Перестановка из n элементов конечного

У р о к 73
ПЕРЕСТАНОВКА ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ
КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
Цели: ввести понятие перестановки из п элементов конечного множества, понятие п!;
вывести формулу нахождения числа перестановок с помощью комбинаторного правила
умножения и формировать умение ее применения при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Подсчитать число однобуквенных слов русского языка.
Решение
а – союз
б – сокращенное частицы «бы»
в – предлог
ж – сокращенное частицы «же»
и – союз
к – предлог
о – предлог
с – предлог
у – предлог и междометие
э – междометие
я – местоимение
З а м е ч а н и е: смысл упражнения в том, чтобы напомнить учащимся преимущества
организованного, систематического перебора вариантов. Не перечисляем произвольно
однобуквенные слова, а берем алфавит, просматриваем буквы и анализируем,
употребляется ли эта буква как самостоятельное слово или нет.
2. Важен или нет порядок в следующих выборах:
а) капитан волейбольной команды и его заместитель (да);
б) три ноты в аккорде (нет);
в) «шесть человек останутся убирать класс!» (нет);
г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма (да)?
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр:
1) 1 и 2 (8);
2) 0 и 1 (4)?
4. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных
комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? (15.)
III. Объяснение нового материала.
Решая на предыдущих уроках комбинаторные задачи, ученики обратили внимание, что
различные варианты составляемой комбинации элементов могут отличаться один от
другого: только порядком расположения выбранных элементов; только составом
входящих в комбинацию элементов, без учета порядка их расположения; как составом,
так и порядком расположения элементов в комбинации. Чтобы не решать каждую задачу
как «в первый раз», необходимо их систематизировать и для каждого типа выделить
алгоритм и формулу.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного
множества, являются перестановки.
З а д а ч а. В комнате вдоль стены стоят шкаф (ш), стол (с), кресло (к). Мама решила
сделать перестановку мебели. Сколько вариантов расположения этих трех предметов
мебели существует?
Опять нацеливаем ребят на то, что надо не произвольно называть варианты, а
выработать стратегию, алгоритм перечисления, перестановок:
1-й ш а г. Фиксируем первый элемент – шкаф, дописываем к нему два возможных
выбора из двух оставшихся элементов:
ш – с – к;
ш – к – с.
2-й ш а г. Фиксируем второй элемент – стол, дописываем к нему два возможных
выбора из двух оставшихся элементов:
с – ш – к;
с – к – ш.
3-й ш а г. Фиксируем третий элемент – кресло, дописываем к нему два возможных
выбора из двух оставшихся элементов:
к – ш – с;
к – с – ш.
И т о г о – 6 вариантов расположения мебели (один из которых является исходным).
Каждое из возможных таких расположений трех элементов называют перестановкой
из трех элементов.
Далее формулируем определение:
Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в
определенном порядке.
Обозначение: Рп (читается «Р из п»).
Затем замечаем, что для подсчета количества перестановок можно воспользоваться
комбинаторным правилом умножения, тогда
Рп = п (п – 1) (п – 2) · … · 3 · 2 · 1
или Рп = 1 · 2 · 3 · … (п – 2) (п – 1) · п
Pn  n! , где п! – произведение первых п натуральных чисел (читается «п
факториал!»), по определению 1! = 1
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащимся предлагаются для решения з а д а н и я трех типов:
1) На непосредственное применение формулы для вычисления количества
перестановок.
2) На выделение фиксированных элементов и вычисление количества перестановок из
оставшихся элементов.
3) На преобразование выражений, содержащих факториалы.
Упражнения:
№ 732, № 735. Несмотря на то, что эти упражнения очень просты, важно не допустить
формального применения учащимися формулы! Обязательно проводить анализ условия и
обосновывать, что речь в задаче идет именно о числе перестановок.
№ 732.
Решение
Количество человек равно количеству мест на скамейке, поэтому количество способов
размещения равно числу перестановок из 4 элементов:
Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
О т в е т: 24 способами.
В № 735 важно правильно понять вопрос задачи, тогда всего перестановок Р5 = 5! =
120, но выражений 119, так как исходное выражение не рассматриваем.
№ 736.
Решение
Три последние цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3 = 3!
= 6 возможных порядков, из которых только один верный. Наибольшее число вариантов
Ольге придется набрать, если правильный ответ окажется последним, то есть шестым.
О т в е т: 6 вариантов.
№ 737 (б).
Решение
Так как число шестизначное, следовательно, нуль не может стоять на первом месте.
Задачу можно решить двумя способами:
I с п о с о б. Применим комбинаторное правило умножения: на первое место можно
выбрать любую цифру из пяти (кроме нуля); на второе – любую из пяти оставшихся (нуль
входит); на третье – любую из четырех оставшихся после первых двух выборов цифр и т.
д. Общее количество вариантов равно:
5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600.
II с п о с о б. Метод исключения лишних вариантов.
Из 6 цифр можно сделать перестановок Р6 = 6! = 720, но в этом случае будут варианты
с нулем на первом месте, их и надо исключить.
Если нуль на первом месте (фиксирован), то количество способов размещения
оставшихся пяти цифр на пяти местах равно Р5 = 5! = 120.
Искомое
количество
шестизначных
чисел
в
этом
случае
равно
Р6 – Р5 = 720 – 120 = 600.
О т в е т: 600 чисел.
№ 738.
Решение
Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах в произвольном
порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Число вариантов равно Р3 = 3! = 6.
О т в е т: 6.
№ 746 (а, в).
Решение
а) Чтобы 30! делилось на 90, необходимо, чтобы все множители, на которые делится
90, содержались в 30!
90 = 3 · 30, поэтому 30! делится на 90.
в) 94 = 2 · 47, где 47 – простое число, его нет среди сомножителей 30!, поэтому 30! не
делится на 94.
№ 748 (а, в, г).
Решение
15! 14! · 15

14! = 15;
а) 14!
16!
14! · 15 · 16

14! · 2 · 3 = 40.
г) 14! · 3!
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что означает запись п!?
– Что называется перестановкой из п элементов?
– Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п элементов.
Домашняя работа: № 733, № 734, № 738 (б), № 746 (б, г), № 748 (б, д, е).