В6. Открытый банк заданий. Вписанные и описанные окружности

В6. Открытый банк заданий. Вписанные и описанные окружности
Треугольник
1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из
боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 6 и 1, считая от вершины, противолежащей
основанию. Найдите периметр треугольника.
2. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 596, основание равно 408. Найдите
радиус вписанной окружности.
3. В треугольнике ABC AC = 72, BC = 21, угол C равен 900 . Найдите радиус вписанной
окружности.
4. В треугольнике ABC AC = 2, BC = 1,5, угол C равен 900 . Найдите радиус вписанной
окружности.
5. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 68  34 2 . Найдите радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
6. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 22.
Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите c ( 2  1)
7. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 32,5, основание равно 60. Найдите
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 45,5, основание равно 84. Найдите
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
9. Сторона AB треугольника ABC равна 50. Противолежащий ей угол C равен 1500 . Найдите
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
10. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 18, равен 300 . Найдите сторону
AB этого треугольника.
11. Сторона AB треугольника ABC равна 41. Противолежащий ей угол C равен 300 . Найдите
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
31 3
12. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
. Найдите сторону
6
этого треугольника.
13. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 34. Найдите высоту этого
треугольника.
14. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна
48.
15. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 6. Найдите высоту
этого треугольника.
16. Высота правильного треугольника равна 36. Найдите радиус окружности, описанной около
этого треугольника.
17. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 31 3 . Найдите
сторону этого треугольника.
18. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 11, угол при вершине,
противолежащей основанию, равен 1200 . Найдите диаметр окружности, описанной около этого
треугольника.
19. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 42. Найдите
гипотенузу этого треугольника.
20. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 56. Найдите радиус окружности, описанной
около этого треугольника.
21. В треугольнике ABC BC  295 , угол C равен 900 . Радиус окружности, описанной около
этого треугольника, равен 16. Найдите AC.
22. Найдите хорду, на которую опирается угол 1200 , вписанный в окружность радиуса 41 3 .
23. Радиус окружности равен 7. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на
хорду, равную 7 2 . Ответ дайте в градусах.
24. Радиус окружности равен 37. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на
хорду, равную 37 2 . Ответ дайте в градусах.
25. Найдите хорду, на которую опирается угол 300 , вписанный в окружность радиуса 22.
26. Найдите хорду, на которую опирается угол 900 , вписанный в окружность радиуса 5.
27. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры
отсеченных треугольников равны 8, 29, 53. Найдите периметр данного треугольника.
Квадрат, прямоугольник
28. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 15.
29. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса 5 2
30. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной 38 2 .
31. Меньшая сторона прямоугольника равна 36. Угол между диагоналями равен 600 . Найдите
радиус описанной окружности этого прямоугольника.
32. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 8.
33. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны
16 и 185 .
34. Около окружности, радиус которой равен 33 2 , описан квадрат. Найдите радиус
окружности, описанной около этого квадрата.
Шести- и более угольник
35. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой
окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 800 . Найдите n.
36. Периметр правильного шестиугольника равен 144. Найдите диаметр описанной окружности.
37. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 70 3
38. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой
равен 50?
39. Около окружности, радиус которой равен 2 3 , описан правильный шестиугольник. Найдите
радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
4-хугольник
40. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 5:7:13 (2:9:16). Найдите угол D, если
около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
41. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 220 и 450 . Найдите больший из
оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
42. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в
последовательном порядке) как 1:9:14. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если
известно, что его периметр равен 150.
43. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  6; BC  2; CD  14 . Найдите четвертую
сторону четырехугольника.
44. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны
15 и 21. Найдите большую из оставшихся сторон.
45. В четырехугольник ABCD вписана окружность
четырехугольника.
AB  45; CD  39 . Найдите периметр
46. Острый угол ромба равен 300 . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 4,5. Найдите
сторону ромба.
47. Сторона ромба равна 38, острый угол равен 300 . Найдите радиус окружности вписанной в
этот ромб.
Трапеция
48. Основания равнобедренной трапеции равны 288 и 84. Радиус описанной окружности равен
150. Найдите высоту трапеции.
49. Основания равнобедренной трапеции равны 192 и 56. Радиус описанной окружности равен
100. Найдите высоту трапеции.
50. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при
основании равен 600 , большее основание равно 94. Найдите радиус окружности, описанной
около этой трапеции.
51. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24, средняя линия равна 11.
Найдите боковую сторону трапеции.
52. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 108, средняя линия равна 22.
Найдите боковую сторону трапеции.
53. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 100. Найдите ее среднюю
линию.
54. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 5 и 1. Найдите среднюю
линию трапеции.
55. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая
боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.
56. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 100. Найдите ее среднюю
линию.
57. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 21 и 3. Найдите среднюю
линию трапеции.
58. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 36.
В6. Открытый банк заданий. Углы, связанные с окружностью
1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/3 окружности. Ответ
дайте в градусах.
2. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/12 окружности. Ответ
дайте в градусах.
3. Центральный угол на 29 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу
окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите центральный угол АОВ, если он на 560 больше вписанного угла АСВ, опирающегося
на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
5. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины
которых относятся как 2:15:19. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в
градусах.
6. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 2150 . А дуга окружности BC, не
содержащая точки A, составляет 250 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
7. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол
AOD равен 840 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
8. АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 710 .
Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
9. Угол ACO равен 410 . Его сторона CA касается
окружности. Найдите градусную величину большей дуги
AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ
дайте в градусах.
10. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается
окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD
окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1010 .
Ответ дайте в градусах.
11. Угол ACO равен 250 , где O – центр окружности. Его сторона CA касается окружности.
Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в
градусах.
12. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O – центр окружности, а
меньшая дуга окружности AB, заключенная внутри этого угла, равна 380 . Ответ дайте в градусах.
13. Угол ACB равен 210 . Градусная величина дуги AB окружности, не
содержащей точек D и E, равна 1140 . Найдите угол DAE. Ответ дайте в
градусах.
14. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1060 .
Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания.
Ответ дайте в градусах.
15. Через концы A, B дуги окружности в 420 проведены касательные AC
и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
16. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 350 .
Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в
градусах.
17. Хорда AB стягивает дугу окружности в 560 . Найдите угол ABC между
этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B.
Ответ дайте в градусах.
18. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1100 ,
угол ABD равен 280 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
19. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 790 ,
угол CAD равен 370 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
20. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 1060 ,
угол CAD равен 67 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
21. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту
окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины
которых относятся соответственно как 1:3:14:18. Найдите угол A
четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
22. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги
описанной окружности, градусные величины которых равны
соответственно
Найдите
угол
B
этого
740 ,950 ,900 ,1010 .
четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
23. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 560 . Найдите угол C этого
четырехугольника. Ответ дайте в градусах.