Комплексные числа и преобразования плоскости

Рижская 40-я школа
Виктор ГЛУХОВ
Комплексные числа и преобразования плоскости
Рига
2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для тех, кто не знает, что такое комплексные числа ..................... 3
Предисловие для тех, кто знает, что такое комплексные числа .......................... 4
1. Задание положения точки на плоскости ............................................................ 5
2. Геометрические преобразования плоскости ..................................................... 8
3. Определение комплексных чисел .................................................................... 13
4. Множество комплексных чисел как расширение множества вещественных
чисел ........................................................................................................................ 16
5. Комплексные числа в алгебраической форме ................................................. 18
6. Комплексно-сопряжённые числа ..................................................................... 20
7. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел ............................... 21
Указания, решения, ответы ................................................................................... 23
2
Предисловие для тех, кто не знает, что такое комплексные числа
Это что за диковина такая – комплексные числа? Неужели недостаточно
«обыкновенных» вещественных чисел – кому могли понадобиться ещё какието? Такие, или примерно такие, вопросы задавал я себе и окружающим, когда
впервые услышал о существовании каких-то таинственных комплексных чисел.
И не так уж я был неправ: действительно, вещественных чисел вполне
достаточно; правда, если ограничить применение чисел потребностями счёта и
измерения – а для чего они могут быть нужны ещё? (В скобках можно заметить,
что на практике для этих целей даже вещественных чисел оказывается много:
вполне хватило бы и рациональных – вещественные числа возникают только в
чистой, т.е. теоретической математике.) И, тем не менее, оказывается, что
числа можно найти и иные, чрезвычайно плодотворные применения, если
только разумным образом расширить понятие числа. Но какие это применения?
И как расширить? В этой статье на первый вопрос вы вряд ли найдёте
исчерпывающий ответ, поскольку применение комплексных чисел в
математике, физике, электротехнике, гидро- и аэродинамике на сегодняшний
день чрезвычайно обширно. А на второй вопрос я попытаюсь ответить.
Несколько слов о самой статье. Первый раздел предварительный – речь в
нём идёт о задании положения точки на плоскости. Особенно внимательно
разберитесь с полярными координатами, – возможно, новым для вас и очень
важным понятием. Центральный раздел – второй. Здесь ставится задача,
решение которой непосредственно подводит к понятию комплексного числа.
Оставшиеся разделы достаточно традиционны – вы познакомитесь с техникой
работы с комплексными числами, некоторыми их применениями.
О задачах. Некоторые задачи, скорее, следовало бы назвать
упражнениями: решая их, вы осваиваетесь с новыми понятиями. Но и многие
важные утверждения сформулированы как задачи, причём эти утверждения
могут использоваться в дальнейшем изложении. В конце статьи вы найдёте
указания, решения, ответы к большей части задач.
Желаю успехов!
3
Предисловие для тех, кто знает, что такое комплексные числа
Кого как, а меня знакомили с комплексными числами примерно так.
Множество комплексных чисел есть множество упорядоченных пар
вещественных чисел с введённым на нём отношением равенства:
a  x;
 a ; b    x; y   
b  y ,
сложением:
( a ; b )  ( x; y )  ( a  x; b  y )
умножением:
(a; b)  ( x; y )  (ax  by; bx  ay ).
Всё выглядит достаточно «естественным», кроме... умножения. Откуда
такое правило? Почему так, а не как-нибудь иначе? Конечно, дальнейшие
применения целиком и полностью оправдывают именно такое умножение, но
выглядит это, как искусный фокус: смотрите, мы ничего такого поначалу в виду
не имели, а как здорово получилось! Зрители в восхищении, но без малейшей
надежды когда-либо проделать самостоятельно подобный трюк (скажем,
применительно к упорядоченным тройкам или четвёркам). Не многим лучше
дело обстоит, если вводить комплексные числа как формальные алгебраические
суммы x  yi , действия с которыми производятся, как с обычными
алгебраическими двучленами с единственным добавлением: i 2  1 . Но почему
минус единице?! Протест против такого правила может оказаться настолько
силён (ведь столько лет в головы учеников вколачивалось прямо
противоположное правило: при возведении в квадрат не может получиться
отрицательного числа; извлекать квадратный корень из отрицательного числа
нельзя!), что не удастся оправдать его никакими применениями.
А, может быть, так и надо? Пусть изумление сопутствует знакомству с
комплексными числами – ведь это такой мощный стимул познания. Да и
исторически комплексные числа возникли именно как квадратные корни из
отрицательных чисел (недаром их по-другому называют мнимыми) – а не
является ли исторический подход лучшим при изложении того или другого
понятия? Если да, то определённая доза недоумения при изучении комплексных
чисел просто неизбежна, как она оказалась неизбежна в истории.
Я так не думаю. Оставим в стороне исторический подход. Совпадение
логического и исторического осуществляется не столь примитивно, как нам
иногда представляется – в этой статье не место вдаваться в подробности этого
процесса. А что касается школьников или студентов, вместо стимулирующего
познание удивления мы рискуем получить глухой протест и реакцию
отторжения. Нет ли другого пути? Нельзя ли ввести комплексные числа так,
чтобы не только сравнение и сложение выглядели «естественно», но и
умножение? Мне кажется, что можно. Для этого только необходимо найти
некоторую реальную, легко представимую ситуацию, которую описывали бы
комплексные числа и действия над ними. Что это за ситуация? Мой ответ на
этот вопрос вы найдёте в предлагаемой статье, – возможно, он вас заинтересует.
В заключение хочу выразить благодарность А. Я. Раневскому, В. Ю.
Литвинскому и С. И. Мельнику, любезно согласившимся прочитать рукопись
статьи и сделавшим ряд полезных замечаний и предложений. Спасибо также
всем моим ученикам, которым в разные годы я рассказывал (или не
рассказывал) о комплексных числах, – без них этой статьи не было бы.
4
1. Задание положения точки на плоскости
Пусть на плоскости выбрана некоторая прямоугольная декартова система
координат. Сопоставляя каждой точке координатной плоскости её координаты
 x; y , мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между двумя
множествами – множеством точек координатной плоскости и множеством
упорядоченных пар вещественных чисел  x; y  . Соответствие взаимно
однозначно, так как каждой точке плоскости сопоставлена одна и только одна
пара вещественных чисел – её координаты; и, обратно, всякая пара  x; y 
представляет собой координаты некоторой точки, причём единственной.
Наряду с точками координатной плоскости введём в рассмотрение
радиус-векторы этих точек. Радиус-вектором точки  x; y  называется вектор,
идущий из начала координат O0;0 в саму точку x; y  (рис. 1).
z
x
y
O
Рис. 1
Нетрудно убедиться в том, что соответствие, сопоставляющее всякой
точке координатной плоскости её радиус-вектор, является взаимно
однозначным. Поэтому будем считать пару  x; y  координатами не только
точки, но и соответствующего ей радиус-вектора, а также любого другого,
равного ему, вектора. Кроме того, введём для точек координатной плоскости и
соответствующих им радиус-векторов единое обозначение: будем обозначать их
маленькими буквами латинского алфавита – z, w, c и т.д. Такое обозначение
отличается от принятого в геометрии, к тому же может вызвать некоторую
путаницу: так же обозначаются числа; тем не менее, для целей этой статьи оно
чрезвычайно удобно.
Декартовы координаты не единственный способ задания положения
точки на плоскости. Вот другой. Выберем на плоскости некоторый луч. Его
начало O назовём полюсом, а сам луч – полярным лучом. Радиус-векторы точек
плоскости будем откладывать от полюса O. Для задания положения точки z
достаточно знать расстояние r от полюса O до точки z и угол , образованный
радиус-вектором z с полярным лучом (рис. 2).
5
z
r

O
Рис. 2
 – это угол, на который следует повернуть полярный луч, чтобы его
направление совпало с направлением радиус-вектора z. Если поворот
совершается против часовой стрелки, угол  положителен, если почасовой
стрелке – отрицателен. Упорядоченная пара r;  образует так называемые
полярные координаты точки z; расстояние r называется полярным радиусом, а
угол  – полярным углом. Условимся, что
(1)
   .
В таком случае полярные координаты всякой, отличной от полюса, точки
плоскости единственны. Что касается полюса O, то его полярный радиус равен
нулю, а полярный угол не определён (может быть любым).
В дальнейшем мы будем использовать как декартовы, так и полярные
координаты. Поэтому, выбрав раз и навсегда некоторую прямоугольную
декартову систему координат, давайте договоримся в качестве полярного луча
использовать положительную полуось абсцисс. Тогда связь между декартовыми
 x; y и полярными r;  координатами точки z задаётся формулами (рис. 3):
 x  r cos ;
(2)

 y  r sin .
Рис. 3
Задача 1. Найдите декартовы координаты точек по их полярным
координатам:

1) r  4;   ;
2) r  ;    ;
2

2
3) r  17;  
;
4) r  28;    .
3
4
6
Задача 2. Найдите полярные координаты точек по их декартовым
координатам:
1) x  0; y  7;
2) x  3; y  0;
3) x  5; y  5;
4) x  3 3; y  3;
5) x  6; y  8.
Задача 3. Что представляет собой геометрическое место точек,
удовлетворяющих условию:
1) r  const ;
2)   const.
7
2. Геометрические преобразования плоскости
Язык координат удобен не только для задания положения точек на
плоскости, но и для описания геометрических преобразований плоскости. В
этом разделе перед нами несколько раз будет стоять одна и та же задача.
Заданное геометрическое преобразование переводит точку z   x; y в точку
z    x ; y  . Выразить координаты точки z    x ; y  через координаты точки
z   x; y .
Наш первый пример – параллельный перенос. При параллельном
переносе все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на
одно и то же расстояние. Поэтому удобно с параллельным переносом связать
некоторый вектор, направление которого задаёт направление параллельного
переноса, а длина – расстояние, на которое смещаются точки при параллельном
переносе. Если параллельный перенос задан вектором c   a; b , то радиусвектор z    x ; y  связан с радиус-вектором z   x; y простой формулой:
(3)
z  z  c .
Или в координатной форме:
 x   x  a;
(4)

 y   y  b.
Замечательно, что в формуле (3) один и тот же математический объект –
вектор – играет двоякую роль. С одной стороны, векторы z и z  задают
положение точек на плоскости. С другой же стороны, вектор c выполняет
совершенно иную функцию: он задаёт параллельный перенос, т.е.
геометрическое преобразование, которому подвергаются все точки плоскости.
Следующий пример – гомотетия. Гомотетия с центром O и
коэффициентом k переводит точку z   x; y в точку z    x ; y  согласно
формуле:
(5)
z  k  z .
(В формуле (5) z и z  означают, конечно же, радиус-векторы.) А в
координатной форме:
 x   k  x;
(6)

 y   k  y.
И, наконец, поворот... Пусть центром поворота служит начало
координат O, угол поворота  заключён в пределах:
(7)
   .
Найти формулы поворота для произвольного угла  – непростая задача.
Попробуйте для «разминки» решить её для частного, но очень важного в
дальнейшем случая.
Задача 4. Точка z    x ; y  – образ точки z   x; y при повороте вокруг
центра O на угол   90 . Выразите координаты точки z    x ; y  через
координаты z   x; y .
Следующий шаг – формулы поворота плоскости на произвольный угол
. Угол поворота  можно задать либо аналитически – числом, тогда в
формулах поворота будут фигурировать тригонометрические функции; либо
геометрически. Мы пойдём вторым путём. Какой геометрический объект
8
способен нести на себе информацию об угле поворота? Не поможет ли нам ещё
раз вектор? Вспомним, у вектора есть не только декартовы, но и полярные
координаты; и одна из них – полярный угол – вполне может задавать угол
поворота. Таким образом, вектором, задающим поворот плоскости на угол ,
будет любой вектор, образующий с полярным лучом угол . При этом, правда,
никакую информационную нагрузку не несёт вторая координата – полярный
радиус. Кроме того, нет взаимно однозначного соответствия между поворотом и
задающим его вектором (как это было в случае параллельного переноса): один и
тот же поворот задаётся разными по длине, но одинаково направленными
векторами. Нет ли возможности как-то использовать длину вектора, а заодно
избавиться от неоднозначности при задании поворота? Не может ли длина
вектора служить, к примеру, коэффициентом гомотетии, которая в таком случае
совершалась бы до или после поворота? Но тогда вектор задаёт уже не поворот,
а композицию поворота и гомотетии. (Заметим в скобках, что порядок
выполнения поворота и гомотетии неважен: результат будет одним и тем же
(см. задачу 5).) Так что давайте рассматривать композицию поворота и
гомотетии в качестве единого геометрического преобразования – поворотной
гомотетии плоскости. Таким образом, между множеством поворотных
гомотетий и множеством векторов плоскости установлено взаимно однозначное
соответствие: каждая поворотная гомотетия задаётся одним и только одним
вектором.
Задача 5. Убедитесь в коммутативности поворота и гомотетии с общим
центром, т.е. докажите, что результат последовательного выполнения этих
преобразований не зависит от их порядка.
Задача 6. Поворот и гомотетия теперь – лишь частные случаи
поворотной гомотетии. Какие? Какие векторы задают их? Какую поворотную
гомотетию задаёт нулевой вектор?
Задача 7. Точка z    x ; y  – образ точки z   x; y при поворотной
гомотетии, задаваемой вектором c   a; b . Выразите координаты точки
z    x ; y  через координаты точки z   x; y и вектора c   a; b .
Решение. Изобразим векторы c и z на координатной плоскости (рис. 4).
y
z
c
O

x
Рис. 4
Пусть полярный угол вектора c равен . При поворотной гомотетии вектор z
поворачивается вокруг точки O на угол  и вытягивается в c раз. Чтобы
9
соблюсти пропорции, мы должны изобразить вектор z  во столько раз длиннее
вектора z, во сколько раз вектор c длиннее единичного вектора (рис. 5).
y
z
z
c
O
1
x
Рис. 5
Давайте внимательно рассмотрим получившийся у нас рисунок. Что мы можем
заметить? Пожалуй, нетрудно увидеть подобие треугольников, выделенных на
рис. 6.
y
z
z
c
O
1
x
Рис. 6
Мы знаем разложение вектора c по единичным векторам координатных осей.
Но из подобия ясно, что вектор z  имеет то же разложение по вектору z и
полученному из него поворотом на 90 вектору z1 (рис. 7).
10
y
z
z
1
z1
O
1
x
Рис. 7
Как только это стало ясно, дальнейшее – дело техники:
(8)
z  az  bz1  ax; y   b y; x  ax  by; bx  ay  ,
или
 x   ax  by;
(9)

 y   bx  ay.
(Обратите внимание, что при выводе формулы (8) мы воспользовались
результатом задачи 4.)
Задача решена. Но не стоит сразу же откладывать её в сторону. Давайте
присмотримся к полученному результату. Внимательный взгляд на формулы (9)
обнаружит, что упорядоченные пары  a; b и  x; y  входят в них симметрично:
поменяйте местами пары  a; b и  x; y  – правые части формул (9) от этого не
изменятся. А это означает ни много ни мало как то, что мы можем поменять
ролями векторы c и z: теперь вектор z задаёт поворотную гомотетию, которой
подвергается вектор c – и результат от этого не изменится! Обнаруженная
симметрия наводит на мысль ввести новое действие над векторами,
сопоставляющее паре векторов c   a; b и z   x; y вектор z    x ; y  согласно
формуле (8). Мы заметили, что действие коммутативно; ниже мы познакомимся
и с другими его свойствами (см. задачу 10), подозрительно напоминающими
свойства умножения вещественных чисел... Всё это говорит в пользу нового
действия, причём по всем признакам это – умножение.
Но в этом пункте возникают препятствия. Во-первых, умножение
векторов уже существует, причём целых два – скалярное и векторное, – и ни
одно из них не выполняется по формуле (8). Но это ещё полбеды: где есть два
умножения, нашлось бы место и для третьего. Есть и другое, куда более
существенное препятствие. Дело в том, что сложение векторов легко
распространяется на трёх- и вообще n-мерный случай – «умножение» же так
просто обобщить не удастся.
11
Как же поступить? Да очень просто: если гора не идёт к Магомету, то
Магомет идёт к горе – если так нельзя умножать векторы, то давайте так
умножать что-нибудь другое! Вот это другое и есть комплексные числа. А если
определённее...
12
3. Определение комплексных чисел
Рассмотрим множество всех упорядоченных пар вещественных чисел.
Введём на этом множестве операции сложения и умножения согласно
формулам:
(a; b)  ( x; y )  (a  x; b  y ) ,
(10)
(a; b)  ( x; y )  (ax  by; bx  ay ) .
(11)
Пары  a; b и  x; y  равны в том и только том случае, когда одновременно a  x
и b  y:
a  x;
 a; b   x; y  
(12)
b  y.
Множество упорядоченных пар вещественных чисел с введёнными на
нём операциями сложения и умножения согласно формулам (10), (11) и
отношением равенства (12) называется множеством комплексных чисел.
Комплексные числа в нашем изложении возникли по ходу решения
задачи аналитического описания некоторых геометрических преобразований
плоскости. Поэтому с самого начала у нас есть три(!) геометрические
интерпретации комплексных чисел. Во-первых, всякое комплексное число
изображается точкой (или радиус-вектором точки) координатной плоскости. Вовторых, всякое комплексное число задаёт некоторый параллельный перенос
плоскости. И, в-третьих, всякое комплексное число задаёт некоторую
поворотную гомотетию плоскости.
Координатную плоскость, точки которой изображают комплексные
числа, называют комплексной плоскостью, ось абсцисс – вещественной, а ось
ординат – мнимой осью. (Терминология неожиданная, но она отражает
исторические перипетии возникновения комплексных чисел. Ниже у нас будет
случай поговорить об истории этого понятия.) Поскольку соответствие между
множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости
взаимно однозначно, обозначать комплексные числа мы будем так же, как точки
и радиус-векторы точек – маленькими буквами латинского алфавита: z, w, c и
т.д.
Абсциссу x точки z называют вещественной частью, а ординату y –
мнимой частью комплексного числа z и обозначают:
(13)
x  Re z, y  Im z.
Полярный радиус r точки z называют модулем, а полярный угол  –
аргументом комплексного числа z и обозначают:
(14)
r  z ,   arg z.
(Аргумент не определён для числа 0;0 .)
Задача 8. Докажите, что
 z  c;
zc
arg z  arg c.
(15)
Поскольку arg z – полярный угол точки z, то для z  0;0 arg z
определён однозначно и заключён в пределах:
(16)
   arg z   .
С другой стороны, arg z – это угол поворота, совмещающего направление
13
вещественной оси с направлением вектора z. Условие (7) делает его однозначно
заданным для всех z  0;0 . Если же считать, что угол поворота может
принимать любые вещественные значения (что в ряде случаев удобно), то углом
поворота, совмещающим направление вещественной оси с направлением
вектора z, окажется любой угол вида arg z  2n , где n – некоторое целое число.
Иногда аргументом числа z мы будем называть всё это множество углов
поворота, для которого введём обозначение:
Arg z  arg z  2n ,
(17)
где n – произвольное целое число. Arg z – многозначная функция числа z; arg z
– главное значение аргумента числа z.
Задача 9. Докажите, что при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются:
(18)
z c  z  c ;
(19)
Argz  c  Arg z  Arg c .
(Формулу (19) надо понимать в том смысле, что при сложении любых значений
аргументов чисел z и c получается некоторое значение аргумента числа z  c .)
Задача 10. Докажите следующие свойства сложения и умножения
комплексных чисел:
1) z  c  c  z (коммутативность сложения);
2) ( z  w)  c  z  ( w  c) (ассоциативность сложения);
3) z  (0;0)  z (существование «нуля»);
4) для всякого z существует противоположное число z такое, что
z  ( z )  (0;0) ;
5) z  c  c  z (коммутативность умножения);
6) ( z  w)  c  z  ( w  c) (ассоциативность умножения);
7) z  (1;0)  z (существование «единицы»);
8) для всякого z  (0;0) существует обратное число z 1 такое, что
z  z 1  (1;0) ;
9) z  ( w  c)  z  w  z  c (дистрибутивность умножения относительно
сложения).
Мы видим, что свойства сложения и умножения комплексных чисел
полностью совпадают со свойствами сложения и умножения чисел
вещественных. А это позволяет сделать по крайней мере два вывода.
Во-первых, благодаря свойствам 4 и 8 на множестве комплексных чисел
можно ввести вычитание и деление согласно формулам:
z  c  z  ( c ) ;
(20)
z
 z  c 1 .
(21)
c
Во-вторых, привычные правила преобразования алгебраических
выражений (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение
дробей) остаются в силе и для выражений, содержащих комплексные величины.
Задача 11. Докажите, что при делении комплексных чисел их модули
делятся, а аргументы вычитаются:
14
z
z
 ;
c c
(22)
z
 Arg z  Arg c .
(23)
c
(Формулу (23) следует понимать в том же смысле, что и формулу (19).)
Задача 12. Выясните геометрический смысл выражений z  c и z  c и
докажите, что:
(24)
z c  z  c ;
Arg
(25)
z c  z  c .
Задача 13. Какие множества точек z комплексной плоскости задаются
следующими условиями:
1) z  r ;
2) z  r ;
3) z  r ;
4) Re z  a ;
5) Im z  b ;
6) Arg z   ;
7)   Arg z   ;
8) z  c  r .
15
4. Множество комплексных чисел как расширение множества
вещественных чисел
Насколько правомерно использование слова «число» применительно к
комплексным числам? Имеют ли комплексные числа нечто общее с
«обычными» числами, т.е. числами вещественными? Чтобы ответить на этот
вопрос, вспомним, как возникают в математике различные числовые множества.
Первыми и логически, и исторически появляются натуральные числа.
Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения
(иными словами, при сложении и умножении натуральных чисел вновь
получаются натуральные числа), но не относительно вычитания и деления.
Ограничения, наложенные на вычитание, снимаются за счёт расширения
множества натуральных чисел до множества целых чисел, а ограничения,
наложенные на деление (кроме деления на ноль), – за счёт расширения
множества целых чисел до множества рациональных чисел. Но и последнего
оказывается недостаточно: например, квадратный корень из положительного
рационального числа далеко не всегда представим рациональным числом.
Поэтому множество рациональных чисел расширяется до множества
вещественных чисел. Итак, развитие числовой системы подчинено единому
ритму, единой схеме – схеме расширения. Но при появлении комплексных
чисел возникает сбой: множество комплексных чисел введено не как
расширение множества вещественных чисел (справедливости ради отметим, что
возможен и такой подход), а как множество упорядоченных пар вещественных
чисел с введёнными на нём отношением равенства и операциями сложения и
умножения. Так можем ли мы считать комплексные числа «настоящими»
числами? Пожалуй, сможем, но только если нам удастся посмотреть на
множество комплексных чисел как на расширение множества вещественных
чисел; иными словами, «найти» множество вещественных чисел в уже
имеющемся множестве комплексных чисел. Схема наших действий обратна
вышеизложенной схеме расширения: вместо того, чтобы дополнять множество
вещественных чисел новыми элементами до множества комплексных чисел, мы
в уже построенном множестве комплексных чисел «ищем» множество
вещественных чисел.
Давайте уточним постановку вопроса. Что значит «найти» среди
комплексных чисел числа вещественные? Речь, по всей видимости, должна идти
о выделении некоторого подмножества множества комплексных чисел и
установлении взаимно однозначного соответствия выделенного подмножества
множеству вещественных чисел. Этого мало: установленное соответствие
должно сохранять отношения, введённые на этих множествах – отношение
равенства и операции сложения и умножения. Это означает: во-первых, два
элемента выделенного подмножества должны быть равны в том и только в том
случае, когда равны соответствующие им вещественные числа; во-вторых,
замкнутость выделенного подмножества относительно сложения и умножения;
в-третьих, сумме (произведению) чисел выделенного подмножества должна
соответствовать сумма (произведение) вещественных чисел, соответствующих
слагаемым (сомножителям). Выделенное таким образом подмножество
множества комплексных чисел можно отождествить с множеством
вещественных чисел.
16
Задача 14. Найдите такое подмножество множества комплексных чисел,
которое можно отождествить с множеством вещественных чисел в указанном
выше смысле.
Решение. Давайте заметим, что множества комплексных и
вещественных чисел имеют весьма схожие геометрические интерпретации.
Действительно, комплексное число изображается точкой на комплексной
плоскости, вещественное – точкой числовой прямой; сложение с комплексным
числом приводит к параллельному переносу плоскости, с вещественным – к
сдвигу (параллельному переносу) прямой; умножение на комплексное число
приводит к поворотной гомотетии плоскости, на вещественное – к растяжению
(гомотетии) прямой. Последнее обстоятельство и даёт ключ к решению задачи.
Действительно, если умножение на вещественное число геометрически есть
гомотетия, то отождествить с вещественными числами можно лишь
комплексные числа, задающие гомотетию. А это числа вида x;0 (см. задачу 6).
Поставим в соответствие числу x;0 вещественное число x. Дальнейшее
несложно. Действительно:
1) x;0  a;0  x  a ;
2) x;0  a;0  x  a;0 ;
3) x;0  a;0  x  a;0 .
Задача решена. Отождествим:
x;0  x .
(26)
Задача 15. Можно ли отождествить множество точек мнимой оси с
множеством вещественных чисел в указанном выше смысле?
17
5. Комплексные числа в алгебраической форме
Действия над комплексными числами порой приводят к результатам,
немыслимым при действиях над вещественными числами. Например, при
возведении в квадрат комплексных чисел могут получаться отрицательные
величины, а, следовательно, допустимо и извлечение квадратного корня из
отрицательного числа. Действительно,
(27)
(0;1)2  (0;1)  (0;1)  (1;0)  1 .
Число 0;1 называется мнимой единицей, оно имеет специальное обозначение:
(0;1)  i .
(28)
2
Таким образом, i  1 . Равенство, немыслимое на множестве
вещественных чисел, а потому способное повергнуть в недоумение, если
вводить мнимые числа формально как результат извлечения квадратного корня
из отрицательного числа. А ведь именно так они и возникли в математике.
Неудивительно, что в течение долгого времени комплексные числа служили
предметом мистического ужаса и восторга, что, собственно, и объясняет
странность традиционной терминологии: мнимая единица, мнимая ось...
Числа, вещественная часть которых равна нулю, называют чисто
мнимыми. Всякое комплексное число может быть представлено как сумма
вещественного и чисто мнимого числа; последнее, в свою очередь, как
произведение вещественного числа на мнимую единицу:
( x; y )  ( x;0)  (0; y )  ( x;0)  ( y;0)  (0;1)  x  yi .
(29)
Формула (29) даёт так называемую алгебраическую форму записи
комплексного числа ( x; y ) .
Алгебраическая форма записи удобна тем, что складывать, вычитать и
умножать комплексные числа, записанные в такой форме, можно как обычные
многочлены – раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые – с одним
добавлением: каждый раз, когда встречается выражение i 2 , оно заменяется на
 1.
Задача 16. Вычислите:
1) 5  3i   7  2i  ;
3) i1  i  ;
5)  1  3i 4  2i  ;
7) 1  2i  ;
3
9) i1666 ;
2) 1  4i   6  i ;
4) 2  5i  8  6i  ;
6) 2  i  ;
2
8) i 5 ;
10) 1  i  .
28
Некоторые особенности встречаются при делении комплексных чисел, с
которыми вы полностью разберётесь, решив задачу 17.
Задача 17. Вычислите:
1
10
1)
;
2)
;
1  2i
1 i
1  2i
4)
;
5) i 9 ;
1  2i
7) 1  i  i 2  ...  i 2009 .
3)
4i
;
3  4i
6) 1  i 
30
18
;
Решение задачи 17.4. Проблема в том, что в знаменателе стоит мнимое
число 1  2i . Избавление от «мнимости» очень напоминает избавление от
иррациональности: домножим числитель и знаменатель на 1  2i :
2
2
1  2i 
1  4i  2i 
1  2i
1  4i  4





2
1  2i 1  2i 1  2i 
1   4
1  2i 
3  4i
 0,6  0,8i.
5
Задача 18. Изобразите на комплексной плоскости множества точек z,
задаваемые условиями:
1) z  1  1 ;
2) z  3  i  4 ;

3) z  2  3i  2 ;
 z  i  3;
5) 
Im z  2;
7) z 1  z  i ;
9) 2 z  z  3i ;
4) z  1  2i  3 ;
 z  4;

6)  
2
;
  arg z 
3
 4
8) z  1  2i  z  3  i ;
1

10) Re  z    0 .
z

19
6. Комплексно-сопряжённые числа
a  bi
удобным оказался следующий
x  yi
приём: числитель и знаменатель дроби домножаются на x  yi .
Число z  x  yi называется (комплексно-)сопряжённым числу z  x  yi .
На комплексной плоскости точки z и z располагаются симметрично
относительно вещественной оси.
При вычислении значения дроби
Задача 19. Докажите следующие свойства комплексного сопряжения:
1) z  z ;
2) z  c  z  c ;
3) z  c  z  c ;
z z
4)    .
c c
Задача 20. Докажите, что число z является вещественным в том и только
том случае, если z  z . Докажите, что вещественными являются числа:
1
1) z  z ;
2) z  z ;
3) z  z .
i

20

7. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Связь между декартовыми и полярными координатами точки выражается
формулами:
 x  r cos ;
(30)

 y  r sin .
Вещественная часть x, мнимая часть y, модуль r и аргумент  комплексного
числа z связаны так же. Отсюда:
(31)
z  x  iy  r cos   ir sin   r cos   i sin  .
Последнее выражение называется тригонометрической формой записи
комплексного числа z.
Задача 21. Представьте следующие числа z в тригонометрической
форме:
1) z  5 ;
2) z  7 ;
3) z  2i ;
4) z  3i ;
5) z 1  i ;
6) z  1  i ;
7) z  3  i ;
8) z  1  i 3 ;
9) z  5  12i .
Задача 22. Выше мы выяснили, что при умножении комплексных чисел
их модули умножаются, а аргументы складываются; соответственно, при
делении – модули делятся, а аргументы вычитаются (см. задачи 9 и 11).
Воспользуйтесь этим для доказательства тригонометрических формул
сложения:
1) cos    cos  cos   sin  sin  ;
2) sin     sin  cos   cos  sin  ;
3) cos    cos  cos   sin  sin  ;
4) sin     sin  cos   cos  sin  .
Задача 23. Докажите формулу Муавра:
r cos   i sin n  r n cos n  i sin n ,
(32)
где n – произвольное целое число.
Задача 24. Часто при умножении, делении и возведении в степень
комплексных чисел удобно представить их не в алгебраической, а в
тригонометрической форме. Воспользуйтесь этим при вычислении значений
следующих выражений:

1)  1  i 3

60
;
2)


3  i 1  i  ;
9
11
40
 1 i 
71 i 3 
 .
3) 
4) 2  2i  
 ;

1

i
 3 i


Задача 25. Воспользовавшись формулой Муавра, выразите через
тригонометрические функции угла :
1) cos 4, sin 4 ;
2) cos 5, sin 5 ;
3) cos n, sin n , где n – произвольное натуральное число.
Задача 26. Выразите tg 6 через tg .
30
21
Задача 27. Докажите, что:
n  1
n
cos
2
2
;
cos   cos 2  ...  cos n 

sin
2
n  1
n
sin
sin
2
2
.
sin   sin 2  ...  sin n 

sin
2
sin
22
Указания, решения, ответы
17
17 3
;y
; 4) x  14 2 ; y  14 2 .
2
2

3

2. 1) r  7;   ; 2) r  3;    ; 3) r  5 2 ;  
; 4) r  6;   ;
2
4
6
4
5) r  10;    arctg .
3
 x    y;
4. 
 y   x.
5. У к а з а н и е. Используйте для задания точек плоскости полярные
координаты и выясните, как они меняются при повороте и гомотетии.
6. Поворот – это поворотная гомотетия с коэффициентом k  1 ; поворот задаёт
вектор единичной длины. Гомотетия – это поворотная гомотетия с углом
поворота   0 или   180 ; гомотетию с коэффициентом k задаёт вектор
k ;0 .
9. У к а з а н и е. Вернитесь к рисунку 5: вектор z   z  c в c раз длиннее
вектора z; вектор z  образует с вектором z угол   arg c , а вектор z образует с
вещественной осью угол arg z .
10. Все девять свойств сложения и умножения комплексных чисел можно
вывести из определения этих действий по формулам (10) и (11). Мы же для
доказательства воспользуемся гораздо более содержательными и наглядными
геометрическими интерпретациями действий с комплексными числами.
Сложению комплексных чисел z и c соответствует сложение векторов z и
c, поэтому свойства 1-4 буквально повторяют соответствующие свойства
сложения векторов.
На коммутативность умножения комплексных чисел, непосредственно
вытекающую из определения умножения, мы обратили внимание выше.
Докажем то же свойство ещё и по-другому. Сравним модули и аргументы чисел
z  c и c z:
z c  z  c  c  z  c z;
1. 1) x  0; y  4 ; 2) x  ; y  0 ; 3) x  
Arg z  c   Arg z  Arg c  Arg c  Arg z  Arg c  z .
Ясно, что из равенства модулей и аргументов двух комплексных чисел вытекает
равенство самих чисел (см. задачу 8).
Аналогично доказывается ассоциативность умножения комплексных
чисел:
 z  w  c  z  w  c  z  w  c ;
z  w  c   z  w  c  z  w  c ;
Arg  z  w  c   Arg  z  w  Arg c  Arg z  Arg w  Arg c;
Arg  z  w  c   Arg z  Arg w  c   Arg z  Arg w  Arg c.
Для доказательства дистрибутивности умножения относительно
сложения рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах z и w. Вектор
z  w является его диагональю. Поворотная гомотетия, заданная вектором c,
переводит данный параллелограмм в параллелограмм, построенный на векторах
23
z  c и w  c , диагональ z  c  w  c которого есть образ диагонали z  w исходного
параллелограмма при рассматриваемой поворотной гомотетии. Таким образом:
z  w  c  z  c  w  c .
Вектор 1;0 задаёт поворотную гомотетию плоскости на угол   0 с
коэффициентом гомотетии k  12  02  1 , т.е. тождественное преобразование,
при котором все точки плоскости переходят сами в себя. Таким образом:
z  (1;0)  z .
И, наконец, существование обратных чисел вытекает из существования
для каждого ненулевого вектора поворотной гомотетии, переводящей его в
вектор 1;0 . Действительно, для вектора z  0 – это поворотная гомотетия на
1
угол    arg z с коэффициентом растяжения k  .
z
z
z
z
z
z
z 
11. z   c   c (задача 9), откуда
 . Arg z  Arg  c  Arg  Arg c
c 
c
c
c c
c
z
(задача 9), откуда Arg  Arg z  Arg c .
c
12. z  c и z  c – длины диагоналей параллелограмма, построенного на
векторах z и c. В таком случае z  c  z  c – просто неравенство треугольника.
z  z  c  c  z  c  c , откуда z  c  z  c .
16. 1) 12  i ; 2)  5  5i ; 3) 1  i ; 4)  46  28i ; 5)  7  10i ; 6) 3  4i ; 7)  11 2i ;
8) i; 9) 1; 10) 16384.
8 19
i
 i ; 5)  i ; 6)
17. 1) 0,5  0,5i ; 2) 2  4i ; 3)
; 7) 1.
25 25
32768
19. 3) z  c  x  yi a  bi   xa  yb   xb  ya i  xa  yb   xb  ya i ;
z  c  x  yi   a  bi   x  yi a  bi   xa  yb   xb  ya i ;
 z z
 z   z
4) z    c     c, откуда    .
 c   c
 c c



21. 1) 5cos 0  i sin 0 ; 2) 7cos   i sin  ; 3) 2 cos  i sin  ;
2
2

  


3
3 


  
4) 3 cos    i sin     ; 5) 2  cos  i sin  ; 6) 2  cos  i sin
;
4
4
4
4 


 2 
  2
  
  2 
  
 2  
7) 2 cos    i sin     ; 8) 2 cos    i sin     ; 9) 13cos   i sin  ,
 6 
 3 
  6
  3 
12
где     arctg .
5
22. Пусть z  cos   i sin  , c  cos   i sin  . Тогда по правилу умножения
комплексных чисел:
z  c  (cos  cos   sin  sin )  isin  cos   cos  sin  .
С другой стороны, мы знаем, что при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются (задача 9), – в нашем случае:
z  c  z  c  1  1  1;
Arg z  c   Arg z  Arg c    .
Запишем число z  c в тригонометрической форме:
24
z  c  cos    i sin    .
Сопоставляя вещественные и мнимые части двух полученных выражений для
z  c , получаем первые две формулы сложения.
Далее,
z cos   i sin  cos   i sin  cos   i sin 



c cos   i sin  cos   i sin cos   i sin 
 (cos  cos   sin  sin )  isin  cos   cos  sin ;
z 1
z
   1;
c c 1
Arg
z
 Arg z  Arg c    ;
c
z
 cos     i sin    .
c
Сравнивая вещественные и мнимые части двух полученных выражений для
z
,
c
получаем оставшиеся две формулы сложения.
23. Формулы Муавра следуют из того, что при умножении комплексных чисел
их модули перемножаются, а аргументы складываются. (Если вас смущает то,
что при решении задачи 9 данное утверждение доказано для произведения двух
чисел, попробуйте доказать его для произвольного сомножителей,
воспользовавшись методом математической индукции.)
i
24. 1) 260 ; 2) 214 i  1 ; 3) 15 ; 4) 229 3  1  3  1 i .
2
25. 3)
n
cos n  i sin n  cos   i sin   C0n cos n   C1n cos n 1  i sin  



 C 2n cos n  2  i 2 sin 2   C3n cos n  3  i 3 sin 3   ...  C nn i n sin n  
 C0n cos n   C1n cos n 1  i sin   C 2n cos n  2  sin 2  
 C3n cos n  3  i sin 3   ...  C nn i n sin n .
Сопоставляя вещественные и мнимые части справа и слева, получаем:
cos n  C0n cos n   C2n cos n  2  sin 2   ... ;
sin n  C1n cos n 1  sin   C3n cos n 3  sin 3   ... .
27. У к а з а н и е. Пусть z  cos   i sin  . Вычислите сумму геометрической
прогрессии z  z 2  z 3  ...  z n .
25