-файл (3600Кб)
advertisement
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ На правах рукописи СВЕТУНЬКОВ ИВАН СЕРГЕЕВИЧ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор Соколов Д.В. Санкт-Петербург 2007 Содержание Введение ........................................................................................................... 3 Глава 1. Математические и инструментальные методы в экономическом анализе .................................................................................................................. 8 1.1. Математические методы и модели экономического анализа ........... 8 1.2. Основы теории производственных функций ................................... 21 1.3. Основы теории комплексных переменных ...................................... 39 Глава 2. Степенная производственная функция комплексного аргумента ............................................................................................................................. 48 2.1. Линейная производственная функция комплексного аргумента ... 48 2.2. Степенная производственная функция комплексного аргумента с действительным показателем степени......................................................... 63 2.3. Метод наименьших квадратов применительно к производственным функциям комплексного аргумента ............................................................. 77 Глава 3. Степенная производственная функция комплексных переменных ............................................................................................................................. 83 3.1. Линейная производственная функция комплексных переменных 83 3.2. Степенная производственная функция комплексных переменных с вещественными коэффициентами................................................................ 91 3.3. Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами ................................................................ 117 3.4. Прогнозирование и анализ производства с помощью производственных функций комплексных переменных на примере Диатомового комбината .............................................................................. 132 Заключение .................................................................................................. 153 Список используемой литературы ............................................................ 157 Приложение ................................................................................................. 167 2 Введение Экономический анализ в наше время востребован практически во всех организациях, стремящихся сделать свою работу эффективной. Методическим обеспечением экономического анализа в большинстве случаев выступают экономико-математические методы, которые стали активно развиваться в XX веке. Однако инструментарий экономикоматематических методов в последнее время развивается, в основном, в направлении совершенствования существующих моделей или разработки новых на старой инструментальной базе. Принципиально новых моделей, расширяющих арсенал экономико-математического моделирования, появляется мало. Это вызвано не столько отсутствием потребности в новых математических моделях, сколько использованием в экономике привычного математического аппарата. Поэтому успешное применение в экономикоматематическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу экономики, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Одним из таких аппаратов выступает теория функций комплексных переменных, применение которой в экономико-математическом моделировании открывает новые возможности перед экономистами, поскольку существенно расширяет не только совокупность экономико-математических моделей, но и вводит в научный оборот новые экономико-математические методы. Поэтому задача разработки концептуальных подходов, методов и методик, позволяющих использовать элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании, представляется важной и актуальной. Из многочисленных моделирования комплексных в разделов диссертации переменных в экономико-математического исследован экономике вопрос использования применительно к теории производственных функций. В качестве основы диссертации выступают 3 основные положения экономической теории, теорий экономического анализа, производственных функций и комплексных переменных, в том числе работы ведущих зарубежных и отечественных ученых в исследуемой области. Объектом исследования диссертации являются производственные системы разных уровней иерархии – от экономики отдельного предприятия до экономики России. Предметом диссертационного исследования выступают математические методы и подходы моделирования производственных процессов с помощью элементов теории функции комплексных переменных. Целью диссертационной работы является разработка концептуальных положений использования элементов теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие основные задачи: 1) изучены положения экономико-математического моделирования производственных процессов в экономическом анализе; 2) предложены концептуальные положения о применении теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании; 3) разработаны линейные и степенные производственные функции комплексного аргумента и комплексных переменных, изучены их свойства; 4) обоснованы методы оценки коэффициентов всех производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных и выведены расчётные формулы. Основной научной новизной диссертацией является обоснование возможности использования комплексных переменных в экономикоматематическом моделировании на примере теории производственных 4 функций. К числу наиболее важных новых научных результатов можно отнести следующие: 1) Доказана принципиальная возможность использования теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций; 2) Предложен способ представления пары экономических показателей в форме комплексной переменной, что позволяет применить элементы теории функции комплексных переменных в экономико- математическом моделировании; 3) Введены в научный оборот степенные производственные функции комплексного аргумента, в том числе: a. предложена и исследована линейная производственная ai aK i L t функция комплексного аргумента: Q ; t 0 1 t b. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексного аргумента с действительными K iL коэффициентами Qa t t t; b c. Исследована производственная аргумента с функция комплексными комплексного коэффициентами b i b 01 Q = a + i a K + i L ; t 0 1 t t 4) Введены в научный оборот степенные производственные функции комплексных переменных, в том числе: a. предложена и исследована линейная производственная функция комплексных переменных: Q i C b i b L i K t t 0 1 t t ; b. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексных переменных с действительными G i C a i L K b коэффициентами c. предложена и ; исследована производственная функция 5 комплексных переменных с комплексными коэффициентами b i b 01 G i C a i a K i L 0 1 ; 5) Дана экономическая интерпретация отдельных параметров степенных производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных. Выведены формулы для нахождения коэффициентов производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных процедура на оценки каждом наблюдении. коэффициентов Обоснована расчётная производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных с помощью метода наименьших квадратов; 6) С помощью обратных производственных функций комплексных переменных предложен подход по экономическому анализу и планированию рационального использования производственных ресурсов; 7) Предложен подход по решению задачи оптимизации использования производственных ресурсов с помощью моделей производственных функций комплексных аргументов и переменных; 8) Разработан метод использования предложенных производственных функций комплексных переменных в практике экономического анализа, в результате которого выявлен ряд их преимуществ по сравнению с существующими производственными функциями действительных переменных; 9) Введён ряд новых терминов, расчётных коэффициентов и дано уточнение ряда определений, расширяющих теорию производственных функций. Изученные производственные функции доведены до стадии, позволяющей использовать их не только для многовариантных прогнозов развития предприятий, но и для анализа протекающих на производстве процессов. 6 По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них: 2 научных монографии (в соавторстве), 3 статьи, 2 препринта и 4 – материалов научных конференций. Материалы диссертации докладывались на 4 конференциях. Научные исследования, изложенные в диссертации, использовались при выполнении гранта РФФИ №05-06-80020 «Исследование запредельных случаев метода Брауна в экономическом прогнозировании», а также поддержаны в продолжающемся научном исследовании «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных» при поддержке РФФИ (грант №07-06-00151). Основные материалы диссертации использованы в научной монографии «Производственные функции комплексных переменных», издание которой осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-06-07030). 7 Глава 1. Математические и инструментальные методы в экономическом анализе 1.1. Математические методы и модели экономического анализа Проблема анализа функционирования хозяйственных систем существует с момента появления первых мануфактурных предприятий. Хозяйственники, а затем и учёные приложили немало усилий для её решения. В настоящее время для анализа функционирования хозяйственных систем и решения самых разнообразных задач, например, для минимизации издержек на производстве, для максимизации прибыли от реализации товара, для оптимизации структуры производства, для выяснения причин той или иной тенденции в развитии экономических систем и др. используются различные методы. Чёткого, единого, общепринятого определения понятия «экономический анализ» нет. Некоторые учёные определяют экономический анализ как полноценную науку, некоторые – как некоторую совокупность знаний и методов, а некоторые – вообще как процесс исследования. Проведём критико-конструктивный анализ этого понятия. Савичев П.И. даёт следующее определение: «Экономический анализ – это глубокое, научно обоснованное исследование деятельности коммерческой организации с целью повышения эффективности её функционирования» [59]. Подобные определения с различными модификациями встречается и у других авторов [99, 14]. Во всех них делается упор на практическую сторону «экономического анализа». Из них же следует, что существуют некие методы анализа, а «экономический анализ», являясь процессом исследования деятельности предприятия, использует их с целью воздействия на рассматриваемое предприятие. При этом почему-то говорится о том, что экономический анализ нужен только «коммерческим организациям». Но не может быть, чтобы различные Фонды и другие некоммерческие организации не 8 нуждались в анализе собственной деятельности. Так, в учебнике [99] на странице 17 как раз и говорится о том, что «объектами экономического анализа являются коммерческие организации..., а также некоммерческие организации». Из этого определения, кроме того, следует, что самостоятельной научной дисциплиной «экономический анализ» не является. Однако, например, там же уже на 15 странице экономический анализ рассматривается как самостоятельное научное направление [99, 15]. Кроме того, данное определение не даёт представления о том, какое место занимает «экономический анализ» в науке, и, таким образом, можно сказать, что данное определение является неполным. Следующее определение ещё более общее: «Экономический анализ – выявление экономических закономерностей из фактов экономической действительности» [110]. Здесь «экономический анализ» представляется просто как процесс без определённых методов. К тому же, выявлением закономерностей задачи экономического анализа не ограничиваются. Такое определение, конечно же, неприемлемо для целей диссертационного исследования. «Экономический анализ – это комплекс процедур, с помощью которых оценивается текущее состояние организации, выделяются существенные связи и характеристики и прогнозируется будущее развитие организации в самых существенных производственном, аспектах рыночном» [24, деятельности: 5]. В данном финансовом, определении экономический анализ рассматривается только как «комплекс процедур». Из этого определения видно, чем занимается экономический анализ, но не больше. Существует и такое определение: «Экономический анализ – это систематизирующая совокупность методов, способов, приёмов, используемых для получения выводов и рекомендаций экономического характера в отношении некоторого субъекта хозяйствования» [33, 6]. Как видно, в этом определении также делается упор на практическую 9 составляющую «экономического анализа». Однако, в отличие от первого определения, говорится не об исследовании как таковом, а о некой совокупности знаний, используемых для получения информации. Здесь так же, как и в первом определении, не показано место экономического анализа в науке. Встречаются определения экономического анализа и как раздела науки. Так, Грищенко О.В. даёт следующее определение: «Экономический анализ как наука представляет собой систему специальных знаний, базирующихся на законах развития и функционирования систем и направленных на познание методологии оценки, диагностики и прогнозирования финансовохозяйственной деятельности предприятия» [15, 7]. В этом определении, как легко заметить, отсутствует практическая сторона «экономического анализа» и говорится лишь о его теоретическом содержании и опускается важная составляющая, связанная с получением информации о хозяйственных системах и её использованием. Кроме того, в определении отсутствует указание на место «экономического анализа» в науке как таковой. Помимо кратких и компактных определений экономического анализа есть и такое большое и громоздкое: «Экономический анализ как наука представляет собой систему специальных знаний, связанную: 1) с исследованием экономических процессов в их взаимосвязи...; 2) с научным обоснованием бизнес-планов, с объективной оценкой их выполнения; 3) с выявлением положительных и отрицательных факторов и количественным измерением их действия; 4) с раскрытием тенденций и пропорций хозяйственного развития...; 5) с обобщением передового опыта, с принятием оптимальных управленческих решений» [2, 21]. Это определение выглядит более полным, чем все остальные, но все же 10 не показывает что изучает «экономический анализ», и какое место среди наук он занимает, а перечисление разделов, с которыми связана «система специальных знаний», можно продолжить и далее, например, с оценкой степени влияния коммуникативной политики на результаты хозяйственной деятельности и т.п. Отсутствие единого точного определения на наш взгляд связано с тем, что до сих пор нет чётко выраженных границ между экономическим анализом и дисциплинами, выделившимися в самостоятельные разделы экономики, такими как: управление, планирование, бухгалтерский учёт, статистика, экономическая кибернетика и др. [2, 29], с которыми экономический анализ тесно связан. На наш взгляд для того, чтобы иметь чёткое представление об этой взаимосвязи и понять место «экономического анализа» в экономической теории, следует обратиться к схеме, приведённой на рисунке 1.1, из которой видно, насколько тесно связаны все перечисленные выше научные дисциплины. 11 Научно-теоретическое обеспечение: Экономическая история; История экономических учений; Экономическая теория. Методологическое обеспечение: Статистика; Математические методы; Эконометрика. Информационное обеспечение: Бухгалтерский учёт; Статистический учёт; Управленческий учёт. Экономически й анализ Практическая реализация: Экономика организаций; Финансы; Менеджмент; Маркетинг; Организация банковской деятельности; Другие специфические области применения. Рис. 1.1. Схема взаимосвязи экономического анализа с другими науками [34, 18] Экономический анализ, как и многие другие представленные в схеме научные дисциплины, выделился из экономической теории. Именно поэтому научно-теоретической основой для него выступают экономическая история, история экономических учений и, конечно же, экономическая теория. О тесноте связи между бухгалтерским учётом и экономическим анализом говорилось ранее. Такая связь легко объясняется, когда становится ясным, что бухгалтерский учёт является одним из главнейших источников информации для экономического анализа. По оценкам 12 некоторых учёных, он предоставляет экономическому анализу до 70% информации [2, 28]. К «практической реализации», как видно из рисунка 1.1, отнесены все дисциплины прикладного характера. То есть на основе предоставленной информации экономический анализ приводить к определённым выводам, которые передаются соответствующим подразделениям на предприятии для принятия решения. По поводу методологического обеспечения стоит сказать отдельно. Вообще, методология – это система принципов, приёмов и операций, применяемых в той или иной сфере [72, 69]. Любушин Н.П. [33], говоря о методологическом обеспечении, выделяет три научные дисциплины: статистику, эконометрику и математические методы. Однако некоторые авторы, говоря о методологии и методах экономического анализа включают эконометрику в математические методы [2, 46]. Если говорить об экономико-математических методах, как о самостоятельном научном направлении, то такое объединение безусловно правильно. Так, например, Немчинов В.С., один из основателей экономико-математических методов в Советском союзе, [47, 145] писал: «За рубежом... принято различать две группы математических методов в экономических исследованиях: 1. Эконометрия; 2. Математическая экономия» Под эконометрией в данном случае понимается «изучение количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа» [47, 133]. Таким образом «эконометрические исследования имеют преимущественно эмпирический характер», а «в математической экономии преобладает математическая формализация теоретических политико-экономических построений, что обычно выполняется в виде математико-статистического моделирования экономических процессов» [47, 135]. Так, например, математическая экономия занимается вопросами экономического роста, динамики 13 хозяйственных циклов, экономического равновесия и т.п. В Советском Союзе по политическим соображениям это направление развивалось очень слабо (развивались в основном, методы оптимизации, которые получили признание лишь в 60-е годы XX века [4]), поэтому Немчинов пишет: «В... специальной литературе вместо термина «эконометрия» обычно употребляют название «экономико-математические методы» [47, 135], – а о математической экономии не упоминает ни слова. По поводу направлений экономико-математических методов в Советском Союзе Немчинов писал: «составными частями являются планометрия, экономическая кибернетика и математическое программирование» [47, 147]. В некоторых источниках встречается и такое деление экономикоматематических методов на направления [39, 639-640]: 1. Экономико-статистические методы, включающие экономическую статистику, математическую статистику; 2. Эконометрия или несколько шире – моделирование экономических процессов, охватывающее как абстрактные, так и статистические числовые, собственно эконометрические модели. Некоторые авторы для этой группы дисциплин применительно к социалистической экономике предлагают термин «планометрия» (Макроэкономические модели, Производственные функции, Межотраслевой баланс и др.); 3. Методы оптимальных решений (или шире – исследование операций в экономике), включающие математическое программирование, теорию игр и др.; 4. Экономическая кибернетика, которая занимается системным анализом экономики, теоретическими и прикладными вопросами управления в экономических системах. Как видно, это деление очень похоже на то, которое делал Немчинов В.С.. Разница заключается только в том, что в это деление включается ещё и статистика. Однако, во-первых, мы не стали бы объединять математическую и экономическую статистики и, во-вторых, не стали бы 14 включать ни первую, ни вторую статистику в экономико-математические методы, так как это всё-таки самостоятельные научные дисциплины, в которых используются свои методы. Другое дело, что методы математической и экономической статистики используются в различных разделах экономико-математических методов – в частности, в эконометрии. Нам кажется, что экономическую кибернетику к экономико- математическим методам относить было бы неверно, так как это самостоятельное научное направление. Вообще, кибернетика – это «наука, изучающая процессы управления в системах различной природы» [44, 9], а экономическая кибернетика, соответственно – наука, изучающая процессы управления в экономических системах. Однако, что такое «управление»? «Это процесс планирования, организации, мотивации и контроля, необходимый для того, чтобы сформулировать и достичь целей организации» [41, 38]. Изучение перечисленных процессов осуществляется экономической кибернетикой с использованием инструментов из различных разделов экономико-математических методов (например, из исследования операций и эконометрии). То есть получается, что экономическая кибернетика занимается тем же, чем занимаются некоторые разделы экономико-математических методов. Таким образом, выделять экономическую кибернетику в качестве раздела экономико-математических методов было бы неправильно, эти две дисциплины представляют собой самостоятельные взгляды на одни и те же явления и проблемы под разными углами. Экономическая кибернетика в таком случае выступает самостоятельным методологическим основанием экономического анализа. Существует такое деление на направления в экономико-математических методах [36, 31]: 1. Методы математической статистики; 2. Эконометрические методы, включающие в себя производственные функции и методы «затраты – выпуск»; 3. Методы математического программирования; 15 4. Методы исследования операций; 5. Методы экономической кибернетики (теория систем, системный анализ, имитационное моделирование). Однако методы математического программирования входят в исследование операций, а про экономическую кибернетику мы сказали ранее. Нам кажется, что правильней разделять экономико-математические методы было бы следующим образом: 1. Эконометрия; 2. Математическая экономия; 3. Исследование операций. При этом эконометрию будем определять так, как её определял Немчинов, то есть как научную дисциплину, занимающуюся «изучением количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа». К эконометрическим методам в таком случае относятся: Регрессионный анализ; Корреляционный анализ; Дисперсионный анализ; Методы прогнозирования. Математическую экономию определим как «совокупность научных направлений, развивающих аксиоматического метода: экономическую постулаты теорию формализуются на основе в виде математических соотношений, а получаемые модельные конструкции и их обобщения изучаются экономическими средствами» [97, 221]. Эта научная дисциплина включает в себя: Теорию циклов; Производственные функции; Модели экономического равновесия; Модели экономического роста; 16 И прочие модели, базирующиеся на экономических постулатах. Исследование операций – это теория применения количественных методов анализа в процессе принятия решений во всех областях целенаправленной деятельности [10, 8]. Они включают в себя: Методы математического программирования; Управление запасами; Теорию игр; Теорию массового обслуживания; Теорию расписания. Стоит заметить, что между эконометрией и математической экономией достаточно тонкая грань. Если модели строятся на статистических данных, то это эконометрические модели. Если же модели строятся на каких-то экономических постулатах и аксиомах без использования статистических данных, то это модели математической экономии. Так практически вся макроэкономика базируется на моделях математической экономии. При этом многие из этих моделей могут быть построены на конкретных статистических данных и, таким образом, отнесены к эконометрическим моделям. Так, например, теорию производственных функций и теорию циклов часто относят именно к «эконометрике». Однако в работе с такими моделями надо быть осторожным, потому что, как говорил Немчинов В.С., «во многих случаях подменяют социально-экономический анализ чисто математическими методами исследования, и в результате «материя исчезает», остаются одни уравнения» [47, 146]. После такой группировки экономико-математических методов по направлениям и обобщая всё вышесказанное, можно сделать вывод о том, что методологическим основанием экономического анализа являются: 1. Статистика; 2. Экономическая кибернетика; 3. Экономико-математические методы. Такое деление также хорошо согласуется с мнениями учёных о том, что 17 «экономический анализ позволяет оценить степень действенности управляющего воздействия на хозяйствующие субъекты и изменения их экономических показателей» [98, 7]. Оценить эту степень можно как раз используя методы перечисленных научных дисциплин. Основываясь на информации о взаимосвязи экономического анализа с другими научными дисциплинами, можно дать уточнённое определение: экономический анализ – это научная дисциплина, позволяющая изучать экономические явления и процессы, используя информацию и методы из других научных дисциплин для эффективного управления хозяйственными системами. Любопытно, что на Западе «экономический анализ» понимается совсем в другом ключе, нежели в России. Так в книге «История экономического анализа» Йозеф Шумпетер [106, 12] лишь вскользь упоминает, что подразумевает под этим понятием: «Что разделяет «учёных» экономистов от всех остальных <...> – это владение техниками, которые мы разделяем на три части: история, статистика и 'теория'. Вместе эти техники формируют то, что мы будем называть экономическим анализом». Собственно говоря, такое упоминание определением назвать нельзя. Вообще, термин «экономический анализ» в зарубежных источниках можно встретить очень часто (даже в заголовках книг), но при этом в самой книге определение этого термина не даётся [например, 104, 105, 106]. А дело всё в том, что под этим термином фактически подразумевается экономическая теория в целом. Так популярный за рубежом интернет сайт «answers.com» даёт следующее определение: «Экономический анализ – это изучение и понимание тенденций, явлений и информации, которые имеют экономическую природу» [111]. Как видно экономический анализ в таком понимании занимается тем, чем занимается в нашем понимании экономическая теория. Естественно, такое определение нас не может удовлетворить, так как мы считаем, что экономический анализ – это 18 полноценная самостоятельная научная дисциплина, а место его в науке мы уже показали выше. Любопытно также, что пишут отечественные учёные о становлении экономического анализа как науки. Чаще всего говорят, что оно было обусловлено двумя факторами: 1. Появлением потребности в подобной дисциплине, так как с развитием промышленности, выяснять на сколько эффективно работает предприятие и каковы причины такой работы, становится сложнее, так как предприятия растут. В таком случае появляется потребность использования различных методов экономического анализа для оценки эффективности работы предприятий. 2. Развитием экономической науки, по мере развития которой появляются различные дисциплин. Так результате состыковки направления экономический на анализ нескольких стыке нескольких сформировался экономических в наук. Исторически он входил в состав «бухгалтерского учёта», «балансоведения» и «статистики». Однако со временем он был выделен в отдельную науку, включающую в себя и математические методы в экономике [98, 14; 2, 28]. При этом, как уже было сказано выше, за рубежом экономический анализ в отдельную научную дисциплину до сих пор так и не выделился. Получается, что он выделился в самостоятельную научную дисциплину пока только в России. Теперь, определив, что такое «экономический анализ», чем он занимается и какое место занимает среди других экономических наук, рассмотрим подробнее один из инструментов экономического анализа, упомянутый ранее – производственные функции. Почему инструмент именно производственные многими экономистами функции? Потому недооценивается. что этот «Построение производственных функций для различных технологических систем 19 позволило бы эффективно проводить работы по экономическому анализу хозяйственной деятельности предприятий. К сожалению, производственные функции остались невостребованными в условиях административно-командной системы, что не позволило создать необходимую информационно-аналитическую базу, хотя имелись работы, охватывающие весь комплекс вопросов, связанных с этой проблематикой» [34, 63]. Например, некий аналог производственной функции КоббаДугласа выводил, будучи в изоляторе, Н.Д. Кондратьев [27, 413]. Безусловно, аппарат производственных функций был бы изучен лучше, если бы политико-экономическая ситуация в стране была другой. Сейчас же построение производственных функций, как правило, «является не самоцелью, а средством определения ряда характеристик экономического развития» [20, 7]. При этом сам по себе аппарат производственных функций достаточно богат и самостоятелен. Ему стоит уделить больше внимания, нежели ему уделяется в наше время. Посмотрим, какие наработки в теории производственных функций уже есть, как они используются и насколько востребованы экономистами. 20 1.2. Основы теории производственных функций Существует много определений производственных функций (ПФ) [53, 5; 89, 104; 104, 178], но все они сводятся к одному – это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства. Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций: По наличию условия оптимальности: Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» [17, 16]; Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» [17, 16]; По учёту неопределённости: Стохастические (учитывают условие неопределённости); Детерминированные (не учитывают условие неопределённости); [82, 65]. Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, 21 производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов. «Процесс построения производственной функции включает этапы экономико-математического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров при помощи корреляционного и регрессионного анализа» [23, 169]. Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом. X=(xi ) Пусть обозначает M = 1,...,m ; Y = (y j ) - вектор вектор ресурсов, iM , производства, jN , затрат объёмов N = 1,...,n . Совокупность технологических условий может быть формально записана как множество Z пар (X, Y), в неотрицательном ортанте пространства Rn+m. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств (X*,Y*), такой, что, если X<X*, а Y>Y*, то (X, Y) = (X*,Y*). То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначим Z*. Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием, M1, и не воспроизводимые, M2. Соответственно, X1 – объёмы воспроизводимых ресурсов, X2 – объёмы не воспроизводимых ресурсов. В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации: (X,Y) Z , X 2 R, . (1.2.1) Y max 22 Множество Z* можно описать с помощью многозначного отображения F(X) – общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов. По данным о входных переменных X мажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выход Y. В отличие от структурных оптимизационных моделей, в которых условия оптимизации задаются в явном виде, общая производственная функция представляет собой своеобразный «оптимизирующий чёрный ящик». В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу. Производственная функция y= fj Xj , X ..,x , x, j j= 1 j. m j (1.2.2) характеризует максимально возможный объём выпуска продукта j в 0 зависимости от затрат всех m ресурсов. Каждой точке x j соответствует 0 единственный максимальный выпуск y j . Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде: yj fj Xj; j N ; x r;iM. i j i2 2 2 jN 2 Наличие технологических (1.2.3) процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.2.3), но при этом не препятствует использованию (1.2.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара. В качестве критерия классификации производственных функций, кроме 23 уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»: 1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами; 2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами; Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной означает, fj Xj функции y= j что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других. Далее мы будем опускать индекс j, когда речь идёт о функциях производства одного продукта. Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [23, 170]: 1. Если X=0, то и y=0; A B fX 2. Если XA XB , то f X , причём, если XA >XB , то A B fX > fX ; из этого, в частности, следует, что y > 0 при X > 0 . В том случае, когда увеличение производственных затрат ' какого-либо ресурса s сверх величины xs приводит к уменьшению ' объёма производства, надо непосредственно использовать xs , а излишек xsj x'sj >0 оставить в резерв. Если y=0 при положительных затратах многих ресурсов, но при xs=0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.). Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска f X=Q, называется изоквантой. На рисунке 1.2 изображены изокванты – кривые в пространстве двух ресурсов. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска Q1, Q2, Q3. В 24 общем случае изокванты – это поверхности в m-мерном пространстве ресурсов. Поскольку X 0 , то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат. Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант: 1. Изокванты никогда не пересекаются друг с другом; 2. Большему выпуску продукции соответствует более удалённая от начала координат Изокванта. 3. Если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не пересекают оси координат. x2 B3 I II C3 B2 Q3 C2 Q2 B1 C1 A Q1 B C x1 0 Рис. 1.2. Изокванты и изоклинали производственной функции. Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя показателями: 1. Средняя эффективность ресурса – функция μi = f X . xi 2. Предельная эффективность ресурса – частная производная f X ν = производственной функции i . xi 25 νi показывает на сколько увеличится выпуск продукции, при изменении затрат ресурса i на единицу. Из свойства предельной эффективности ресурса производственных функций следует, что νi 0 . Как правило, νi > 0 . Если 2 f X νi = < 0, xi2 то это означает, что эффективность использования ресурса падает. Данное условие называют «законом убывающей предельной эффективности ресурсов». Стоит, однако, учитывать, что уменьшение предельной эффективности ресурса перестаёт быть законом, как только начинает учитываться научно-технический прогресс. Тогда средняя и предельная эффективность определённого (i-го) ресурса при увеличении других ресурсов изменяется иначе и, как правило, выполняются отношения: fX μ > i = 0 , ik, x xx k i k (1.2.4) f X v > ν =i = 0 , ik, i k x x x k i k (1.2.5) 2 Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса k улучшает условия применения ресурса i. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от фондовооружённости. Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов dy = может быть приближённо выражено дифференциалом νi dxi . В таком случае условие эквивалентной взаимозаменяемости iM ресурсов в точке X 0 = xi0 выводится из формулы: 0 νXd 0 i x i= i M (1.2.6) В частности, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости каких-либо двух ресурсов k и l определяется формулой: 26 0 νX d x l k γ= = 0 0 k l d x ν l k X Процессу эквивалентного (1.2.7) замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль кривой изокванты. Таким образом, изокванты – убывающие функции по отношению к каждой оси координат. Предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости – это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рисунке 1.2 tg α1 , tg α2 и tg α3 – предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости второго ресурса по отношению к первому. Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены равны, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рисунке 1.2 изображены изоклинали I и II. При увеличении использования ресурса l его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают всё меньшее количество ресурса k. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости уменьшается: d γ x d d k l = k < 0 d x d x d x l l l (1.2.8) Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты представлены вогнутыми кривыми. Если эта особенность проявляется на множестве всех m ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: 1. Множества X : f X 0 – выпуклые. 2. Изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат. Для характеристики влияния каждого ресурса на объём выпуска используют помимо показателей эффективности использования ресурсов, и показатель эластичности выпуска от затрат различных ресурсов: 27 Δy y y xi δi lim = xi 0Δ xi xi y xi (1.2.9) i показывает на сколько изменится объём выпуска при изменении затрат i-го ресурса на единицу. Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (1.2.9) называется точечным. В общем же случае коэффициент эластичности – это непрерывная функция от X0. Однако в экономических расчётах чаще используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X0, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X0. Такие коэффициенты называются дуговыми коэффициентами эластичности и рассчитываются по формуле: δi = Δy Δxi / y xi (1.2.10) Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат ресурсов применяется Коэффициент понятие эластичности эластичности взаимозаменяемости взаимозаменяемости ресурсов. ресурсов kl характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов: x x k k x γ x x l k l l l σ = ÷ = γ k l k l x γ γ x k k l k l k x l (1.2.11) Например, σkl =0,05 говорит о том, что для увеличения нормы предельной взаимозаменяемости ресурсов kl на 1% необходимо увеличить соотношение затрат ресурсов k и l на 5%. Чем выше эластичность взаимозаменяемости ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной 28 эластичности ресурсы абсолютно взаимозаменяемы. При эластичности равной нулю, возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы дополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определённом комплекте. x2 σ2 σ 1 σ3 A C σ1 B σ3 0 σ2 x1 Рисунок 1.3. Эластичность взаимозаменяемости ресурсов. На рисунке 1.3 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности взаимозаменяемости ресурсов в интервале 0 σ . «Прямоугольная ломанная ABC – изокванта с эластичностью σ = 0 означает, что сокращением одного ресурса нельзя увеличить использование второго, то есть ресурсы абсолютно не взаимозаменяемые (σ1<σ2<σ3). Прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью. Она выражается формулой a1 x1 +a2 x2 = Q , где a1 и a2 – положительные числа» [9, 269]. Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте постоянна и равна: a γ12 = 2 a1 В экономическом (1.2.12) моделировании используются аддитивные и 29 мультипликативные производственные функции. Аддитивные производственные функции имеют вид: y= a a 0+ ix i (1.2.13) i M Линейные производственные функции являются аддитивными. Стоит отметить, что все члены в правой части равенства (1.2.13) должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью функции y, иначе их нельзя складывать. Постоянная a0 при этом соответствует той части выпуска, которая может быть приписана действию условно-постоянных затрат, т.е. затрат, не зависящих от интенсивности выпуска. Это относится ко всем аддитивным производственным функциям [23, 113]. Процессу, для которого выбрана функция (1.2.13) должна быть присуща постоянная отдача на единицу масштаба и постоянная предельная эффективность факторов производства. При i=2 изоквантами функции являются прямые. Следовательно, предельные нормы замещения ресурсов постоянны, т.е. предполагается, что определённый уровень выпуска может быть достигнут также при соответствующих затратах только одного какого-либо фактора. Этим свойством любая аддитивная функция отличается от мультипликативной. Основной недостаток аддитивной функции заключается в том, что производственный результат будет положительным даже в том случае, когда один из ресурсов не используется вовсе, то есть, когда xi 0 . Это означает следующее: например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какой-то производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу. Именно поэтому чаще всего в экономических исследованиях используют мультипликативные производственные функции, в частности однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция y=f X называется однородной n-й степени, если выполняется следующее соотношение [23, 182]: 30 n fλ X λ fX = (1.2.14) Это означает, что с ростом затрат производства в λ раз результат производства вырастет в λn раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат. Теоретически возможны три случая: 1) Эффективность остаётся постоянной (n=1); 2) Эффективность падает (n<1); 3) Эффективность растёт (n>1). Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы [23, 102]. Если однородные функции f1 и f2 удовлетворяют соотношению n 2 n 1 , f f X = X 1 2 то они имеют одно и то же семейство изоквант, но для функций с большим показателем степени n изокванты сдвинуты ближе к началу координат. Для однородных функций справедливо уравнение Эйлера: y x i M i n y x= i (1.2.15) Разделив обе части уравнения (1.2.15) на y, получим: y xi =n x y i M i В соответствии с (1.2.9), выражение (1.2.16) y xi xi y – это коэффициент эластичности δi. Поэтому n равно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затратам ресурсов. При n=1 формула (1.2.16) приобретает следующий экономический 31 смысл: y xi y - предельная эффективность единицы ресурса = 1 . Так как xi iM xi y i, то y xi можно интерпретировать как объём продукции, произведённой xi за счёт ресурса i. Весь объём производства y таким образом как бы складывается из частей, произведённых за счёт использования каждого ресурса по отдельности. Однако изложенная экономическая интерпретация выражения имеет сугубо условный характер, так как нельзя забывать, что на самом деле продукция не может создаваться только путём сочетания ресурсов. Если какой-либо ресурс s абсолютно необходим для производства, то никакие затраты других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение показателей предельной эффективности заключается не в том, что он определяют роль каждого ресурса, а позволяют оценить степень влияния каждого из них на изменение объёмов выпуска. Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида: α y=a xi i i M (1.2.17) Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них xs=0, то и объём выпуска y=0. Параметр α интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов. Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем: 32 α 1 α μs = axs s xi i - средняя эффективность ресурса s. is α 1 α νs = aαs xs s xi s = αs μs - предельная эффективность ресурса s. is γkl = αl xk - предельная норма эквивалентной замены ресурсов. αk xl δi = αi - коэффициент эластичности производства по ресурсу i. σ kl = 1 - коэффициент эластичности замены ресурсов. Частным случаем функции (1.2.17) является однородная функция первой степени, в которой αi = 1 и αi > 0 . Коэффициенты эластичности такой iM функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности. В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом. В 1924 г. Поль Дуглас, изучая данные по объему промышленного выпуска США за разные годы и количества используемых труда и капитала в это время, случайно обнаружил зависимость, которая впоследствии с помощью его друга-математика Кобба была выражена функцией, имеющей вид: α 1 Q =aL Kα, (1.2.18) где Q – объём выпуска продукции, L – затраты труда, K – затраты производственных фондов или «капитала». При этом обязательным условием существования функции является: 0<α<1. (1.2.19) Функция достаточно точно отражала зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала [29; 57, 85]. Эта производственная функция имела постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависели от коэффициента α. 33 Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид: 1 Q K= α 1α. aL Соответственно, предельная норма замещения будет: d K αK γ= = , K L d L 1 α L а коэффициенты эластичности: EL = α; EK = 1 – α. На рисунке 1.4 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма Q. Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения – при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондов c K1 до K2 приводит к сокращению трудовых ресурсов от L1 до L2, причём LLγ( K K ) 1 2 K L 2 1 При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются. 34 K Изоклинали K2 K1 Изокванты 0 L2 L1 L Рисунок 1.4. Изокванты и изоклинали производственной функции Кобба-Дугласа На рисунке 1.4 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда L = const . K Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Её общий вид: n ρρ y= a a 0 ix i M i (1.2.20) Функция (1.2.20) является однородно производственной функцией степени n и получается путём решения дифференциального уравнения (1.2.11) при σ=const. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть: σ kl = σ . При этом σ = 1 σ 1 или ρ = . 1+ ρ σ 35 Если ρ > 0 , то 0 < σ <1, если же 1 < ρ < 0 , то σ > 1. При ρ = 0 функция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.2.17) [52, 169]. Как уже отмечалось ранее, σ определяет форму изоквант. Если σ + , то ρ 1 и форма изоквант приближается к линейной. Если же σ 0 , то ρ + и форма изоквант приближается к прямоугольной. В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще – функцию Кобба-Дугласа) [81; 37; 38; 32; 83; 95] либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) – это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом: jt 1 QA eK tL t , (1.2.21) где j – параметр НТП, а t – время. Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они почему-то строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа. Вот что говорят по поводу появления учёта НТП: «Началом исследований в этом направлении послужило замеченное систематическое отклонение фактических показателей развития экономики США от их значений, вычисленных по функции Кобба-Дугласа. В частности, анализ с её помощью темпов роста валового национального продукта показывал наличие систематического расхождения между его значением, соответствующим левой части формулы производственной функции и величиной её правой части. Пока указанный «остаток» был сравнительно мал, его приписывали действию различных несущественных факторов. В последующем 36 экономист Р.Солоу предположил, что этот «остаток» отражает влияние автономного научно-технического прогресса и ввёл для его оценки в формулу Кобба-Дугласа время в качестве самостоятельного фактора» [23, 120]. Для того, чтобы понять почему требуется учитывать НТП, стоит обратиться к методу оценивания параметров данной производственной функции. А производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции [16, 217]). То есть оценивается не само уравнение (1.2.18), а следующее: l nl Q n A l n K 1l n L (1.2.22) Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.2.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными [77, 576]. Если с помощью оценок модели (1.2.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии: ln Q ln A ln K 1 ln L , (1.2.23) где ε – случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК). Проэкспонировав левую и правую части равенства (1.2.23), получим: Q AK L1 e (1.2.24) Сравнивая (1.2.21) и (1.2.24), получим, что e jt e . То есть ошибка аппроксимации ε, которую Р.Солоу приписал НТП, и является причиной смещения [63, 79]. Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их 37 аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства. Поэтому задача развития инструментария производственных функций является важной и актуальной. 38 1.3. Основы теории комплексных переменных На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретая всё большую общность. В наше время человеку при получении математического образования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятия числа. В простейшем представлении число – это количество предметов. Такому представлению соответствует понятие натурального числа. Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это означает, что проводя эти операции с натуральными числами, мы неизменно будем получать натуральные числа [60, 46]. Операция деления натуральных чисел может привести к появлению дроби, которая натуральным числом не является. Признание дробей числами не вызвало затруднений в древние времена. Этот выход за пределы множества N заставил расширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов, но и отношение количеств. Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражалось положительным числом. Когда получали при решении уравнений отрицательный корень, то просто отбрасывали его как «недопустимый». Лишь в XVII веке, после того, как Декарт ввёл в употребление систему координат, в математике окончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательных чисел. Появилось понятие рационального числа – отношения любых чисел m и n. Множество рациональных чисел Q замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнять над числами, приводила к обобщению понятия числа. Математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих название числа, формировали новое, более ёмкое определение числа, включающие в 39 себя и такие числа, которые ранее не включались в определение как «недопустимые». Математики частенько сталкиваются с числами, которые не входят во множество рациональных чисел. Например, вычисляя длину гипотенузы по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, в котором оба катета равны 1, математик получит число 2 . Не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2, тем не менее число 2 существует и, являясь нормальной математической абстракцией, имеет право на включение в понятие числа. Удивление перед подобными необычными иррациональные числа, числами т. е. отразилось числа, не в их названии поддающиеся – разумному истолкованию. К концу XIX века рациональные и Объединение множеств была построена иррациональные теория, числа рациональных с и истолковывающая единой точки зрения. иррациональных чисел называется множеством вещественных или действительных чисел R. Казалось бы, что множество действительных чисел замкнуто относительно всех операций. Однако в этом множестве нет числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу. Вообще задача извлечения квадратного корня из числа -y2 сводится к задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы. Числа, квадрат которых равен отрицательным числам, называются мнимыми. Множество чисел, объединяющее множества мнимых I и действительных R чисел называется множеством комплексных чисел C. Комплексное число представляет собой числовую пару, состоящую из двух частей – вещественной и мнимой. В алгебраической форме записи его можно представить следующим образом: z=x+iy. Здесь x – вещественная часть комплексного числа, iy – мнимая часть комплексного числа, x и y – вещественные числа, i – мнимая единица. «Впервые, по-видимому, мнимые числа появились в труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Джироламо Кардано, который 40 счёл их бесполезными, непригодными к употреблению» [40, 1007]. «Пользу мнимых величин впервые оценил Рафаэль Бомбелли. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Однако даже для многих крупных учёных XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых чисел представлялась неясной. Известно, что Исаак Ньютон не включал мнимые числа в понятие числа, а Готфриду Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия с небытием» [40, 1010]. В 1777 году Леонард Эйлер предложил мнимую единицу 1 обозначать буквой i (от французского слова «imaginaire» - мнимый, воображаемый). Он же в 1751 году высказал мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл Жан Лерон Д'Аламбер. «Однако первое строгое доказательство этого факта принадлежит Карлу Фридриху Гауссу, который ввёл в употребление термин «комплексное число» в 1831 году» [54, 3]. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Каспара Веселя в 1799 году. Мнимые числа принято обозначать умноженные на мнимую единицу как действительные числа, y 2 = iy . В названии «мнимое число» отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле. Тем не менее, у мнимых чисел есть важная, общая с иррациональными числами черта, которая выражается в том, что в некоторых случаях операции над символом iy, не выражающем вещественного числа, приводят всё-таки к вещественным числам. Поэтому мнимые числа являются такой же нормальной математической абстракцией, как и иррациональные числа. Являясь множеством, включающем подмножества действительных и мнимых чисел, комплексные числа позволяют описывать процессы, описать 41 которые, используя лишь вещественные числа, невозможно. Остановимся подробней на основных свойствах комплексных чисел. Для начала стоит отметить, что если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то данное комплексное число равно соответствующему действительному: x i 0 x . Два комплексных числа x1 iy1 и x2 iy2 считаются равными, тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть: x1 x2 , y1 y2 . Кроме того, суммой двух комплексных чисел x1 iy1 и x2 iy2 называется комплексное число x1 x2 i y1 y2 , а произведением – комплексное число x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 [79, 7]. Комплексное число x iy называется сопряжённым с комплексным числом z x iy и обозначается z . Число x2 y 2 называется модулем комплексного числа z x iy и обозначается z . С комплексными числами можно выполнять все те же действия, что и с вещественными, но с учётом специфики комплексных чисел эти действия имеют оригинальный характер. Рассмотрим свойства операций с комплексными числами: 1. Коммутативность: z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1 . 2. Ассоциативность: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1z2 z3 z1 z2 z3 . 3. Дистрибутивность: z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 . Из свойств операций умножения и сложения комплексных чисел также следуют свойства операций вычитания и деления: z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 , 42 z1 z1 z2 z1 z2 , z 0. z2 z2 z2 z2 2 2 Или, если z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , то предыдущую формулу можно записать следующим образом: z1 x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i (1.3.1) z2 x2 iy2 x22 y22 x22 y22 x22 y22 Если действительное число геометрически представляется точкой на прямой, то комплексное число z может быть представлено точкой или вектором на плоскости с координатами x, y (рис. 1.5). iy z z=x+iy 0 x -x z -iy z Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация комплексного числа [79, 11]. Ось абсцисс называется действительной осью, а ординат – мнимой. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью. Стоит отметить, что комплексные числа z и –z симметричны относительно начала координат, а числа z и действительной оси. Угол, который образует z – относительно комплексное число, представленное в виде вектора с осью абсцисс называется аргументом 43 либо полярным углом и обозначается: Arg z arg z 2 k , k Z , где arg z – главное значение Arg z , определяемое условием: arg z , причём y arctg , если x arctg y , если x y arg z arctg , если x , если 2 , если 2 x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, (1.3.2) x 0, y 0, x 0, y 0, [85, 4] Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную 2 : z1 z2 , Arg z1 Arg z2 2 k , k Z Как видим, положение точки z x iy на комплексной плоскости может быть однозначно определено не только её координатами, но и модулем и полярным углом комплексного числа, которые обычно обозначаются r и φ соответственно (см. рис. 1.6). 44 z r y φ 0 x Рис.1.6. Определение комплексного числа через полярный угол и модуль. Из рисунка 1.6 видно, что: x r cos , y r sin . (1.3.3) Следовательно любое комплексное число можно представить в виде: z r cos i sin Такая форма (1.3.4) записи комплексного числа называется тригонометрической. Предположив, что r 1 , arg z , по формуле (1.3.4) имеем: z cos i sin . Это комплексное число обозначается символом ei [79, 13], т.е. функция ei для любого действительного числа φ определяется формулой Эйлера: ei cos i sin (1.3.5) Функция ei обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число i было действительным. Отметим основные из них: ei1 ei2 e i 1 2 , ei1 i e 1 2, i2 e e i n ein , n Z , (1.3.6) 45 Из (1.3.5) и (1.3.6) получается формула Муавра: cos i sin n cos n i sin n , n Z А из (1.3.4) и (1.3.5) следует, что любое комплексное число z 0 может быть представлено в виде: z rei Такая запись комплексного числа называется показательной. В данной диссертации будут рассмотрены производственные функции комплексных переменных, говоря о которых, стоит заметить, что любую комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных [79, 27]. Так показательная функция e z для комплексного переменного z x iy определяется формулой: e z e xiy e x cos y i sin y . (1.3.7) Работая с показательными функциями комплексного переменного, приходится также работать и с логарифмическими функциями. Для логарифмических функций комплексного переменного справедливо следующее равенство: ln z ln x iy ln x 2 y 2 i Arg x iy , (1.3.8) Здесь Arg x iy определяется условием (1.3.2). Свойства, рассмотренные выше, были показаны на комплексных числах, построенных на евклидовой плоскости, в которой комплексное число рассматривается в большей степени как обычный вектор. Но в физике комплексные числа вида z x iy рассматриваются на псевдоевклидовой плоскости, где по оси абсцисс откладывается значение не y, а iy. В таком случае у комплексных переменных открываются новые уникальные свойства, аналогов которым в области действительных чисел нет [60]. Поскольку эти положения не будут использованы в данном диссертационном исследовании, эти свойства не рассматриваются. Зато 46 приведённые элементарные свойства комплексных переменных будут использованы в последующих параграфах диссертации. Принципиально важно отметить, что математические действия с комплексными числами (за исключением сложения и вычитания) дают иные результаты, нежели аналогичные действия с вещественными числами. Поэтому от применения моделей комплексных переменных в экономике можно ожидать других результатов, чем от моделей действительных переменных. В данной диссертации это положение обосновывается на примере Степенных производственных функций комплексных переменных. 47 Глава 2. Степенная производственная функция комплексного аргумента 2.1. Линейная производственная функция комплексного аргумента Обычно в теории производственных функций переменными выступают объём производства Q, затраты труда L и затраты капитала K, как наиболее существенные факторы и результат производства. Из множества производственных ресурсов выбираются эти два – труд и капитал, поскольку до определённой степени они являются взаимозаменяемыми – один и тот же объём производства Q может быть достигнут при разных соотношениях K и L и неизменном количестве прочих производственных ресурсов. Представим производственные ресурсы K и L в виде комплексной переменной K iL . Тогда производственная функция в общем виде будет выглядеть так: Qt f Kt iLt Здесь K, L, и Q – положительные действительные числа. Отнесение K в действительную часть, а L – в мнимую условна и не играет принципиального значения. В такой функции комплексному числу K iL сопоставляется действительное число Q. В простейшем случае связать затраты труда L и капитала K с результатами производства Q можно следующим образом [67, 4]: Qt a0 ia1 Kt iLt . (2.1.1) Здесь a0 и a1 – действительные числа. Первый сомножитель, представляющий собой комплексное число a0 ia1 , помогает связать в одной модели производственные затраты и результаты, но требует самостоятельного научного исследования. Осуществляя перемножение сомножителей в правой части равенства (2.1.1) и группируя вещественную и мнимую части, получим: Qt a0 Kt a1Lt i a0 Lt a1Kt . (2.1.2) 48 В результате имеем комплексное число, вещественная часть которого a0 Kt a1Lt равна Qt, а мнимая часть a0 Lt a1Kt должна быть равна нулю в силу того, что в левой части равенства мнимой части нет, то есть она представлена произведением i0. Следовательно, производственная функция (2.1.1) представляет собой аддитивную модель вида: Qt a0 Kt a1Lt , (2.1.3) где коэффициенты а0 и а1 представляют собой части одного комплексного числа. Именно последнее обстоятельство предопределяет особенность свойств предложенной модели производственной функции комплексного аргумента. Использовать просто модель (2.1.3) в данном случае нельзя, поскольку должно выполняться ещё и условие a0 Lt a1Kt 0 . (2.1.4) Решение системы уравнений (2.1.3) и (2.1.4) позволяет найти искомые значения коэффициентов а0 и а1. Но тот же самый результат можно получить и используя непосредственно модель (2.1.1). Для этого определим комплексное число коэффициентов через объёмы и ресурсы, сделав несколько элементарных преобразований: a0 ia1 Qt Kt iLt Q K iL Qt t 2t 2 t , Kt iLt Kt iLt Kt iLt Kt Lt (2.1.5) Полученное равенство, как это следует из свойств комплексных чисел, выполняется только в том случае, когда равны друг другу вещественные и мнимые части комплексных чисел в его левой и правой частях. Это свойство позволяет легко получить формулы для расчёта коэффициентов. Действительно, раскрывая скобки и группируя отдельно вещественную и мнимую части, получаем формулы для вычисления каждого из коэффициентов: a0 Qt Kt Qt Lt a и . 1 Kt2 L2t Kt2 L2t (2.1.6) 49 Эти формулы позволяют не только найти численные значения коэффициентов по известным значениям затрат и результатов, но и дать экономическую интерпретацию значений каждого из коэффициентов а0 и а1. Если все исходные переменные равны единице, то в этом случае коэффициент а0 и коэффициент а1 равны друг другу и принимают значение равное 0,5. То есть, если с течением времени экономическая система не развивается во времени, затраты ресурсов и результаты остаются неизменными, то и коэффициенты остаются неизменными и равными 0,5. Естественно, этот случай следует признать чрезвычайно редким. Равенство между коэффициентами, как это легко увидеть из (2.1.6), возможно только в том случае, когда равны друг другу значения ресурсов: Lt=Kt. Во всех остальных случаях будет наблюдаться неравенство между коэффициентами. Когда Lt>Kt, то а1 > а0, а когда Lt<Kt то а1 < а0. Как следует из (2.1.6) коэффициент а1 отражает изменение интенсивности использования трудовых ресурсов, а коэффициент а0 отражает изменение интенсивности использования капитальных ресурсов. Поэтому данные коэффициенты можно назвать – коэффициенты использования ресурсов. Из (2.1.6) следует ещё одно очевидное свойство коэффициентов, а именно: a1 Lt . a0 K t (2.1.7) Рассмотрим возможные пределы изменения этих коэффициентов в зависимости от изменения того ресурса, поведение которого он отражает, то есть: a0 f Kt и a1 f Lt . Как следует из (2.1.6), каждый из коэффициентов при стремлении одного из параметров к нулю сам стремится к нулю, а при стремлении одного из параметров к бесконечности, вновь устремляется к нулю. Поэтому 50 очевидно, что рассматриваемые функции имеют экстремум, который и следует найти. С учётом симметричности коэффициентов, достаточно изучить только один из них, тогда поведение другого коэффициента также будет известно. Рассмотрим для определённости коэффициент использования трудовых ресурсов а1. Что касается зависимости коэффициента а1 от другого ресурса, а именно, капитальных затрат Кt при фиксированном значении Lt, то формула (2.1.6) показывает, что при Кt=0 коэффициент принимает своё максимальное значение. С ростом капитальных затрат и постоянстве трудовых затрат значения коэффициента а1 начинают убывать по гиперболе и стремятся к нулю при стремлении капитальных затрат к бесконечности. Аналогично ведёт себя и коэффициент а0 при фиксированном значении Кt и изменении трудовых затрат Lt от нуля до бесконечности. Зависимость значений коэффициентов от Qt ещё более простая – с ростом Qt значения каждого коэффициента использования ресурсов линейно возрастают. Для уточнения характера изменения коэффициента а1 от Lt который представляет собой в соответствии с (2.1.6) функцию от нескольких переменных, найдём частную производную коэффициента использования трудовых ресурсов по труду. Она будет равна: 2 2 2 a1 Qt K t Lt 2Qt Lt . L K t4 2 K t2 L2t L4t Для нахождения экстремума (2.1.8) функции приравняем нулю эту производную: Qt Kt2 L2t 2Qt L2t 0 , (2.1.9) откуда легко найти условие, при котором коэффициент а0 принимает максимальное значение, а именно: 51 L2t K t2 . С (2.1.10) учётом не отрицательности переменных, получаем, что и коэффициенты а0, и а1 принимают свои максимальные значения только в том случае, когда относительное значение затрат труда равно относительному значению затрат капитала, то есть: Lt Kt . (2.1.11) Учитывая (2.1.11) из формулы для вычисления коэффициентов (2.1.6), легко найти максимальные значения коэффициентов: a0 a1 Итак, Qt Q t . 2 Lt 2 Kt можно сделать (2.1.12) вывод о том, как меняются значения коэффициентов использования ресурсов. Коэффициент а1 при фиксированном положительном значении ресурса Кt равен нулю при равенстве нулю ресурса Lt; коэффициент а0 при этом больше нуля. При возрастании трудовых затрат Lt от нуля до значения, определяемого равенством (2.1.11) коэффициент а1 возрастает. При значениях ресурса Lt, равного ресурсу Кt, коэффициент а0 достигает своего максимального значения (2.1.12). При этом его значения равны коэффициенту а1. С дальнейшим ростом значений трудовых ресурсов коэффициент а0 уменьшается и стремится к нулю при стремлении значений Lt к бесконечности. На этом участке коэффициент а0, в силу (2.1.7), всегда больше коэффициента а1, который также уменьшается с ростом Lt . Таким же образом в зависимости от капитальных ресурсов Кt ведёт себя и другой коэффициент – коэффициент использования капитальных ресурсов. На рисунке 2.1 изображен график изменения коэффициента а1 в зависимости от изменения значений трудовых ресурсов при фиксированном положительном Кt. Любая производственная единица, будь то отдельно взятое предприятие 52 или хозяйство всей страны, развивается во времени. При этом меняются технологии производства, вызывая изменения производительности труда и производительности оборудования. Эти изменения отражаются в производственной функции изменением коэффициентов использования ресурсов. a1 Qt 2 Lt Lt=Kt L Рис. 2.1. График изменения коэффициента a1. С этих позиций коэффициенты a0 и а1 можно рассмотреть как некоторые функции от времени: а1=f1(t), а0=f0(t). Но так как указанные коэффициенты являются частями одного комплексного числа, то эти зависимости следует рассмотреть в комплексе. То есть, рассматривая коэффициенты в динамике, следует найти зависимость a0t ia1t f t . (2.1.13) Рассмотрим эту задачу с помощью графического метода, поскольку данное комплексное число может быть отображено на плоскости (а0; а1), где коэффициенты использования ресурсов выступают в качестве осей координат данной плоскости. Динамика изменения комплексного числа во времени может иметь самый различный вид, но если эта динамика может быть описана в виде зависимости a0t F a1t , (2.1.14) 53 то она представляет особый интерес. С учётом того, что в теории производственных функций за точку отсчёта принимаются начальные значения динамических рядов, их относительные значения будут равны единице, а это означает, что в начальной точке коэффициенты а0 и а1 будут равны друг другу и равны 0,5 (как это следует из (2.1.6)). В теории производственных функций принята именно эта точка отсчёта, поэтому в дальнейшем будем считать, что все исходные переменные приведены к начальным значениям. Иные случаи будут оговорены отдельно. Так как значения коэффициентов использования ресурсов лежат в пределах от нуля до бесконечности, возможны четыре варианта динамики коэффициентов из начальной точки (0,5; 0,5) , а именно: 1) когда оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину 0,5; 2) когда оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5; 3) когда значения коэффициента а1 возрастают и превышают 0,5, а значения коэффициента а0 уменьшаются; 4) когда значения коэффициента а1 уменьшаются, а значения коэффициента а0 возрастают и остаются больше 0,5 [66, 13]. Эти четыре варианта динамики представлены на рисунке 2.2. Впрочем, возможны и более сложные варианты динамики, представляющие собой комбинацию четырёх исходных. 54 a1 1 0,5 3 1 2 4 a0 0 0,5 1 Рис. 2.2. Варианты динамики коэффициентов. На рисунке 2.2 изображена плоскость возможных значений изменения коэффициентов использования ресурсов а0 и а1. На плоскость нанесены две перпендикулярные прямые, показанные пунктирными линиями, проходящие через отрезки на осях, равные 0,5. Пересечением этих двух прямых является точка, в которой каждый из коэффициентов равен 0,5. Именно эта точка и является начальной. Эти две прямые также делят плоскость значений коэффициентов на четыре области, которые на рисунке пронумерованы так, чтобы каждая область соответствовала указанным выше четырём вариантам динамики коэффициентов. С учётом того, что каждый из коэффициентов представляет собой сложную зависимость от трёх факторов – объёма Qt, трудовых Lt и капитальных затрат Кt, точно определить условия для каждого типа динамики достаточно сложно, и это должно быть предметом особого научного исследования. Тем не менее, можно, исходя из (2.1.6) и рисунка 2.2, наметить некие общие условия, характерные для каждого из четырёх вариантов динамики. Дадим интерпретацию каждого из типов совместной динамики коэффициентов использования ресурсов (таблица 1 приложения). Первый вариант предусматривает превышение значений двух коэффициентов от начальной точки 0,5. Это возможно в том случае, когда трудовые и капитальные ресурсы сбалансированы, а отдача их 55 увеличивается. Такой вариант развития событий характерен для сбалансированной экономики с устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи. Второй вариант характерен снижением величин обоих коэффициентов использования ресурсов относительно их начальной точки в 0,5. Как следует из рисунка 2.2, это возможно в условиях дисбаланса, при структурной перестройке производства, когда один из ресурсов используется в большей степени, чем другой, а отдача ресурсов не увеличивается. Эта зона – зона кризисной динамики. Третья зона предполагает рост коэффициента использования трудовых значений выше начального значения, и снижение величин коэффициента использования капитальных ресурсов. Увеличение значений а1 по сравнению с а0 возможно только в ситуации, когда трудовые ресурсы привлекаются в большей степени, чем капитальные. В то же время, рост самого значения коэффициента а1 свидетельствует о том, что растут и объёмы производства. Следовательно, процесс трудоинтенсивный с повышающейся фондоотдачей. Четвёртая зона предполагает снижение коэффициента использования трудовых ресурсов относительно начального значения и повышение величин коэффициента использования капитальных ресурсов. Увеличение значений а0 по сравнению с а1 возможно только в ситуации, когда капитальные ресурсы привлекаются в большей степени, чем трудовые. При этом наблюдается и рост производства. Значит, фондоотдача уменьшается, а производительность труда растёт. Для того построения чтобы показать производственной применимость функции предлагаемого комплексного метода аргумента воспользуемся конкретными экономическими данными по произведённому национальному доходу, по величине основных производственных фондов и по среднегодовой численности промышленно-производственного персонала бывшего СССР с 1972 по 1989 год. Эти данные, приведённые к 56 относительным величинам, а также рассчитанные в соответствии с (2.1.6) значения коэффициентов использования ресурсов приведены в таблице 2 приложения. Из анализа полученных значений коэффициентов использования ресурсов (последние два столбца таблицы) легко убедиться, что коэффициент а1 в среднем уменьшается, а коэффициент а0 – увеличивается, что соответствует четвёртому варианту динамики из таблицы 1 приложения и рисунка 2.2. Этот случай свидетельствует о том, что рост производства характеризуется уменьшением фондоотдачи и повышением производительности труда. В целом процесс капиталоинтенсивный. Продемонстрируем теперь возможность использования наших предложений на примере экономики России в последние годы [109]. В таблице 3 приложения приведены исходные статистические данные по экономике России с 1998 по 2004 год. В качестве результата производства Qt используется валовый внутренний продукт, в качестве трудовых затрат Lt – численность занятого в экономике населения, в качестве капитала Kt инвестиции в основной капитал. В двух последних столбцах таблицы приведены результаты расчёта двух этой же коэффициентов использования ресурсов, которые выполнены в соответствии с формулами (2.1.6). Коэффициент использования трудовых ресурсов а1 за рассматриваемый период уменьшается, причём значительно, а коэффициент использования капитальных ресурсов а0 увеличивается. Это означает в соответствии с выводами, сделанными ранее, что рост производства в России с 1998 года также можно охарактеризовать как капиталоинтенсивный. При этом фондоотдача уменьшается, но растёт производительность труда. Аналогичный, но менее резкий характер был и у динамики экономики бывшего СССР с 1972 по 1989 годы. Ситуация в рассматриваемые годы характеризовалась тем, что основные производственные фонды многих приватизированных предприятий России 57 использовались до 1998 года не на полную мощность. Кризис 1998 года, приведший к снижению курса рубля, сделал продукцию отечественной промышленности конкурентоспособной по цене. Небольшие инвестиции в модернизацию ОПФ привели к возможности роста производства без дополнительного привлечения занятых в промышленности. Именно поэтому рост инвестиций приводил к росту объёмов производства. Приведённые выше выкладки и примеры показывают возможность использования предлагаемой функции (2.1.1) для целей анализа сути происходящих производственных процессов. Вполне возможно, что, применяя данную функцию на статистических данных более длинных рядов, удастся использовать её и для целей анализа производственных циклов. В теории производственных функций и экономическом анализе активно используются графические интерпретации производственной функции Кобба-Дугласа, а именно – линии под названием "изокванты" и "изоклинали". Можно ли провести аналогии с ними для предложенной функции? Изокванты, как известно, показывают, как может меняться структура использования ресурсов – труда и основного капитала, если объём производства сохраняется неизменным Qt=Q=const. По сути, изокванты характеризуют изменение издержек производства при различных сочетаниях труда и основного капитала, если объёмы производства остаются неизменными. Графически изокванта представляет собой прямую на плоскости ресурсов, все точки на которой, характеризуют один и тот же объём производства. Чисто математически изокванты представляют собой зависимость затрат труда от затрат капитала при постоянстве объёмов производства. Найдём эту зависимость для производственной функции комплексного аргумента. Как следует из (2.1.1), уравнение изокванты будет представлено в виде: 58 iLt Q K a0 ia1 (2.1.15) Или, после небольших преобразований: Qa0 K t a02 a12 Qa1 . iLt i 2 2 2 2 a0 a1 a0 a1 (2.1.16) Поскольку в левой части равенства действительная часть равна нулю, то и в правой части равенства действительная составляющая должна быть равна нулю. С учётом того, что Lt a 1 , выразив из него а1 и подставив K t a0 полученное выражение в вещественную часть равенства (2.1.16), получим искомое уравнение изокванты: Lt Qt K t Kt2 a0 При Kt=0 и Lt=0. При K t (2.1.17) Qt значение вновь становится равным нулю. a0 Очевидно, что между этими двумя точками есть точка максимума. Определить эту точку достаточно просто – следует взять первую производную функции по капитальным ресурсам (поскольку объёмы производства остаются величиной постоянной) и приравнять её нулю. В результате получим точку, в которой изокванта достигает своего максимума: Kt Qt 2a0 (2.1.18) С ростом значений Q будет получено семейство изоквант, каждая из которых выходит из нулевой точки, постепенно возрастая до максимальной точки, определяемой условием (2.1.18), а затем уменьшаясь до нулевых значений трудовых ресурсов в точке K t Qt . a0 Теперь выведем уравнение изоклинали для производственной функции комплексного аргумента. Изоклинали, как известно, строятся для ситуации, 59 когда при выбранной технологии производства неизменной остаётся себестоимость произведённой продукции, а её объём увеличивается с увеличением затрат ресурсов. Графически изоклиналь представляет собой линию на плоскости ресурсов, все точки на которой характеризуют такие объёмы производства (результаты), которые достигаются при одном и том же способе производстве, одной и той же пропорции между ресурсами, но при разных величинах капитальных и трудовых ресурсов. Математическим условием для построения изоклинали выступает условие сохранения одной и той же пропорции между трудовыми и капитальными затратами, то есть: Lt a1 const . Kt a0 (2.1.19) Подставляя это значение в (2.1.1), получим для изоклиналей: a Qt Lt 0 i a0 ia1 . a1 (2.1.20) Раскрывая скобки и группируя вещественную и мнимую части комплексного числа, получим: a02 Qt Lt a1 iLt a0 a0 , a1 откуда со всей очевидностью следует искомое уравнение изоклинали: a02 Qt Lt a1 . a1 (2.1.21) Это уравнение представляет собой прямую линию, выходящую из нулевой точки на плоскости ресурсов, тангенс угла наклона которой равен сомножителю перед ресурсом Lt. Поскольку графики изоквант и изоклиналей обычно располагается на плоскости ресурсов, то с учётом (2.1.17), по вертикальной оси откладываются значения трудовых ресурсов, а по горизонтальной – значения капитальных ресурсов. Поэтому уравнение изоклинали следует 60 представить как зависимость величины трудовых ресурсов от капитальных ресурсов при росте объёма производства, но сохранении пропорции (2.1.19). В этом случае оно принимает элементарный вид: Lt a1 Kt a0 На рисунке 2.3 показаны изокванты и изоклинали для линейной производственной функции комплексного аргумента. L 1 2 3 Q1 Q2 Q3 0 K Рис. 2.3. Линии изоквант и изоклиналей производственной функции комплексного аргумента. Подобный вид изоквант характерен для производства с полной взаимозаменяемостью ресурсов. Можно сделать вывод о том, что взаимозаменяемость ресурсов абсолютно эластична (то есть эластичность бесконечна). Предельная норма замены ресурсов в нашем случае, в соответствии с (1.2.7) будет равна: KL Мы a1 a0 рассмотрели простейшую из возможных производственных функций. Как видно, даже у такой простой производственной функции есть уникальные свойства, которых нет ни у каких других 61 производственных функций действительных переменных. Например, возможность рассчитать коэффициенты функции для каждого наблюдения, а не для ряда наблюдений, а также пополнить теорию производственных функций аппаратом для анализа происходящих в производстве процессов. Какими свойствами могут обладать более сложные нелинейные функции комплексного аргумента, рассмотрим подробней в следующем параграфе этой главы. 62 2.2. Степенная производственная функция комплексного аргумента с действительным показателем степени Самый простой вариант степенной производственной функции комплексного аргумента с действительным показателем степени выглядит так: Qt a Kt iLt b (2.2.1) Здесь, как и в предыдущем параграфе, Qt – объём производства, Kt – затраты капитала, – Lt трудовые затраты. a – коэффициент пропорциональности, а b – показатель степени. Как видно, в правой части данной производственной функции затраты производства представлены комплексным числом Kt iLt , а результат производства – в левой части комплексным числом Qt iCt , в котором Ct 0 . Представим производственную функцию (2.2.1) в экспоненциальной форме: Qt ei 2 n a K t2 L2t e b ib Arg Kt iLt , nZ (2.2.2) Учитывая то, что Q по своей природе не может быть отрицательным, знак модуля можно опустить. Полярный угол φ положительного действительного числа Q равен 2 n , n Z . Кроме того, так как Lt>0 и то Kt>0, всегда Arg Kt iLt arctg будет выполняться равенство Lt 2 k , k Z . Равенство (2.2.2) соблюдается лишь Kt при равенстве соответствующих модулей и полярных углов комплексных чисел: b 2 2 Qt a K t Lt , n, kZ L 2 n b arctg t 2 k Kt (2.2.3) Второе уравнение в системе (2.2.3) выступает ограничением для 63 производственной функции (2.2.1). Причём это ограничение может быть выражено одним из двух следующих способов: 1. 2. 2 n L n, kZ, arctg t 2 k , Kt (2.2.4) Lt 2 n tg 2 k , n, kZ. Kt b (2.2.5) b В случае, когда n 0 , условие (2.2.4) преобразуется в условие b 0 . Условие (2.2.5) в такой же ситуации трансформируется в условие Lt 0 . Получается, что производственная функция (2.2.1) преобразуется либо в Qt a , либо в Qt aK t b . Такие производственные функции не представляют интереса для исследователя. Значит у функции (2.2.1) есть определённое ограничение на полярный угол числа Qt – он не должен быть равен нулю. Тогда условие (2.2.4) преобразуется в следующее: b 2 n L arctg t 2 k , n 0 , n,k Z Kt (2.2.6) Для того, чтобы иметь чёткие представления о том, почему такое ограничение должно быть введено, рассмотрим как комплексное число затрат производства на одной комплексной плоскости отображается в действительное число результата производства на другой комплексной плоскости (или, что тоже самое, в комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю). Комплексное число K0 iL0 на плоскости ресурсов с осями координат K и iL может быть представлено вектором, выходящим из точки с координатами (0;0). У такого вектора есть полярный угол arctg L0 . K0 Такое комплексное число показано на рисунке 2.4, a. Этому комплексному числу ресурсов соответствует действительное число Q0 на комплексной плоскости результата производства (рис. 2.4, b), где осями координат 64 выступают ось действительных чисел Q и некая ось мнимых чисел iC. Что скрывается под C, нас не интересует, так как в любом случае вектор на этой плоскости имеет вид Q0 i0 (так как мнимая часть результата в функции (2.2.1) равна нулю). У этого вектора так же есть полярный угол 2 n , nZ. Это действительное число, представленное на комплексной плоскости, показано на рисунке 2.4, b). На рисунке 2.4 видно, что для того, чтобы вектор K0 iL0 был отображён в вектор Q0 i0 , его угол должен стать равным углу 2 n , n Z , а значит должен либо уменьшиться на величину угла arctg L0 , K0 либо увеличиться на величину 2 . В нашей производственной функции нет свободных членов, так что изменение возможно лишь при умножении угла α на коэффициент b. Для первого случая должно выполняться условие: b=0. Во втором случае, угол α должен быть умножен на число b = 2π . a) iL b) iC K0+iL0 K0+iL0 α α 0 K 0 Q0+i0 Q β=2π-α Рис. 2.4. Отображение комплексного числа затрат в действительное число результата. На рисунке 2.4 показан случай, когда n 1 , а k 0 . В дальнейшем, для простоты расчётов будем пользоваться именно этими значениями n и k. 65 Тогда условие (2.2.6) примет вид: b= 2π L arctg t Kt (2.2.7) Таким образом, мы исключаем из области значений коэффициента b отрицательные значения. Из формулы (2.2.7) видно, что b отражает пропорции между K и L. При этом, если Lt L , то b 4 . Если же t 0 , то в свою очередь b . Kt Kt Другими словами, чем выше капитальные затраты по сравнению с трудовыми, тем больше коэффициент b, а чем больше на производстве трудовые затраты по сравнению с капитальными, тем меньше показатель степени b. Также стоит заметить, что b 8 , если Lt Kt . Получается, что коэффициент b меняется в пределах 4; и отражает пропорции труда и капитала, сложившиеся на производстве. Причём, если значения b лежат в пределах 4;8 , то можно сказать, что производство трудоинтенсивно. Если же b 8 , то производство капиталоинтенсивно. Коэффициент b в таком случае можно назвать коэффициентом «типа производства». Стоит заметить, что коэффициент a легко находится из (2.2.3). Рассчитывается он по формуле: a Qt K t2 L2t b (2.2.8) Этот коэффициент не несёт в себе никакого экономического смысла, а просто отражает отношение модуля действительного числа Qt к комплексному Kt iLt . Для того, чтобы построить производственную функцию (2.2.1) на конкретных статистических данных по затратам и результату производства, 66 их надо привести к безразмерным величинам. Если приводить данные по первому наблюдению, то b1 8 . Для последующих наблюдений b будет либо увеличиваться, либо уменьшаться, что будет характеризовать тип производства. По данным о Российском производстве в период с 1998 по 2003 гг. таблицы 3 приложения были построены производственные функции (2.2.1) и рассчитаны значения коэффициента b для каждого наблюдения. Их значения приведены в таблице 4 приложения. По этим значениям видно, что производство в России с каждым годом становится всё более и более капиталоинтенсивным. По имеющимся статистическим данным можно также спрогнозировать, каким будет объём производства при сохранении тенденций изменения L и K. Этот вопрос подробней будет рассмотрен в следующем параграфе. Рассмотрим более сложный вариант производственной функции – производственную функцию комплексного аргумента с комплексными коэффициентами. Данная функция имеет следующий вид: b0 ib1 Qt = a0 +ia1 Kt +iLt (2.2.9) Чтобы представить эту функцию в экспоненциальной форме, сделаем следующие преобразования: 1. Представим левую часть равенства (2.2.9) в экспоненциальной форме, а правую – как показательную логарифмическую: Qt ei 2 n a0 ia1 e ln Kt iLt b0 ib1 , nZ (2.2.10) 2. Затем представим комплексный коэффициент пропорциональности в экспоненциальной форме. Для этого по формуле (1.3.8) преобразуем логарифм комплексного переменного ресурсов в правой части (2.2.10), раскроем скобки и сгруппируем показатели степени: 67 Qt e i 2 n a02 a12 ei arg a0 ia1 eb0 ln e Kt2 L2t b1 arg Kt iLt i b0 arg Kt iLt b1 ln Kt2 L2t nZ , (2.2.11) Здесь arg a0 ia1 и arg Kt iLt определяются условием (1.3.2). Равенство (2.2.11) выполняется только при равенстве соответствующих модулей и полярных углов комплексных переменных в правой и левой частях. Учитывая это, получаем систему двух уравнений: Q a 2 a 2 b0 ln Kt2 L2t b1 arg Kt iLt t 0 1 e , n Z (2.2.12) 2 2 2 n arg a0 ia1 b0 arg K t iLt b1 ln K t Lt Стоит заметить, что всегда Kt 0 и Lt 0 , а, следовательно, arg Kt iLt определяется как arctg Lt 2 k , k Z . Для облегчения Kt расчётов при исследовании данной функции предположим, что n k 0 . Как видно из (2.2.12), у функции (2.2.9) нет таких жёстких ограничений на период полярного угла, как у функции (2.2.1), так как комплексные коэффициенты автоматически регулируют значение полярного угла результата. Однако необходимо отметить, что коэффициенты связаны друг с другом ограничениями – так, например, коэффициент b0 должен удовлетворять равенству, следующему из (2.2.12): arg a0 ia1 b1 ln K t2 L2t b0 L arctg t Kt (2.2.13) Для того чтобы выявить свойства функции (2.2.9), рассмотрим их последовательно, при показателях степени – действительном или мнимом. Сначала проанализируем функцию, в которой b1 0 , то есть: Qt = a0 +ia1 Kt +iLt 0 . b Представив в экспоненциальной (2.2.14) форме коэффициент пропорциональности и комплексную переменную ресурсов, получим: 68 Qt a a 2 0 2 1 K L 2 t 2 t b0 e i arg a0 ia1 ib0 arctg e Lt Kt , откуда легко получить следующую систему уравнений: b0 2 2 2 2 Q a a K L 0 1 t t t L 0 arg a0 ia1 b0 arctg t Kt (2.2.15) Второе равенство в (2.2.15) представляет собой некое балансовое уравнение, связывающее все коэффициенты модели и её ресурсы. Из этого уравнения видно, что коэффициент b0 характеризует отношение полярных углов двух комплексных чисел – коэффициента a0 +ia1 и переменной Kt +iLt : b0 arg a0 ia1 L arctg t Kt Однако для нас основной интерес представляет первое уравнение в (2.2.15), поскольку именно оно предопределяет связь между производственными ресурсами и результатом. С учётом того, что это равенство определяет поведение производственного выпуска в зависимости от двух ресурсов, модель может быть представлена графически (рис. 2.5). Для простоты исследования функции введём следующее обозначение: a02 a12 a . Тогда первое уравнение в (2.2.15) может быть записано так: Qt a K L 2 t 2 t b0 (2.2.16) Примем радиус комплексного аргумента величиной постоянной. Тогда выражение в скобках равенства (2.2.16) также является величиной постоянной. Графически это означает следующее: при разных сочетаниях 69 K и L, дающих в результате постоянство радиуса, модель будет генерировать одно и то же значение производственного результата Q. Условие K 2 L2 const , как известно, определяет уравнение окружности на плоскости производственных ресурсов. Поскольку производственные ресурсы определены в первом квадранте этой плоскости, то для нашего случая мы имеем четверть окружности. Чем больше радиус комплексного аргумента, тем больше становится производственный результат при положительном значении коэффициента b0. Поэтому уравнение (2.2.14) описывает поверхность в пространстве «объём - капитальные ресурсы трудовые ресурсы». Если показатель степени b0 равен единице, то увеличение радиуса комплексного аргумента производственных ресурсов на единицу ведёт к увеличению производственного результата на a. Графически это означает уравнение плоскости, проходящей через нулевую точку и, в силу имеющихся ограничений, имеющую допустимую область, находящуюся в первом квадранте пространства и ограниченную на плоскости «объём – капитальные ресурсы» данного пространства линией Q=aK, а на плоскости «объём – трудовые ресурсы» - линией Q=aL. Если же показатель степени b0 не будет равен единице, то уравнение (2.2.14) описывает нелинейные поверхности в первом квадранте пространства. 70 Q Q=aK Q=aL L K 0 Рисунок 2.5. Модель 2.2.14 при b0<1. На рисунке 2.5 изображён случай, когда b0<1. Здесь линейное увеличение объёмов привлекаемых ресурсов приводит к уменьшающейся их отдаче, проявляющейся в замедляющемся росте производственного результата. Нелинейная поверхность, соответствующая рассматриваемому случаю модели, изображена на рис. 2.5 жирными линиями. Модель, как видно, будет характеризоваться линиями окружности на поверхности с радиусами, исходящим из оси объёмов. Для другого случая, когда показатель степени b0>1 , модель изменит свой характер – линейное приращение ресурсов будет приводить к нелинейному росту производственного результата, причём этот рост будет превышать рост ресурсов. Этот случай показан на рис. 2.6. Здесь поверхность, моделируемая с помощью функции (2.2.14), нанесена жирными сплошными линиями. 71 Q Q=aK Q=aL L 0 K Рисунок 2.6. Модель 2.2 при b0>1. Функция, которую мы рассматриваем, имеет смысл и при отрицательном показателе степени, то есть, когда b0<0. В этом случае модель (2.2.16) примет вид: 1 Qt a K 2 L2 t t Особенности b0 . этой (2.2.17) модели определяются абсолютной величиной показателя степени b0, но модель всегда будет иметь следующий характер: если радиус комплексного аргумента равен нулю, то объёмы производства равны бесконечности; с увеличением количества привлекаемых ресурсов объёмы производства начинают снижаться, стремясь к нулю при стремлении радиуса комплексного аргумента ресурсов к бесконечности. Особого интереса эта модель не представляет, но знать её свойства важно, поскольку при использовании степенной функции комплексного аргумента с комплексными коэффициентами (2.1.14), складывается сложная динамика от влияния действительного и мнимого показателей степени. Рассмотрим модель комплексного аргумента при мнимом показателе 72 степени: Qt a0 ia1 Kt iLt 1 , ib (2.2.18) В экспоненциальной форме эта модель будет иметь такой вид: Qt ae i arg a0 ia1 K L 2 t 2 t ib1 b1 arctg e Lt Kt . (2.2.19) С учётом того, что мнимая составляющая левой части равенства равна нулю, для коэффициентов модели имеем балансовое уравнение: arg a0 ia1 b1 ln Kt2 L2t 0 . (2.2.20) Действительная часть равенства (2.2.19), которая, собственно говоря, нас и интересует, будет: Qt ae b1 arctg Lt Kt . (2.2.21) То есть, объём выпуска на прямую не зависит от объёма привлекаемых ресурсов, а полностью определяется пропорцией между ними, которая, очевидно, отражается полярным углом φ комплексного аргумента. При b1=0 объём производства будет численно равен модулю коэффициента пропорциональности. Также следует отметить, что при любом показателе степени, в случае, когда полярный угол равен нулю (φ=0), объём производства также будет численно равен модулю коэффициента пропорциональности. Рассмотрим теперь случай, когда b1>0, а полярный угол возрастает. Это означает, что увеличивается доля привлекаемых трудовых ресурсов, а доля капитальных ресурсов уменьшается. Как легко убедиться из (2.2.21), объём производства при этом уменьшается (рис. 2.7). С учётом того, что перед нами экспоненциальная зависимость, это уменьшение будет носить нелинейный характер. 73 Q Q=a L φ3 φ2 φ1 K 0 Рис. 2.7. Поведение модели 2.2.18 при b1>0 Характер убывания результата с изменением полярного угла определяется показателем степени b1, но следует отметить, что в любом случае, если область допустимых значений выходит за пределы первого квадранта и определена на всей комплексной плоскости, то после того, как полярный угол делает полный поворот на 2π, результат Q уменьшается в e 2 b1 раз, так как: aeb1 ae В b1 2 том e 1 b 2 случае, отрицательной e2 b1 . когда (b1<0), (2.2.22) показатель характер степени поведении является модели величиной меняется на противоположный. С ростом полярного угла комплексного аргумента ресурсов одновременно растёт и производственный результат. Начинается он при φ=0, когда Q=a. Этот рост, как легко понять, также является нелинейным (рис. 2.8). 74 Q L Q=a φ3 φ2 φ1 0 K Рис. 2.8. Поведение модели 2.2.18 при b1<0. Опять-таки, если говорить о ситуации, когда модель определена на всей комплексной плоскости, то полярный угол делает полный поворот на 2π и модель продолжает увеличивать результат. Понятно, что за полный поворот полярного угла, результат Q увеличивается в e 2 b1 раз. Следует ещё раз подчеркнуть, что и в первом, и во втором случаях объём производства не зависит от количества применяемых ресурсов, а только от полярного угла. То есть, пунктирным линиям на комплексной плоскости рис. 2.7 и 2.8, представляющим собой проекции прямых линий, лежащих на описываемой моделью поверхности, соответствует одно и только одно значение производственного результата вне зависимости от того, как далеко от нуля располагается на комплексной плоскости ресурсов точка, характеризующая затраты ресурсов. Если в первом случае поведения изучаемой функции (2.2.14), при равенстве нулю мнимой составляющей показателя степени, производственный результат не зависел от полярного угла, а определялся только радиусом комплексного аргумента, то во втором случае, когда показатель степени был мнимым, производственный результат не зависел 75 от объёма привлекаемых ресурсов, а определялся исключительно пропорцией между ними. Это означает, что функция (2.2.14) в случае, когда обе составляющие комплексного показателя степени не равны нулю, отражает сложный характер поведения производственного процесса. Как видно из (2.2.12), производственный результат зависит и от количества привлекаемых производственных ресурсов (величины радиуса комплексного аргумента), и от пропорции между ними (полярный угол комплексного аргумента ресурсов). Если в результате оценивания параметров модели (2.2.14) установлено, что коэффициент b0>0, то это свидетельствует о тенденции роста производственного результата при увеличении количества привлекаемых производственных ресурсов. В случаях, когда 0<b0<1, имеем экстенсивный рост, в том случае, когда b0>1, имеем интенсивный рост. Отрицательность этого коэффициента возможна только в случае кризисных явлений в производстве. При этом определённую диагностирующую роль играет другой коэффициент – b1. Если он положителен, это говорит о том, что дополнительное привлечение трудовых ресурсов ухудшит производственные результаты. В этом случае дальнейшее привлечение капитальных ресурсов улучшит производственные показатели. Когда же коэффициент b1 оказывается меньше нуля, это свидетельствует о том, что путь улучшения производственных результатов лежит через привлечение дополнительных трудовых ресурсов. Очевидно, что многофакторные модели такого рода в экономикоматематическом моделировании ещё не встречались, поскольку их создание в области действительных переменных невозможно. Рассмотрим далее, как можно определить коэффициенты всех рассмотренных функций по нескольким наблюдениям. 76 2.3. Метод наименьших квадратов применительно к производственным функциям комплексного аргумента В параграфах 2.1 и 2.2 мы рассмотрели, как определяются коэффициенты производственных функций комплексного аргумента по статистическим данным для каждого наблюдения, и как можно интерпретировать их значения. Перед экономистами же, как правило, стоит задача: по имеющимся статистическим данным оценить параметры выбранной модели на всей имеющейся выборке. Эта задача применительно к производственной функции комплексного аргумента может быть решена двумя способами. Первый способ заключается в нахождении коэффициентов функций по каждому из наблюдений. Затем полученные ряды значений этих коэффициентов, изменяющихся во времени, аппроксимируются с помощью наиболее подходящей модели. В самом простом случае, когда вариация коэффициентов объясняется действием только случайных факторов, рассчитывается их средняя арифметическая. Полученные значения коэффициентов подставляются в модель соответствующей производственной функции, и эта модель используется для аппроксимации. Впрочем, можно применить и иной подход, который используется при экономическом прогнозировании с помощью производственной функции Кобба-Дугласа [78, 53]. По статистическим данным с помощью метода наименьших квадратов находят значения постоянных a и α функции (1.2.18), после чего полученные расчётные значения можно использовать для прогнозирования. Метод наименьших квадратов применим и для предлагаемой производственной функции комплексного аргумента. Были проделаны соответствующие вычисления, но итоговые системы уравнений, решая которые можно найти оценки параметров производственной функции комплексного аргумента с помощью метода наименьших квадратов, являются достаточно громоздкими, и требуют дополнительных 77 исследований на устойчивость. Эта задача выходит за рамки данной работы, и поэтому в ней не рассматривается. Стоит лишь отметить, что применение метода наименьших квадратов для функции комплексного аргумента вполне возможно. Интересно, что построение с помощью метода наименьших квадратов функции Кобба-Дугласа, по данным таблицы 3 Приложения приводит к такому её виду: Qt 0.3303Lt 0.954 Kt1.954 . Отрицательность одного из показателей степени противоречит условию (1.2.19), что говорит о том, что на данной базе строить функцию КоббаДугласа нельзя. Следовательно, использовать аналитические свойства функции в данной ситуации не удаётся. Проще всего использовать МНК для случая элементарной производственной функции комплексного аргумента (2.1.1). Как следует из результатов раскрытия скобок функции и её группировки на вещественную и мнимую части (2.1.3), решение заключается в минимизации отклонений функции (2.1.4) от фактических значений при соблюдении условия (2.1.5). Эта задача достаточно просто формулируется, поскольку именно при соблюдении этих условий определены параметры использования ресурсов (2.1.6). Из первой формулы в (2.1.6), когда вычисляется коэффициент использования трудовых ресурсов, легко получается следующий вид производственной функции: L2t Kt2 Qt a1 . Lt Тогда задача нахождения оценки параметра а0 с помощью МНК сводится к нахождению условия минимума суммы квадратов отклонений: 2 L2t K t2 Qt a1 . Lt t 78 Эта задача имеет элементарное решение в виде: a1 Qt Lt L2t Kt2 t L K 2 t 2 t t , 2 Аналогично через коэффициент использования капитальных ресурсов выводится другая форма производственной функции, а именно: L2t Kt2 Qt a0 . Kt Теперь легко найти формулу для оценки МНК коэффициента использования капитальных ресурсов: a0 Qt K t L2t K t2 t t L2t K t2 2 , (2.3.1) Полученные коэффициенты можно использовать для самых разных целей, в том числе и для прогнозирования. Так, по исходным статистическим данным таблицы 3 Приложения для экономики современной России с помощью МНК были найдены оценки коэффициентов производственной функции (2.1.1). Она имеет вид: Qt Kt iLt 0,631 i0,106 . (2.3.2) Полученная функция может использоваться как для многовариантных прогнозов, так и для некоторых аналитических выводов, относительно происходивших за 1998 – 2003 годы в России процессов. Кроме того, по данным таблицы 5 Приложения таким же способом были найдены оценки коэффициентов производственной функции (2.1.1) для Диатомового комбината на 1999 год. Производственная функция получилась следующей: Qt Kt iLt 0.262 i0.369 (2.3.3) Эта функция неплохо описывает динамику Q для Диатомового комбината при данных K и L, и может быть использована либо для анализа 79 происходящих процессов, либо для прогнозирования объёмов производства. Рассмотрим теперь, как можно применить МНК для более сложных функции комплексного аргумента – (2.2.1) и (2.2.9), на примере функции (2.2.9). Для того чтобы упрощения и вывод формул были не громоздкими, примем: a0 ia1 a , b0 ib1 b , Kt iLt xt . (2.3.4) Тогда формула (2.2.9) примет вид: Qt axtb (2.3.5) Коэффициенты функции (2.3.5) легче всего оценить, если её предварительно линеаризовать. Прологарифмировав левую и правую части (2.3.4), получим: ln Qt ln a b ln xt (2.3.6) Для того чтобы оценить параметры (2.3.6) с наибольшей точностью, надо использовать «принцип наименьших квадратов» [77, 572], который в нашем случае может быть выражен так: ln Qt ln Qt t 2 min (2.3.7) Здесь Q t – расчётные значения (2.3.6), а Qt – фактические. Подставив в (2.3.7) значение ln Qt из (2.3.6), видим, что надо минимизировать следующую сумму: ln Qt ln a b ln xt 2 t (2.3.8) Раскрывая скобки в которой, получаем следующее: ln 2 Qt 2ln Qt ln a 2b ln Qt ln xt ln 2 a 2b ln a ln xt b2 ln 2 xt min t (2.3.9) Для того чтобы минимизировать эту сумму, надо взять её частные 80 производные вначале по a, а затем – по b, и приравнять полученные выражения нулю. В результате получится следующая система нормальных уравнений: ln Qt m ln a b ln xt t t 2 ln Qt ln xt ln a ln xt b ln xt t t t (2.3.10) Решая эту систему уравнений, получим формулы для расчёта a и b. Опуская промежуточные выкладки, приведём конечные формулы: b m ln xt ln Qt ln Qt ln xt t t m t t ln xt ln xt t 2 (2.3.11) 2 ln Qt b ln xt ae t (2.3.12) t m С использованием обозначения (2.3.4), формулы (2.3.11) и (2.3.12) примут вид: b0 ib1 m ln K t iLt ln Qt ln Qt ln K t iLt t t m ln K t iLt t 2 t ln K t iLt t 2 (2.3.13) ln Qt b0 ib1 ln Kt iLt a0 ia1 e t t m (2.3.14) Теперь, используя формулы (2.3.13) и (2.3.14), найдём параметры модели (2.2.9) по реальным статистическим данным. По данным о Советской промышленности (таблица 2) была построена следующая производственная функция: Qt 0.827 i0.641 Kt iLt 0.701i 0.348 (2.3.15) Эта функция очень хорошо описывает представленные данные, в частности, благодаря тому, что тенденция по изменению национального дохода близка к линейной. 81 Таким же образом можно построить производственную функцию комплексного аргумента и для уже использованных выше данных по Диатомовому комбинату из таблицы 5. Вот как выглядит такая функция: Qt 0.151 i0.331 Kt iLt 1.520i 0.094 . (2.3.16) Как видно, мнимая часть показателя степени достаточно мала по сравнению с другими коэффициентами. Значит эту мнимую часть можно опустить. Тогда получится исследованная ранее функция (2.2.14), обладающая свойствами, отличающимися от функции (2.2.9). Следовательно, для анализа работы предприятия и прогнозирования стоит использовать вместо (2.3.16) функцию: Qt 0,151 i0,331 Kt iLt 1,520 . (2.3.17) 82 Глава 3. Степенная производственная функция комплексных переменных 3.1. Линейная производственная функция комплексных переменных Изученные в предыдущей главе производственные функции комплексного аргумента расширяют инструментальную базу теории производственных функций и обладают рядом новых свойств, которые могут быть важными для исследователя. Однако каждая из них всё же не обладает всеми преимуществами, которые может дать экономисту теория функций комплексного переменного. Выше мы использовали как комплексную только одну переменную – производственные ресурсы, которая выступала в производственной функции как её аргумент. В качестве производственного результата мы рассматривали действительную переменную – объём производства. Уже этот подход дал новые результаты – простая модель комплексного аргумента соответствует в области действительных чисел очень сложным моделям. Но принципиально важной и новой, не имеющей аналогов в современной теории производственных функций действительных переменных, является производственная функция, использующая две комплексные переменные: первая, это затраты ресурсов; вторая, это комплексный производственный результат. Результат производства может быть представлен разными показателями, но наиболее общее представление о нём дают два – объём производства и затраты этого производства. Тогда результат производства также будем представлять в виде комплексной переменной, связывающей объём производства и издержки производства: Qt iCt , (3.1.1) где Qt – объём производства, Сt – затраты производства. Две комплексные переменные (зависимую и независимую) можно связать некоторой функциональной зависимостью: 83 Qt iCt F Kt iLt , (3.1.2) а это уже – функция комплексных переменных. Функций, которые связывают комплексные переменные Qt iCt и Kt iLt бесконечно много. Так как производственные процессы отличаются друг от друга следующими особенностями: уровнем иерархии (предприятие, группа предприятий, региональное производство, национальное производство, мировое производство и т.п.), спецификой производства (сельскохозяйственное производство, машиностроение, лёгкая промышленность, нефтедобыча, производство электроэнергии и т.п.), национально-географическими особенностями (трудоизбыточное население или трудодефицитное; наличие источников сырья и транспортных узлов; тёплый, жаркий или холодный климат и т.п.), то общей производственной функции комплексных переменных, которая наилучшим образом описывает эти производственные процессы, меняя лишь в зависимости от ситуации значения своих коэффициентов, не существует. Это может быть линейная функция, а может быть и, например, логарифмическая функция комплексных переменных. В каждом случае экономист должен выбрать из имеющегося множества возможных функций наилучшую. В этом параграфе работы мы рассматриваем лишь линейную функцию комплексного переменного, являющуюся частным случаем степенной производственной функции комплексного переменного, в которой показатель степени равен единице. Самая простая – линейная функция комплексных переменных выглядит так: Qt iCt b0 b1 Kt iLt . Но она не представляет особого интереса, поскольку, раскрыв а ней 84 скобки, получим элементарное равенство: Qt iCt b0 b1Kt ib1Lt . Из которого следует, что Qt b0 b1Kt , а Ct b1Lt . Конечно, в определённых случаях эта модель может быть использована в экономической практике, но универсальной её назвать нельзя. Более широко применимой для целого ряда случаев может быть линейная функция более сложного вида, а именно: Qt iCt b0 ib1 Kt iLt . (3.1.3) Здесь, как и в случае (2.1.1) вводится комплексный коэффициент (b0+ib1), исследование которого и представляет особый интерес. Прежде всего, надо определить способ вычисления коэффициентов и изучить особенности каждого из них. Для этого найдём комплексный коэффициент из равенства (3.1.3): b0 ib1 Qt iCt . Kt iLt Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на сопряжённый знаменателю сомножитель, получим: b0 ib1 Qt iCt Kt iLt Qt Kt Ct Lt i Ct Kt Qt Lt Kt iLt Kt iLt Kt2 L2t Откуда после группировки вещественной и мнимой частей легко определяются коэффициенты b0 и b1 этой формы производственной функции комплексных переменных: b0 Qt Kt Ct Lt , Kt2 L2t (3.1.4) b1 Ct Kt Qt Lt . Kt2 L2t (3.1.5) В отличие от коэффициентов производственной функции комплексного аргумента (2.1.1) дать экономическую интерпретацию коэффициентам функции (3.1.3) непросто. Знаменатели у этих коэффициентов, как и в 85 случае (2.1.6), одинаковы, но числители имеют более сложный характер. Коэффициент b0 будет линейно расти с ростом, как объёма производства, так и с ростом издержек производства при постоянстве затрат ресурсов. Также он будет расти и при увеличении ресурсов, затраченных в производстве. Относительно второго коэффициента b1, можно сказать, что он будет увеличиваться с ростом себестоимости и, в некоторой степени, с увеличением основных производственных фондов. Если ресурсы, и результаты растут прямо пропорционально, то этот коэффициент остаётся постоянным. Если за точку отсчёта принять первое наблюдение, а все остальные значения привести к относительным значениям, то коэффициент b0 будет равен единице, а коэффициент b1 – нулю. Впрочем, за точку отсчёта можно взять не только начальное, но и любое другое значение, например, последнее. Тогда именно для этого года наблюдения за производственным процессом коэффициент b0 будет равен единице, а коэффициент b1 будет равен нулю. Если раскрыть скобки равенства (3.1.3) и сгруппировать вещественную и мнимую части, то получим: Qt iCt Kt iLt b0 ib1 Qt iCt b0 Kt b1Lt i b0 Lt b1Kt , откуда вещественная часть равенства: Qt b0 Kt b1Lt , (3.1.6) а мнимая: Ct b0 Lt b1Kt . (3.1.7) Любопытно, что полученные значения позволяют определить прибыль производства в относительных величинах. Действительно, если Qt – выручка, а Ct – издержки производства, то имеем для этого: Qt Ct b0 Kt b1Lt b0 Lt b1Kt . (3.1.8) Для того чтобы говорить именно о прибыли, а не о некоем её «аналоге», значения Qt и Ct надо приводить к относительным величинам так, 86 чтобы они были связаны друг с другом. Например, по формулам: Qt f Ct f , Ct , Qt Q0 Q0 где Qt f - фактическое значение объёма выпуска, а Ct f - фактическое значение суммарных затрат на наблюдении t. То есть такая прибыль Gt в относительных величинах, находящаяся как разность Qt и Ct, будет: Qt f Ct f Qt f Ct f Gt f Gt Qt Ct . Q0 Q0 Q0 Q0 Легко заметить, что расчётное значение прибыли в абсолютных величинах в таком случае должно находиться по формуле: Gt f Q0Gt Кроме того, рентабельность производства может быть найдена из отношения: Qt Ct b0 Kt b1 Lt b0 Lt b1Kt . Ct b0 Lt b1Kt (3.1.9) Стоит заметить, что при расчёте рентабельности по формуле (3.1.9), используются относительные величины, однако результат будет численно равен рентабельности, рассчитанной по фактическим данным, так как выполняется равенство: Qt Ct Qt f Ct f Ct f Qt f Ct f Gt f : f . Ct Q0 Q0 Ct f Ct Выражения (3.1.8) и (3.1.9) могут быть использованы при анализе того или иного производственного процесса в качестве дополнительной характеристики. Формулы (3.1.4) и (3.1.5) дают возможность найти соответствующие значения коэффициентов линейной производственной функции комплексных переменных (3.1.3) для каждого наблюдения. Для этого следует только подставить в них имеющиеся статистические данные. Руководство Инзенского Диатомового комбината (Ульяновская область) 87 любезно предоставило нам необходимые статистические данные по своему предприятию. Абсолютные значения производства на этом комбинате приведены в таблице 5 приложения. Используя значения выручки, издержек производства, фонда оплаты труда и величины основных производственных фондов, построим производственную функцию типа (3.1.3). Для этого приведём все значения к безразмерным относительным величинам. За единицу примем данные за февраль 1999 года. Все остальные исходные значения переменных приводятся к этим данным. Так как формулы (3.1.4) и (3.1.5) предоставляют возможность находить соответствующие коэффициенты для каждого наблюдения, получим два ряда коэффициентов, которые представлены в таблице 6 приложения. Видно, что коэффициенты функции меняются во времени. При этом коэффициент b0 в динамике явно не линеен: его значения сначала возросли до 1,170, затем стали падать до 0,303, потом опять возросли до 0,907, далее опять снизились и в конце наблюдаемого ряда вновь возросли до 1,026. Значения коэффициента b1 также колеблются, но если коэффициент b0 несколько раз пересёк стартовое значение, равное единице, то коэффициент b1 нулевые значения так и не пересёк, всё время оставаясь отрицательным. Любые изменения коэффициентов, поскольку они представляют собой упорядоченную во времени последовательность значений, можно описать трендами. Для таблицы 6 приложения с помощью МНК получим следующие уравнения трендов: - для коэффициента b0 = -0,0227t + 0,8174 (3.1.10) - для коэффициента b1= 0,0138t - 0,0157 (3.1.11) Тогда модель производственной функции комплексных переменных для Диатомового комбината будет иметь вид: 88 Qt iCt Kt iLt 0,8174 0,0227t i 0,0157 0,0138t Если менеджменту данного комбината необходимо определить условия роста производства, то, изменяя в полученной модели величину фонда оплаты труда (а значит, и количества занятых в производстве) и величину основных производственных фондов, можно произвести многовариантные расчёты и найти варианты минимальной себестоимости, максимальной прибыли, максимальной валовой продукции и т.п. Если спрогнозировать тенденции изменения ОПФ и трудовых ресурсов, то можно получить и прогнозы возможной динамики объёма и затрат при сохранении этих тенденций. Для этого в полученную модель следует подставить тренды изменения ОПФ и трудовых ресурсов. В таблице 7 приложения приведены результаты этого прогноза для Диатомового комбината. Способ непосредственной оценки параметров производственной функции комплексной переменной с помощью МНК может показаться более сложным, но на самом деле это не так. Для начала введём следующие обозначения: Yt Qt iCt ; X t Kt iLt ; b b0 ib1 . Тогда критерий МНК будет иметь вид: F b Yt bX t min . 2 t Для того чтобы вывести формулы для нахождения коэффициентов b0 и b1 надо найти производную функции F(b) по b и приравнять её нулю. Тогда получим простое уравнение: Yt X t b X t2 0 , t t которое имеет единственный корень: b Yt X t t X t2 , t 89 или, подставив значения X, Y и b: b0 ib1 Qt iCt Kt iLt t Kt iLt , 2 (3.1.12) t Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на число сопряжённое знаменателю, получим: b0 ib1 Qt iCt Kt iLt Kt iLt t Kt iLt 2 t 2 Kt iLt t (3.1.13) 2 t Далее, раскрывая скобки в (3.1.13) и группируя действительную и мнимую части, получим следующие формулы для нахождения коэффициентов производственной функции (3.1.3) с помощью МНК: 2 2 Qt K t Ct Lt K t Lt 2 K t Lt Qt Lt Ct K t t t t t t t b0 t 2 2 2 2 K t Lt 4 K t Lt t t t (3.1.14) 2 2 Qt Lt Ct K t K t Lt 2 K t Lt Qt K t Ct Lt t t t t t t b1 t 2 2 2 2 K t Lt 4 K t Lt t t t (3.1.15) По данным таблицы 5 приложения были вычислены эти коэффициенты. Подставляя их в (3.1.3), получим модель следующего вида: Qt iCt 1,026 i0,219 Kt iLt . (3.1.16) Эта модель может быть использована для многовариантных расчётов, в том числе для прогнозирования объёмов и затрат производства. Далее перейдём к рассмотрению другой, более сложного вида производственной функции – степенной функции комплексного переменного с вещественными коэффициентами. 90 3.2. Степенная производственная функция комплексных переменных с вещественными коэффициентами В экономике линейные зависимости, как известно, встречаются очень редко, и лишь в отдельных достаточно коротких промежутках времени. В подавляющем же большинстве случаев превалируют нелинейные зависимости, которые, так же действуют в относительно небольших промежутках времени, поскольку одна нелинейная тенденция сменяет другую через некоторый временной интервал, обусловленный инерционностью объекта, сохраняющего во время этого интервала данную тенденцию. Смена тенденций развития экономических процессов объясняется тем, что любой экономический объект эволюционирует, меняя свою структуру, состав элементов, взаимосвязи и взаимодействия с другими объектами. Любой производственный процесс, развиваясь в целом по сложной циклической траектории, в отдельные промежутки времени может быть описан разными производственных нелинейными функций моделями. существенно Модельный расширяют ряд комплексные переменные ресурсов и производственных результатов. Если обозначить комплексную переменную производственных ресурсов через R , а комплексную переменную результатов производства через Q , то в общем случае производственная функция комплексных переменных будет выглядеть так: Q f R. (3.2.1) Вид функции может быть самым разнообразным – от линейных, изученных в предыдущем параграфе, до нелинейных по параметрам сложных моделей типа кривых Гомперца. В целом теория функций комплексных переменных предоставляет исследователю множество возможных моделей, но из них в диссертации исследуются только 91 степенные функции комплексных переменных. В общем виде степенные производственные функции комплексных переменных можно записать так: Q aR b . (3.2.2) Здесь a и b - комплексные коэффициенты: o o a a0 ia1 , b b0 ib1 . (3.2.3) Рассмотрим самый простой из возможных случаев – случай, когда мнимые части комплексных коэффициентов (3.2.3) равны нулю, и функция (3.2.2) является степенной производственной функцией с действительными коэффициентами a и b. Введём следующие исходные переменные для их подстановки в производственную функцию. Производственные ресурсы, как и во второй главе, представим затратами трудовых ресурсов L и затратами капитальных ресурсов K и отобразим в виде одной комплексной переменной: R K iL . (3.2.4) Здесь трудовые ресурсы L неслучайно отнесены в мнимую часть комплексной переменной ресурсов. Если во второй главе при использовании производственной функции комплексного аргумента было безразлично, какой ресурс отнести к мнимой части, то в нелинейной функции комплексных переменных это принципиально, поскольку обусловлено свойствами самой функции, как это будет показано далее. Принципиально важно также отнесение показателей производственной деятельности в вещественную или мнимую части комплексной переменной производственных результатов. Запишем результат производства также в виде комплексной переменной следующего вида: 92 Q G iC . (3.2.5) Здесь C – издержки производства, а G – некоторый производственный результат, свойства которого нам откроются при изучении свойств предлагаемой функции. Очевидно, что все составляющие в (3.2.4) должны быть представлены в одних и тех же единицах измерения. С учётом всего этого, степенная модель производственной функции комплексных переменных будет иметь вид: G iC a K iL . b (3.2.6) Так как эта функция является нелинейной, удобнее работать с экспоненциальной формой записи комплексной переменной производственных ресурсов. С учётом этого (3.2.6) запишется так: G iC a Rb eib . (3.2.7) Здесь модуль комплексных ресурсов: R K 2 L2 , (3.2.8) а полярный угол θ равен арктангенсу соотношения ресурсов: L 2 k , k Z . K arctg (3.2.9) Не стоит забывать, что полярный угол комплексной переменной имеет периодичность 2 k , k Z . Однако в будущем мы будем опускать 2 k , k Z , считая периодичность как разумеющуюся. Из экономического смысла исходных переменных, очевидно, что случаи, когда K=0 или K<0 не существуют, так же, как не существуют случаи, когда L=0 или L<0. То есть, выполняется обязательное ограничение на диапазон изменения производственных ресурсов. L>0; K>0. (3.2.10) Таким образом, полярный угол θ всегда будет однозначно определяться по формуле (3.2.9). С учётом обозначений (3.2.8) и (3.2.9) модель степенной 93 производственной функции комплексных переменных имеет вид: G iC a K L 2 2 e b L ib arctg K . (3.2.11) Запишем эту же функцию в тригонометрической форме, которую также будем использовать далее: G iC a K 2 L2 cos b arctg KL i sin b arctg KL . b (3.2.12) Отсюда легко найти взаимосвязь между действительной частью комплексного производственного результата и исходными производственными ресурсами: Ga K L 2 2 cos b arctg KL . b (3.2.13) В силу свойств комплексного числа получим зависимость, вытекающую из условия равенства мнимых частей левой и правой части равенства (3.2.12): Ca K 2 L2 Полученные sin b arctg KL . b выше (3.2.14) зависимости позволяют провести модельные эксперименты с целью изучения свойств степенной производственной функции комплексных переменных на условных примерах, и определить смысл производственного результата G. Это исследование проводилось следующим образом. Задавались положительные значения коэффициентов a и b функции (3.2.6), а затем определённым образом менялись значения производственных ресурсов, что естественно влияло на производственный результат. Вначале мы предположили, что капитальные ресурсы остаются неизменными, а трудовые ресурсы меняются циклично в соответствии с синусоидальным законом, что в экономической практике встречается повсеместно, например, в сезонных производствах. В результате расчётов 94 выяснилось, что переменная G и переменная С также меняются периодично, совпадая по фазе с изменением трудовых ресурсов. При этом амплитуда колебаний результата G существенно ниже, чем амплитуда колебаний издержек производства С. Поведение издержек в зависимости от такого изменения производственных ресурсов вполне объяснимо – чем больше привлекаются трудовые ресурсы при постоянстве капитальных ресурсов, тем больше фонд оплаты труда и тем больше издержки производства. Отметим на будущее, что производственный результат G с ростом трудовых ресурсов растёт в меньшей степени, нежели издержки производства. Затем мы предположили обратную ситуацию, а именно, что трудовые ресурсы остаются неизменными, а циклично по синусоиде меняются капитальные ресурсы. В этом случае на этапе их роста растёт и переменная G, а издержки производства снижаются. На этапе уменьшения капитальных ресурсов переменная G также уменьшается, а издержки С возрастают. Эта особенность поведения модели (3.2.6) позволяет сделать вывод о том, что же представляет собой производственный результат G. Рост капитальных ресурсов в производстве означает автоматизацию и механизацию производства, внедрение инноваций, что, как известно, ведёт к снижению себестоимости, в том числе и за счёт повышения производительности труда. Эта зависимость описывается предложенной моделью и подтверждает правильность использования в мнимой части комплексного производственного результата показателя издержек производства С. Очевидно, что и снижение объёмов использования капитальных ресурсов при постоянстве трудовых ресурсов ведёт к снижению производительности труда, а, следовательно, к росту издержек производства С. Таким образом, видно, что зависимость издержек производства от капитальных и трудовых ресурсов моделируется степенной 95 производственной функцией комплексных переменных (3.2.6) адекватно происходящему в реальной экономической действительности. Какое же экономическое толкование имеет переменная G, которая при постоянстве капитальных ресурсов и росте затрат труда а, значит и росте объёмов производства, увеличивается, но в меньшей степени, чем издержки производства, а при постоянстве трудовых ресурсов и увеличении капитальных ресурсов растёт, в то время как издержки снижаются? Из всех экономических показателей подобным образом ведёт себя только один, а именно – валовая прибыль. Действительно, снижение издержек производства при постоянстве объёма выпуска товара ведёт к увеличению прибыли, поэтому моделируемое движение результата G в "противофазе" движению издержек С в точности соответствует реальной ситуации. Таким образом, можно сделать вывод о том, что модель (3.2.6), представляет собой производственную функцию, в которой валовая прибыль G и издержки производства С представлены в виде нелинейной зависимости от затрат капитальных К и трудовых L ресурсов. Следует отметить, что производственные функции, построенные с использованием только действительных переменных, не дают такого соответствия. Таким образом, обоснованность полученный и результат рациональность наглядно использования демонстрирует комплексных переменных в экономике, поскольку преимущества модели (3.2.6) перед её возможными аналогами в области действительных переменных очевидны. Итак, проведённые исследования показали, что комплексный производственный результат модели (3.2.6) в действительной части представляет валовую прибыль G, а в мнимой – издержки производства С. Интересно, что если перейти к абсолютным, а не относительным значениям показателей производства, то в предложенной модели валовый выпуск продукции определяется суммой действительной и мнимой частей комплексного выпуска Q=G+C, а тангенс угла наклона комплексной 96 переменной производственного результата представляет показатель рентабельности по себестоимости: ctgθ=G/C. В данной комплексной переменной ясными являются как её составляющие (мнимая и действительная части), так и смысл угла наклона. Неясным же остаётся экономический смысл модуля комплексного результата: S C 2 G2 . (3.2.15) Аналогов этому показателю в системе показателей эффективности производства нет, поэтому свойства этого нового показателя предстоит исследовать в дальнейшем. Пока что, исходя из экономической сути составляющих комплексного результата, можно только определить границы его изменения. Нижней границей показателя (3.2.15) выступает величина издержек производства. Действительно, валовая прибыль может принимать нулевые значения при ненулевых издержках, но нулевые значения издержек производства при ненулевой валовой прибыли невозможны. Поэтому в том случае, когда валовая прибыль равна нулю, модуль комплексного результата производства будет равен издержкам производства. При этом показатель (3.2.15) всегда будет меньше величины валового выпуска продукции. Таким образом, новый показатель результатов производства (3.2.15) меняется в следующих пределах: C S Q G C. Следовательно, в (3.2.16) первом приближении модуль S можно интерпретировать как масштаб производства. Теперь, зная экономическую суть каждой переменной производственной функции (3.2.6), им можно задать следующие ограничения: K>0, L>0, C>0. (3.2.17) Прибыль G может принимать любые значения, как отрицательные, так и положительные. Если G>0, то производство является прибыльным. Если G<0, то производство является убыточным. В случае, когда G=0, производство является самоокупаемым. Для случая убыточной работы (при 97 G<0) обязательно должно выполняться условие: G C , (3.2.18) поскольку убыток от выпуска продукции в общем случае не может превышать затраты на этот выпуск. Аналогично можно определить и пределы для (3.2.6). Как следует из формулы (3.2.14), коэффициент a не может быть отрицательным, так как тогда и C будет отрицательным, а это невозможно, поскольку затраты на производство не могут быть отрицательными (3.2.17). При a 0 , G и C будут равны нулю, но ситуаций, когда для производства привлекаются трудовые и капитальные ресурсы, а издержки при этом равны нулю, не существует. Значит, коэффициент a в данной модели должен быть положительным. Аналогично для показателя степени b имеем, что ситуация, для которой b 0 не имеет экономического смысла, поскольку отрицательность показателя степени означает, что возводимая в эту степень переменная находится в знаменателе и между ней и результатом будет обратная зависимость. Для нашей модели это означает, что чем меньше используемые капитальные и трудовые ресурсы, тем выше издержки производства, и наоборот, чем меньше используются ресурсы производства, тем выше его издержки, что является абсурдом. При b=0 из (3.2.12) получаем, что G a , а C 0 , то есть, издержки производства раны нулю. Однако, как уже было показано, издержки производства не могут быть равны нулю при затратах K и L, отличных от нуля. Это означает, что показатель степени также положителен, то есть: a>0, b>0. (3.2.19) Теперь можно уточнить, что модель степенной производственной функции комплексных переменных представляет собой основное уравнение (3.2.6) при ограничениях (3.2.17) – (3.2.19). Для того чтобы реализовать модель (3.2.6) на практике, необходимо показать, как находятся коэффициенты этой модели. Для этого представим 98 левую часть модели (3.2.6) в экспоненциальной форме. Тогда с учётом полученной ранее экспоненциальной формы модели степенной производственной функции комплексных переменных (3.2.11) получим: 2 G C e 2 i arg G iC a K L 2 2 e b L ib arctg K , (3.2.20) где arg G iC находится по условию (1.3.2). Из (3.2.20) легко найти искомые коэффициенты a и b модели. Модули комплексных переменных в (3.2.20) должны быть равны друг другу: G2 C 2 a K 2 L2 . b (3.2.21) Из него легко вывести формулу для вычисления показателя степени b производственной функции: b ln G 2 C 2 2ln a ln K 2 L2 . (3.2.22) Из равенства полярных углов комплексной переменной результата и комплексной переменной затрат производства в (3.2.20), в свою очередь следует другое равенство, позволяющее сразу же найти величину того же показателя степени: b arg G iC L . arctg K (3.2.23) Коэффициент a легко находится с помощью (3.2.22) и (3.2.23). Поскольку равны левые части указанных равенств, должны быть равны друг другу и их правые части. Тогда получим: 2 2 arg G iC ln G C 2 ln a , L ln K 2 L2 arctg K (3.2.25) откуда легко найти коэффициент пропорциональности a: 99 ln G 2 C 2 ln K 2 L2 arg G iC . 2 L 2 arctg K (3.2.26) ae Коэффициент a является простым действительным коэффициентом пропорциональности функции (3.2.6), хотя и находимым с учётом (3.2.26) не самым простым образом. С ростом этого коэффициента растут и прибыль, и издержки производства, а с уменьшением его значений соответственно уменьшаются значения валовой прибыли и издержек производства. Этим его свойства, интересные для изучения, и завершаются. Значительно более интересен для исследования показатель степени степенной b производственной функции комплексных переменных. Поэтому сконцентрируем своё внимание на изучении его свойств. Введём следующие обозначения полярных углов комплексных переменных, составляющих равенство (3.2.20): C G L K arcctg , arg G iC arctg arcctg . K L G C arctg (3.2.27) С учётом этого показатель степени b можно представить в другой форме: G arcctg C b , K arcctg L (3.2.28) Как известно, отношение валовой прибыли производства к его издержкам G называется рентабельностью продукции, а отношение C капитальных затрат к затратам труда K – капиталовооружённостью труда. L В том случае, когда в качестве показателя используемых в производстве капитальных ресурсов в производственной функции употребляется 100 величина фондов предприятия, то последнее отношение будет характеризовать фондовооружённость труда. Из этого можно определить экономический смысл показателя степени b степенной производственной функции комплексных переменных. Угол α является полярным углом комплексной переменной используемых производственных ресурсов (K+iL), а угол β – полярным углом комплексной переменной производственных результатов (G+iC). Тогда можно сказать, что коэффициент b характеризует некоторое соотношение между рентабельностью продукции и капиталовооружённостью труда. Причём, как следует из (3.2.28), чем больше капиталовооружённость, тем меньше угол α и тем больше коэффициент b ( K b ), а также: чем больше рентабельность, L тем меньше угол β и коэффициент b ( G b ). Соответственно, C чем ниже капиталовооружённость труда, тем меньше коэффициент b, чем меньше рентабельность, тем больше этот показатель степени. Значит, высокое значение показателя степени b отвечает условиям, при которых производство малорентабельно или имеет высокую капиталовооружённость. Малое значение этого показателя в определённой степени свидетельствует о высокой рентабельности производства или низкой капиталовооружённости труда. Понятно, что это толкование весьма условно, поскольку функция (3.2.28) является нелинейной относительно таких показателей как капиталовооружённость и рентабельность производства. Исследуем более тщательно соотношение между ростом показателя степени b и характеристиками производственной функции. Показатель степени b, как уже это было показано выше, положителен. При постоянстве отношения K L он достигает своего максимально 101 допустимого значения при отрицательной прибыли в точке (–G)=C. Это максимально допустимое значение показателя степени b легко найти из (3.2.23): b4 3 L . 4arctg K (3.2.29) Если b примет значение, большее b4, то получится, что G C , а это невозможно. Поэтому областью допустимых значений данного коэффициента с учётом (3.2.19) будет: 0 b b4 . (3.2.30) В этой допустимой области прибыль G вначале растёт с ростом значений показателя степени, достигая некоторого своего максимального значения, а затем снижается и уходит в область отрицательных значений. Значение b, при котором прибыль находится на границе между положительными её значениями и отрицательными, то есть G(b)=0, легко находится из (3.2.23): b2 L . 2arctg K (3.2.31) Найдём теперь экстремумы функций (3.2.13) и (3.2.14) по параметру b. Для этого, определив их частные производные по параметру b, и приравняв их нулю, решим полученные уравнения: 1. G a b K 2 L2 ln b L L L K 2 L2 cos b arctg arctg sin b arctg 0 K K K (3.2.32) 2. C a b K 2 L2 ln b L L L K 2 L2 sin b arctg arctg cos b arctg 0 K K K (3.2.33) Разделим левую и правую части (3.2.32) и (3.2.33) на a возможно сделать, так как множитель a K 2 L2 b K 2 L2 . Это b не равен нулю. 102 Теперь разделим обе части равенств (3.2.32) и (3.2.33) на L cos b arctg . Далее, проведя небольшую группировку, получим K следующие уравнения: L L 1. arctg tg b arctg ln K 2 L2 K K (3.2.34) L L arctg K K 2. ln K 2 L2 tg b arctg (3.2.35) Проведя ряд простых математических действий над уравнениями (3.2.34) и (3.2.35), получим точки-экстремумы для функции (3.2.13) и (3.2.14). Так функция валовой прибыли G(b) принимает свои экстремальные значения при: 2 2 ln K L arctg arctg L K b L arctg K n , nZ. (3.2.36) Функция же издержек производства C(b) принимает экстремальные значения при следующих условиях: L arctg K arctg ln K 2 L2 b L arctg K n , nZ. (3.2.37) Любопытно, что при n 0 , G(b) принимает максимальное значение в пределах допустимых её значений, а C(b) выходит за эти рамки. При n 1 G(b) выходит за рамки допустимых значений, C(b) же принимает максимальное значение на этом промежутке. При n 2 и G(b), и C(b) выходят за пределы (3.2.30). Таким образом, в точке: 103 2 2 ln K L arctg arctg L K b1 L arctg K , (3.2.38) функция G(b) принимает наибольшее значение. Функция C(b) же принимает наибольшее значение при другом значении переменной b, а именно при: L arctg K arctg ln K 2 L2 b3 L arctg K . (3.2.39) Таким образом, мы получили 4 переломных точки, после которых функция (3.2.6) начинает вести себя иначе: точку максимума прибыли b1, точку отсутствия прибыли b2, точку максимума затрат b3 и точку прекращения производства b4. Однако, часто при моделировании производственных процессов также требуется узнать, при каких условиях доход организации достигает своего максимума. Степенная производственная функция комплексной переменной позволяет провести и такие расчёты. Для этого, зная, что Q G C , используя (3.2.13) и (3.2.14), получим, что надо найти экстремумы функции: Q GC a Вынесем a (3.2.40) на K 2 L2 b K L 2 L cos b arctg a K 2 b K 2 L2 sin b arctg KL . (3.2.40) b за скобки и помножим правую часть равенства 2 . Смысл равенства (3.2.40) в таком случае не изменится. 2 104 Получим следующее равенство: Qa 2 2 K 2 L2 cos b arctg KL sin b arctg KL . b 2 . Внесём cos 4 4 2 Как известно, sin (3.2.41) 2 2 в скобки и представим его как синус и косинус соответствующего угла. Тогда равенство (3.2.41) преобразуется в следующее: Qa 2 K 2 L2 b L L sin cos b arctg cos sin b arctg K 4 K 4 (3.2.42) В правой части (3.2.42) видим формулу приведения sin , известную ещё из школьного курса алгебры. Используя эту формулу, придём к следующей, упрощённой формуле нахождения дохода Q: Qa 2 K L 2 2 b L sin b arctg . K 4 (3.2.43) Найти экстремумы функции (3.2.43) значительно легче, чем функции (3.2.40). Для этого вычислим производную функции (3.2.43) по b и приравняем её нулю. Решив полученное уравнение, найдём искомое значение точки b: L 2arctg K n arctg 2 2 ln K L 4 b L arctg K . Стоит отметить, что при n 0, значение Q(b) становится отрицательным, а b принимает значения, выходящие за рамки (3.2.30). При n 1 , Q(b) принимает максимальное значение в этих пределах, а при n 2 её значения опять становятся отрицательными, и b выходит за рамки (3.2.30). 105 Таким образом, при вычислении bQ, при котором доход становится максимальным, надо использовать значение n 1 . То есть, искомая точка находится по формуле: L 2arctg K 3 arctg 2 2 ln K L 4 . bQ L arctg K (3.2.44) Теперь можно дать интерпретацию поведения модели степенной производственной функции комплексных переменных в зависимости от значений, которые принимает показатель степени b этой функции. Для этого по модели степенной производственной функции комплексных переменных выполнены расчёты на условных примерах, с помощью которых удалось изучить зависимость изменения её параметров от изменения показателя степени в пределах (3.2.30). Зафиксировав величину комплексного ресурса, изменялись значения показателя степени b производственной функции, и оценивался комплексный производственный результат. Полученные результаты демонстрируют сложный нелинейный характер этой зависимости, по которой можно выделить следующие варианты производства, идентифицируемые по определенным в (3.2.29), (3.2.31), (3.2.38), (3.2.39) и (3.2.44) характерным значениям показателя степени b (по мере возрастания этого показателя): 1. b 0; b1 – производство эффективно, поскольку, несмотря на рост издержек производства C, растёт и прибыль G. Доход Q также растёт. 2. b b1 – точка оптимального производства, в которой прибыль G достигает наибольшего значения. В нашем примере это точка b1 0,529 . 106 3. b b1;1 – производство эффективно, но прибыль G снижается, а издержки C растут. Доход Q продолжает увеличиваться. 4. b 1 – точка, в которой K не влияет на C, а L не влияет на G, как видно из формулы (3.2.6), G aK , C aL . 5. b 1; bQ – прибыль G снижается, но доход организации всё ещё продолжает расти. 6. b bQ – точка максимума дохода организации. В нашем условном примере bQ 1,529 7. b bQ ; b2 – производство всё ещё эффективно, прибыль G уменьшается, а издержки продолжают расти. Доход Q уменьшается. 8. b b2 – точка бесприбыльного производства (известная в экономическом анализе как «критическая точка»). Здесь G 0 , доход Q равен издержкам C. В нашем примере b2 2 . 9. b b2 ; b3 – неэффективное производство. Прибыль отрицательна, но по модулю меньше издержек (то есть, товар приходится продавать по цене, ниже себестоимости), издержки C растут, доход Q уменьшается. 10. b b3 – точка максимального убытка. Это точка-экстремум, в которой издержки принимают наибольшее значение, прибыль отрицательная и по модулю меньше издержек. В нашем примере b3 2,529 . 11. b b3 ; b4 – производство крайне неэффективно. Издержки, прибыль и доход снижаются 12. b b4 – точка отсутствия дохода – точка прекращения производства, так как прибыль G по модулю равна издержкам C, а доход Q равен нулю. В нашем примере b4 3 . 107 На графике 1 приложения показано изменение функций Q(b), G(b) и C(b), а также отмечены все точки и зоны. Таким образом, по значениям показателя степени b можно судить о состоянии производственного процесса, то есть, производственная функция комплексной переменной (3.2.6) может использоваться в аналитических целях. Наличие точки оптимального функционирования (b1) позволяет получить уникальную характеристику предлагаемой степенной функции комплексных переменных, а именно – определить уровень эффективности производства. Ранее мы говорили, что существует зона, в которой производство является эффективным, то есть рентабельным. Но можно также определить уровень этой эффективности, как показатель того насколько приближается производство к оптимальному уровню. Показатель, отражающий этот уровень и логично вытекающий из всех предыдущих рассуждений может быть найден по: S 1 b b1 . b b1 (3.2.45) Как видно из этой формулы, коэффициент всегда положителен, и будет равен единице в том случае, когда значение показателя степени совпадает с величиной его оптимального значения, то есть, когда b=b1. В зоне эффективного производства 0;b1 , коэффициент S будет больше единицы. Чем дальше значение b от оптимального b1, тем меньшее значение принимает коэффициент S. Он будет близок к нулю в том случае, когда значение показателя степени будет существенно превышать его оптимальное значение b1. Следующий этап модельных исследований был связан с изучением влияния на производственный результат отдельных составляющих комплексной переменной ресурсов производства. При постоянном значении одного из ресурсов – трудового или капитального, мы меняли значения второго ресурса. Расчёты выполнялись 108 многократно с различными значениями показателя степени b производственной функции комплексных переменных. Так при увеличении затрат капитальных ресурсов K, растёт и валовая прибыль что G, вполне соответствует экономической сути производственных процессов. Соответствует также экономической сути производства и рост издержек производства C с ростом затрат капитальных ресурсов. Такая тенденция наблюдается на всём допустимом промежутке изменения показателя степени b, определяемом условием (3.2.30). При этом следует отметить удивительное совпадение этих выводов с реальными экономическими процессами: в нашей модели с ростом капитальных ресурсов возрастают издержки производства и значительно быстрее возрастает валовая прибыль. В реальных производственных процессах наблюдаются аналогичные зависимости – чем больше инвестиций в производство, тем более совершенной становится технология производства, и тем самым, выше производительность труда и оборудования, а, следовательно, выше валовая прибыль и рентабельность. Себестоимость уменьшается, но издержки в целом (с ростом объёмов производства) несколько возрастают. Таким образом, предложенная функция и в этой части зависимости обеспечивает совпадение с реальными производственными процессами. Другая исходная переменная, оказывающая влияние на производственный результат – это показатель затрат трудовых ресурсов L. Модельные эксперименты, проведённые при фиксированных значениях коэффициентов производственной функции и капитальных затрат и возрастающих затрат трудовых ресурсов показали следующее. Если показатель степени лежит в пределах b 0; b1 , валовая прибыль G растёт быстрее издержек C. Этот промежуток значений показателя степени производственной функции характеризует такой тип производства, при котором наблюдается рост производительности труда. Привлечение дополнительных трудовых ресурсов ведёт к росту рентабельности. 109 В том случае, когда показатель степени b лежит в следующем промежутке допустимых значений, а именно b b1;1 , издержки производства C растут быстрее валовой прибыли G. То есть, в данном случае производство остаётся прибыльным, но привлечение дополнительных трудовых ресурсов снижает эффективность производства, так как снижается не только рентабельность, но и производительность труда. Для производственных процессов, состояние которых характеризуется моделью производственной функции, при которой показатель степени превышает единицу b 1; b3 , с ростом трудовых затрат валовая прибыль G снижается, а издержки производства C растут. Последний промежуток возможных значений показателя степени производственной функции b b3 ; b4 , характеризуется следующим. Любое увеличение трудовых ресурсов L ведёт к резкому снижению валовой прибыли и резкому росту издержек производства. Эти две тенденции достаточно быстро приводят к ситуации «прекращения производства», то есть, когда C G . Таким образом, в предложенной модели наблюдается закономерность: при увеличении затрат K всегда растёт валовая прибыль производства G, а при увеличении L всегда растут издержки производства C. Это в точности соответствует реальным производственным ситуациям. При этом следует отметить, что если для линейных производственных функций комплексных переменных нет особой разницы в том, к какой части относить ту или иную экономическую переменную – к действительной или мнимой, то в степенной производственной функции комплексных переменных месторасположение всех исходных переменных – как ресурсов, так и производственных результатов менять нельзя. Если это допустить, модель потеряет всякий смысл. Следовательно, в степенной производственной функции комплексных переменных производственный результат должен 110 состоять из валовой прибыли (действительная часть комплексной переменной) и издержек производства (мнимая часть комплексной переменной), а производственные ресурсы должны состоять из капитальных ресурсов (действительная часть комплексной переменной) и трудовых ресурсов (мнимая часть комплексной переменной). Теоретические построения и выводы необходимо апробировать на примерах реальных хозяйствующих субъектов, иначе вопрос практической ценности полученных результатов останется открытым. По данным Диатомового комбината в г. Инзе, с которыми мы работали в предыдущей главе, с учётом предоставленных нам значений прибыли этого производства (таблица 8 приложения), была построена следующая модель степенной производственной функции комплексной переменной: Gt iCt 0,302( K t iLt )1,693 . (3.2.46) Здесь все исходные переменные были приведены к безразмерным величинам следующим образом. Валовую прибыль Gt f (руб/мес) по каждому наблюдению мы делили на значение издержек для первого наблюдении C0 , которая измеряется также, как и валовая прибыль – (руб/мес): Gt f Gt . C0 Издержки производства Ct f (руб/мес) мы также разделили на значение издержек для первого наблюдения C0 : Ct f Ct . C0 Таким образом, приведя все переменные к безразмерным величинам, мы сохранили отношение между ними. Такое приведение потребовалось для учёта в модели размера прибыли организации. Далее по каждому из показателей находились средние значения для всех наблюдений, а затем вычислялись значение параметра a по формуле (3.2.26), и значение 111 параметра b по формуле (3.2.23) (можно использовать и формулу (3.2.22)). Для того чтобы с помощью полученной функции охарактеризовать производственный процесс, дать его интерпретацию, были определены переломные точки данного производства, а именно – b1, b2, b3, b4 и bQ. Они оказались такими: b1= 0,685; b2= 1,718; b3= 2,403; b4= 2,577, bQ=1,544. Область, когда производство является оптимальным, соответствует значениям коэффициента b, лежащего в пределах от нуля до b1. Коэффициенты модели b (3.2.6), найденные по результатам производственной деятельности Диатомового комбината в результате интерпретации их значений, показывают что производство комбината эффективно, но не оптимально, поскольку показатель степени производственной функции комплексных переменных лежит в интервале: bQ=1,544 < b=1,693 < b2=1,718. Кроме того, используя формулу (3.2.45), можно рассчитать значение показателя эффективности производства: S 1 b b1 1,693 0,685 1 0,576 b b1 1,693 0,685 Полученное значение S говорит о том, что производство предприятия далеко от оптимального. При данных затратах капитала и труда и сложившейся производственной технологии предприятие могло бы получать большую прибыль и нести меньшие затраты. Модель (3.2.46) может быть использована руководством комбината для многовариантных расчётов: например, для расчёта объёма прибыли и издержек при различных количествах затрат на основные производственные фонды и персонал. Можно найти и такое сочетание исходных переменных, чтобы добиться равенства b=b1 и т.п. Это означает, что степенная производственная функция комплексных переменных в том случае, если она хорошо описывает производственный процесс, может использоваться в целях оптимизации производства, поскольку критерий 112 оптимизации любого рыночного производства – максимум валовой прибыли, соответствует в степенной производственной функции комплексных переменных критерию равенства фактического значения показателя степени b его оптимальному значению b1. Обоснование этой возможности и разработка процедуры такой оптимизации в данной работе не рассматриваются. Кроме того, используя более новые данные о работе этого предприятия (таблицы 9 и 10 приложения) можно рассчитать значения коэффициента b (по формуле (3.2.22) или (3.2.23)) для каждого наблюдения, а также рассчитать значения коэффициента эффективности (3.2.45). Мы получили значения, представленные в таблице 11 приложения. Расчёт коэффициентов показал, что эффективность работы предприятия с каждым кварталом увеличивается, но само предприятие при данной технологии производства могло бы работать эффективней. Таким образом, модель степенной производственной функции комплексных переменных показывает практическую применимость её на микроуровне. Получим подтверждение этого на другом примере – макроуровня. Воспользуемся для этого примером из экономики России. Для построения модели (3.2.6) были использованы статистические данные по промышленности России за 1998-2004 годы, приведённые в таблице 12 приложения. Непосредственно подставлять их в модель (3.2.6) нельзя. Во-первых, все они представлены в разных единицах измерения, следовательно, надо их привести к общей размерности или к безразмерным величинам; во-вторых, есть данные по объёму промышленной продукции и рентабельности, а нужны данные по валовой прибыли и издержкам производства. Тем не менее, по данным таблицы 12 легко восстановить эти необходимые значения, которые в таблице 13 приложения вновь представлены как безразмерные величины, приведенные к относительным величинам (к 1998 113 году). По ним выполнены расчёты коэффициентов модели степенной производственной функции комплексных переменных. Модель имеет следующий вид: G iC 0,00000003( K iL)10,06 . (3.2.47) Для расчёта параметров модели воспользовались тем же алгоритмом, что и при расчёте коэффициентов производственной функции для Диатомового комбината. Для того чтобы дать интерпретацию полученным значениям, вычислены ключевые точки функции на имеющихся данных: b1= 10,66; b2= 11,19; b3= 21,84; b4= 16,78; bQ=16,25. Показатель степени b, который найден для производственной функции, лежит в промежутке от нуля до b1: 0< b=10,06 < b1=10,66. Это свидетельствует о том, что функционирование промышленности России можно назвать эффективным ( b 0; b1 ). Этот пример вновь подтвердил приемлемость предложенной функции для целей моделирования производства на макроуровне. Рассчитаем уровень эффективности производственного процесса России так же, как мы это делали для Диатомового комбината. Он будет равен: S 1 что b b1 10,06 10,66 1 1,03 , b b1 10,06 10,66 свидетельствует об очень высоком уровне эффективности производства. Функция (3.2.6) обладает кроме всего прочего одним преимуществом по сравнению с производственными функциями действительных переменных – она позволяет вывести обратную функцию. Вообще, построение обратной функции – это вывод такой зависимости x F 1 y , при которой выполняется равенство y F x . Функцию вида K iL F 1 G iC будем называть обратной производственной функцией. Выведем её для функции (3.2.6). Для этого представим левую часть равенства (3.2.6) в 114 экспоненциальной форме: G 2 C 2 ei argGiC a K iL b Далее, проведя элементарные преобразования, получим: G C K iL a 2 Если теперь 2 1 b i arg G iC e b правую часть (3.2.48) равенства (3.2.48) представить в тригонометрической форме, то мы получим: G2 C 2 K iL a 1 b arg G iC arg G iC , i sin cos b b (3.2.49) а это равенство выполняется лишь при равенстве соответствующих действительных и мнимых частей комплексных чисел: G2 C 2 K a G C L a 2 2 1 b arg G iC , cos b (3.2.50) 1 b arg G iC . sin b (3.2.51) Формулы (3.2.50) и (3.2.51) позволяют узнать, какими должны быть затраты труда и основных производственных фондов для достижения требуемых прибыли и издержек производства (при сохранении технологии производства). То есть, используя эти формулы, можно проводить многовариантные расчёты с целью планирования. Однако, помня, что по условию K 0 и L 0 , не стоит забывать об ограничениях для (3.2.50) и (3.2.51), которые могут быть выражены: arg G iC arg G iC cos 0 sin и 0 b b 115 Это ограничение выполняется только тогда, когда 0 arg G iC . b 2 Другими словами, формулы (3.2.50) и (3.2.51) применимы только для таких G и C, что выполняется условие: 0 arg G iC b 2 . 116 3.3. Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами Модель (3.2.6), обладающая, как было показано выше, удивительными качествами, моделирующими свойства реальных производств, является одной из самых простых в классе степенных производственных функций комплексных переменных. Наиболее же общей, в классе возможных степенных производственных функций комплексных переменных, является функция следующего вида: b0 ib1 G iC a0 ia1 K iL . (3.3.1) Это степенная производственная функция комплексных переменных с комплексным коэффициентом пропорциональности a a0 ia1 . (3.3.2) и комплексным показателем степени. b b0 ib1 . (3.3.3) Из этой общей функции можно выделить следующие разновидности: 1) Коэффициент пропорциональности, и показатель степени являются действительными числами, то есть, мнимые части коэффициентов равны нулю: G iC a K iL , b (3.3.4) а она – изученная ранее в данной главе функция (3.2.6). 2) Коэффициент пропорциональности и показатель степени являются мнимыми числами, то есть, действительные части коэффициентов равны нулю: G iC ia1 K iL 1 . ib (3.3.5) 3) Показатель степени является действительным числом, а коэффициент пропорциональности – комплексным: G iC a0 ia1 K iL 0 . b (3.3.6) 117 Частный случай этой функции при b=1 был изучен в параграфе 3.1 диссертации, поскольку в этом случае функция (3.3.6) становится той самой простой линейной производственной функцией с комплексными переменными, которая рассматривалась там. 4) Показатель степени является комплексным числом, а коэффициент пропорциональности действительным числом: b0 ib1 G iC a0 K iL . (3.3.7) 5) Показатель степени является мнимым числом, а коэффициент пропорциональности комплексным числом: G iC a0 ia1 K iL 1 . ib (3.3.8) 6) Показатель степени является комплексным числом, а коэффициент пропорциональности – мнимым числом b0 ib1 G iC ia1 K iL Изучение всех шести . (3.3.9) видов степенной функции комплексных переменных не входит в задачу нашего исследования, поскольку по каждой из моделей мы получим результаты, которые необходимо будет описать для каждой из моделей в отдельной главе. Это задача будущих научных исследований в этом направлении. Моделируемые производственные процессы многообразны, можно предполагать, что в разных случаях наилучшим способом аппроксимировать эти процессы может одна из приведённых выше семи функций (мы пока не рассматриваем другие модели производственных функций, придерживаясь, по возможности, аналогии с производственными функциями вещественных переменных). В этой связи возникает вопрос: как в каждом конкретном случае выбрать из указанного многообразия производственных функций одну, наилучшую? Для этого мы рекомендуем следующую процедуру оценки коэффициентов модели. С помощью МНК находятся параметры общей степенной функции с комплексным коэффициентом пропорциональности и комплексным 118 показателем степени (3.3.1). Исходя из того, чему равны найденные с помощью МНК коэффициенты a0, a1, b0 и b1, исследователь может выбирать, какую производственную функцию ему использовать при моделировании. Например, если b1 0 и a1 0 , то стоит использовать рассмотренную в предыдущем параграфе степенную производственную функцию комплексного переменного с вещественными коэффициентами: G iC a0 K iL 0 . b Если значения коэффициентов степени близки к нулю, стоит использовать простую линейную функцию комплексных переменных, свойства которой были исследованы в первом параграфе третьей главы: Q iC a0 ia1 K iL . Если данных о второй составляющей комплексного результата нет, то предполагается, что C 0 и с помощью того же МНК могут быть найдены коэффициенты рассмотренных ранее производственных функций комплексного аргумента. В этой процедуре принципиально важно использовать метод оценки параметров производственной функции комплексных переменных с комплексными коэффициентами для того, чтобы по найденным значениям коэффициентов принять решение о том, какая из функций является наиболее приемлемой. Таким методом выступает метод наименьших квадратов (МНК), который мы уже использовали в предыдущей главе для оценки параметров различных моделей производственных функций. В частности, были выведены формулы для нахождения коэффициентов производственной функции комплексного аргумента (2.2.9), которая, напомним, выглядит практически так же, как и функция (3.3.1), а именно: b0 ib1 Q = a0 +ia1 K +iL Для облегчения процедуры вывода формул оценивания параметров модели (2.2.9), мы вводили упрощения (2.3.4), благодаря которым функция (2.2.9) принимала вид: 119 Q axb (3.3.10) Введём подобное упрощение и для функции (3.3.1): a0 ia1 a , b0 ib1 b , K iL x , G iC y . Тогда функция (3.3.1) будет преобразована в следующую: y ax b (3.3.11) Как видно, функция (3.3.11) внешне практически не отличается от функции (3.3.10), а значит и процедура вывода формул для нахождения её параметров будет такой же, как и для нахождения параметров модели (3.3.10). Этот алгоритм подробно рассмотрен в третьем параграфе второй главы. Таким образом, можно сразу привести конечные формулы для нахождения коэффициентов модели (3.3.1). Комплексный показатель степени следует вычислять по такой формуле: b0 ib1 m ln K t iLt ln Gt iCt ln Gt iCt ln K t iLt t t K m ln t 2 t iLt t ln K t iLt t 2 . (3.3.12) Для того чтобы найти значение комплексного коэффициента пропорциональности производственной функции (3.3.1), надо подставить значение показателя степени (b0+ib1) в следующее выражение: ln Gt iCt (b0 ib1 ) ln Kt iLt a0 ia1 e t t m . (3.3.13) Итак, для оценки параметров модели (3.3.1) стоит пользоваться формулами (3.3.12) и (3.3.13). Процедура выбора наилучшего вида аппроксимирующей степенной производственной функции комплексных переменных (3.3.1), (3.3.4) – (3.3.9) является легко реализуемой с учётом формул для расчёта комплексных коэффициентов с помощью МНК. Продемонстрируем возможность применения предложенных расчётных формул МНК на 120 конкретных примерах, использовавшихся ранее. По имеющимся статистическим данным (Таблица 8 приложения) построим степенную производственную функцию с комплексными коэффициентами для Диатомового комбината. Расчёты, выполненные по формулам (3.3.12) и (3.3.13) придают ей следующий вид: G iC 0,091 i0,436 K iL 0,457i 0,355 Здесь действительной . составляющей комплексного коэффициента пропорциональности можно пренебречь и использовать упрощённую модель (3.3.9). По имеющимся статистическим данным по промышленному производству России (таблица 13 приложения) МНК позволил получить модель такого вида: G iC 0,824 i0,547 K iL 0,931i 0,382 Эта модель достаточно хорошо аппроксимирует реальные данные – средняя ошибка аппроксимации производственного результата составила 10,82%. Таким образом, расчеты по статистическим данным, проведённые в соответствии с предложенными подходами подтверждают возможность использования степенных производственных функций с любыми коэффициентами – комплексными или действительными, - для целей прогнозирования, в том числе и многовариантного. Особый интерес представляют свойства самой степенной производственной функции комплексных переменных с комплексными переменными. Рассмотрим их. Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными параметрами исследованных ранее (3.3.1) значительно производственных функций сложнее всех комплексного переменного. Фактически все предыдущие функции – её частные случаи. Для того чтобы более детально исследовать данную функцию надо в 121 (3.3.1) определить функции: G f K, L , C g K , L . Для этого в формуле (3.3.1) комплексную переменную нужно представить в виде: e b0 ib1 ln K iL K iL b0 ib1 . Теперь, если раскрыть скобки в показателе степени, то формула (3.3.1) примет вид: G iC a0 ia1 eb0 ln K iL ib1 ln K iL (3.3.14) Сумму произведений в показателе в правой части (3.3.14), можно преобразовать, используя формулу (1.3.8). Тогда получим: G iC a0 ia1 eb0 ln L K 2 L2 ib0 arctg ib1 ln K L K 2 L2 b1 arctg K (3.3.15) Эту же формулу можно представить иначе, если сгруппировать действительную и мнимую части показателя степени: G iC a0 ia1 eb0 ln L L K 2 L2 b1 arctg i b0 arctg b1 ln K K e K 2 L2 (3.3.16) После таких преобразований, мы получили формулу, в правой части которой перемножаются комплексное число a0 ia1 , представленное в алгебраической форме записи с комплексным числом Rei , представленным в экспоненциальной форме: G iC a0 ia1 Rei , (3.3.17) где: R eb0 ln L K 2 L2 b1 arctg K L b1 ln K b0 arctg , (3.3.18) K 2 L2 . (3.3.19) Теперь, если представить Rei в тригонометрической форме записи комплексного числа и раскрыть скобки в (3.3.17), то после группировки действительной и мнимой частей, получим: 122 G iC R a0 cos a1 sin i a0 sin a1 cos . (3.3.20) В уравнении (3.3.20) левая часть равна правой только при равенстве в нём действительных и мнимых частей, то есть, когда выполняются равенства: G R a0 cos a1 sin , (3.3.21) C R a0 sin a1 cos . (3.3.22) Таким образом, для вычисления прибыли G и издержек производства C исследователю достаточно воспользоваться формулами (3.3.21) и (3.3.22), с учётом (3.3.18) и (3.3.19). Однако, если на практике требуется провести расчёты объёмов производства, а не прибыли и издержек, то можно, помня, что Q C G , вывести формулу нахождения дохода организации для данной производственной функции. Тогда, складывая (3.3.21) и (3.3.22), получим: Q G C R a0 cos a1 sin R a0 sin a1 cos , или, что то же самое: Q R a0 a1 sin a0 a1 cos , (3.3.23) где R и φ находятся по формулам (3.3.18) и (3.3.19). Приведённые формулы позволяют не только моделировать процессы производства, но и планировать объёмы выпуска и получаемые затраты при разных сочетаниях ресурсов при определённой технологии производства. В исследовании производственных процессов и планировании производства иногда стоят более сложные задачи: например, оценить, насколько эффективно производство, выяснить каким образом можно получить тот или иной объём производства, как сократить затраты на производстве и каким образом можно получить наибольшую прибыль. Мы предлагаем подойти к решению этих проблем с двух сторон: 123 1. Вывод обратной производственной функции, позволяющей моделировать зависимость затрат ресурсов от заданных прибыли и издержек. 2. Исследование свойств коэффициентов функции (3.3.1), по которым можно судить о сути протекающих на производстве процессов. Для начала попробуем вывести обратную производственную функцию. Вообще, построение обратной функции – это вывод такой зависимости x F 1 y , при которой выполняется равенство y F x . То есть, применительно к производственной функции комплексной переменной, надо вывести такую функцию K iL F 1 G iC , чтобы выполнялось равенство (3.3.1). Для вывода такой обратной функции в формуле (3.3.1) прологарифмируем левую и правую части: ln G iC ln a0 ia1 b0 ib1 ln K iL . (3.3.24) Откуда получим: ln K iL ln G iC ln a0 ia1 b0 ib1 . (3.3.25) Логарифм комплексного числа может быть преобразован по формуле (3.3.12), с помощью которой преобразуем числитель (3.3.25). После этого, умножив числитель и знаменатель дроби в правой части равенства на сопряжённое комплексное число в знаменателе, получим: ln ln K iL G 2 C 2 i arg G iC ln a02 a12 i arg a0 ia1 b0 ib1 b02 b12 . (3.3.26) Напомним, что аргументы комплексных чисел находятся по формуле (1.3.8). В нашем случае эти формулы преобразуются в: arg G iC arctg C , при G 0 ; G 124 arg G iC arctg C , когда G 0 G arg a0 ia1 arctg arg a0 ia1 arctg a1 , при a0 0 ; a0 a1 , когда a0 0 a0 Раскрыв скобки в числителе правой части равенства, сгруппировав действительную и мнимую части, а затем, проэкспонировав обе части равенства, получим: K iL e b0 ln G 2 C 2 ln a02 a12 b1 arg G iC arg a0 ia1 b02 b12 e b0 arg G iC arg a0 ia1 b1 ln b02 b12 G C ln 2 2 a02 a12 (3.3.27) В этой формуле комплексное число K iL Pei представлено в экспоненциальной форме, где модуль числа P и угол β находятся по формулам: Pe b0 ln G 2 C 2 ln a02 a12 b1 arg G iC arg a0 ia1 , 2 b0 b12 b0 arg G iC arg a0 ia1 b1 ln 2 b0 b12 G 2 C 2 ln a02 a12 . Представив Pei в тригонометрической форме, получим: K iL P cos iP sin , где равенство выполняется только при равенстве соответствующих действительных и мнимых частей: K P cos , (3.3.28) L P sin . (3.3.29) Формулы (3.3.28) и (3.3.29) позволяют оценить, какими должны быть затраты труда и основных производственных фондов для достижения требуемых прибыли и издержек производства (при сохранении технологии производства). Фактически, функции (3.3.28) и (3.3.29) являются 125 одновременно использования изоквантами первого (кривыми, и второго показывающими типа ресурсов комбинации для выпуска определённого количества товара) и своеобразными изоклиналями (линий на плоскости ресурсов, точки которых характеризуют один и тот же способ производства при разных объёмах производства). Перейдём теперь к исследованию свойств коэффициентов производственной функции (3.3.1). Формулу для нахождения комплексного показателя степени b0 ib1 можно вывести, прологарифмировав левую и правую части уравнения производственной функции так, как это было сделано ранее в (3.3.24). Тогда этот комплексный коэффициент будет находиться по формуле: b0 ib1 ln G iC ln a0 ia1 ln K iL . Используя формулу логарифма комплексного числа (3.3.12), преобразуем полученное равенство в следующее: b0 ib1 ln G 2 C 2 i arg G iC ln ln a02 a12 i arg a0 ia1 . L K L i arctg K 2 2 После умножения дроби в правой части равенства на сопряжённое знаменателю комплексное число, получим: ln b ib 0 1 a a i arg a ia ln L ln K L arctg K G 2 C 2 i arg G iC ln 2 2 0 2 1 2 0 2 1 L K 2 L2 i arctg K 2 Открывая скобки и группируя отдельно действительную и мнимую части полученной комплексной переменной, получим коэффициенты степени b0 и b1 в следующем виде: 126 ln b0 K 2 L2 ln a a arctg KL arg G iC arg a ia L ln K L arctg K G 2 C 2 ln 2 2 0 2 1 2 2 0 1 2 (3.3.30) ln b1 L K 2 L2 arg G iC arg a0 ia1 arctg ln K L ln 2 K 2 L2 arctg 2 K G 2 C 2 ln a02 a12 (3.3.31) Найдём теперь коэффициенты пропорциональности a0 и a1. Для этого представим левую и правую части производственной функции (3.3.1) в экспоненциальной форме: Yei Aei Rei , (3.3.32) где Y G 2 C 2 , R eb0 ln L K 2 L2 b1 arctg K, L b1 ln K arg G iC , b0 arctg A a02 a12 - модули, а K 2 L2 , arg a0 ia1 - полярные углы комплексных переменных: G iC , K iL b0 ib1 и a0 ia1 . Равенство (3.3.32) выполняется только при равенстве модулей и полярных углов в левой и правой его частях. То есть: L 2 2 2 2 b0 ln K 2 L2 b1 arctg G C a a K 0 1 e L arg G iC arg a0 ia1 b0 arctg b1 ln K K L 2 2 (3.3.33) Решая эту систему уравнений, получим значения коэффициентов a0 и a1: L G 2 C 2 cos arg G iC b0 arctg b1 ln K a0 L 2 2 e b0 ln K 2 L2 , (3.3.34) K L b1 arctg K 127 L G 2 C 2 sin arg G iC b0 arctg b1 ln K a1 L 2 2 e b0 ln K 2 L2 . (3.3.35) K L b1 arctg K Из (3.3.30), (3.3.31), (3.3.34) и (3.3.35) можно составить систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, решая которую можно найти значения всех параметров производственной функции. Ввиду сложности уравнений, решить систему можно, только применяя численные методы. Как видно, несмотря на сложность расчётов, коэффициенты производственной функции (3.3.1) могут быть найдены даже при одном наблюдении. Они могут быть найдены также и методом наименьших квадратов с помощью формул (3.3.17) и (3.3.20), но в таком случае требуется как минимум два наблюдения. Найдём теперь границы допустимых значений коэффициентов производственной функции. Из формулы (3.3.1) видно, что комплексный коэффициент показателя b0 ib1 и комплексный коэффициент пропорциональности степени a0 ia1 , не могут быть равны нулю, так как при этом получается, что прибыль и издержки производства не зависят от затрат на него, что абсурдно. Возможны ситуации, при которых коэффициенты производственной функции (3.3.1) принимают отрицательные значения. Для того чтобы определить допустимые границы изменения коэффициентов функции, надо уточнить, какие значения выходных переменных имеют экономический смысл. Так C не может принимать отрицательные значения, а прибыль G может быть отрицательной, однако не должна быть меньше C , так как в противном случае доход предприятия Q C G будет отрицательным, что не приемлемо. Значит, коэффициенты производственной функции должны быть такими, чтобы выполнялось условие: C 0 C G (3.3.36) 128 В комплексной области для переменной G iC это означает выполнение условия: G 2 k arctg 2 k , k Z , G (3.3.37) C 2 k - полярный угол комплексной переменной G где arctg G iC . При этом, в случае, когда C G , угол 3 G 2 k . 2 k arctg 1 2 k G 4 arctg Таким образом, полярный угол комплексной переменной может изменяться в пределах: 2 k 3 2 k , k Z 4 (3.3.38) Используя это ограничение, можно составить систему неравенств: L arg a ia b arctg 0 1 0 b1 ln K arg a ia b arctg L b ln 0 1 0 1 K , 3 L 2 k 4 K 2 L2 2 k K2 k Z 2 (3.3.39) Эта система неравенств позволяет найти границы изменения одного какого-либо коэффициента, в зависимости от значений остальных. Она имеет решение, например, если, подставить в неё значения a0, a1, b1, вычисленные по формулам (3.3.34), (3.3.35) и (3.3.31). В таком случае допустимые границы изменения коэффициента b0 будут: 3 arg a0 ia1 b1 ln K 2 L2 2 k arg a0 ia1 b1 ln K 2 L2 2 k b0 4 , L L arctg arctg K K k Z (3.3.40) Для коэффициента b1, при заданных a0, a1, b0, границы изменения будут лежать в пределах: 129 3 L L arg a0 ia1 b0 arctg 2 k arg a0 ia1 b0 arctg 2 k 4 , K K b1 2 2 2 2 ln K L ln K L k Z (3.3.41) Как видно из (3.3.40) и (3.3.41), границы изменения коэффициентов b0 и b1 с увеличением L сужаются. С увеличением K, границы изменений коэффициента b1 также сужаются, однако границы изменений коэффициента b0 расширяются. Границы не меняются, при изменении каких-либо других параметров, однако границы изменения G, C и Q расширяются с увеличением k. Исследования на условных примерах (график 2 приложения) показали, что интереснее всего функция (3.3.1) ведёт себя при фиксированных значениях K, L, a0, a1, b1 и изменении коэффициента b0 во времени с неким постоянным шагом. В таких исследованиях, конечно же, нужно учитывать найденные границы (3.3.40), в которых функция (3.3.1) ведёт себя аналогично исследованной в предыдущем параграфе функции с действительными коэффициентами (3.2.6). Поведение степенной производственной функции комплексных переменных с комплексными коэффициентами при фиксированных значениях K, L, a0, a1, b0 и изменении коэффициента b1 во времени с постоянным , можно охарактеризовать как более спокойное: при увеличении b1, издержки С возрастают, достигают своего максимума, а затем начинают убывать (график 3 приложения). Прибыль G на всём промежутке (3.3.41) убывает. Также весьма интересно поведение функции (3.3.1) при некоторых фиксированных значениях коэффициентов и линейном изменении затрат ресурсов K и L (либо одного из них, либо обоих). В таком случае значения G и C могут изменяться циклически либо колебаться. Получается, что производственная функция (3.3.1) позволяет моделировать сложные колебательные производственные процессы. Пример такого поведения 130 функции представлен на графике 4 приложения. 131 3.4. Прогнозирование и анализ производства с помощью производственных функций комплексных переменных на примере Диатомового комбината Как было показано в первой главе, с помощью производственных функций можно решать задачи прогнозирования и выполнять анализ работы предприятия. В случае с производственной функцией КоббаДугласа, находят значение коэффициента α методом наименьших квадратов по ряду данных, а далее, по этому значению делают выводы о том, какой характер имеет производственный процесс, дают рекомендации о его совершенствовании и прогнозируют, каким может быть объём продукции при сохранении технологии производства. В частности, исследователи часто дают экономическую интерпретацию показателям степени в производственной функции Кобба-Дугласа, однако делать это нужно очень осторожно, так как коэффициенты находятся не для каждого наблюдения, а для ряда данных. Так экономисты говорят, что если α>0,5, то процесс производства фондоинтенсивный. Если же он меньше 0,5, то говорят, что наблюдается трудоинтенсивный процесс производства. Однако параметры модели зависят лишь от критериев оценки, и полученные результаты субъективны. Оценивая показатели степени по данным, взятым в разных временных интервалах, можно получить противоречащие друг другу выводы – что производственный процесс одновременно трудоинтенсивен и фондоинтенсивен [63, 76]. Ниже на реальном примере мы покажем, что давать интерпретацию показателям степени, найденным по ряду данных, не совсем корректно. Построим все рассмотренные в диссертации производственные функции для Диатомового комбината по данным таблицы 9 приложения, проанализируем по этим функциям работу предприятия и выработаем общие рекомендации по совершенствованию производственных процессов. Также для каждой производственной функции будем рассчитывать значения средней ошибки аппроксимации [96, 107], чтоб иметь 132 представление о том, насколько хорошо она описывает имеющийся ряд данных, по следующей формуле: Qt Qt 100% , t 1 n A Q 2 (3.4.1) n где Q – среднее фактическое значение объёма выпуска, рассчитанное по всему рассматриваемому ряду данных, Qt – фактическое значение объёма выпуска для наблюдения t, Qt – расчётное значение объёма выпуска для наблюдения t, n – количество наблюдений. Начнём с производственной функции Кобба-Дугласа. Для всего ряда данных, с 1 квартала 2004 года по 2 квартал 2007 года, у нас получилась следующая производственная функция: Q 1, 407 K 0,457 L0,543 (3.4.2) Она хорошо описывает динамику производства, средняя ошибка аппроксимации получилась равной 14,8%. Так как коэффициент 0, 457 , то можно сделать вывод о том, что производственный процесс трудоинтенсивен. Далее для ряда наблюдений с 1 квартала 2006 по 2 квартал 2007 года производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид: Q 1,309 K 0,587 L0,413 (3.4.3) Средняя ошибка аппроксимации для этой функции ещё меньше – A=6,0%. Однако, как видно, коэффициент 0,587 , а это означает, что процесс производства в этот период был фондоинтенсивным. Производственная функция Кобба-Дугласа для ряда наблюдений с 1 квартала 2006 года по 4 квартал 2006 года получилась такой: Q 1, 475 K 0,197 L0,803 (3.4.4) Средняя ошибка аппроксимации для этой производственной функции составила 5,3%. Что интересно, коэффициент α получился равным 0,197, 133 что, в соответствии с теорией производственных функций, должно означать, что процесс производства опять трудоинтенсивен. Последнюю производственную функцию Кобба-Дугласа построим для ряда из трёх наблюдений: с 4 квартала 2006 по 2 квартал 2007 года. Эта функция выглядит следующим образом: Q 0,569 K 2,355 L1,355 (3.4.5) Средняя ошибка аппроксимации получилась ещё меньше, чем для предыдущих производственных функций и получилась равной 4,8%. Но коэффициент 2,355 , то есть он выходит за границы (1.2.19), определённые во втором параграфе первой главы – он больше единицы. В теории производственных функций такое значение коэффициента вообще не имеет смысла. Анализируя проведённые расчёты по производственной функции КоббаДугласа, можно сделать вывод о том, что процесс производства на Диатомовом комбинате одновременно трудоинтенсивен и капиталоинтенсивен, а для последних 3 наблюдений его характер вообще невозможно определить, что абсурдно. Получается, что давать интерпретацию коэффициентам производственной функции, найденным по ряду наблюдений действительно неправильно. Однако это не означает, что производственной функцией Кобба-Дугласа нельзя пользоваться – все полученные функции хорошо описывают динамику производства и позволяют сделать прогноз того, каким будет объём выпуска при разных значениях K и L. Рассмотрим в качестве примера 8 различных возможных вариантов принятия решения предприятием: 1. Увеличить стоимость основных производственных фондов до 100000 тыс. руб., сохраняя численность персонала неизменной. 2. Нанять сотрудников, чтоб численность персонала составила 620 человек, не делая инвестиций в основные производственные фонды. 134 3. Увеличить стоимость основных производственных фондов до 100000 тыс. руб., увеличив численность персонала до 620 человек. 4. Уменьшить стоимость основных производственных фондов до 95000 тыс. руб., не меняя численность персонала. 5. Уволить нескольких сотрудников, доведя численность персонала до 606 человек, не меняя при этом стоимость основных производственных фондов. 6. Уменьшить стоимость основных производственных фондов до 95000 тыс. руб. и уменьшить численность персонала до 606 человек. 7. Увеличить стоимость основных производственных фондов до 100000 тыс. руб., а численность персонала сократить до 606 человек. 8. Увеличить численность персонала до 620 человек и уменьшить стоимость основных производственных фондов до 95000 тыс. руб. Для сравнения также приведём значения объёма производства для последнего наблюдения (то есть, фактически, для ситуации, когда K=const и L=const). Значения объёма выпуска соответствующих производственных функций для этих 9 ситуаций приведены в таблице ниже. В ней подчёркнуты максимальные значения объёма производства для каждой производственной функции: Значения K и L Производственная функция Кобба-Дугласа (3.4.2) (3.4.3) (3.4.4) (3.4.5) K=const, L=const 46909,13 46480,6 43356,52 47428,63 K=100000, L=const 47500,79 47234,63 43590,87 50590,95 K=const, L=620 47199,12 46699,05 43753,81 46704,69 K=100000, L=620 47794,43 47456,63 43990,31 49818,74 K=95000, L=const 46399,71 45833,52 43153,38 44835,25 K=const, L=606 46617,63 46260,68 42958,33 48172,31 135 K=95000, L=606 46111,37 45616,66 42757,06 45538,26 K=100000, L=606 47205,6 47011,14 43190,53 51384,21 K=95000, L=620 46686,55 46048,93 43548,81 44150,89 Общие рекомендации для Диатомового комбината, которые можно сделать по производственной функции Кобба-Дугласа, сводятся к тому, чтобы предприятие увеличивало инвестиции в основные производственные фонды. Если не учитывать производственную функцию (3.4.5), которая выходит за пределы определения функции (α>1), то также можно рекомендовать предприятию увеличить численность персонала – так Диатомовый комбинат сможет значительно увеличить объём выпуска. Также, если не учитывать производственную функцию (3.4.5), то сокращать численность персонала не рекомендуется, так как это приведёт к уменьшению объёма производства. Перейдём теперь к построению производственных функций, изученных во второй и третьей главах. Начнём с самой простой – производственной функции комплексного аргумента (2.1.1). Коэффициенты этой функции могут быть найдены для каждого наблюдения, поэтому им можно дать экономическую интерпретацию, которая будет соответствовать действительности. По формулам (2.1.6) были найдены коэффициенты функции (2.1.1), их значения представлены в следующей таблице: t a0 a1 1кв. 2004 0,500 0,500 2кв. 2004 0,979 0,922 3кв. 2004 0,796 0,774 4кв. 2004 0,834 0,751 1кв. 2005 0,610 0,543 2кв. 2005 0,704 0,556 3кв. 2005 0,744 0,624 136 4кв. 2005 0,944 0,734 1кв. 2006 0,710 0,555 2кв. 2006 0,796 0,585 3кв. 2006 0,777 0,545 4кв. 2006 0,700 0,460 1кв. 2007 0,750 0,462 2кв. 2007 0,839 0,518 Для наглядности, рассмотрим динамику коэффициентов на плоскости так, как мы это делали в первом параграфе второй главы – по оси абсцисс откладываем значения коэффициента a0, по оси ординат – коэффициента a1, началом координат задаём точку (0,5;0,5) (см рисунок 3.1). Как видно из рисунка, вначале значение коэффициента a1 резко увеличилось, но затем стало уменьшаться и даже стало меньше 0,5. При этом значения коэффициента a0 не имеют тенденции к увеличению либо уменьшению – они колеблются относительно 0,75. Это, в соответствии с информацией из таблицы 1 приложения, говорит о том, что производственный процесс вначале был сбалансирован, но со временем он стал более капиталоинтенсивным, производительность труда возросла. Построим производственную функцию комплексного аргумента для последнего наблюдения. Она будет иметь вид: Q 0,839 i0,518 K iL . (3.4.6) Рассчитывать среднюю ошибку аппроксимации для функции (3.4.6) не имеет смысла, так как для всего ряда наблюдений она будет достаточно высока (модель учитывает только значение переменных на одном наблюдении), а для последнего наблюдения она, естественно, будет равна нулю. 137 1 a1 0,75 a0 0,5 0 0,25 0,5 0,75 1 0,25 0 Рис. 3.1. Изменения значений коэффициентов производственной функции (2.1.1), построенной для Диатомового комбината. Найдём теперь значения коэффициентов a0 и a1 методом наименьших квадратов для всего ряда наблюдений. Для этого воспользуемся соответствующими формулами из второго параграфа второй главы. Получим следующую линейную производственную функцию комплексного аргумента: Q 0,768 i0,581 K iL (3.4.7) Средняя ошибка аппроксимации для функции (3.4.7) составила 15,2%, что всего лишь на 0,4% больше, нежели для производственной функции Кобба-Дугласа (3.4.2). Можно с уверенностью сказать, что увеличение инвестиций в основные производственные фонды приведёт к большему росту объёма производства, нежели при увеличении числа занятых в производстве. Рассмотрим теперь более сложную производственную функцию комплексного аргумента – степенную с действительными коэффициентами (2.2.1), исследованную во втором параграфе второй главы. В этой функции больший интерес для нас представляет показатель степени b. Найдём его 138 значения для каждого наблюдения по данным Диатомового комбината. Значения коэффициента представлены в следующей таблице: t b 1кв. 2004 8,000 2кв. 2004 8,318 3кв. 2004 8,146 4кв. 2004 8,568 1кв. 2005 8,639 2кв. 2005 9,394 3кв. 2005 9,000 4кв. 2005 9,506 1кв. 2006 9,467 2кв. 2006 9,909 3кв. 2006 10,264 4кв. 2006 10,800 1кв. 2007 11,372 2кв. 2007 11,368 Рост значения коэффициента b говорит о том, что производство на комбинате с каждым кварталом становится всё более капиталоинтенсивным, а значит, растёт производительность труда. Производственная функция комплексного аргумента с действительными коэффициентами для последнего наблюдения будет иметь вид: Q 0,001 K iL 11,368 (3.4.8) Теперь построим ещё более сложную производственную функцию комплексного аргумента – с комплексными коэффициентами (2.2.9), исследованную также во втором параграфе второй главы. Найдём коэффициенты этой функции методом наименьших квадратов для всего ряда данных, используя формулы (2.3.13) и (2.3.14). Производственная функция получится: 139 Q 1,438 i0,746 K iL 0,446i 0,367 (3.4.9) Средняя ошибка аппроксимации для функции (3.4.9) составила 14,9%. По аналогии с функцией Кобба-Дугласа рассмотрим, каким будет объём производства в тех же самых 9 ситуациях. Рассматривать будем все производственные функции комплексного аргумента – (3.4.6), (3.4.7), (3.4.8) и (3.4.9) Производственная функция комплексного аргумента Значения K и L (3.4.6) (3.4.7) (3.4.8) (3.4.9) K=const, L=const 50217,00 48841,46 50217,00 47113,97 K=100000, L=const 51227,94 49766,89 63040,54 47748,78 K=const, L=620 50375,05 49018,95 52050,99 47091,2 K=100000, L=620 51386,00 49944,38 65251,27 47723,90 K=95000, L=const 49358,59 48055,67 41305,83 46570,63 K=const, L=606 50058,95 48663,98 48456,52 47137,10 K=95000, L=606 49200,54 47878,19 39807,89 46591,89 K=100000, L=606 51069,90 49589,41 60915,96 47774,01 K=95000, L=620 49516,64 48233,16 42867,93 46549,72 На основе всех приведённых выше расчётов можно сделать вывод о том, что производительность труда на предприятии растёт от квартала к кварталу. Диатомовому комбинату можно предложить продолжать вкладывать инвестиции в основные производственные фонды для совершенствования процесса производства. Также можно увеличить численность персонала, так как 3 функции из четырёх показывают, что в таком случае доход будет выше. Только одна функция – (3.4.9) показывает, что сокращение численности персонала может привести к небольшому увеличению дохода организации. Перейдём к анализу и прогнозированию работы Диатомового комбината с помощью производственных функций комплексных переменных. Начнём 140 с более простой – линейной функции (3.1.3). Воспользуемся формулами (3.1.4) и (3.1.5) для нахождения значений коэффициентов этой функции на каждом наблюдении. В связи с тем, что по коэффициентам этой функции сделать точные выводы о характере производственных процессов не представляется возможным, имеет смысл рассчитать только коэффициенты для последнего наблюдения. Тогда линейная производственная функция комплексных переменных Диатомового комбината для 2 квартала 2007 года будет иметь вид: Q iC 1,329 i0,267 K iL (3.4.10) Теперь рассчитаем значения коэффициентов функции (3.1.3) для всего ряда данных с помощью МНК. Получим следующую производственную функцию: Q iC 1,369 i0,167 K iL (3.4.11) Средняя ошибка аппроксимация для производственных функций комплексных переменных производственных функций должна считаться действительных иначе, нежели переменных, так для как выходных переменных в этих функциях две, а не одна. Поэтому для оценки применимости модели будем использовать общую среднюю ошибку аппроксимации Atotal, которую можно найти по следующей формуле: Atotal AQ AC 2 , (3.4.12) где AQ – средняя ошибка аппроксимации объёма производства, а AC – средняя ошибка аппроксимации затрат на производство, которые в свою очередь считаются по формуле (3.4.1). Для функции (3.4.11) мы получили следующие значения ошибок аппроксимации: AQ=18,47%, AC=16,63%, Atotal=17,55%. Получается, что эта функция незначительно хуже описывает ряд данных, нежели производственные функции комплексного аргумента или 141 производственная функция Кобба-Дугласа, однако эта функция обладает преимуществом, перед всеми другими рассмотренными ранее функциями – она позволяет моделировать зависимость не только объёма производства, но и затрат производства от факторов производства. Именно благодаря этому, меняя значения численности персонала и стоимости основных производственных фондов, мы будем получать больше информации. Рассмотрим те же самые 9 ситуаций с дальнейшими трудовыми и капитальными затратами на предприятии, что были рассмотрены ранее, только с небольшими корректировками: так как у нас 2 выходные переменные, оценивать стоит их вместе. Для этого в таблице приведём не только значения объёма выпуска и затрат на производстве, но ещё и прибыль организации, рассчитанную по формуле (3.1.8). Подчёркнутым шрифтом выделены максимальные значения дохода и прибыли организации и минимальные значения затрат. Производственная функция Значения KиL K=const, L=const K=100000, L=const K=const, L=620 K=100000, L=620 K=95000, L=const K=const, L=606 (3.4.10) Q C (3.4.11) G Q C G 50217,00 46950,00 3267,00 54553,67 43614,10 10939,57 51810,97 47271,59 4539,39 56193,52 43814,68 12378,84 50135,49 47354,00 2781,50 54502,83 44029,73 10473,11 51729,46 47675,58 4053,88 56142,68 44230,30 11912,38 48863,54 46676,94 2186,60 53161,25 43443,79 9717,46 50298,51 46546,00 3752,50 54604,50 43198,47 11406,03 142 K=95000, L=606 K=100000, L=606 K=95000, L=620 48945,05 46272,94 2672,11 53212,09 43028,16 10183,92 51892,48 46867,59 5024,89 56244,35 43399,05 12845,30 48782,03 47080,93 1701,10 53110,41 43859,41 9251,00 Как видно из таблицы, сочетание максимального дохода и минимальных затрат на производство достигается как для функции (3.4.10), так и для функции (3.4.11) в одном случае – когда увеличиваются инвестиции в основные производственные фонды, а численность персонала сокращается (в этом случае и доход, и прибыль организации максимальны). Что примечательно, можно заметить, что затраты предприятия снижаются для обеих производственных функций в случае с сокращением числа занятых в производстве. Также то, что затраты становятся минимальными, когда сокращаются и численность занятых, и стоимость основных производственных фондов, соответствует действительности. На основании этих данных можно сделать заключение о том, что Диатомовому комбинату стоит увеличить инвестиции в основные производственные фонды и, возможно, сократить численность персонала или хотя бы провести какието изменения в кадровой политике. Построим следующую производственную функцию комплексных переменных – степенную с действительными коэффициентами (3.2.6), изученную во втором параграфе третьей главы. Рассчитать значения коэффициентов для этой функции на каждом наблюдении можно по формулам (3.2.23) и (3.2.26). Помимо этого рассчитаем значение переломных точек b1 и bQ для этой функции и значение коэффициента эффективности S на каждом наблюдении по соответствующим формулам (3.2.38), (3.2.44) и (3.2.45). Все эти коэффициенты представлены в следующей таблице: t a b b1 bQ S 143 1кв. 2004 0,503 1,984 0,529 1,529 42,10% 2кв. 2004 0,966 2,119 0,551 1,591 41,30% 3кв. 2004 0,792 2,154 0,607 1,625 43,95% 4кв. 2004 0,690 2,148 0,735 1,806 50,98% 1кв. 2005 0,490 2,152 0,759 1,839 52,16% 2кв. 2005 0,515 2,349 0,840 2,014 52,67% 3кв. 2005 0,547 2,189 0,832 1,957 55,08% 4кв. 2005 0,585 2,359 1,017 2,206 60,26% 1кв. 2006 0,438 2,316 1,018 2,202 61,08% 2кв. 2006 0,466 2,452 1,076 2,315 61,00% 3кв. 2006 0,391 2,504 1,230 2,513 65,88% 4кв. 2006 0,309 2,530 1,379 2,729 70,57% 1кв. 2007 0,300 2,742 1,488 2,909 70,35% 2кв. 2007 0,310 2,716 1,559 2,980 72,94% Наиболее важными для нас являются значения коэффициента эффективности S. Он показывает, что эффективность работы предприятия с каждым кварталом растёт. Стоит заметить, что стоимость основных производственных фондов растёт также, вместе с эффективностью, из квартала в квартал, а численность персонала при этом существенно не меняется. Это говорит о том, что инвестиции в основные производственные фонды приводят к росту эффективности работы предприятия. Для последнего наблюдения степенная производственная функция комплексных переменных с действительными коэффициентами получится следующей: G iC 0,310 K iL 2,716 (3.4.13) Рассмотрим тот же самый пример с 9 вариантами дальнейшего развития предприятия, что и для предыдущих производственных функций, для функции (3.4.13). В таблице ниже значения G, C и Q рассчитывались по 144 формулам (3.2.13), (3.2.14), (3.2.43), наибольшие значения G и Q, а также наименьшее значение C подчёркнуты. Производственная функция Значения K и L G C Q K=const, L=const 3267,00 46950,00 50217,00 K=100000, L=const 5086,29 49430,80 54517,09 K=const, L=620 2640,58 47395,14 50035,72 K=100000, L=620 4447,84 49904,92 54352,76 K=95000, L=const 1811,22 44880,67 46691,89 K=const, L=606 3886,15 46501,82 50387,97 K=95000, L=606 2420,20 44456,67 46876,87 K=100000, L=606 5717,33 48953,67 54670,99 K=95000, L=620 1195,07 45301,61 46496,68 Как видим, максимальный доход, так же, как и прибыль, организация может достичь, сокращая объём трудовых ресурсов и увеличивая стоимость основных производственных фондов. Наименьшие же затраты получаются при уменьшении как численности персонала, так и стоимости основных производственных фондов. Что характерно, расчёты с помощью функции (3.4.13) дают нам ту же информацию, что и расчёты с помощью функций (3.4.10) и (3.4.11): комбинату стоит, если не сократить численность персонала, то пересмотреть свою кадровую политику, так как при сложившемся процессе производства, он мог бы работать более эффективно. Для того чтобы понять, насколько комбинат может быть эффективен и что требуется для этого, построим обратную производственную функцию функции (3.4.13) по формулам (3.2.50) и (3.2.51). Для начала рассмотрим для данных по последнему наблюдению, какие может получить комбинат прибыль и издержки, если производство его будет эффективно на 100%, то есть, когда b b1 1,559 . Для этого возьмём значения K, L, a и b1 за 2 квартал 2007 года и рассчитаем значения G и C по 145 формулам (3.2.13) и (3.2.14). Получим в относительных величинах: G 0,550 , C 0,642 . (3.4.14) В абсолютных же величинах это будет: G 14538 тыс. руб., C 16949 тыс. руб. Теперь подставим в формулы (3.2.50) и (3.2.51) значения коэффициентов a и b, рассчитанные выше, а также (3.4.14). Получим следующие абсолютные значения капитала и труда: K 82541,55 тыс. руб., L 277 чел. (3.4.15) Для сравнения стоит отметить, что на 2 квартал 2007 года на Диатомовом комбинате стоимость основных производственных фондов составила 97296 тыс. руб., а численность персонала – 613 человек. Полученный результат (3.4.15) однако не говорит о том, что на комбинате надо срочно сокращать, более чем вдвое численность персонала и продавать оборудование. Этот результат говорит о том, что на комбинате стоит заняться оптимизацией работы персонала и перераспределением мест между занятыми в производственной и непроизводственной сферах. Более подробные рекомендации по данным расчётам дать невозможно – требуются дополнительные, более глубокие исследования работы самого предприятия. Проведя те же самые расчёты, только с использованием вместо значения b1 значение bQ (то есть, когда b bQ 2,980 ) получим следующие интересные результаты. Максимум дохода организации будет составлять Q=51367,34 тыс. руб., при этом прибыль будет отрицательной – G=4259,17 тыс. руб., а издержки составят C=55626,51 тыс. руб. Это состояние достижимо при увеличении основных производственных фондов K до 100003,65 тыс. руб., а численности персонала L – до 708 чел. То есть, получается, что для достижения максимума дохода, как это, в общем-то, и было рекомендовано, например, по расчётам производственной функции Кобба-Дугласа, надо увеличивать и стоимость основных производственных фондов, и численность персонала. Однако из проведённых расчётов по производственной функции Кобба-Дугласа не 146 видно, что организации при этом понесёт убытки. Перейдём к построению последней производственной функции комплексных переменных (3.3.1), рассмотренной в третьем параграфе третьей главы. Расчёт коэффициентов функции (3.3.1) МНК с использованием формул (3.3.12) и (3.3.13) позволил построить следующую производственную функцию: G iC 0,326 i1,208 K iL 0,398i 0,05 (3.4.16) В связи с тем, что функция (3.4.15) позволяет на прямую рассчитывать помимо всего прочего ещё и доход организации по формуле (3.3.23), мы можем без различных ухищрений рассчитать среднюю ошибку аппроксимации по доходу по формуле (3.4.1). Она составила 14,87%. Расчёты тех же самых 9 ситуаций развития организации для производственной функции (3.4.16) представлены в таблице ниже. Так же, как и для функции (3.4.13) наибольшие значения G и Q, а также наименьшее значение C подчёркнуты. Значения K и L Производственная функция G C Q K=const, L=const 3192,99 43686,82 46879,81 K=100000, L=const 3470,28 43992,14 47462,42 K=const, L=620 3115,52 43757,86 46873,38 K=100000, L=620 3393,33 44061,80 47455,13 K=95000, L=const 2953,17 43425,96 46379,13 K=const, L=606 3270,81 43615,91 46886,72 K=95000, L=606 3031,44 43353,83 46385,27 K=100000, L=606 3547,57 43922,61 47470,18 K=95000, L=620 2875,28 43498,22 46373,49 Результаты расчётов с помощью этой функции дают нам ту же самую информацию, что и с использованием производственных функций (3.4.10), 147 (3.4.11) и (3.4.13). Стоит, однако, отметить, что все получаемые численные значения входных и выходных переменных являются только ориентирами для организации, (показывающими, в какой части есть дисбаланс, в каком направлении надо работать и пр.), а не конкретной целью: сократить численность персонала точно до 277 человек, а стоимость основных производственных фондов до 82541,55 тыс. руб. невозможно. Подведём итоги проведённых исследований. В таблице ниже представлены рекомендации, выработанные для каждой из рассмотренных в этом параграфе производственных функций. Вид функции Q 1, 407 K 0,457 L0,543 Рекомендации Для достижения максимального дохода, Q 1,309 K 0,587 L0,413 организации стоит одновременно с Q 1, 475 K 0,197 L0,803 привлечением инвестиций, увеличивать и численность персонала, занятого в производстве. Q 0,569 K 2,355 L1,355 Организации стоит сократить численность персонала, занятого в производстве, продолжая при этом инвестировать в основные производственные фонды. Q 0,839 i0,518 K iL С каждым кварталом производительность труда на комбинате растёт. Увеличение инвестиций в 148 основные производственные фонды приведёт к увеличению дохода организации. Увеличение численности персонала также приведёт к росту дохода, хоть и не такому значительному. Q 0,768 i0,581 K iL Комбинату стоит продолжать инвестировать в основные производственные фонды – это приведёт к росту дохода. Увеличение численности персонала также приведёт к росту дохода, хоть и не такому значительному. Q 0,001 K iL 11,368 Процесс производства от квартала к кварталу становится всё более и более капиталоинтенсивным, растёт производительность труда. В таких условиях комбинату стоит продолжать инвестировать в основные производственные фонды и стоит увеличить 149 численность персонала, занятого в производстве. Q 1,438 i0,746 K iL 0,446i 0,367 Диатомовому комбинату не рекомендуется увеличивать численность персонала, так как это приведёт к снижению, хоть и незначительному, дохода организации. Стоит продолжать инвестировать в основные производственные фонды. Q iC 1,329 i0,277 K iL Для достижения максимальной прибыли и максимального дохода, организации стоит сократить численность Q iC 1,369 i0,176 K iL персонала и увеличить стоимость основных производственных фондов за счёт инвестиций. Если организации требуется несколько уменьшить издержки производства, то стоит сократить численность персонала. G iC 0,310 K iL 2,716 Увеличение основных производственных фондов с каждым кварталом приводит к тому, что 150 эффективность работы предприятия увеличивается. Однако для достижения максимальной эффективности, на предприятии необходимо либо каким-либо образом сократить численность занятых в производстве (или оптимизировать их работу), либо значительно увеличить основные производственные фонды. G iC 0,326 i1,208 K iL 0,398i 0,05 Для достижения максимальной прибыли и максимального дохода, организации стоит сократить численность персонала и увеличить стоимость основных производственных фондов за счёт инвестиций. Если организации требуется несколько уменьшить издержки производства, то стоит сократить численность персонала. Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы по работе Диатомового комбината: 1. Увеличение инвестиций в основные производственные фонды от 151 квартала к кварталу приводит к росту производительности труда, таким образом, работа предприятия становится всё более эффективной. 2. При сложившемся процессе производства, предприятие может работать и более эффективно. Для этого надо либо пересмотреть кадровую политику и снизить численность персонала занятого в производстве (или оптимизировать работу персонала), либо продолжать инвестировать в основные производственные фонды. Что же касается самих функций, можно заключить, что производственные функции комплексного аргумента и производственные функции комплексных переменных дают больше информации о сути происходящих производственных процессов, нежели производственные функции Кобба-Дугласа. Из значений функций Кобба-Дугласа вовсе не следует вывод о том, что необходимо снижать численность занятых на производстве, наоборот, их прирост приводит к увеличению объёмов производства. Функции, предложенные в диссертации, настоятельно рекомендуют Диатомовому комбинату подумать о сокращении занятых или, по крайней мере, – о рационализации структуры персонала комбината, позволяя таким образом принимать более взвешенное решение. 152 Заключение В диссертации рассмотрены существующие представления об экономическом анализе, место в нём экономико-математических методов, значение теории производственных функций в экономике и дана общая информация о экономический теории анализ комплексных представляет переменных. собой Показано, полноценную что научную дисциплину, которая использует информацию и методы из других научных дисциплин (таких, как бухгалтерский учёт, статистика, экономикоматематические методы), для изучения экономических явлений и процессов с целью управления хозяйственными системами. Чёткого представления о том, что такое «экономический анализ» у отечественных учёных нет. Поэтому в диссертации уточнено определение экономического анализа - «это научная дисциплина, позволяющая изучать экономические явления и процессы, используя информацию и методы из других научных дисциплин для эффективного управления хозяйственными системами». Кроме того, было показано, что экономический анализ выделен в отдельную научную дисциплину только в России. За рубежом экономический анализ и экономическая теория являются синонимами. Теория производственных функций, как было выявлено в ходе диссертационного исследования, в настоящее время практически не развивается - вносятся незначительные изменения в уже существующие модели, а принципиально новые модели не появляются. Кроме того, аппарат производственных функций используется лишь для определения различных характеристик экономического развития, нежели для анализа и прогнозирования производственных процессов, несмотря на то, что этот аппарат потенциально может дать экономисту-исследователю очень много. В диссертации показано, что комплексные переменные - нормальная математическая абстракция, достаточно активно использующаяся в различных областях науки, но до сих пор не нашедшая применения в экономико-математическом моделировании. Тщательное изучение основ 153 теории функций комплексных переменных позволило сформулировать подход по их использованию в экономико-математическом моделировании. Впервые предложены и изучены производственные функции комплексного аргумента, в которых действительному числу результата производства в соответствие ставится комплексное число факторов производства. Даже линейная производственная функция комплексного аргумента (2.1.1) обладает рядом интересных свойств, а её коэффициенты имеют простой экономический смысл. Показано, что её использование в экономическом анализе даёт новые результаты, благодаря тому, что коэффициенты этой функции могут быть найдены для каждого наблюдения и позволяют анализировать происходящие процессы на производстве. Исследование степенной производственной функции комплексного аргумента (2.2.1), также подтвердило её приемлемость в экономикоматематическом моделировании. Её коэффициент b несёт в себе информацию об отношениях между затратами капитала и труда на производстве, показывая является ли производство капиталоинтенсивным или трудоинтенсивным. Изучены свойства и более сложной степенной производственной функции комплексного аргумента — с комплексными коэффициентами (2.2.9). Аналогов среди производственных функций действительных чисел эта функция просто не имеет. Она позволяет моделировать очень сложные производственные процессы. Коэффициенты этой производственной функции также могут быть найдены на каждом наблюдении и также несут в себе информацию о сути протекающих процессов на производстве. В диссертации показано, как можно оценить параметры функций (2.1.1), (2.2.1) и (2.2.9) не только для каждого наблюдения, но и с помощью метода наименьших квадратов. Все функции апробированы на реальных данных по производству на уровне предприятия и уровне государства. Полученные модели достаточно хорошо описывают динамику производства. 154 В диссертации предложены и изучены производственные функции комплексных переменных, в которых одному комплексному числу результата производства в соответствие ставится другое комплексное число — факторов производства. Все производственные функции комплексных переменных, рассмотренные в диссертации, не имеют аналогов в области вещественных чисел — они позволяют моделировать более сложные зависимости объёма производства Q и затрат производства C от капитала K и труда L в функции (3.1.3), и даже прибыли производства G и затрат производства C от K и L в функциях (3.2.6) и (3.3.1). Несмотря на относительную сложность, коэффициенты всех функций комплексных переменных могут быть найдены для каждого наблюдения, что даёт возможность иметь представления об эффективности работы предприятия. Параметры всех исследованных производственных функций комплексного аргумента могут быть найдены не только для каждого наблюдения, но также и для ряда с помощью метода наименьших квадратов. Полученные модели неплохо описывают динамику производства. В диссертации последовательно рассмотрены линейная и степенная производственные функции комплексных переменных, исследованы их свойства, выведены формулы для расчёта коэффициентов производственных функций, позволяющих оценивать эффективность работы предприятия. Для оценки уровня эффективности введён новый коэффициент (3.2.45), рассчитывающийся по значениям показателя степени. Важным научным результатом явилось построение и исследование сложной производственной функции — с комплексными коэффициентами (3.3.1), являющаяся наиболее общей в классе возможных степенных производственных функций комплексных переменных. Выведены формулы для нахождения коэффициентов этой функции для каждого наблюдения. Кроме того, показано, как можно оценить параметры функций (3.1.3), (3.2.6) и (3.3.1) не только для каждого наблюдения, но и с помощью метода 155 наименьших квадратов. Впервые в инструментальную базу исследователей-экономистов введён аппарат «обратная производственная рассчитывать количество необходимых функция», позволяющий факторов производства для достижения желаемого уровня прибыли и производственных затрат, при сохранении технологии производства. В диссертации показано не только то, что теория функций комплексных переменных моделировании может и применяться привносит новые в экономико-математическом модели в инструментарий исследователей, аналогов которым в области действительных чисел нет, но и то, как можно применять теорию функций комплексных переменных в экономическом анализе. Не смотря на то, что диссертация представляет собой завершённый научный труд, она является только началом дальнейших научных исследований производственных функций комплексных переменных, поскольку аппарат теории функции комплексных переменных позволяет сформировать значительно более широкий ряд моделей производственных функций, чем те, которые были рассмотрены в диссертации. 156 Список используемой литературы 1. Баграновский К.А., Бендиков М.А., Хрусталёв Е.Ю. Механизмы технологического развития мезоэкономические экономики аспекты. России: Центральный Макро- и экономико- математический ин-т. – М.: Наука, 2003. 2. Баканов М.И., Мельник М.В., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учбник. / под ред. М.И. Баканова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2004. 3. Басовский Л.Е. Теория экономического анализа: Учебное пособие – М.: ИНФРА-М, 2001. 4. Белых А.А. История советских экономико-математических исследований (1917 – начало 60-х годов). – Л.: Издательство Ленинградского университета, 1990. 5. Бородич С.А. Эконометрика. – Мн.: Новое издание, 2001. 6. Бут Э. Численные методы. Редактор В.М. Курочкин и В. Б. Орлов. – Государственное издательство Физико-математической Литературы, Москва, 1959. 7. Винер Н. Кибернетика и общество. – М.: Иностранная литература, 1958. 8. Винер Норберт, Я – математик. – М.: 1967. 9. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2-х т. / Общая редакция В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 1994. Т. 1. 10. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: «Машиностроение», 1986. 11. Государственное регулирование рыночной экономики / Под общей редакцией В.И.Кушлина и Н.А.Волгина. Учебник – Москва: Изд-во «Экономика», 2000. 12. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики – М.: Издательство «Экономика», 1978 157 13. Грицан В.Н. Эконометрика. – М.: Дашков и К, 2001. 14. Гришин А.Ф., Котов-Дарти С.Ф., Ягунов В.Н. Статистические модели в экономике. Ростов н/Д: Феникс, 2005. 15. Грищенко О.В. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 16. Данилов Н.Н. Курс математической экономики. Новосибирск.: Издательство СО РАН, 2002. 17. Данилов-Данильян В.И., Хранович И.Л. Производственные функции в условиях неопределённости // Экономика и математические методы, 2007 , том 43, №1, с.16 – 26. 18. Длин А.М. Математическая статистика в технике. – М.: Советская наука, 1958. 19. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Дело и сервис, 2001. 20. Зоидов К.Х. Некоторые задачи идентификации эконометрических зависимостей. - Москва, 1999. 21. Классики кейнсианства: В 2-х т. Т. I. К теории экономической динамики / Р. Харрод. Экономические циклы и национальный доход. Ч. I–II. / Э.Хансен. Предисл., сост.: А. Г. Худокормов. – М.: ОАО «Издательство «Экономика». 1997. 22. Классики кейнсианства: В 2-х т. Т. II. Экономические циклы и национальный доход. Ч. III–IV/ Э.Хансен. Сост.: А. Г. Худокормов. – М.: ОАО «Издательство «Экономика». 1997. 23. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Введение в экономическую кибернетику. – М.: Издательство «Экономика», 1975. 24. Когденко В.Г. Экономический анализ: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальностям 060400, 060500, 060600, 351200 / В.Г. Когденко. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 158 25. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ЮНИТИДАНА, 2002. 26. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 27. Кондратьев Н.Д. Проблемы экономической динамики / Редкол. Л.И.Абалкин (отв. ред.) и др. – М.: Экономика, 1989. 28. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: Дело, 2002. 29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М., 1965 г. 30. Логико-гносеологическая терминология в экономике (краткий словарь). - Спб.: Изд-во СпбГУЭФ, 2004. 31. Лопушинская Г.К., Петров А.Н. Планирование в условиях рынка: Учебное пособие. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2003. 32. Лукашин Ю., Рахлина Л. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004, №1, с.17 – 27. 33. Любушин Н.П. Экономический анализ: учебное пособие для студентов вузов / Н.П. Любушин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 34. Любушин Н.П., Лещева В.Б., Сучков Е.А. Теория экономического анализа: учебно-методический комплекс / под ред. проф. Н.П. Любушина. - М.: Экономистъ, 2006 35. Марк Благ. Методология экономической науки, или Как экономисты объясняют. Пер. с англ. / Науч. ред. и вступ. ст. В.С. Автономова. – М.: НП «Журнал Вопросы Экономики», 2004. 36. Маркин Ю.П. Теория экономического анализа: учебное пособие / Ю.П. Маркин. – М.: КНОРУС, 2006. 159 37. Матвеенко В.Д., экономического Ущев роста в Ф.А. Математические ресурсозависимой модели экономике // Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. V. Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономикоматематического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. с.39 – 70. 38. Матвеенко В.Д.. Ресурсозависимость и экономический рост: модель с трёхфакторной производственной функцией // Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. V. Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономикоматематического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. с.80 – 105. 39. Математика и кибернетика в экономике. Словарь-справочник. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Экономика», 1975. 40. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т.2 Д – Коо. – М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 41. Мескон М.Х., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента: Пер. с англ. – М.: «Дело», 1993. 42. Моисеев Н.Н. Математические методы экономической науки. – М.: Знание, 1973. 43. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. СПб.: Издательство 'Питер', серия 'Краткий курс', 2002 г. 44. Мотышина М.С. Системный анализ: Учебное пособие. - Спб.: Изд-во СпбГУЭФ, 2007. 45. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. 3-е издание. – М.: Издательство «URSS», 2007. 46. Мэнеску М. Экономическая кибернетика: Сокр. пер. с рум./Автор предисл. Н. Федоренко; Науч. ред. К. А. Багриновский, 160 Е. З. Майминас. – М.: Экономика, 1986. 47. Немчинов В.С. избранные произведения, том 3. Экономика и математические методы. М: «Наука», 1967. 48. Орехов А.М. Методы экономических исследований: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2006. 49. Орлов А.Н. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. 50. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: Издательство 'Экзамен', 2002 г. 51. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2004. 52. Плакунов М.К., Раяцкас Р.Л. Производственные функции в экономическом анализе. – Вильнюс: Минтис, 1984. 53. Подтележников В.П. Производственные функции.: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - Липецк: ЛЭГИ, 2002. 54. Понтрягин Л. Комплексные числа. / Издательство «Наука». «Квант». №3, 1982. 55. Пястолов С.М. Экономический анализ деятельности предприятий: Учебное пособие для вузов Серия: 'Gaudeamus'. М.: 2002 г. 56. Райхлин Э.Н. Основы экономической теории. Экономический рост и развитие. – М.: Наука, 2001. 57. Раяцкас Р.Л., Плакунов М.К. Количественный анализ в экономике. – М.: «Наука», 1987. 58. Романова Л.Е. Анализ Хозяйственной деятельности. – М.: Юрайт, 2003. 59. Савичев П.И. Экономический анализ – орудие выявления внутрихозяйственных резервов. М.: Финансы, 1968. 60. Сазанов А.А. Четырёхмерный мир Минковского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 61. Светуньков И.С. Использование комплексных переменных в 161 теории производственных функций // Известия Санкт- Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2007, № 4. 62. Светуньков И.С. комплексного Обратные переменного / производственные Экономическая функции кибернетика: системный анализ в экономике и управления: Сборник научных трудов. Выпуск № 15 / Под ред. Д.В. Соколова и В.П. Чернова. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2007, с. 88 – 93. 63. Светуньков С.Г. Эконометрические методы прогнозирования спроса. – М.: Издательство МГУ, 1993. 64. Светуньков С.Г., Бутуханов А.В., Светуньков И.С. Запредельные случаи метода Брауна в экономическом прогнозировании. Препринт. Спб.: Изд-во СпбГУЭФ, 2006. 65. Светуньков С.Г., Бутуханов А.В., Светуньков И.С. Исследование запредельных случаев метода Брауна применительно к малым выборкам. Препринт. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005. 66. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Исследование свойств производственной функции комплексного аргумента. Препринт. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005. 67. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. О возможности использования комплексных чисел в теории производственных функций // Известия Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2005, № 4, с.5 – 16. 68. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Проблемы использования модели Брауна в краткосрочном прогнозировании социальноэкономического развития // Тенденции и проблемы экономического развития региона: материалы Международной научно-практической конференции. - Улан-Удэ, Изд-во ВСГТУ, 2005, с.152 – 154. 69. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Прогнозирование бюджетных 162 доходов с комплексной помощью производственной переменной. // функции Состояние и в виде проблемы трансформации финансов и экономики регионов в переходный период. Материалы Второй Международной научно-практической конференции 12 мая 2005 г. Ч.1. – Черновцы – Букрек, 2005. с.330 – 331. 70. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Производственные функции в виде комплексного числа в прогнозировании // Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы Международной научно-практической конференции, 29-30 апреля 2005 г.- Воронеж, Изд-во ВГУ, 2005. – Ч.1., с.58 – 61. 71. Светуньков С.Г., Светуньков И.С. Производственные функции комплексных переменных. – М.: Издательство «УРСС», 2008. 72. Светуньков С.Г., Хан Т.В. Логико-гносиологическая терминология в экономике (краткий словарь). – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2004. 73. Симчера В.М.. Развитие экономики России за 100 лет: 19002000. Исторические ряды, вековые тренды, институциональные циклы – М.: Наука, 2006. 74. Словарь по экономике. Пер. с англ. под. ред. П. А. Ватника. СПб.: Экономическая школа. 1998. 75. Словарь современной экономической теории Макмиллана. – М.: ИНФРА-М, 1997. 76. Справочник по математике для экономистов / В. Е. Барбаумов, В. И. Ермаков, Н. Н. Кривенуова и др.: Под ред. В. И. Ермакова. – М.: Высш. шк., 1987. 77. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 163 78. Стратегический менеджмент / Под ред. Петрова А.Н. – СПб.: Питер, 2005. 79. Теория функций математическом комплексной переменной моделировании. Материалы в экономико- Всероссийского научного семинара. 19 декабря 2005 г. / Под ред. проф. С.Г.Светунькова. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006. 80. Терехов Л.Л. Производственные функции. – М.: Статистика, 1974. 81. Ущев Ф.А. Изобилие природных ресурсов, эфономический рост и повышение качества «невозможная исследования: рыночных троица»? // математические институтов: ещё одна Экономико-математические модели и информационные технологии. V. Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. с.71 – 79. 82. Федотов Ю.В. Методы и модели построения эмпирических производственных функций. - СПб: Издательство Санкт- Петербургского университета, 1997. 83. Филипцов А. Производственные функции: построение и анализ приминительно к аграрному сектору Беларуси // ЭКОВЕСТ, выпуск 3, №3, 2003г., с. 517 – 531. 84. Френкель А.А. Математические методы анализа динамики и прогнозирования производительности труда. – М.: Экономика, 1972. 85. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями: учебное пособие. Изд. 3-е, испр. – М.: Едиториал УРСС, 2003. 86. Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. – М.: Экзамен, 2002. 87. Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал: Пер. с англ./Общ. ред. и 164 вступ. ст. Р.М. Энтова. – М., Издательская группа «Прогресс», 1993. 88. Цены и ценообразование / Под ред. Есипова В.Е. – СПб.: Питер, 2004. 89. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Сзд-во Петр ГУ, 1996. 90. Чернов В.П. Математика для топ-менеджеров / Под. ред. В.П. Галенко, А.Ф. Тарасюка. – СПб.: Наука, 2002. 91. Чернов В.П. Математическое и компьютерное моделирование экономической динамики. – СПб.: Наука, 2001. 92. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Функции одного переменного: Учебник: В 2-х ч. Ч. 1. 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. 93. Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексного переменного. – М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. 94. Эйнштейн А. Собр. научных трудов. – М.: Мысль, 1966. Т. 3. 95. Эйснер Ю.Н., Бобович Ф.Р. Евангельская притча о талантах: метафора и экономическая модель – Экономическая кибернетика и системные исследования в управлении / под ред. Д.В.Соколова и Н.Н. Погостинской: Сборник научных трудов. - Спб.: Изд-во СпбГУЭФ, 1998. - стр.125 – 135. 96. Эконометрика: Учебник / И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. 97. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И. Данилов-Данильян.-М.: Большая Российская энциклопедия, ИНФРА-М, 2003. 98. Экономико-статистический анализ: Учеб. Пособие для вузов / Ильенкова С.Д., Ильенкова Н.Д., Орехов С.А. и др; Под ред. Проф. С.Д.Ильенковой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 165 99. Экономический анализ: Основы теории. Комплексный анализ хозяйственной деятельности организации: Учебник / Под. ред. Проф. Н.В. Войтоловского, проф. А.П. Калининой, проф. И.И. Мазуровой. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшее образование, 2006. 100. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. – М.: Иностранная литература, 1959. 101. Яковец Ю.В. Закономерности научно-технического прогресса и их планомерное использование. – М.: Экономика, 1984. 102. Bowman, Edward H. Analysis for production management. – Homewood: Irwin, 1957. 103. Pindyck Robert S., Daniel L. Rubinfeld. Microeconomics, 2001. 104. Rima, Ingrid Hahne, Development of Economic Analysis, Sixth edition. Great Britain, TJ, International Ltd, 2001. 105. Samuelson Paul A., Foundations of Economic Analysis, Harvard University Press; Enlarged edition, 1983. 106. Schumpeter Joseph A., History of Economic Analysis. Oxford University Press, Inc., 1986. 107. Solow Robert M., Growth Theory and After // Lecture to the memory of Alfred Nobel, December 8, 1987 – http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1987/solowlecture.html 108. www.ecsocman.edu.ru/db/msg/184383.html – посещён 9 мая 2007г. 109. www.gks.ru – посещён 3 мая 2007г. 110. www.glossary.ru – посещён 15 сентября 2007г. 111. www.answers.com – посещён 8 июля 2007г. 112. Краткосрочные экономические показатели Российской Федерации/Госкомстат России. - Октябрь 2004 (www.cir.ru) – посещён 09 мая 2006г. 166 Приложение Таблица 1 Интерпретация вариантов динамики коэффициентов рисунка 4 Номер варианта динамики 1 2 3 4 Характеристика варианта Суть происходящих процессов Оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину в 0,5 Оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5 Сбалансированная экономика с устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи Дисбаланс, структурная перестройка производства, когда один из ресурсов используется в большей степени, чем другой, а отдача ресурсов не увеличивается. Зона кризисной динамики Значения коэффициента Процесс трудоинтенсивный с а0 уменьшаются, а повышающейся фондоотдачей. значения коэффициента а1 Уменьшение возрастают и остаются производительности труда больше 0,5 Значения коэффициента Фондоотдача уменьшается, а а0 возрастают и остаются производительность труда больше 0,5, а значения растёт. Капиталоинтенсивный коэффициента а1 процесс уменьшаются 167 Таблица 2 Расчёт коэффициентов использования ресурсов для Советского союза в период 1972 – 1989 гг. Год Националь ный доход 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1,000 1,079 1,130 1,159 1,232 1,295 1,361 1,399 1,476 1,554 1,671 1,750 1,819 1,847 1,875 1,914 2,014 2,097 Основные производств енные фонды 1,000 1,091 1,193 1,292 1,393 1,496 1,612 1,724 1,846 1,973 2,107 2,247 2,390 2,518 2,649 2,778 2,904 3,024 Среднегодовая Коэффициенты численность использования промышленно- ресурсов производствен a0 a1 ного персонала 1,000 0,500 0,500 1,013 0,493 0,531 1,029 0,468 0,543 1,049 0,439 0,541 1,073 0,428 0,555 1,091 0,412 0,565 1,109 0,394 0,573 1,124 0,371 0,569 1,136 0,357 0,580 1,147 0,342 0,589 1,159 0,335 0,609 1,165 0,318 0,614 1,169 0,300 0,614 1,174 0,281 0,603 1,178 0,263 0,591 1,175 0,247 0,584 1,151 0,238 0,599 1,122 0,226 0,610 168 Таблица 3 Исходные данные для построения производственных функций и расчётные значения коэффициентов использования ресурсов1 Год Валовой внутренний продукт, Qt Инвестиции в Численность Коэффициенты основной занятого в использования капитал, Kt экономике ресурсов населения, L t Абсол Отно Абсол Отно Абсол Относ ютные сител ютные сите ютные ительн значен ьные значен льны значен ые ия, значе ия, е ия, значен млрд.р ния млрд.р значе млн. ия уб. уб. ния чел. 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2630 4823 7306 8944 10834 13285 1,000 1,834 2,778 3,401 4,119 5,051 407,1 670,4 1165,2 1504,7 1762,4 2186,2 1,000 1,651 2,860 3,702 4,331 5,371 63,6 62,7 64,2 64,5 66,2 65,8 1,000 0,986 1,009 1,014 1,041 1,035 a0 a1 0,500 0,491 0,304 0,235 0,216 0,175 0,500 0,820 0,863 0,856 0,900 0,907 Таблица 4 Значения коэффициентов типа производства для функции (2.2.1) Год 1998 1999 2000 2001 2002 2003 1 Краткосрочные (http://www.cir.ru). экономические показатели b 8,0000 11,6478 18,5313 23,4631 26,6286 33,0133 Российской Федерации/Госкомстат России. - Октябрь 2004 169 Таблица 5 Производственная деятельность Диатомового комбината за 1999 год 1999 г. Выручка, Издержки, ФОТ, Трудозатраты, Численность, ОПФ, тыс .руб. тыс.руб. тыс.руб. чел-час чел. тыс.руб. февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь 2663 3250 1172 2106 918 3275 2092 2201 1845 2675 4843 2604 3178 1146 2059 897 3202 2045 2152 1804 2615 4736 213,5 231,3 289,1 246,1 266,6 294,1 396,4 310,2 402,4 511,9 439,4 52100 51347 57095 62898 62742 57005 61662 64484 63071 64599 63905 354 357 364 401 400 404 437 457 454 465 460 4263 4263 4263 4263 4263 5684 5684 5684 5684 5684 5684 Таблица 6 Коэффициенты производственной функции (2.7) 1999 г. февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь Коэффициент b0 1,000 1,170 0,366 0,731 0,303 0,907 0,480 0,592 0,418 0,498 1,026 Коэффициент b1 0,000 -0,047 -0,055 -0,052 -0,033 -0,015 -0,079 -0,025 -0,072 -0,142 -0,219 170 Таблица 7 Результаты прогноза производственной деятельности Диатомового комбината на 2000 год Месяц Qt Kt Lt Ct январь 4210 6203 483 1764 февраль 4427 6397 509 1806 март 4644 6591 534 1847 апрель 4860 6785 560 1888 май 5077 6979 586 1929 июнь 5294 7173 612 1970 июль 5510 7367 638 2011 Таблица 8 Производственная деятельность Диатомового комбината за 1999 год – преобразованные данные. 1999 г. Прибыль, Издержки ФОТ, Трудозатра Численн ОПФ, тыс .руб. , тыс.руб. тыс.руб. ты, чел- ость, тыс.руб. час чел. февраль 59 2604 213,5 52100 354 4263 март 3178 231,3 51347 357 4263 72 апрель 26 1146 289,1 57095 364 4263 май 47 2059 246,1 62898 401 4263 июнь 897 266,6 62742 400 4263 21 июль 73 3202 294,1 57005 404 5684 август 47 2045 396,4 61662 437 5684 сентябрь 49 2152 310,2 64484 457 5684 октябрь 1804 402,4 63071 454 5684 41 ноябрь 60 2615 511,9 64599 465 5684 декабрь 4736 439,4 63905 460 5684 107 171 Таблица 9 Производственная деятельность Диатомового комбината за 2004 – 2007 годы. Поквартальные данные. Квартал 1кв. 2004 2кв. 2004 3кв. 2004 4кв. 2004 1кв. 2005 2кв. 2005 3кв. 2005 4кв. 2005 1кв. 2006 2кв. 2006 3кв. 2006 4кв. 2006 1кв. 2007 2кв. 2007 Доход Q 26731 50232 43840 46497 34167 36512 41027 54086 41026 44193 45015 40893 42656 50217 Прибыль Затраты G C 325 26406 -1548 51780 -4380 48220 -193 46690 201 33966 -3 36515 1687 39340 609 53477 1335 39691 691 43502 1658 43357 3698 37195 2261 40395 3267 46950 ОПФ Число занятых K L 60016 613 61029 587 63544 631 69120 636 70173 638 71717 579 72689 623 80192 637 80500 643 80942 608 87150 625 91543 615 92570 583 97296 613 Таблица 10 Преобразованные данные о производственной деятельности Диатомового комбината (таблицы 9). Квартал 1кв. 2004 2кв. 2004 3кв. 2004 4кв. 2004 1кв. 2005 2кв. 2005 3кв. 2005 4кв. 2005 1кв. 2006 2кв. 2006 3кв. 2006 4кв. 2006 1кв. 2007 2кв. 2007 G 0,012 -0,059 -0,166 -0,007 0,008 0,000 0,064 0,023 0,051 0,026 0,063 0,140 0,086 0,124 C K L 1,000 1,961 1,826 1,768 1,286 1,383 1,490 2,025 1,503 1,647 1,642 1,409 1,530 1,778 1,000 1,017 1,059 1,152 1,169 1,195 1,211 1,336 1,341 1,349 1,452 1,525 1,542 1,621 1,000 0,958 1,029 1,038 1,041 0,945 1,016 1,039 1,049 0,992 1,020 1,003 0,951 1,000 172 Таблица 11 Значения коэффициента b и коэффициента S для Диатомового комбината. Квартал 1кв. 2004 2кв. 2004 3кв. 2004 4кв. 2004 1кв. 2005 2кв. 2005 3кв. 2005 4кв. 2005 1кв. 2006 2кв. 2006 3кв. 2006 4кв. 2006 1кв. 2007 2кв. 2007 Коэффициент b 1,98433 2,11905 2,15397 2,14775 2,15151 2,34853 2,18857 2,35917 2,31612 2,45214 2,50357 2,52957 2,74168 2,71630 S (в процентах) 42,10% 41,30% 43,95% 50,98% 52,16% 52,67% 55,08% 60,26% 61,08% 61,00% 65,88% 70,57% 70,35% 72,94% Таблица 12 Статистические данные по Российской промышленности Год Объем промышленно й продукции, млрд. Руб (Q) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 1707 3150 4763 5881 6868 8498 11209 Среднегодовая численность промышленнопроизводствен ного персонала, тыс. человек (L) 13173 13077 13294 13282 12886 12384 11977 Инвестиции в основной капитал в отрасли, производящ ие товары (K) Уровень рентабельнос ти проданных товаров, продукции (работ, услуг) (G/C) 165092 297278 527544 699366 817504 980188 1179744 0,127 0,255 0,247 0,185 0,144 0,135 0,179 173 Таблица 13 Преобразованные статистические данные, пригодные для построения модели (3.2.6) Год Прибыль (G) Издержки (C) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 0,127 0,423 0,623 0,606 0,571 0,667 1,124 1,000 1,657 2,522 3,277 3,964 4,943 6,277 Среднегодовая Инвестиции численность в основной персонала капитал (L) (K) 1,000 1,000 0,993 1,801 1,009 3,195 1,008 4,236 0,978 4,952 0,940 5,937 0,909 7,146 174 График 1 Изменение G, C и Q при постоянстве K, L и a, и увеличении b. 2,5 2 C 1,5 1 0,5 0 -0,5 bQ b1 0 0,5 1 1,5 2 b4 b3 b2 2,5 3 Q -1 -1,5 -2 G -2,5 175 График 2 Функция (3.3.1). Изменение G, C и Q с линейным изменением b0, при: Начальные значения Приращение K L K L 1 1 0 0 a0 a1 a0 a1 1 -3 0 0 b0 b1 b0 b1 0 0 0,1 0 15 10 5 0 G, C, Q 1 3 5 7 9 11131517192123252729313335373941434547495153555759 G -5 C -10 Q -15 -20 -25 -30 b0 176 График 3 Функция (3.3.1). Изменение G, C и Q с линейным изменением b1 и следующих значениях переменных: Начальные значения Приращение K L K L 1 1 0 0 a0 a1 a0 a1 1 0,1 0 0 b0 b1 b0 b1 0 0 0 0,1 1,2 1 G, C, Q 0,8 0,6 G C Q 0,4 0,2 0 1 3 5 7 9 11131517192123252729313335373941434547495153555759 -0,2 b1 177 График 4 Функция (3.3.1). Изменение G, C и Q с линейным изменением K и L, и следующих значениях переменных: Начальные значения Приращение K L K L 1 2 1 0,1 a0 a1 a0 a1 1 0,1 0 0 b0 b1 b0 b1 0,5 3 0 0 12 10 8 6 G, C, Q 4 G C 2 Q 0 1 3 5 7 9 11131517192123252729313335373941434547495153555759 -2 -4 -6 -8 K, L 178
