Лабораторная работа №4 ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ
КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определить частоту колебаний системы и частоту бие ний в случае свободных колебаний. Построить амплитудно частотную характеристику и определить резонансные частоты для вынужденных колебаний двух маятников, связан ных упругой пружиной. Выполнить статистическую обра ботку полученных экспериментальных данных и провести
анализ результатов работы.
МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
РАБОТЫ
Свободные колебания маятников
Свободными называются колебания, происходящие в
системе в отсутствии внешних сил. Два маятника, связан ные упругой связью и обладающие двумя степенями свобо ды, представляют собой колебательную систему, в которой
может происходить перераспределение энергии. Число сте пеней свободы – это минимальное число независимых ко ординат, с помощью которых можно полностью описать
состояние системы. В данной работе такая система реали зована (рис. 4.1.а,б) в виде двух маятников 13, 14 с регулируемыми параметрами (длина, вес груза), связанных с по мощью двух одинаковых пружин 17 и C-образной обоймы
11, закрепленной на стержне второго (более удаленного от
наблюдателя) маятника 6. Пружины соединяют оконечные
участки обоймы 11 со стержнем первого (более близкого к
43
наблюдателю) маятника 12. Углы отклонения обоих маятников от положения равновесия будем считать положи тельными при смещении маятников против движе ния часовой стрелки.
8
9
7
10
6
11
5
12
4
13
14
3
2
1
Рис. 4.1.а
44
18
17
16
15
Рис. 4.1.б
Каждый маятник участвует в периодическом вращатель ном движении, которое может быть описано уравнением
движения вращающегося тела (второй закон Ньютона):
45
M  I  ,
(4.1)
где M – суммарный момент сил;
I – момент инерции маятника;
d 2
  2 – угловое ускорение;
dt
 – угловое смещение;
t – текущее время.
O
O
1
2

Fупр

Fупр
Fупр

Fн

m1 g

Fн

m2 g
Рис. 4.2
Учитывая схему опыта (рис. 4.2), запишем уравнения
движения в скалярном виде:
M 1  m1 gl1 sin 1  Fупр a cos 1 ,

M 2  m2 gl2 sin  2  Fупр a cos  2 .
Учтем, что при малых углах sin 1  1 и sin 2   2 ; cos1  1
и cos 2  1 . Момент силы натяжения нити Fн равен нулю.
46
Тогда сила упругости равна
Fупр  kx  ka(sin 1  sin  2 )  ka(1   2 ) .
Заметим, что ошибки здесь нет, т.к. второй маятник отклонен в противоположную сторону,  2  0 .
Тогда взаимосвязь между моментами сил, действующими
на первый и второй маятники, описывается следующими со отношениями:
M 1   D11  D' 1   2 ,
M 2   D2 2  D' 1   2 ,
(4.2)
где D1  m1 gl1 ; D2  m2 gl 2 ; D   2Ka 2 ;
m1 , m2 – массы грузов первого и второго маятников соот ветственно (13, 14);
l1 , l 2 – расстояния от оси вращения до центров масс пер вого и второго грузов;
g – ускорение свободного падения тел;
K – коэффициент жесткости одной из двух одинаковых
пружин (17);
a – расстояние от оси вращения до точки крепления
пружин на стержне первого (12) маятника (А). На таком же
расстоянии от оси должна быть укреплена обойма на стерж не второго (6) маятника (В); D1 , D2 , D – определяются
массой и геометрией каждого маятника.
Уравнения движения маятников, учитывая соотношение
(4.1), имеют следующий вид:
I
d 21
dt
2
  D11  D' 1   2 ,
(4.3)
I
d 2 2
dt 2
  D2 2  D' 1   2 .
47
Решение системы уравнений (4.3) существенно упро щается, если ограничиться следующими условиями прове дения опытов:
m1  m2  m ; l1  l2  l .
При этом
I1  I 2  I  ml 2 ;
D1  D2  D  mgl .
С учетом принятых обозначений, складывая и вычитая
уравнения системы (4.3), получаем:
I
d2
dt
2
1   2    D1   2 ,
(4.4)
I
d2
dt 2
1   2   D  2 D'1   2 .
Каждое из уравнений (4.4) описывает гармонические колебания с частотами 1 ,  2 .
Решения уравнений (4.4) имеют вид:
1   2  A1 cos 1t  B1 sin 1t ,
(4.5)
1   2  A2 cos  2t  B2 sin  2t ,
где A1 , B1 , A2 , B2 – постоянные коэффициенты, определяе мые из начальных условий. Меньшую из частот 1 ,  2 называют основной. Именно с такой частотой будет колебать ся каждый из маятников при отсутствии связи между ними.
Величины частот и соответствующих им периодов коле баний T1 , T2 рассчитываются по следующим формулам:
48
1 
2

T1
D
2
( D  2 D )

; 2 
.
I
T2
I
(4.6)
Рассмотрим три основных случая колебаний: синфазные
(первая мода), когда в начальный период оба маятника от клонены на одинаковый угол  0 относительно положения
равновесия; встречные колебания (вторая мода), когда в ис ходном положении оба маятника отклонены от положения
равновесия на одинаковые углы (  0 ), но в разные стороны;
и биения, когда начальное смещение одного из маятников
равно нулю, а величины собственных частот маятников име ют близкие значения, т.е.
1   0  1 ~  2 .
При синфазных колебаниях начальные условия при t  0
имеют следующий вид:
1 0   2 0   0 ,
d1 0  d 2 0 

 0.
dt
dt
(4.7)
Подставляя (4.7) в формулу (4.5) и решая систему урав нений, находим:
A1  2 0 ;
A2  B2  0 ;
1 (t )   0 cos 1t ;  2 (t )   0 cos  2 t .
Таким образом, влияние связи при данном виде колеба ний исчезает и длительности периодов колебаний маятни ков имеют одинаковую величину и приближаются, в преде лах точности эксперимента, к длительности периода мате матического маятника такой же длины:
49
T1 
2
1

2
I
l
.
 2
 2
D
g
D
I
(4.8)
Встречные колебания характеризуются следующими на чальными условиями (при t  0 ):
1 (0)   2 (0)   0 ,
d1 0 d 2 0

 0.
dt
dt
(4.9)
Подставляя (4.9) в (4.5), находим:
1 (t )   0 cos  2 t ;  2 (t )   0 cos 2 t .
Наличие связи между маятниками в этом случае уже су щественно, как следует из анализа соотношения (4.6) для
 2 . Таким образом, каждый из маятников совершает гармо нические колебания, период которых равен:
T2 
2
2

2
I
 2

D

2
D
'
D  2 D'
I
2
2
g 4 Ka

l
ml 2
.
(4.10)
Биения возникают при следующих начальных условиях:
1 (0)   0 ;  2 (0)  0;
d1 0 d 2 0

 0.
dt
dt
(4.11)
В этом случае решение системы уравнений (4.5) имеет
вид:
50
A1  A2   0 ; B1  B2  0 ;
  2
  2
 0 
t  cos 1
t,
cos 1t  cos  2t    0 cos 1
2
2
2
 
1 t   
(4.12)
  2
  2
 0 
t  sin 1
t.
cos  2t  cos 1t    0 sin 1
2
2
2
 
 2 t   
Введем следующие обозначения:

1   2
 мод 
2
– средняя частота колебаний маятника;
1   2
2
– частота "модуляции".
Тогда соотношения (4.12) принимают сл едующий вид:
1 t    0 cos  мод t  cos t ,
 2 t    0 sin  мод t  sin t.
(4.13)
Из анализа соотношений (4.13) следует, что они пред ставляют собой гармонические колебания с частотой, ам плитуда и фаза которых не остаются постоянными через про межутки времени, равные произвольному цел ому числу периодов. Колебания подобного типа широко используются в
электросвязи, где их называют модулированными. Модуля ция – это изменение параметров колебаний с частотами, зна чительно меньшими частоты самих колебаний (  мод   ). В
зависимости от вида основного измеряемого параметра раз личают амплитудную, частотную и фазовую модуляции. В
рассматриваемом случае имеют место амплитудно -модули-
51
рованные колебания, что представляется более наглядным
при следующей форме записи соотношений (4.13 ):
1 t   a1 t   cos t ,
(4.14)
 2 t   a2 t   sin t ,
где
a1 (t )   0 cos  мод t ,
a2 (t )   0 sin  мод t.
(4.15)
При соблюдении условия
1   2 ,  мод  
амплитуды колебаний a1 (t ) и a2 (t ) относительно медленно
изменяются в течение нескольких колебаний с частотой  ,
т.е. уравнения (4.14) соответствуют почти гармоническим
колебаниям. При этом каждый из маятников совершает
колебания с периодом
T
2

(4.16)
а амплитудные значения колебаний изменяются в пределах
от 0 до  0 , причем фазы изменений амплитуд, как показано
на рис. 4.3, отличаются на  / 2 .
Так как энергия гармонических колебаний пропорцио нальна квадрату амплитуды, то, как показано на рис. 4.3,
происходит периодическая передача энергии от одного маят ника к другому. Длительность одного цикла передачи энер гии от одного маятника к другому и обратно называется пе риодом биений ( Tб ).
52
 2 (t )
 2 (t )
E (t )
Рис. 4.3
Найдем зависимости, определяющие энергию каждого из
маятников, полагая амплитуды a1 (t ) и a2 (t ) практически
постоянными в течение одного цикла колебаний с частотой
 . С учетом данного упрощения, ос нованного на пренебрежении энергией, передаваемой пружиной маятнику за один
период колебаний, значения кинетических энергий маят ников имеют следующий вид:
1
1   t  
1
 mV12  m 1   m 2 a12 t sin 2 t .
2
2  t 
2
2
E k1
(4.17)
53
1
1   t  
1
 mV22  m 2   m 2 a 22 t  cos 2 t , (4.17')
2
2  t 
2
2
Ek 2
где 1 (t ) и  2 (t ) описываются соотношениями (4.14), а зна чения a1 (t ) и a2 (t ) полагаются практически постоянными ве личинами, т.е.
а1 t 
а2 t 

 0.
t
t
(4.18)
Потенциальная энергия каждого из маятнико в определяется следующими соотношениями:
E П1
m 212 t  m 2 a12 t  2


cos t ,
2
2
(4.19)
EП 2
m 2 22 t  m 2 a22 t  2


sin t.
2
2
Полная энергия каждого из маятников равна соответст венно:
m 2 a12 (t )
E1  E к1  E п1 
,
2
(4.20)
E2  Eк 2  Eп2
m 2 a 22 (t )

.
2
Cложив соотношения (4.20), получим выражение для
полной энергии двух маятников:
1
E  E1  E 2  m 02 2 .
2
54
(4.21)
Разность энергий двух маятников с учетом соотношения
2 мод  1   2
равна


1
E1  E2  m 02 2 cos 2  мод t  sin 2  мод t 
2
(4.22)
1
 m 02 2 cos 2 мод t  E cos1   2 t.
2
Система уравнений (4.21) и (4.22) позволяет представить
соотношение для полной энергии каждого из маятников в
следующем виде:
E1 
1
E 1  cos1   2 t ,
2
(4.23)
E2 
1
E 1  cos1   2 t .
2
Из анализа соотношений (4.21) и (4.23) следует, что пол ная энергия системы остается с течением времени постоян ной. Вместе с тем, имеет место передача энергии от одного
маятника к другому с частотой биений, равной
б 
 2  1
2
.
(4.24)
Соотношение (4.24) можно записать в следующем виде:
2 2 2
,


Tб
T1 T2
следовательно,
55
1
1 1
  .
Tб T1 T2
(4.25)
При прочих начальных условиях движение маятников описывается сложными формулами, вид которых существенно
зависит от условий связи маятников.
Вынужденные колебания
Вынужденные гармонические колебания возникают в тех
случаях, когда колебательная система подвергается дейст вию внешней силы, изменяющейся по закону:
F  F0 cos t .
(4.26)
где F0 – амплитуда внешней силы;
 – частота вынуждающей силы.
Амплитуда колебаний системы зависит от частоты вы нуждающей силы. Частота  , при которой амплитуда колебаний системы принимает наибольшее значение, называ ется резонансной:
 рез   02  2  2 ,
(4.27)
где  0 – частота собственных колебаний системы;
 – коэффициент затухания.
В исследуемой колебательной системе величина  относительно мала и резонанс возникает на частотах, близких
по величине к частотам 1 ,  2 , определяемым по формулам
(4.6). При этом будет наблюдаться "двугорбый" резонанс,
амплитудно-частотная характеристика которого имеет вид,
изображенный на рис. 4.4, где A – амплитуда колебаний на
текущей частоте, а Amax – наибольшая из амплитуд во всем
диапазоне измерений.
56
При первом резонансе (1 ) маятники будут иметь
одинаковые фазы, но амплитуда колебаний первого маятни ка будет больше, чем у второго. При втором резонансе ма ятники будут иметь противоположные фазы, а частота бу дет близкой к собственной частоте второго маятника.
1
2

Рис. 4.4
Для проведения исследований вынужденных колебаний
необходимо (см. рис. 4.1) с помощью двух одинаковых пру жин 18 соединить обойму 10, укрепленную на вынуждающем стержне 5 (третьем по счету от наблюдателя), со вто рым стержнем 6 и включить прибор. Высота установки
обоймы определяет амплитуду вынуждающей силы, а ско рость вращения двигателя – частоту ее изменений.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Общий вид прибора FPM-13 для исследования свободных
и вынужденных механических колебаний с двумя степеня ми свободы представлен на рис. 4.1. Основание 1 оснащено
регулируемыми ножками, обеспечивающие выравнивание
прибора. В основании прибора закреплена колонка 2. На
колонке закреплена втулка 7 и кронштейн 3. На стержне 8
57
втулки находятся три подвески 9 на которых посредством
шариковых подшипников установлены два маятника и стер жень 5, возбуждающий колебания. Маятники состоят из
стержней 6, 12 и перемещаемых грузов 13, 14.
Маятники сопряжены друг с другом при помощи дву х
пружин 17, закрепленных в специальной С-образной обойме 11, которую можно перемещать вдоль стержней маятни ков. Возбуждение колебаний осуществляется при помощи
приводного диска, закрепленного на вале электродвигателя,
который, двигая стержень 5, сопряженный при помощи двух
пружин 18 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания. Электродвигатель находится в блоке управления и из мерения 15. К нижнему кронштейну 3 прикреплена угловая
шкала 16, при помощи которой определяется амплитуда ко лебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектри ческий датчик 4, световой поток которого пересекает стер жень 6 одного из совершающих колебания сопряженных ма ятников. На лицевой панели приборов установлены пере ключатели режимов работы, счетчики времени и числа полных колебаний, а также регулятор скорости двигателя.
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Для проведения исследований связанных колебаний с по мощью прибора FPM-13 необходимы 4 одинаковые пружи ны и два груза, которые входят в комплект прибора. Перед
началом работ необходимо убедиться, что прибор выровнен
относительно несущей поверхности и стержни маятников
параллельны друг другу. Регулировка положения стержней
и выравнивание положения прибора могут выполняться
только с разрешения лаборанта. Во время изм ерений нельзя
сотрясать установку, т.к. это приводит к искажению резуль татов эксперимента. Оба маятника при отсутствии связи
между ними должны иметь равные периоды колебаний, что
достигается установкой на стержне одинаковых грузов,
удаленных на равные расстояния от оси вращения.
58
Свободные колебания маятников
1. Измерение периода синфазных колебаний
При исследовании свободных синфазных колебаний необходимо укрепить две пружины, соединяющие первый (ближ ний к наблюдателю) стержень 12 маятника с С-образной
обоймой 11, закрепленной на стержне 6 второго маятника.
Грузы маятников 13, 14 должны быть идентичными и ук репляются на нижней части стержней на одинаковом рас стоянии от оси вращения. Дальние пружины отсоединить.
Нажать кнопку "Сеть", отклонить маятники в одну сторону на одинаковые углы (около 5 -6 o ) и одновременно отпустить их. Нажать и отпустить кнопку "Сброс" , и после
высвечивания на счетчике числа циклов колебаний цифры
"9" нажать и отпустить кнопку "Стоп". При этом прибор
должен отсчитать N  10 циклов колебаний и соответствующий их суммарной длительности интервал времени изме рений (t изм ) . Снять показания счетчиков и занести их в таб лицу 1. Выполнить измерения n  5  10 раз. Период синфазных колебаний равен:
Tсф 
t изм.сф
N
,
(4.28)
где N – число циклов колебаний;
n – число измерений.
Таблица 1
номер
опыта
n
t изм
N
T1 (изм)
 T1 
T1
E1
T1расч.
1
2
3
4
5
59
Рассчитать среднее значение T1 , среднюю квадратичную
ошибку и абсолютную ошибку T1 . Округлить значение T1 с
нужной степенью точности.
Рассчитать теоретическое значение периода синфазных
колебаний по формуле (4.8) и сравнить с измеренным (с
учетом ошибки измерений).
2. Измерение периода противофазных колебаний
Исследования противофазных колебаний выполняются в
той же последовательности, что приведенные в п.1 для син фазных колебаний. Отличие состоит в том, что для возбуж дения противофазных колебаний в начальный момент вре мени первый маятник необходимо отклонить на такой же
угол влево от положения равновесия. После этого необхо димо одновременно отпустить оба маятника и, выполнив
аналогично п.1 измерения величин t изм , N , занести их в таблицу 2. Период противофазных колебаний равен:
Tпр. 
tизм.пр.
N
.
(4.29)
Измерения повторить n  5  10 раз.
Таблица 2
номер
опыта
n
t изм
N
T2 (изм)
 T2 
T2
E2
T2 расч.
1
2
3
4
5
Рассчитать среднее измеренное значение T2 , его среднюю
квадратичную и абсолютную ошибки. Округлить результат.
60
Рассчитать теоретическое значение периода противофаз ных колебаний по формуле (4.10) и сравнить с измеренным
(в пределах ошибок).
Измерить расстояния l от центров грузов до оси вращения и расстояние a от точки крепления пружин до оси вра щения. Узнать у лаборанта коэффициент жестк ости пружины K и массу груза m . Указанные данные занести в
тетрадь.
3. Измерение периода биений
Измерения периода биений выполняются аналогично п.1.
Отличия состоят в следующем. В начальный момент вре мени первый маятник необходимо отклонить вправо на угол
5-6, а второй маятник придержать около положения рав новесия. Одновременно отпустить оба маятника и в момент
остановки первого маятника нажать кнопку "Сброс". Визу ально отсчитать количество остановок первого маят ника
(не менее 11), включая первый и последний отсчет, после
чего нажать кнопку "Стоп". Снять показания со счетчика
времени и занести их, а также число нулевых периодов ( N )
в таблицу 3. Период биения определяется по формуле:
Tб 
tизм.сф
N 1
.
(4.30)
Измерения повторить n  5  10 раз.
Таблица 3
номер
опыта
n
t изм
число
остано- Tб (изм)  Tб 
вок N
 Tб
Tб
Tб , расч.
1
2
3
4
5
61
Рассчитать среднее измеренное значение Tб , его среднюю квадратичную и абсолютную ошибки. Округлить ре зультат.
Рассчитать теоретическое значение периода противофазных колебаний по формуле (4.25) и сравнить с измеренным
(в пределах ошибок).
Вынужденные колебания
В дополнение к ранее выполненным операциям при под готовке прибора к работе необходимо укрепить две верхние
пружины, соединяющие стержень 6 маятника с С-образной
обоймой 10, закрепленной на стержне 5 для возбуждения
колебаний на расстоянии, близком к l 4 от оси вращения.
Включить питание двигателя. В каждом фиксированном по ложении регулятора числа оборотов двигателя после уста новления амплитуды колебаний, нажимая кнопки "Сброс" и
"Стоп", как описано в п.1, снять показания счетчиков числа
циклов колебаний первого маятника 12 (  0 ). Полученные
данные занести в таблицу 4. Период вынужденных колеба ний равен:
t
Tв  изм.в. .
(4.31)
N
Таблица 4
номер
опыта
n
t изм
N
Tв
в
0
После обработки экспериментальных да нных построить
зависимость амплитуды от частоты колебаний ( 0 ( в )) , где
в 
62
2
.
Tв
По графику  0 ( в ) определить и занести в таблицу 5 резонансные частоты вынужденных колебаний (1,  2 ) и сравнить их с
 сф 
2
,
Tсф
 пф 
2
,
Tпф
рассчитанными по данным таблиц 1,2, и занести их в таб лицу 5.
 сф
 пф
Таблица 5
1
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Оцените величину случайной ошибки измерения вре мени t (границу доверительного интервала) во всех уп ражнениях.
2. Сравните наибольшую (из всех упражнений) величину
случайной ошибки t с погрешностью прибора при ручном
хронометраже t n  0.1 с. В случае если эти величины одно го порядка или t n  t , воспользуйтесь формулой (4.35)
для оценки погрешности измерений.
3. Оцените абсолютную погрешность измерения периода
противофазных колебаний.
4. Оцените относительную погрешность измерения пери ода противофазных колебаний.
5. Оцените абсолютную погрешность измерения периода
синфазных колебаний.
6. Оцените относительную погрешность измерения пери ода синфазных колебаний.
63
7. Оцените абсолютную погрешность измерения периода
биения.
8. Оцените относительную погрешность измерения периода
биения.
9. Объясните, в каком случае относительная ошибка са мая большая и почему?
10. Рассчитайте величину относительной ошибки частот
 сф. ,  пф. ,  б. как ошибку косвенных измерений.
11. Рассчитайте теоретические значения Tсф. , Tпф. , Tб. ;
сравните с экспериментальными с учетом погрешности из мерений.
12. Укажите абсолютную ошибку в Tпф. , теоретически
связанную с неточностью с неточностью определения l и g .
13. Укажите абсолютную ошибку в Т сф , связанную с погрешностями l , g , k , a, m .
14. Что называется нормальными колебаниями или мода ми системы?
15. Опишите, как практически можно осуществить нор мальные колебания.
16. Выведите период синфазных колебаний.
17. Выведите период противофазных колебаний.
18. Рассчитайте, что такое модуляция колебаний.
19. Выведите уравнение и определите частоту колебаний
маятников при биениях.
20. Расскажите, как меняется со временем энергия каж дого из маятников при биениях.
21. Покажите, с какой частотой происходит передача энер гии от одного маятника к другому.
22. Выведите выражение для полной энергии системы.
23. Выведите уравнение вынужденных колебаний.
24. Расскажите, что называется резонансом.
25. Выведите связь между резонансной частотой и часто той собственных (свободных) колебаний системы.
26. Выведите выражение для частотной зависимости ам плитуды при резонансе.
64
27. Как связаны частоты затухающих колебаний и резо нансная?
28. Объясните, почему в данной системе наблюдается две
резонансные частоты?
29. Что такое степень свободы?
30. Какие степени свободы имеет система маятников в
данной работе и почему из две?
65