z   r 4 b4z   ... ;
2
z
1 
U  2b2 z   4b4 z r 2  6b6 z r 4  ... ;
r r
уравнение Лапласа перепишется в виде:
b0z   4b2 z   b2z   16b4z r 2  b4z   36b6 z r 4  ...  0.
коэффициенты при различных степенях r, получим систему:
Приравнивая
к
нулю
b2  
b0
4
b0 z   4b2  z   0
b0IV
b b IV
.
b2z   16b4 z   0  b4   2  0 
16 64  2!2 24
b4z   36b6  z   0
b IV
b
b6   4   02 6
32
 3! 2
{
{
С учетом b0 z   U 0, z   U z  (потенциал на оси), получим распределение потенциала в
пространстве в виде:
 z  r  .
1 r
1  r  IV  
k U
r
U  r , z   U  z     U ( z )  2   U IV  z  
 U z  ...   1
 
2 
2
2 2
2
 3!  2 
 k !  2 
2
Таким
образом,
4
распределение
2k 
6
потенциала
аксиально-симметричного
2k
поля
определяется значением потенциала на оси .
§ 4.3. Движение параксиальных пучков электронов в аксиально-симметричном
электростатическом поле.
Для приосевых электронов (r2/L2хар<< r/Lхар, где Lхар – характерная длина системы),
которые еще называют параксиальными, можно получить уравнение траектории. Так как
E  0 , то электроны не вращаются вокруг оси z. Другие компоненты электрического
поля определяются из соотношений:
U
r4
  E z  U z   U z   U z  ;
z
4
U
r
r3
r
  Er   U   z   U IV  z    U   z  .
z
2
3
2
Уравнение движения для электрона:
er
U z 
2
mz  eU z 
mr  eEr  
{
(4.1)
Первое уравнение системы замечательно тем, что в полях с аксиальной симметрией
радиальная фокусирующая или расфокусирующая сила пропорциональна удалению
частицы от оси. Возьмем второе уравнение системы (4.1). Учитывая, что левые части
уравнения содержат производные по времени, а правые производные по z, можно
использовать
переход
к
производной
d 2 z d dz dz d dz 1 d  dz 
e dU  z 



.
  
2
dt dt dt dz dt 2 dz  dt 
m dz
dt
2
по
переменной
z:
Интегрируя последнее уравнение с учетом граничного условия при z = 0 U(z) = 0 и dz/dt0
= 0 (пренебрегаем начальной скоростью частиц), получим dz/dt =
2eU ( z) / m .
Возьмем первое уравнение системы (4.1) и перейдем к производной по переменной z:
d 2 r d dr dz d  dr dz 
e


rU z  . Последнее уравнение перепишем в виде:


2
dt dt dt dz  dz dt 
2m
dt
U z 
d 
dr 
r
 U z     U z  , получим уравнение траектории r(z) параксиального
dz 
dz 
4
пучка:
d 2 r U ' ( z ) dr U '' ( z )


r0
dz 2 2U ( z ) dz 4U ( z )
(4.2),
которое называется основным уравнением электронной оптики.
Анализ уравнения (4.2):
1. В уравнение входит только U z  , траектория зависит только значением потенциала
на оси.
2. В уравнение не входит
e
, поэтому траектории электронов и ионов не отличаются.
m
3. Уравнение линейно и однородно относительно U z   можно заменить на kU z ;
4. Уравнение линейно и однородно относительно r z   можно заменить на krz  ;
Таким образом, полученное линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го
порядка относительно U(z) и r(z) показывает, что возможно масштабное моделирование,
т. е. если потенциал во всех точках пространства увеличить в k раз (увеличить потенциал
на всех электродах системы в одинаковое число раз), то уравнение, а следовательно и
траектория электрона не изменится. Кроме того, можно сделать вывод, что любое
аксиально-симметричное поле есть линза, т.к. в любой плоскости сохраняется подобие
траекторий относительно расстояния от оси (рис.4.5):
A
rA
rA
A
Предметная
плоскость
rB
rB
B
B 
Плоскость
изображения
Рис. 4.5. Изображение в линзе.
Фокусная
Fr  
rA rB
.

rA rB
сила
линзы:
er
U   z  возрастает с удалением от оси.
2
Линза будет фокусирующей (собирающей),
если U   0 . Линза будет расфокусирующей
(рассеивающей), если U   0 .
§ 4.4. Параметры увеличения в электронной линзе.
Основное уравнение электронной оптики (4.2) является однородным дифференциальным
уравнением относительно r второго порядка. Решение, как известно, можно представить
в виде суммы двух частных решений:
C1r1 z 
a
b
C1r1 z 
A
z
B
константы. Пусть C2  0 ,
частные решения при
z  a и z  b . Тогда r z   C1r1 z  - это совокупность
C1r1 z 
траекторий, которые пересекают ось в точках А и В,
т.е. в точке В соберутся все электроны, вышедшие из
Рис. 4.6. Траектории осевых
электронов в линзе.
точки
C1r1 z   C2 r2 z 
A
r z   C1r1 z   C2 r2 z  , где C1 и C2 - произвольные
А
(рис.4.6).
C2  0 r a   C2 r2 a  и
При
r b  C2 r2 b для всех электронов, т.е. если источник
поместить в точку А, то в точке В будет его
b
изображение (рис.4.7). Тогда линейное увеличение
a
линзы: M 
C1r1 z   C2 r2 z  B
r2 b 
. Рассмотрим снова траекторию с
r2 a 
источником на оси, т.е.
Рис. 4.7. Траектории не осевых
электронов в линзе.
Угловое
z
1
2
Рис. 4.8. Угловое увеличение в
линзе.
линзы
определяется
как
отношение тангенсов углов наклона траектории к
оси:  
r
увеличение
r z   C1r1 z  (рис.4.8).
tg 1 r1b 
. Возьмем основное уравнение

tg 2 r1a 
электронной
U z 
d 
dr 
r
 U z     U z  .
dz 
dz 
4
решения r1 z  : U  z 
Для частного решения r2 z  : U  z 
оптики
в
Для
виде:
частного
dr1 
r1
d 
 U z
   U   z  .
dz 
dz 
4
dr2 
r2
d 
 U z
   U   z  . Первое умножим на r2,
dz 
dz 
4
 d 
dr 
dr  
d 
второе на r1 и вычтем их: U z  r2  U z  1   r1  U z  2    0 . Следовательно,
dz 
dz 
dz  
 dz 
d
dz


U  r2 r1  r1r2   0 , то есть, U  r2 r1  r1r2   const . Для z  a и z  b r1 a   r1 b  0 , т.е.
U br2 br1b  U br2 br1b
M  
U a 
U b 
U a 
или
U b 

r2 b  r1b 
.
r2 a  r1a 
Получаем
соотношение
, которое является аналогом теоремы Лагранжа-Гельмгольца: M   
n1
.
n2
Найдем фокусные расстояния электронной линзы. Возьмем частные решения r1 z  и r2 z  ,
r1 z 
r2 z 
h1

проходящие через фокусы. Так же, как это
h2
было сделано выше, напишем для них
основные уравнения электронной оптики,
f1
a
f2
b
z
до множим на r1 и r2 и вычтем, получим:
U r2 r1  r1 r2   const . Для предметного
пространства: U a r2 a r1a   c .
f1
f2
Для пространства изображения:
 U br1 br2 b  c . Тогда фокусные
Рис. 4.9. Геометрические параметры линзы.
расстояния слева f1 и справа f2 от главных плоскостей h1 и h2 электронной линзы можно
определить через траектории, проходящие через фокус линзы r1 и параллельно оси r2
системы f 2 
U b
r2 a 
r b 
f
; f1  1 . Отношение фокусных расстояний | 2 |
.
f1
r2 b 
r1b 
U a
§ 4.5. Тонкие электростатические линзы.
Рассмотрим тонкие линзы, главные плоскости которых находятся при z = a и при z
= b. Для тонких линз расстояние между главными плоскостями много меньше фокусных
расстояний (b - a) << f1, f2 , т. е. главные плоскости сливаются. Линейное увеличение
линзы (рис.4.10) M 
f1 f 2
 , следовательно z1 z2  f1 f 2 . Записав систему:
z1 z2
f2
z1
z2
f1
l1
z
 l1  z1  f1

l 2  z 2  f 2 , получим:
z z  f f
1
 1 2
т.е. z1 z 2  l1  z1 l2  z 2  ,
1
l2
Рис. 4.10. Геометрические параметры тонкой
оптической линзы.
f1 z1 f 2 z2
    2,
l1 l1 l2 l2
z1 z2
 . Получим:
l1 l2
следовательно
f1 f 2
  1 - основное
l1 l2
соотношение тонкой линзы.
Возьмем основное уравнение электронной оптики в виде: U z 
Которое
a
b

A
l1
привести
к
виду:
d 
dr 
r  z U  z 
;
 U z    
dz 
dz 
4 U z 


можно
d 
dr 
r
 U z     U z  ,
dz 
dz 
4
B
l2
Проинтегрируем:
z
Рис. 4.11. Геометрические параметры
тонкой электростатической линзы.
1 b r z U z 
 dr 
 dr 
.
U b    U a     
4a
U z 
 dz  b
 dz  a
Если линза слабая, то r a   r b .
r b   dr 
r a 
 dr 
Тогда заменяя    tg  
и    tg  
, и вынося r z  из под знака
l2
l1
 dz  b
 dz  a
интеграла как множитель r a  , получим:
U b 
U a  1 b U  z 

 
dz (сократили на
l2
l1
4 a U z 
r a   r b ). С учетом основного соотношения тонкой линзы
f1 f 2
  1 , получим
l1 l2
b
b
U   z 
1
1
1
1
U z 
dz
фокусные расстояния слева и справа: 
и

dz .


f1 4 U  a  a U  z 
f 2 4 U b  a U z 
Отношение фокусных расстояний:
U b  n2
f2


. Возьмем выражение для f 2 :
f1
U a  n1
b
1
1
U z 

dz . Проинтегрируем по частям (  xdy  xy   ydx ), получим:

f 2 4 U b  a U z 
2
b
 U  b  U   a  
U   z 

1
1
1


D


dz
 3
f2 4 U b   U b 
 8 U b  a U 2  z 
U
a




- оптическая сила.
Если U a   U b  0 (т.е. на границе нет электрического поля), то линза всегда
собирающая ( D  0 ).
§ 4.6. Основные типы электростатических линз.
Для одиночной диафрагмы с круглым отверстием:
E  Ez2
1
. где Ez1 и Ez2 –
 z1
fD
4U d
напряженности электрических полей слева и справа от диафрагмы, Ud – потенциал
диафрагмы. Для системы из двух линз – диафрагм с фокусами f1 и f2 и расстоянием
между линзами l оптическая сила задается соотношением:
1
1
1
l



. В общем
f
f1 f 2 f1 f 2
случае аксиально-симметричного поля траектория электрона описывается уравнениями:
er ''
 
m r  eEr   2 U ( z )
,

 
'
m z  eE z  eU ( z )
т.е.
фокусирующая
сила
определяется
знаком
второй
производной от потенциала на оси системы. Если U(z) > 0, то система фокусирующая,
если U(z) < 0, то расфокусирующая. На рис. 4.12- 4.15 показаны примеры возможныех
типов электростатических линз.
E1  E2
E2
E2
E1
z
z
e
e
U
U
z
0
a
z
0
b
U
a
b
U
z
z
0
0
U 
U 
+
z
0
Рис. 4.12. Фокусирующая электростатическая
линза с тормозящим электрическим полем.
z
0
Рис. 4.13. Фокусирующая электростатическая
линза с тормозящим и ускоряющем
электрическим полем.
E1  E2
| E1 || E2 |
E2
E1
E2
E1
z
z
e
e
U
U
z
0
a
z
0
b
U
a
b
U
z
0
0
z
U 
U 
z
0
-
Рис. 4.14. Расфокусирующая
электростатическая линза с тормозящим
электрическим полем.
0
z
-
Рис. 4.15. Расфокусирующая
электростатическая линза с ускоряющем
электрическим полем.
| E1 || E2 |
E2
E1
z
e
U
z
0
a
b
U
0
z
U 
+
z
0
Рис. 4.16. Фокусирующая электростатическая
линза с ускоряющем электрическим полем.