ФОРМИРОВКА И РЕШЕНИЈЕУ РАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

ФОРМУЛИРОВКА И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Г.В.Јелић
Факултет техничких наука у Косовској Митровици, Србија
FORMATION AND CALCULATION OF THE WAVE EQUATION
G.V.Jelic
Faculty of Technical Sciences in Kosovska Mitrovica, Serbia
Abstract: One of the basic equations of mathematical physics (for instance function of two independent
variables) is the differential equation with partial derivatives second order:
2
 2u
2  u

a
t 2
x 2
(1)
This equation is called the wave equation, and is provided when considering the process of transverse
oscillations of wire, longitudinal oscillations of rod, electrical oscillations in a conductor, torsional vibration at
wave, etc… The paper shows how to form the equation (1) which is the equation of motion of each point of wire
with abscissa x in time t during its oscillate. It is also shown how to determine the equation (1) in the task of
electrical oscillations in a conductor. Then equation (1) is determined, and this solution satisfies the boundary
and initial conditions.
Резюме: Основным уравнением математической физики называют (для случай функции двух
независимых переменных) диференциальное уравнение с частными производными второго порядка:
2
 2u
2  u

a
t 2
x 2
(1)
Это уравнение называется волновое уравнение и добывается при рассмотрении процессов поперечных
колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных
колебаний вала и т.д. В работе пказано как формироватся уравнение (1) которое представлят
уравнение движения каждой точки струнй с абсциссой x в момент t при ее колебаний. Также показано
как к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. За тем уравнение (1)
решено и это решение удовлетворяет граничным и начальным условиям.
Формировка уравнения колебаний струны
В математической физике под струной понимают гибкую, у пругую нитъ. Пустъ
струна длины l в началъный момент направлена по отрезку оси Ох от О до l.
Предположим, что концы струны закреплены в точках х=0 и х= l. Если струну
отклонитъ от ее первоначалъного положения, а потом предоставитъ самой себе или, не
отклоняя струны, придатъ в началъный момент ее точкам некоторую скоростъ, или
отклонитъ струну и придатъ ее точкам некоторую скоростъ, то точки струны будут
совершатъ движения- говорят, что струна начнет колебатъся. Задача заключается в
определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения
каждой точки струны в зависности от времени.
Рассматриваем малые отклонения точек струны от началъного положения,
перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. Процесс колебания струны описывается
одной функцией u(х,t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой
х в момент t (рис.1).
Рис.1
Так как рассматриваем малые отклонения струны
в плоскости (х,u), то будем предпологатъ, что длина
элемента струны M 1 M 2 равняется ее проекции на осъ
Ох, т.е. M 1 M 2 =х2-х1. Также будем предполагатъ, что
натяжение во всех точках стуны одинаковое и
обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны ММ' (рис.2).
На концах этого элемента, по касателъным к струне,
действуют силы Т. Пустъ касателъные образуют с
осъю Ох углы  и    . Тогда проекция на осъ Оu
сил, действующих на элемент ММ', будет равна
T sin(    )  T sin  . Так как угол  мал, то можно
положитъ tg  sin  , и будем иматъ:
T sin(    )  T sin   Ttg (   )  Ttg 
 u( x  x, t )
 u( x  x, t ) u( x, t ) 
T

T
x 

x
x 
x 2

 2 u ( x, t )
Рис.2
T
x,
01
x 2
Здес к выражению, стоящему в квадратныхскобках, применена теорема Лагранжа.
Чтобы получитъ уравнение движения, нужно внешние силы, приложеные к
элементу, приравнятъ силе инерции. Пустъ  - линейная плостностъ струны. Тогда
2
 2u
масса элемента струны будет x . Ускорение эдуьута равно
. Следователъно, по
t 2
принципу Даламбера будем иматъ:
 2u
 2u
x 2  T 2 x .
t
x
T
Сокращая на x и обозначая  a 2 , получаем уравнение движения

2
 2u
2  u
.
(1)

a
t 2
x 2
Это и естьволновое уравнение-уравнение колебаний струны. Для полного
определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция у
(х, t) должна удовлетворять еще граничньм условиям, указывающим, что делается на
концах струны х=0 и х=l, и начальные условиям, описывающим состояние струны в
начальный момент t=0.
Пусть, например, как предполагали, концы струны при х=0 и х=l неподвижны.
Тогда при любом t должны выполняться равенства:
u (0, t )  0,
(2)
u (l , t )  0.
(2')
Эти равенства являются граничными условиями для задачи.
В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую ей придали.
Пусть эта форма определяется функцией f(x). Таким образом, должно быть
u( x,0)  u / t 0  f ( x).
(3)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны,
которая определяется функцией  (x ) . Таким образом, должно быть
u
/ t  0   (x ) .
(3')
t
Условия (3) и (3') являщтся начальными условияни.
Замечание. Может быть f(х)  0 или  ( x)  0 . Если f(х)  0 и  ( x)  0 , то струна
будет находиться в покое, следовательно, u ( x, t )  0 .
Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических
колебаниях в проводах. Это можно показать. Электрический ток в проводе
характеризуется величиной i(x,t) и напряжением v(x,t), которые зависят от координаты
х точки провода и от времени t. Рассмотривая элемент провода x , можем написать,
v
что падение напряжения на элементе x равно v( x, t )  v( x  x, t )   x . Это
x
падание напряжения складывается из омичекого, равного iRx , и индуктивного,
i
равного Lx . Итак,
t
v
i
 x  iRx  Lx,
(4)
x
t
где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу
длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном
возрастанию v . Сокращая на x , получаем уравнение
v
i
 iR  L  0.
(5)
x
t
Далее, разность токов, выходящего из элемента x и входящего в него за время t ,
будет
i
i ( x, t )  i ( x  x, t )   xt.
x
v
Она расходуется на зарядку элемента, равнущ Cx t , и на утечку через боковущ
t
повекхность провода вследствие несовршенства изоляции, равнущ Avxt (здесь
A  коэффициент утечки). Приравния эти выразения и скращая на xt , получим
уравнение
i
v
C
 Av  0.
(6)
x
t
Уравнения (5) и (6) называщтся телеграфными уравнениями.
Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержаеещее только
искомую функцию i ( x, t ) , и уравнение, содржащее только искомую функцию v ( x, t ) .
Продифференцируем члены уравнения (6) по х; члены уравнения (5)
продифференцируем по t и умножим их на С. Производя вычитание, получим:
 2i
v
i
 2i
(7)

A

CR

CL
 0.
x
t
x 2
t 2
v
Подставляя в последнее уравнение выражение
из уравнения (5), получим:
x
 2i
i
i
 2i

A
(

iR

L
)

CR

Cl
0
t
t
x 2
t 2
 2i
 2i
i
 CL 2  (CR  AL)  ARi.
или
(8)
2
t
x
t
Аналогичным образом получается уравнение для определения v ( x, t ) :
 2v
 2v
v
(9)

CL
 (CR  AL)  ARv
2
2
t
x
t
 2v
 2v
v
или
(10)
 CL 2  (CR  AL)  ARv.
2
t
x
t
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то
уравнения (8) и (10) преходят б волновые уравнения:
 2i  2i
 2v  2v
a2 2  2 , a2 2  2 ,
x
t
x
t
1
.
где обозначено: a 2 
CL
Решение уравнения колебаний струны
Пусть требуется найти решение уравнения
2
 2u
2  u
(1)
a
t 2
x 2
удовлетворяющее краевым условиям:
u (0, t )  0,
(2)
u (l , t )  0,
(3)
u ( x,0)  f ( x),
(4)
u
/ t 0   ( x).
(5)
t
Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2) и
(3) в виде произведения двух функций Х(х) и Т(t), из которых первая зависит только от
х, а вторая только от t:
u ( x, t )  X ( x)T (t ).
(6)
2
Поставляя в уравнение (1), получаем: X ( x)T ' ' (t ) = a X ' ' ( x)T (t ) и разделив членьи
равенства на a 2 XT ,
T ''
X ''

.
(7)
2
X
a T
В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, справафункция, не зависиящая от t. Равенство (7) возможно только в том случае, когда левая и
правая части не зависят ни от х, ни от t, т.е. равны постояному числу. Обозначим его
через   , где  >0. Итак,
T ''
X ''

  .
2
X
a T
Из этих равенств получаем два уравнения:
(8)
X ' 'X  0
2
T ' ' a T  0 .
(9)
Общие решения этих уравнений будут
X ( x)  A cos  x  B sin  x,
(10)
T (t )  C cos a  t  D sin a  t ,
где A, B, C, D произвольные постоянные.
Подставляя выражения Х(х) и Т(t) в равенство (6), получим:
u ( x, t )  ( A cos  x  B sin  x)(C cos a  t  D sin a  t ).
(11)
Подберем теперь постоянные А и B так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3). Так
как Т(t)  0 (в противном случае будет u ( x, t )  0 , что противоречит поставленному
условию), то функцияХ(х) должна удовлетворять условиям (2) и (3), т.е. должно быть
Х(0)=0, Х(l)=0. Подставляя значения х=0 и х=l в равенство (10), на основании (2) и (3)
получаем: 0  A 1  B  0 ,
0  A cos  l  B sin  l. Изпервого уравнения находим
А=0. Из второго следует: B sin  l  0.
B  0 , так как в противном случае было бы X  0 и u  0 , что противоречит
условию. Следовательно, должно быть sin  l  0 , откуда
n

,
(n=1, 2, 3, ...)
(12)
l
(не берем значение n=0, так как в этом случае было бы X  0 и u  0 ). Итак, получили:
n
X  B sin
x.
(13)
l
Наведенные значения  называются собственными значениями для данной краевой
задачи. Соотвествуюие им функции Х(х) называются собственными функциями.
Если бы взяли вместо   выражение    k 2 , то уравнение (8) приняло бы вид
X ' 'k 2 X  0.
Общее решение этого уравнения:
X  Ae kx  Be  kx .
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным
условиям (2) и (3).
Зная  , пользуясь равенством (11), можем написать:
an
an
T (t )  C cos
t  D sin
t
(n=1, 2, ...).
(14)
l
l
Для каждого значения n, следовательно для каждого  , выражения (13) и (14)
подставляем в равенство (6) и получаем решение уравнения (1), удовлетворяющее
граничним условиям (2) и (3). Это решение обозначим u m ( x, t ) :
n
an
an
u m ( x, t )  sin
x(C n cos
t  Dn sin
t ).
(15)
l
l
l
Для каждого значения n можем брать постоянные C и D и потому пишем C m и Dm
(постоянная В включена в C n и D n ). Так как уравнения (1) линейное, то сумма
решений также является решением, и потому функция, представленная рядом

u ( x, t )   u n ( x, t )
n 1
an
an
n
t  Dn sin
t ) sin
x,
(16)
l
l
l
n 1
также будет решением дифференциального уравнения (1), которое будет удовлетворять
граничным условиям (2) и (3). Очевидно, ряд (16) будет решением уравнения (1) только
в том случае, если коэффициенты C n и D n таковы, что этот рядсходится и сходится
ряды, получающися после двух кратного опчленного дифференцирования по х и по t.
Решение (16) дожно еще удовлетворять начаьным условиям (4) и (5). Этого будем
добиваться путем подбора постоянных C n и D n . Подставляя в равенство (16) t=0,
получим
или

u ( x, t )   (C n cos
n
x.
(17)
l
n 1
Если функция f (x) такова, что в интервале (0,l) се разложить в ряд Фурье, то
условие (17) будет выполняться, если положить
l
2
n
(18)
Cn   f ( x) sin
xdx. .
l o
l
Дифференцируем члены равенства (16) по t и подставляем t=0.

u
an
an
an
an
n
  (C n
sin
t  Dn
cos
t ) sin
x,
t  0.
t n 1
l
l
l
l
l
Получаем

u
an
n
  Dn
sin
x.
t n 1
l
l
Из условия (5) получается равенство

an
n
 ( x )   Dn
sin
x.
l
l
n 1
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
l
an 2
n
Dn
   ( x) sin
xdx
l
l 0
l

f ( x)   C n sin
2
n
 ( x) sin
xdx.

an 0
l
l
или
Dn 
(19)
Итак доказано что ряд (16), где коэффициенты C n и D n определены по формулама
(18) и (19), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет
функцию u ( x, t ) , которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным
и начальным условиям (2)-(5).
Литература:
1. Э. Камке – Спровочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
„Наука˝ Москва 1971.
2. Р. Курант - Курс дигфференциального и интегрального исчисления,
„Наука˝ Москва 1970.
3. И. Г. Петровский – Дифференциальные уравнения,
„Наука˝ Москва 1987.
4. Н. С. Пискунов – Дифференциальное и интегральное исчисления,
„Наука˝ Москва 1970.