Некоторые методы извлечения квадратных корней

Фамилия ученика: Бабушкин Вадим
Класс: 9
Название ОУ: Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
средняя общеобразовательная школа №4 муниципального района Мелеузовский район
Республики Башкортостан
Руководитель: Гнездилова Ольга Евгеньевна
Тема работы : «Некоторые методы извлечения квадратных корней»
e-mail: klub1111111@mail.ru
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
Цель исследования: Изучить методы извлечения квадратного корня.
Задачи исследования:
1. Познакомиться с историей квадратного корня;
2. Исследовать способы извлечения квадратного корня;
3. Постараться применить их на практике;
Объект исследования: Квадратный корень.
Предмет исследования : Методы извлечения квадратного корня.
Метод исследования : Поисковый.
Введение
Часто, для решения математических задач нам проходится использовать
квадратный корень. Поэтому важно знать и уметь применять его. Мне показалась
достаточно интересной тема «Методы _извлечения_ квадратного корня». Актуальность
данного исследования определяется следующими обстоятельствами. Математические
_модели многих_ практических задач представлены различными видами уравнений, в
решении которых приходится сталкиваться с квадратными корнями. На олимпиадах,
итоговой аттестации приходится извлекать квадратные корни без использования
калькулятора, таблицы квадратов для двухзначных чисел. Владение методами
извлечения квадратных корней сокращает время для выполнения задания, от которого
зависит результат выполнения работы, процесса обучения. Для извлечения
квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
разложить число на множители-трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к
желаемому результату. Я постарался найти способы, которые бы позволили извлечь
квадратный корень в любом случае.
В своём классе я провёл опрос:
•
1)Знаете ли вы другие способы извлечения квадратного корня?
•
2)Хотели бы вы узнать о новых способах извлечения квадратного корня?
•
3)Будите ли вы применять эти способы на практике?
Результаты опроса:
15
Зеленый -да
10
Синий -нет
5
Series2
Series1
0
Вопрос 1
Вопрос 2
Вопрос 3
История квадратного корня
Квадратный_ корень_ из числа_ a называют такое число, квадрат_ которого_
равен a. Например_, числа_ -5 и 5 являются квадратными_ корнями_ из числа_ 25. То
есть, корни уравнения_ x2 =25, являются квадратными корнями из числа_ 25.
График функции
.
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное
число, квадрат которого равен а. В нашем примере, это будет число 5. Процесс
нахождения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного
корня.
Арифметический квадратный корень имеет свое обозначение. Его обозначают
так: a . Знак
называют знаком арифметического квадратного корня. Выражение,
которое записано под знаком корня, называют подкоренным выражением.
Интересная история современного обозначения корня, а также самого названия
«корень». Индийцы называли его «мула» – корень (дерева), основание, начало; арабы
«джузр» – корень, основание квадрата, а европейцы, сохранив смысл, перевели его на
латынь. Так появилось название radix (по-латыни «корень»), отсюда – радикал.
Сначала обозначение корня сократили до Rx, затем до строчной буквы r. Впервые
такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году. В
дальнейшем буква r трансформировалась в знак
. Рене Декарт в 1637 году
объединил его с горизонтальной чертой, которую ставили над подкоренным
выражением, в результате появился современный знак.
Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной влат. radix
корень), сросшейся с
надстрочной чертой: ранее, надчеркивание выражения
использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так что √a+b есть всего
лишь видоизменённый способ записи выражения
.
Квадратный корень из 2 был известен ранним пифагорейцам еще за 800 лет до
нашей эры.
Обозначение корня (радикал) впервые появилось в трудах Ньютона
«Универсальная арифметика». А свой современный вид записи квадратный корень
обрел в 1690 году в книге Ролля «Руководство алгебры».
С 9 сентября 1981_ года_ в мире_ негласно_ отмечается_ День_ квадратного
корня. Этот праздник_ был предложен школьным учителем Роном Гордоном из США.
По под счетам_Р. Гордона, День квадратного корня может отмечаться только 9 раз в
100 лет, когда цифры дня и месяца являются квадратными корнями двух последних
цифр года (например, 02.02.2004.). Главными блюдами на праздничном столе являются
кубики, вырезанные из вареных овощей и торт с изображением или в форме
квадратного корня.
По объективным математическим причинам этот праздник может отмечаться
строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй),
всегда в одни и те же дни:
1 января хх01 года
2 февраля хх04 года
3 марта хх09 года
4 апреля хх 16 года
5 мая хх 25 года
6 июня хх 36 года
7 июля хх49 года
8 августа хх64 года
9 сентября хх81 года
При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между
праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3,
5,7 и т. д.
Методы извлечения квадратного корня
В ходе данного исследования_ мною_ было_ обнаружено_ несколько_ методов
извлечения квадратного корня. Я рассмотрел те способы, которые мне больше
всего понравились.
1. Арифметический
2. Вавилонский
3. Столбиком
4. Метод Герона
Приведем примеры_ некоторых из них:
Арифметический _ способ
Для квадратов натуральных чисел верны следующие равенства:
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.
То есть, чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из
него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего
вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.
Например, найдем квадратный корень числа16 так:
16 - 1 = 15
15 - 3 = 12
12 - 5 = 7
7 - 7 =0
Выполнено 4 действия, значит, квадратный корень числа 16 равен 4. Аналогично
найдем квадратный корень числа 12:
12 - 1 = 11
11 - 3 = 8
8-5=3
3<7
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 12 равен 3 целым.
На мой взгляд, недостатком такого способа является то, что если
извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его
целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям,
решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного
корня.
Вавилонский метод
4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и
таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к
умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Они умели
находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.
Древние вавилоняне пользовались следующим методом нахождения
приближенного значения квадратного корня их числа х . Число х они представляли в
виде суммы а2+b, где а2ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и
пользовались формулой
.
x  a2  b  a 
b
. (1)
2a
Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например, из числа39:
3
≈6,25
√39 = √62 + 3 ≈ 6 +
2∗6
Результат извлечения корня из 39 с помощью калькулятора 6,2449979. Как
видим, метод вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
Столбиком
Извлечь квадратный корень из числа 86436.
Разобьём данное число справа налево
по две цифры. Получилось
три
группы чисел (8'64'36), первое из которых
однозначное число 8. Первая цифра искомого
числа должна быть наибольшей, квадрат
которой не превышает 8. Это цифра 2, так как
22 = 4 < 8. Квадрат её, число 4, подпишем под
числом 8 и вычитаем из восьми число четыре.
Сносим следующие две цифры 6 и 4. Слева от
полученного
числа
464
проводим
вертикальную черту. Первую найденную
цифру 2 удваиваем и подписываем слева от
черты, оставляя место для одной цифры между четвёркой и чертой. Эту цифру
подбираем так, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту найденную
цифру не превышало число 464. Этой цифрой является 9. Действительно, 49 ∙ 9 = 441 <
464. Найденная цифра 9 является второй цифрой искомого числа. Вычитаем из числа
464 число 441 и сносим последнюю пару цифр 3 и 6. Образовалось число 2336. Снова
удваиваем уже число 29 и также слева от черты пишем число 58, оставляя для
следующей цифры место между числом 58 и чертой. Подбираем эту цифру так, чтобы
произведение этого трёхзначного числа на эту цифру было наибольшим, но не
превышало числа 2336. Найденная цифра 4 является последней цифрой искомого
результата, то есть квадратный корень числа 86436 будет равен 294.
Этот способ мне понравился больше всего.
Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком:
1.
Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его
справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в
которой может быть и одна цифра.
2.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой
грани.
3.
Для нахождения второй цифры, из первой грани вычитают квадрат первой
цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа
делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают
испытанию.
4.
Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут
удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают
испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на
испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то
испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
5.
Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
6.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется
меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0,
сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Метод Герона
Ещё один из методов, который я изучил, был известен ещё в Древней
Греции и приписывается Герону Александрийскому. Герон жил в I веке н.э. и
описал в своих книгах закон отражения света, формулу вычисления площади
треугольника по трём сторонам, многочисленные механизмы. В наше время метод
Герона используется некоторых вычислительных машинах (может быть, и в вашем
калькуляторе!). Приведём пример извлечения квадратного корня этим методом:
Найдем приближенное значение квадратного корня из 560.
Ближайшее к 560 число, из которого извлекается квадратный корень, есть число 576,
1
оно имеет корнем 24. Разделив 560 на 24, получаем 23 . Найдем среднее
1
арифметическое чисел 24 и23 .
3
1
1
2
3
3
3
3
(23 + 24) : 2 =47 : 2 = 23 .
1
Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим 560
9
Погрешность составляет 1/9 единицы. Но при желании погрешность может быть
и меньшей. Для уменьшения величины погрешности процедуру следует проделать ещё
и ещё раз с вновь полученной величиной.
По моему мнению, именно метод Герона являются самыми простым и
доступными для учащихся школ. Кроме того, данные методы имеют самый маленький
коэффициент погрешности.
Вывод:В ходе решения некоторых математических задач приходится
оперировать с квадратными корнями. В ходе экзаменов в 9 классе и а в 11 классе по
математике учащимся приходится извлекать квадратный корень из числа без помощи
калькулятора. Представленные методы позволят всем, кто заинтересуется данной
темой, овладеть навыками вычисления квадратного корня, использовать их при
решении задач без калькулятора. При работе над данной темой было задействовано
большое количество математической литературы, освоение которой, позволило
повысить уровень математических знаний. Навыки, приобретенные по извлечению
квадратных корней, могут быть использованы при изучении математики в старших
классах. Мы надеемся, что работа будет полезна всем тем, кто увлекается математикой,
кто желает знать свыше программного материала, углубить свои знания и связать свою
будущую профессию с математикой.
Список литературы:
1. Савин А. П., «Энциклопедический словарь юного математика», Москва
«Педагогика»1985 г.; 352 стр.
Маковецкий П. В. «Смотри в корень», Сборник любопытных задач и вопросов, Москва
издательство «Наука» 1976 г., 448 стр.
2. Алгебра: Учеб. пособие для 8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред.
Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. – Мн.: Нар. асвета, 2005.
3. Петраков И.С. «Математические кружки в 8–10 классах»: Кн. для
учителя. – М.: Просвещение, 1987 г.
4. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Аксенова.
М.: Аванта+плюс. 2004 г.
5. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав.ред. М. Аксенова.
6.Wikipedia.org
7. http://festival.1september.ru/
8. http://mathematik.boom.ru/
9.http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/ru/