На правах рукописи Щигрев Сергей Владимирович Метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов (на основе нечетко-множественного описания «гусеничных» главных компонент) Специальность 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Новосибирск, 2008 Работа выполнена в Институте экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения Российской академии наук Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Павлов Виктор Николаевич Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор Коломак Евгения Анатольевна кандидат экономических наук, доцент Ягольницер Мирон Аркадьевич Ведущая организация: Алтайский государственный университет Защита состоится 30 января 2009 года в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.174.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, ауд.304А. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета. Автореферат разослан ____ декабря 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат экономических наук, доцент 2 А.В. Комарова ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ Экономическая конъюнктура – это совокупность признаков, выражающих текущее состояние экономики или рынка товаров на определенный промежуток времени. Говоря словами основателя первого в России Института по изучению экономической конъюнктуры Н.Д. Кондратьева (1892 - 1938), «понятие конъюнктуры указывает на стечение обстоятельств, от которых зависит и в которых проявляется успех хозяйственной деятельности» (см. [7]). Прогнозирование рыночной конъюнктуры подразумевает рассмотрение экономических явлений в процессе их изменения во времени. Цель конъюнктурного прогноза – определение возможностей проведения хозяйственных операций, прежде всего покупки и продажи по наиболее выгодным ценам. Фондовый рынок занимает важное место как инструмент перераспределения денежного капитала в различные сферы экономики. Этот рынок в настоящее время является наиболее динамичным. Основными показателями, характеризующими конъюнктуру фондового рынка, являются фондовые индексы. В изменении индекса отражается тенденция движения рынка, знание которой необходимо для принятия инвестиционных решений. Актуа ль но с ть те мы д и ссер т а ц и и . Повышение эффективности методов прогнозирования фондовых индексов направлено на повышение качества инвестиционных решений и, как следствие, должно привести к вовлечению в экономическую деятельность большего числа потенциальных инвесторов. Рост инвестиционной деятельности, в свою очередь, приводит к повышению темпов экономического развития и уровня жизни. Поэтому, разработка эффективных методов прогнозирования фондовых индексов является актуальной задачей в повышении эффективности, как самого фондового рынка, так и экономической системы в целом. Этим обстоятельством обосновывается актуальность темы диссертации. Ст еп е нь р а зр а бо та нн о сти п р о бл ем ы . Одним из наиболее развитых методов краткосрочного прогнозирования фондовых индексов является метод главных компонент, или различные его модификации (см. [13, 3]). В работе [6] предложена одна из модификаций метода главных компонент, так называемый метод «Гусеница», в котором прогнозирование выполняется на основе преобразования главных компонент «гусеничной» ковариационной матрицы. Первоначально метод 3 использовался для выявления периодических составляющих временных рядов. С появлением алгоритма реконструкции временного ряда в 1989 году появилась возможность применять этот метод для сглаживания данных. В современной зарубежной литературе описан достаточно широкий класс методов, алгоритмически и идейно близких к методу «Гусеница». Большая часть этих методов известна в русском переводе как «Анализ сингулярного спектра» (АСС). Истоки зарубежного варианта АСС восходят к работам Д.С. Брумхида (Broomhead D.S.) [12] и Р. Ваутарда (Vautard R.) [15]. Це лью данного исследования является разработка нового метода краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница», построенного на основе совмещения метода «гусеничных» главных компонент и теории нечетких множеств. Обоснованием выбранной цели являются следующие соображения. В настоящее время существует множество статистических методов анализа и прогнозирования временных рядов. К числу таких методов относятся регрессионный анализ, анализ Фурье, методы БоксаДженкинса и множество других методов (см. [1, 2, 4, 5, 11, 11, 14 и др.]). В то же время, большинство эконометрических методов анализа и прогнозирования временных рядов базируется на заранее принятых гипотезах о классе функциональных зависимостей, среди которых ведется поиск наилучшей. Это обстоятельство не позволяет утверждать однозначно, что построенная эконометрическая зависимость является действительно наиболее эффективной. Указанный недостаток полностью отсутствует в методе «Гусеница» (методе, основанном на использовании для прогноза «гусеничных» главных компонент, построенных на основе исходного ряда значений индекса) [13, 3, 10]. Однако, по убеждению автора, и сам метод «Гусеница» может быть значительно улучшен. Целью диссертации является реализация одного из направлений повышения эффективности метода «Гусеница» на основе разработки метода краткосрочного прогнозирования «Нечеткая гусеница». В соответствии с формулой специальности 08.00.13, диссертация посвящена «развитию математического аппарата экономических исследований, методов его применения». По области исследования диссертация относится к разделу 1.8 паспорта специальности: «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития». За да чи исследования: 1) анализ методов исследования рыночной конъюнктуры; 4 2) анализ статистических методов исследования фондовых индексов, сравнение эконометрических методов и одной из модификаций метода главных компонент (метода «Гусеница»); 3) разработка метода «Нечеткая гусеница» прогнозирования фондовых индексов; 4) построение краткосрочного post fact прогноза индексов ММВБ и Dow Jones Industrial по методу «Гусеница» и по методу «Нечеткая гусеница» и сравнение на этой основе эффективности методов. Объ ек т и с сл едо ва ни я : фондовые индексы, их статистическое описание. Пр ед ме т и сс ледо ва ни я : статистические методы анализа и прогнозирования фондовых индексов, нечетко-множественное описание экономической неопределенности, прогнозирование фондовых индексов на основе их нечетко-множественного описания. Тео р е ти ко - ме то до ло ги ч еско й базой исследования являются экономическая теория, труды российских и зарубежных ученых по эконометрике, математической статистике, теория нечетких множеств. На уч на я но ви з на диссертации заключается: в разработке нового оригинального метода анализа временных рядов «Нечеткая гусеница»; в модификации стохастического алгоритма построения функции принадлежности прогнозируемого элемента числового ряда – одной из базовых процедур метода «Нечеткая гусеница»; в экспериментальном исследовании свойств метода «Нечеткая гусеница»; в статистической оценке и сравнении эффективности метода «Нечеткая гусеница» с методом «Гусеница» на краткосрочном post fact прогнозе индекса ММВБ и индекса Dow Jones Industrial. Тео р е ти че ска я значимость работы. Разработан новый метод анализа и прогнозирования временных рядов «Нечеткая гусеница». Выполнена экспериментальная проверка эффективности этого метода. Пр а кти ч еска я ценность работы. Разработанный в диссертации метод «Нечеткая гусеница» оказался более эффективным по сравнению с методом «Гусеница», поэтому применение метода «Нечеткая гусеница» в прогнозировании фондовых индексов приводит к повышению качества принимаемых инвестиционных решений. Пуб ли ка ц и и . По теме диссертации опубликованы две научных статьи общим объемом 2 п.л., препринт объемом 1,5 п.л. и тезисы доклада в трудах научной конференции. В том числе, одна статья в «Вестнике НГУ: серия социально-экономических наук», включенном ВАК РФ в список журналов, рекомендуемых для опубликования основных науч- 5 ных результатов кандидатских и докторских диссертаций по экономическим наукам. Исп о ль зо ва ни е р е зу ль т а то в ди с сер та ц и и . Научные результаты диссертации использовались при выполнении исследований по теме № РНП.2.1.3.2428 Программы Рособразования по развитию научного потенциала высшей школы, а также в преподавании дисциплины «Прогнозирование Российской экономики с использованием межотраслевых динамических моделей с распределенными строительными лагами» на экономическом факультете НГУ. Ап р о ба ц и я р а бо т ы . Основные результаты диссертации были доложены на международной научной конференции, докладывались на научных семинарах НГУ и ИЭОПП СО РАН. Структура работы и ее объем. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, библиографического списка из 119 наименований, трех дополнений. Основной текст содержит 126 страниц, 10 таблиц, 34 рисунка. В первой главе «Обзор методов исследования рыночной конъюнктуры» рассмотрены подходы к исследованию конъюнктуры рынков, их моделированию, определена проблема исследования фондовых рынков и освещены основные подходы к решению этой проблемы. Во второй главе « Математическое описание метода краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница»» содержится описание метода «Гусеница» и разработанного в диссертации метода «Нечеткая гусеница». Третья глава «Экспериментальное краткосрочное прогнозирование фондовых индексов» содержит описание результатов прогнозных расчетов по методам «Гусеница» и «Нечеткая гусеница», а также сравнительный анализ этих результатов. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ П ер во е по ло жен ие . Новый метод краткосрочного прогнозирования фондовых индексов «Нечеткая гусеница», который является нечетким обобщением метода «Гусеница». Метод предназначен для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов, заданных нечеткими числами. Краткое описание метода «Нечеткая гусеница». Основные определения. Динамика фондового индекса обычно описывается числовым рядом значений индекса в заданные моменты времени f k f tk , где t k связаны соотношениями tk tk 1 . Число- 6 f k f tk , которые получены в результате регулярных наблюдений tk tk 1 за показателем f , называются временны’ми. Пусть динамика фондового индекса описывается временным рядом f k , k 1,..., N . Предполагается, что неопределенность, содержащаяся в каждом элементе исходного временного ряда f t , описывается в виде нечеткого множества. Базовые процедуры метода «Нечеткая гусеница». 1). Построение матрицы F по исходному временному ряду. Выбирается некоторое число 1 N , называемое длиной гусеницы, и при помощи однопараметрической сдвиговой процедуры преобразуется одномерный ряд f t в многомерную выборку, то есть в последовые ряды вательность вектор-столбцов F 1,...,F n R , где n N 1 , следующим образом: F F 1,..., F n F1 T ,..., F T T f1 f 2 f f2 f3 f 1 fn f n1 f N Здесь через Fi i 1,..., , обозначена i -я строка матрицы F , а верхним индексом T обозначена процедура транспонирования. 2). Построение матрицы вторых моментов («гусеничной» ковариационной матрицы) CF 1 FF T . n 3). Вычисление собственных чисел 1 , 2 , , и собственных векторов v 1 v 2 v 1 1 1 1 v 2 v v 2 2 VF v 1 ,..., v 2 v 1 v 2 v 7 матрицы CF . Обозначим через F Жорданову форму матрицы CF . Так как матрица CF по построению является симметричной и положительно определенной, то все собственные числа ее вещественные и положительные, а Жордановы клетки простые. Из этого вытекает, что матрица F диагональная. Из линейной алгебры следует, что F VF T CFVF . При этом будем предполагать, что собственные векторы упорядочены по убыванию соответствующих собственных чисел, то есть 1 > 2 > > >0. 4). Вычисление главных компонент матрицы F по формуле GF VFT F G1 . G 5). Частичное восстановление исходного ряда по r первым компонентам: G j1 r r ~ j 1,...,n j1 j2 jr F zij v , v ,..., v v ji G ji Fi i 1,..., i 1 G i 1 jr с последующей ганкелизацией 1 s z j , s j 1 s j 1 ~ 1 fs z j , s j 1 j 1 N s 1 1 zn j 1, j s n N s 1 j 1 1 s sn nsN ~ где через zij обозначены элементы матрицы F . 6). Прогнозирование элемента fˆN 1 по формуле: 8 fˆN 1 v V *T V * QT qi i11 f N 2 ,..., f N , где 1 *T V Q, v vi1 ,..., vir , r 1 , 0 i1 i2 ... ir и v i1 v i2 1 1 i1 v i2 v 2 V* 2 v i1 v i2 1 1 v1ir v2ir . vir 1 Если исходный ряд f k , k 1,..., N состоит из нечетких чисел, то элементы матрицы F будут нечеткими. Следовательно, все элементы n cij матрицы CF , вычисленные по формулам cij f t i 1 f t j 1 на t 1 основе правил нечеткой арифметики, будут нечеткими числами. Далее, элементы матрицы VF , полученные в результате решения линейных систем уравнений, все собственные числа 1 > 2 > > , вычислен- 1 ные по формуле F VF T CFVF , и элементы фильтра v V *T V * V *T будут также нечеткими. Таким образом, вычисленный элемент 1 fˆN 1 v V *T V * V *T Q оказывается нечетким числом. В этих условиях задача продолжения ряда ft , t 1,..., N , заключается в вычислении функции принадлежности нечеткого числа fˆ . N 1 7). Приближенное построение функции принадлежности элемента fˆN 1 . Приближенное построение функции принадлежности элемента fˆN 1 основано на следующих двух преобразованиях: 1. преобразование нечеткого множества в случайную величину; 2. интервальное преобразование случайной величины в нечеткое множество, предложенных и изученных в работе [8]. 9 На основе этих двух преобразований в работе [9] предложен стохастический алгоритм приближенного построения функции принадлежности нечетких макроэкономических показателей, вычисленных по динамической межотраслевой модели с нечеткими параметрами, состоящий из двух шагов. Однако, этот алгоритм в оригинальном виде не может использоваться для приближенного построения функции принадлежности нечеткого числа fˆN 1 , так как по построению матрицы F нечеткие элементы zi 1, j 1 и zij при всех 1 i и 1 j n равны друг другу. Следовательно, после преобразования их в случайные величины ij , для них также должны быть выполнены равенства i1, j 1 ij . Предложенная в данной диссертации модификация стохастического алгоритма заключается в следующем. Берется ряд выборочных матриц j 1,...,n k ijk i 1,..., k 1,..., S , сгенерированных при выполнении условий i1, j 1 ij . Для каждой из них выполняется обычный «гусеничный» прогноз f Nk 1 . Затем выполняется приближенное интервальное преобразование (см. [8]) полученной выборки f Nk 1 с использованием эмпирической функции распределения S x , построенной по этой выборке. Этим преобразованием завершается приближенное построение функции принадлежности элемента fˆN 1 по модифицированному стохастическому алгоритму. 8). Наиболее правдоподобный прогноз f Np1 элемента fˆN 1 находится через решение следующей оптимизационной задачи: f Np1 Arg max fˆ xR 10 N 1 x . 9). Методика оценки надежности нечеткого прогноза разработана в [9]. Эта методика основана на вычислении степени совпадения двух нечетких множеств T A, B min Pl A, B, Pl B, A , где Pl A, B A B x dx A x dx , A x - функция принадлежности не- четкого множества A . Определение 1. Носителем нечеткого множества ющее множество: A является следу- E A x R A x 0 . Определение 2. Пусть A - нечеткое множество. Обозначим через x0 A нечеткое множество с функцией принадлежности A x x0 . Полученное множество называется сдвигом исходного множества A на величину x0 . Пусть имеется m прогнозных элементов fˆ , k 1,..., m, продолN k жающих нечеткий числовой ряд f t tt 1N . Схема вычисления надежности применительно к элементу fˆN k заключается в следующем. Выбирается эталонный показатель S с функцией принадлежности S , симметричной относительно начала координат. Затем надежность прогноза H k S вычисляется по формуле H k S T fˆN k , S f Np k . Очевидно, значение H k S существенным образом зависит от выбора эталонного показателя S . При выборе другого эталонного показателя надежность прогноза H k S может увеличиться или уменьшиться. Поэтому, оценка H k S может использоваться только для сравнитель- 11 ного анализа надежности вычисленных элементов fˆN k . Исследования, проведенные в [9], показали, что если носитель эталонного показателя достаточно мал, то оценка надежности H k S пропорционально убывает при всех k , когда носитель E S уменьшается, т.е. от эталона S выполняется переход к эталону S такому, что E S E S . Это свойство функции H k S позволяет использовать ее для сравнительной оценки надежности элементов fˆN k , k 1,..., m . Для того, чтобы надежность H k S пропорционально убывала при всех k , достаточно, чтобы E S E fˆN k , k 1,..., m . Вт о р о е по л о же ни е . Экспериментальное доказательство возможности применения методов «Гусеница» и «Нечеткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов. Для экспериментального исследования были выбраны представители двух групп индексов: агрегированных по капитализации (индекс ММВБ) и агрегированных с равными весами (индекс Dow Jones Industrial). Этими группами охватываются практически все наиболее известные фондовые индексы. 1940 1840 1740 Ф акт Прогноз Мин 27.05.2008 25.05.2008 23.05.2008 21.05.2008 19.05.2008 17.05.2008 15.05.2008 13.05.2008 11.05.2008 09.05.2008 07.05.2008 05.05.2008 03.05.2008 01.05.2008 1640 Мах Рис. 1. Результаты краткосрочного прогноза индекса ММВБ по методу «Гусеница». 12 2100 2000 1900 1800 1700 Ф акт Прогноз Мин 25.05.2008 23.05.2008 21.05.2008 19.05.2008 17.05.2008 15.05.2008 13.05.2008 11.05.2008 09.05.2008 07.05.2008 05.05.2008 03.05.2008 01.05.2008 1600 Мах Рис. 2. Наиболее правдоподобный прогноз по методу «Нечеткая гусеница» и интервал неопределенности. 13200 13000 12800 12600 12400 12200 Исх Прог Мин 25.05.08 23.05.08 21.05.08 19.05.08 17.05.08 15.05.08 13.05.08 11.05.08 09.05.08 07.05.08 05.05.08 03.05.08 01.05.08 12000 Мах Рис. 3. Результаты краткосрочного прогноза индекса DJI по методу «Гусеница». 13200 13000 12800 12600 12400 12200 Ф акт Прогноз Мин 25.05.08 23.05.08 21.05.08 19.05.08 17.05.08 15.05.08 13.05.08 11.05.08 09.05.08 07.05.08 05.05.08 03.05.08 01.05.08 12000 Мах Рис. 4. Наиболее правдоподобный прогноз DJI и интервал неопределенности Выполненные в третьей главе диссертации экспериментальные расчеты по краткосрочному ретро-прогнозированию индексов ММВБ и DJI на пятидневный период (с 21 по 27 мая 2008 г) при 100, r 42 (см. рис. 1-4) показывают высокую степень соответствия фактических зна- 13 чений индексов за этот период и рассчитанных по методам «Гусеница» и «Нечеткая гусеница». Обращает на себя внимание обнаружение и методом «Гусеница» и методом «Нечеткая гусеница» смены направления движения индекса ММВБ 20 мая и смены движения индекса DJI 23 мая. Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта индекса ММВБ по методу «Гусеница» равна 845,068, а по методу «Нечеткая гусеница» - 238,68; индекса DJI 10433,19 и 4224,125 соответственно. Стандартная ошибка прогноза в каждом случае составляет менее полутора процентов от средней величины индексов. Этим обосновывается возможность применения перечисленных методов для краткосрочного прогнозирования фондовых индексов. Тр ет ье по л о ж ен ие . Экспериментальная проверка эффективности метода «Нечеткая гусеница». На основе вычислительного эксперимента по краткосрочному post fact прогнозу индекса ММВБ и индекса DJI методом «Гусеница» и методом «Нечеткая гусеница» выявлено, что метод «Нечеткая гусеница» оказывается значительно более эффективным, чем метод «Гусеница». Средняя величина квадрата отклонения фактических значений индекса от прогноза в методе «Нечеткая гусеница» получена по индексу ММВБ в три с лишним раза меньше, а по индексу DJI – в два с половиной раза меньше, чем в методе «Гусеница». Данный вывод вытекает из следующих результатов краткосрочного прогноза. По индексу ММВБ: Таблица 1. Фактические значения индекса ММВБ на периоде ретропрогноза 20 мая 1937,943 21 мая 1939,357 22 мая 1922,518 23 мая 1898,537 26 мая 1897,125 27 мая 1881,615 Таблица 2. Прогноз индекса ММВБ по методу «Гусеница» 20 мая «Гусеница» 21 мая 1944,019 22 мая 1919,415 23 мая 1870,509 26 мая 1861,473 27 мая 1871,601 Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 845,068, стандартная ошибка прогноза 29.07. Таблица 3. Наиболее правдоподобный прогноз по методу «Нечеткая гусеница» Прогноз Max Min Надежность 21 мая 1953,798 1978,8 1928,8 93,46% 22 мая 1936,827 1961,8 1911,8 64,14% 23 мая 1893,931 1918,9 1868,9 47,49% 26 мая 1896,728 1921,7 1871,7 38,00% 27 мая 1905,744 1930,7 1880,7 32,88% Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 238,68, стандартная ошибка прогноза 15.45. 14 По индексу DJI: Таблица 4. Фактические значения индекса DJI на периоде ретропрогноза 20 мая 12828,68 21 мая 12601,19 22 мая 12625,62 23 мая 12479,63 26 мая 12548,35 27 мая 12594,03 Таблица 5. Прогноз индекса DJI по методу «Гусеница» 20 мая «Гусеница» 21 мая 12640,25 22 мая 12501,14 23 мая 12303,54 26 мая 12504,07 27 мая 12610,4 Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 10433,19, стандартная ошибка прогноза 102.14. Таблица 6. Наиболее правдоподобный прогноз DJI по методу «Нечеткая гусеница» 21 мая 12641,95 12416,95 12866,95 66,28% Прогноз Max Min Надежность 22 мая 12546,14 12321,14 12771,14 34,66% 23 мая 12439,2 12214,2 12664,2 21,65% 26 мая 12477,21 12252,21 12702,21 16,18% 27 мая 12513,74 12288,74 12738,74 12,94% Средняя величина квадрата отклонения прогноза от факта равна 4224,125, стандартная ошибка прогноза 64.99. Функции принадлежности каждого из пяти прогнозируемых элементов индекса ММВБ изображены на рис. 5. Здесь самая высокая функция принадлежности соответствует элементу fˆ (прогноз на 21 мая 2008 N 1 г), по мере удаления от 20 мая 2008 г. максимальная высота функции принадлежности соответствующего прогнозируемого элемента монотонно снижается. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 5623 5276 4929 4582 4235 3888 3541 3194 2847 2500 2153 1806 1459 765 1112 419 71,6 -275 -622 0 Рис. 5. Функции принадлежности прогнозируемых элементов индекса ММВБ. Аналогичные графики функций принадлежности получаются и для прогнозируемых элементов индекса DJI. Чет вер т о е по л о ж ен ие . Выявленные в диссертации математические свойства метода «Нечеткая гусеница», которые заключаются в следующем. Первый прогно- 15 зируемый элемент f Np1 по методу «Нечеткая гусеница» имеет наиболее высокую надежность и наиболее высокую степень правдоподобности прогноза. Степень правдоподобности и надежность каждого следующего прогнозируемого элемента снижается. Обоснованием этого положения в части надежности прогноза являются результаты экспериментальных расчетов, содержащиеся в таблицах 3 и 6 (строка 4). Визуально свойство снижения степени правдоподобности прогноза f Npt для индекса ММВБ с ростом t отражено на рис. 5. Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях: 1. Щигрев С.В. Применение метода «Нечеткая гусеница» для краткосрочного прогнозирования индекса ММВБ. Вестник НГУ. Серия: социально-экономические науки. Т. 8, 2008, выпуск 3, с. 99-104. 2. Щигрев С.В. Метод прогнозирования биржевых индексов. В сб. Анализ и прогнозирование экономических процессов. Новосибирск, ИЭОПП СО РАН, 2006, с. 231-242. 3. Щигрев С.В. Проблема выхода российских организаций на рынок ценных бумаг. Тезисы доклада на международной конференции. Экономика и бизнес: позиция молодых ученых. Барнаул, АГУ, 2007, с. 289291. 4. Щигрев С.В. Методы исследования конъюнктуры рынка. Препринт. Новосибирск, ИЭОПП СО РАН, 2008, 24 с. 16 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Основная использованная литература Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. М.: Мир, 1974. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». Ред. Данилов Д.Л., Жиглявский А.А. Санкт-Петербург, Изд-во СПбГУ, 1997. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.(6) Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. Кислицын М.М. Биотехнические системы в авиационной эргономике. М., Вопросы кибернетики, 51, 1978. Кондратьев Н.Д. Избранные сочинения. М. Экономика 1993 Павлов А.В. Интервальный метод построения нечетких макроэкономических показателей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Новосибирск, ИЭОПП СО РАН, 2004. Павлов А.В., Павлов В.Н. Применение интегральных преобразований в исследовании экономической неопределенности. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки, 2007, том 7, выпуск 2, с. 21-31. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М., Наука, 1968. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. Новосибирск, Изд-во НГУ, 2005. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental dada. Phisica D, 20, 1986,217-236. Hotelling H. Analysis of a complex statistical variables into principal components. J. Educ. Phych., 24, 1933, 417-441, 498-520. Kendall M., Ord J.K. Time Series. Edward Arnold, Great Britain, 1990. Vantard R., Ghil M. Singular-spectrum analysis in nonlinear dynamics, with applications to paleoclimatic time series. Phisica D, 35, 1989, 395424. Zadeh L.A. Fuzzy Sets // Inf. And Control. 1965. Vol. 8. p. 338-353. 17 Лицензия ИД №03575 от 19.02.2000 г. Подписано к печати декабря 2008 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16 Офсетная печать. Гарнитура Таймс. Объем 1 п.л. Уч.-изд. л. 1.0 Тираж 100 экз. Заказ № Участок оперативной полиграфии Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН 630090, Новосибирск, просп. Академика Лаврентьева, 17 18