МУ к практическим занятиям по физике для студентов
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный университет»
Шуваева О.В.
Сборник тестовых заданий по медицинской физике
с решениями
Учебно-методическое пособие
Тула
Издательство ТулГУ
2011
УДК 53(076.5)
Сборник тестовых заданий по медицинской физике с решениями. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 183 с.
ISBN 987–5–7679–1851–5
Данное учебно-методическое пособие содержит тестовые
задания, предназначенные для самостоятельной подготовки студентов дневной формы обучения по специальности «Лечебное
дело» к текущему тестированию и зачету по физике.
Объем заданий соответствует программе по физике для студентов медицинского факультета по специальности «Лечебное
дело».
Табл.8. Илл. 31. Библиогр.: 4 назв.
Печатается по решению библиотечно-издательского совета
Тульского государственного университета
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Ростовцев Р.Н.
Изд-во ТулГУ, 2011
ISBN 987–5–7679–1851–5
2
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемые в данном методическом пособии тестовые задания предназначены для самостоятельной подготовки студентов
дневной формы обучения по специальности «Лечебное дело» к
текущему тестированию и зачету по физике.
Объем заданий соответствует программе по физике для студентов медицинского факультета по специальности «Лечебное
дело».
Тестовые вопросы ранжированы по степени трудности на
три уровня. В каждом тестовом задании представлены 11 задач:
по четыре задачи первого и второго уровня, и три задачи третьего
уровня. За задачи первого сложности в случае правильного ответа выставляется 0,5 балла, за задачи второго уровня сложности
выставляется 1 балл. За правильное решение задач третьего
уровня сложности выставляется 3 балла.
При формировании ответов на тестовые задания необходимо учитывать форму задания.
В тестах первого уровня сложности используются задания
«Выберите правильный ответ», в этом случае необходимо указать
одну цифру правильного ответа. В заданиях «Выберите правильные ответы», необходимо указывать цифры двух и более правильных ответов.
В тестах второго уровня необходимо учитывать следующие
особенности.
Тестовые вопросы «Дополните» требуют заполнения пропусков текста определения или закона ключевыми словами. Цифрами показано количество ключевых слов. При этом могут использоваться синонимы или близкие слова. Все правильные ответы будут учитываться. При ответе на этот тест указывается порядковый номер и соответствующее ему слово. Если требуется
привести формулу, то она записывается с учетом общепринятых
обозначений (обычно приводимых в учебнике) физических величин.
Тест «Установите соответствие» требует найти соответствие
каждому элементу множества, расположенного слева, соответствующее значение из правого множества. В ответе указывается
цифра левого множества и буква правого.
3
В заданиях типа «Установите правильную последовательность» необходимо поставить цифры, определяющие последовательность использования отдельных элементов предложения.
Тесты третьего уровня заключаются в решении задач. При
этом решение задачи разбивается на три этапа, каждый из которых оценивается в 1 балл.
1 этап – условное обозначение данных, рисунок или чертеж
(если необходимо), исходные формулы – 1 балл.
2 этап – алгебраические преобразования, вывод рабочей
формулы, пояснения – 1 балл.
3 этап – подстановки числовых данных в системе СИ, проверка размерностей, ответ – 1 балл.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ. МЕХАНИКА.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. АКУСТИКА. ЗВУК
Программа курса «Введение в теорию вероятности. Механика. Колебания и волны. Акустика. Звук» включает в себя следующие вопросы:
1. Дискретные случайные величины. Распределение дискретных случайных величин и их числовые характеристики.
2. Непрерывные случайные величины. Распределение непрерывных случайных величин. Плотность вероятности. Функция распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
3. Задачи математической статистики. Виды статистического распределения: дискретный и интервальный ряды. Полигон,
гистограмма. Числовые характеристики статистических рядов.
4. Интервальная оценка генеральной средней по выборке.
Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
5. Законы распределения. Нормальный закон распределения.
Распределение Больцмана.
6. Основные физические модели: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело, сплошная
среда. Основные понятия кинематики: система отсчета, скалярные и векторные физические величины, поступательное движение, путь, перемещение, скорость, ускорение. О смысле производной и интеграла в приложении к физическим задачам. Криволинейное поступательное движение. Нормальное и тангенциальное ускорение.
4
7. Вращательное движение материальной точки. Угловые
кинематические переменные и их связь с линейными переменными.
8. Динамика поступательного движения. Инерциальные и
неинерциальные системы отсчета. Сила, виды сил в динамике.
Масса. Импульс. Законы динамики (Ньютона) в инерциальных
системах отсчета. Уравнения движения. Законы динамики в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.
9. Система материальных точек (в т.ч. абсолютно твердое
тело). Центр масс. Кинематика и динамика движения абсолютно
твердого тела.
10. Энергия и работа. Работа силы и момента сил. Мощность.
11. Консервативные и неконсервативные силы. Центральные
силы. Диссипативные силы. Кинетическая энергия поступательного, вращательного и плоского движения. Потенциальная энергия частицы и системы частиц. Энергия взаимодействия с внешними телами. Внутренняя энергия. Консервативная сила как градиент потенциальной энергии. Эквипотенциальные поверхности.
12. Момент импульса частицы и системы частиц. Момент
силы. Основное уравнение динамики вращательного движения
абсолютно твердого тела. Момент инерции материальной точки и
твердого тела. Главные оси инерции. Теорема Штейнера. Момент
импульса системы при вращении вокруг фиксированной оси и
уравнение динамики вращательного движения вокруг фиксированной оси. Плоское движение.
13. Закон сохранения импульса частицы и системы частиц,
закон сохранения и изменения момента импульса частицы и системы частиц, законы сохранения и изменения полной механической энергии частицы и системы частиц.
14. Механические колебания. Виды колебаний. Выражение
для смещения свободных незатухающих колебаний. Представление зависимости смещения от времени в виде векторной диаграммы.
15. Свободные затухающие колебания. Выражение для смещения. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания.
16. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.
Сложение гармонических колебаний, направленных по одной
прямой. Сложное колебание и его гармонический спектр.
5
17. Механические волны. Виды волн. Уравнение плоской
волны. Характеристики волны: фаза, длина, фронт, скорость. Поток энергии волны. Интенсивность волны.
18. Эффект Доплера и его использование в медицине.
19. Акустика. Физические характеристики звука: частота,
интенсивность, звуковое давление. Закон Вебера-Фехнера. Физические основы звуковых методов исследования в клинике:
аускультация, перкуссия, фонокардиография, аудиометрия.
20. Ультразвук (УЗ). Источники и приемники УЗ. Особенности распространения УЗ. Действия УЗ на вещество. Использование УЗ в медицине для лечения и диагностики. Инфразвук и его
возможное воздействие на человека.
1.1. Тестовые задачи первого уровня
Выберите правильный ответ:
1. Материальная точка – это
1. Тело, размеры которого малы по сравнению с размерами
окружающих тел.
2. Тело, размерами которого можно пренебречь в условиях
данной задачи.
3. Тело, размеры которого сравнимы с размерами атома.
2. Динамика – это раздел механики, в котором изучается
1. Влияние взаимодействия тел на их механическое движение.
2. Механическое движение тел без рассмотрения причин,
вызывающих это движение.
3. Законы равновесия тел.
3. Квадрат амплитуды результирующего колебания при сложении двух когерентных колебаний одного направления выражается формулой
1. А2 = А12 + А22 + 2А1А2cos(2 – 1).
2. А2 = А12 + А22 – 2А1А2cos(2 – 1).
3. А2 = А12 + А22 + 2А1А2cos(1 – 2).
4. Различие в уровнях интенсивностей звука, равное 10 дБ,
означает, что отношение ин интенсивностей составляет
6
1. 1.
2. 10.
3. 100.
4. 1000.
5. Колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или
она была выведена из положения равновесия, называют
1. Параметрическими.
2. Вынужденными.
3. Автоколебаниями.
4. Свободными (собственными).
6. Укажите верную формулу для момента инерции тонкого
однородного стержня относительно его центра масс:
1. I = ml2/3.
2. I = ml2/12.
3. I = 2ml2/5.
7. Приемник звуковых волн приближается к покоящемуся
источнику со скоростью 100 м/с. Частота колебаний источника оставляет 5 кГц. Скорость распространения волны 300
м/с. Частота, фиксируемая приемником, составляет
1. 5 кГц.
2. 2,5 кГц.
3. 6,67 кГц.
4. 3,33 кГц.
8. Укажите верную формулу для определения модуля нормального ускорения материальной точки:
1. an = dV/dt.
2. an = V2R.
3. an = R.
4. an = V2/R.
9. Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на
систему частиц, равна нулю, то
1. Сохраняется полная механическая энергия этой системы.
2. Сохраняется полный импульс этой системы.
3. Сохраняется момент импульса этой системы.
7
10. Укажите верную формулу для полной механической энергии материальной точки массы m, движущейся на высоте h
над поверхностью Земли:
1. mV2/2.
2. mV2/2 + mgh.
3. mgh.
4. mV2/2 + I2/2.
Оформление ответов:
01 – 2
06 – 2
02 – 1
07 – 3
03 – 1
08 – 4
04 – 2
09 – 2
05 – 4
10 – 2
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру правильного ответа.
1.2. Тестовые задачи второго уровня
Дополните:
1. Тело движется прямолинейно и равномерно и за 10 секунд
проходит путь, равный 25 м. Скорость тела равна ……..(1) м/с,
так как вычисляется по формуле V = ……..(2).
2. Тело, совершающее гармонические колебания, называется
…….(1) ………(2).
3. Слуховое ощущение – это комплекс субъективных характеристик, к числу которых относятся …….(1), ……(2), ………(3).
4. Уравнение гармонических колебаний имеет вид x(t) =
0,47cos(4t + /3), при этом амплитуда колебаний составляет
…….(1) см, циклическая частота колебаний равна ……..(2) с–1, а
начальная фаза ……(3) рад.
5. Определение с помощью эффекта Доплера скорости движения
клапанов и стенок сердца – это метод ……(1) …….(2).
8
6. Тело массы 2 кг движется со скоростью 1 м/с. Его кинетическая энергия равна ……(1) Дж, так как вычисляется по формуле
Екин = …….(2).
Установите соответствие:
7.
Величина
1. an = V2/R
2. a = dV/dt
3. V = S/t
4. r (t)
Название величины
А. Перемещение
Б. Модуль тангенциального ускорения
В. Модуль скорости тела при равномерном движении
Г. Модуль нормального ускорения
8.
Уравнение колебаний
2x
d
1.
2 dx 2 x 0
0
dt
dt 2
2x
d
2.
2x 0
0
dt 2
F
2
3. d x 2 dx 2 x 0 cosвнt
0
m
dt
dt 2
Вид колебаний
А. Свободные незатухающие
Б. Вынужденные
В. Свободные затухающие
9. Установите правильную последовательность в определении
вращательного движения абсолютно твердого тела:
1 – осью вращения;
2 – движение, при котором;
3 – лежат на одной прямой;
4 – называют вращательным;
5 – все точки тела;
6 – а эту прямую;
7 – движутся по окружностям;
8 – центры которых.
10. Установите правильную последовательность:
Эффект Доплера – это
1 – частоты волн;
2 – относительного движения;
3 – наблюдателя;
4 – изменение;
9
5 – вследствие;
6 – источника волн и;
7 – воспринимаемое наблюдателем.
Оформление ответов:
01 – (1) 2,5 м/с; (2) V = S/t
02 – (1) гармоническим; (2) осциллятором
03 – (1) высота; (2) тембр; (3) громкость
04 – (1) 47; (2) 4; (3) /3
05 – (1) доплеровской; (2) эхокардиографии
06 – (1) 1; (2) Екин = mV2/2
07 – 1Г, 2Б, 3В, 4А
08 – 1В, 2А, 3Б
09 – 2,5,7,8,3,4,6,1
10 – 4,1,7,5,2,6,3
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – правильные ответы.
1.3. Тестовые задачи третьего уровня
1.3.1. Элементы теории вероятностей
Случайным событием или просто событием называется любая совокупность исходов опыта.
Исход опыта, при котором наступает данное событие, называется благоприятствующим или благоприятным.
Событие считается наступившим, если имеет место один из
благоприятствующих исходов.
Объединением (суммой) двух событий А, В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
Объединение событий обозначается А + В или A В (читается: А или В). Событие А + В представляет собой совокупность
исходов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из событий А, В.
Произведением (пересечением) двух событий А, В называется событие, состоящее в наступлении их обоих.
Произведение событий обозначается А • В, или АВ, или
10
А В (читается: А и В). Событие А • В представляет собой совокупность исходов, принадлежащих каждому из событий А, В.
Равновозможными называются исходы, возможности
наступления которых в силу объективных причин должны быть
одинаковы.
Вероятность случайного события А – это отношение числа
исходов МА, благоприятствующих событию А, к общему числу
равновозможных несовместных исходов N:
РА = MA/N.
(1.3.1)
Достоверным называется событие, которое в результате
эксперимента должно произойти обязательно. Такое событие
представляет собой множество всех элементарных исходов, и
обозначается буквой . Вероятность достоверного события принимают за единицу: Р() = 1.
Невозможным называется событие, которое в данном опыте
произойти не может. Невозможное событие обозначают символом . Вероятность невозможного события принимают за ноль:
Р() = 0.
К этим свойствам вероятности добавляют еще две аксиомы:
1. Вероятность любого события А лежит между нулем и
единицей: 0 РА 1.
2. Для несовместных событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
(1.3.2)
Эту аксиому иногда называют 1-й теоремой сложения вероятностей: вероятность объединения несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
События А и В называются независимыми, если факт
наступления одного из них не меняет вероятности наступления
другого.
Для независимых событий теорема умножения вероятностей
имеет следующий вид: вероятность события, которое является
произведением независимых событий А и В, равна произведению
их вероятностей:
Р(А•В) = Р(А) •Р(В).
11
(1.3.3)
Следующий результат обобщает аксиому сложения вероятностей для объединения двух произвольных событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А • В).
(1.3.4)
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Игроки А и В играют, бросая по 2 кости. Игрок А
выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков равна 7.
Игрок В выигрывает в том случае, когда сумма выпавших очков
равна 8. Кому выгодна эта игра?
Решение. Выпадения различных граней одной игральной
кости (однородного куба) – это события очевидно равновозможные и несовместные, так как две грани одновременно выпасть не
могут. Построим множество для задачи одновременного бросания двух костей. Мы имеем 1 = (1, 2, 3, 4, 5, 6) и 2 = (1, 2, 3,
4, 5, 6). Множество формируется из всех возможных комбинаций выпавших граней и состоит из 36 элементов, записанных в
таблице.
Игроку А (событие А) благоприятствуют 6 исходов (1,6; 6,1;
2,5; 5,2; 3,4; 4,3), а игроку В (событие В) – только 5 исходов (1,6;
6,2; 5,3; 3,5; 4,4). Общее число исходов – 36. Используя формулу
(1.3.1), найдем: P(А) = 6/36, Р(В) = 5/36. Таким образом, игроку А
игра выгоднее.
Пример 2. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне – 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны
оба шара окажутся черными.
12
Решение. Событие А – извлечение черного шара из первой
урны, событие В – извлечение черного шара из второй урны. По
формуле (1.3.1) имеем: Р(А) = 5/15 = 1/3; Р(В) = 3/20.
Событие А•В – оба шара имеют черный цвет. Из (1.3.3) следует:
Р(А•В) = Р(А) • Р(В) = (1/3) • (3/20) = 1/20.
Ответ: 1/20.
Пример 3. Пусть в одной урне находятся 5 черных и 10 белых шаров, а в другой урне – 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при извлечении по одному шару из каждой урны
хотя бы один шар окажется черным.
Решение. Используя значения Р(А), Р(В) и Р(А • В), полученные в предыдущем примере и исходя из формулы (1.3.4),
найдем: Р(А + В) = 1/3 + 3/20 – 1/20 = 22/60.
Ответ: 22/60.
1.3.2. Случайные величины
Пусть дискретная случайная величина X задана таблицей
где
р1 +р2 + … + рn = 1.
(1.3.5)
Математическое ожидание дискретной случайной величины X:
n
М(X) = pi xi .
(1.3.6)
i1
(математическое ожидание имеет ту же размерность, что и случайная величина).
Дисперсия дискретной случайной величины X:
2
n
D(X) = pi xi М( X )
(1.3.7)
i1
(дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины).
Непрерывная случайная величина X может быть задана своей функцией распределения вероятностей или плотностью распределения вероятностей.
13
Плотность распределения вероятностей случайной величины X:
fX(x) = f(x) = dP/dx.
Функция распределения вероятностей случайной величины
X:
FX(x) = F(x) = P(X х),
P(x1 < X < x2) = F(x2) – F(x1).
(1.3.5)
Связь функции распределения и плотности вероятностей:
f(x) = F(x)' = dF(x)/dx,
x
F(x) = f ( x) dx .
Условие нормировки для непрерывной случайной величины:
f ( x) dx = l.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X:
М(Х) = x f ( x) dx .
Дисперсия непрерывной случайной величины X:
D(X) = x М( x)2 f ( x) dx .
Общие соотношения:
D(X) = М{[Х – М(Х)]2}
или
D(X) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины:
(Х) = Р(X).
Плотность распределения вероятностей для нормального закона распределения (закона Гаусса):
2
1
x a
f(x) =
exp
,
2
2
2
где а – математическое ожидание случайной величины, – среднее квадратическое отклонение.
Функция распределения вероятностей для нормального закона:
F(x) = Ф(t),
(1.3.6)
14
где t = (х – а)/, значения функции Ф(t) даны в соответствующих
таблицах.
Плотность распределения вероятностей для равномерного
распределения на интервале [а, b]:
f(x) = 0 вне отрезка [а, b],
f(x) = 1/(b – а) при а х b.
Плотность вероятности для экспоненциального закона распределения:
f(x) = ехр(–x), х 0.
Распределение Больцмана:
n = n0exp(– mgh/kT),
где n – концентрация молекул, h – высота над уровнем Земли, m –
масса молекулы, k – постоянная Больцмана, g – ускорение свободного падения.
Пример 4. Случайная величина распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (а = 0) и
средним квадратическим отклонением а. Найти вероятность того,
что эта случайная величина принимает значения в интервалах:
а) – < X < + ;
б) – 2 < X < + 2; в) – 3 < X < +3.
Пример решения для интервала шириной .
Согласно (1.3.5) и (1.3.6) запишем:
Р(– < X < +) = F() – F(–) = Ф[( – а)/] – Ф[(– – а)/],
Ф[( – 0)/] = Ф(1) = 0,8413 (из таблицы),
Ф[(– – 0)/ ] = Ф(– 1) = 1 – Ф(1) = 1 – 0,8413 = 0,1587,
Р = Ф (1) – Ф (–1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826.
Иллюстрация правила трех сигм.
Среди 10 000 значений нормальной случайной величины в
среднем только 27 выйдут за пределы интервала (а – 3, а + 3).
Это означает, что среди небольшого числа значений X практически нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала.
Пример 5. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4.
Найти вероятность того, что 1 < X < 7.
Решение. а = 3, = 4 = 2 найдем искомую вероятность (без
вывода):
15
Р(1< X < 7) = [Ф{(7 – 3)/2} – Ф{(1 – 3)/2}] = [Ф(2) – Ф(–1)] =
= (0,9772 – 0,1587) = 0,8185.
1.3.3. Элементы математической статистики
Выборочное среднее X , полученное по выборке объемом n:
n
(1.3.7)
X 1 xi .
n i1
Выборочная дисперсия D, полученная по выборке объемом
n:
n
D 1 ( xi X) 2 .
n 1i1
(1.3.8)
Выборочное среднее квадратическое отклонение
D.
(1.3.9)
Точность интервальной оценки по малой выборке
= t / n ,
где коэффициент Стьюдента t находится в соответствующих таблицах по числу степеней свободы f = n – 1 и доверительной вероятности Р.
Поясним основные понятия на следующем примере. Рассмотрим значения случайной величины — скорости V (м/с) распространения механических волн в коже, измеренной у 20-летних
молодых людей в области предплечья. Эта величина часто используется для оценки эффективности лечения и при диагностике.
Выборка – группа обследованных молодых людей; признак
– значение скорости распространения механических волн.
Простой статистический ряд – последовательность значений случайной величины (скорости V), записанных в порядке получения. Такой ряд представлен в таблице 1:
Вариационный статистический ряд – таблица значений вариант, расположенных в упорядоченном виде с указанием их от16
носительных
частот.
Такой
ряд
приведен
в
таблице
2:
Полигон частот. Представим вариационный статистический ряд в графическом виде. Для этого на оси абсцисс отложим
варианты, а на оси ординат – соответствующие им частоты.
Нанеся точки вариационного ряда и соединив их ломаной линией, получим полигон частот (рис. 1).
Рис. 1. Полигон частот.
Интервальный статистический ряд – таблица интервалов с
указанием частот. Для построения разобьем диапазон изменения
скорости на равные интервалы. Число интервалов выбирается по
усмотрению экспериментатора. Процесс разбиения можно проводить в следующем порядке.
а) Выберем число интервалов разбиения, например, 5.
б) Определим ширину интервала, разделив ширину диапазона на число интервалов: = (47 – 28)/5 = 3,8.
в) Округлим полученное значение в большую сторону для
того, чтобы суммарная ширина интервалов была несколько
больше ширины диапазона (в нашем случае примем = 4).
г) Двигаясь от левой границы диапазона вправо, найдем координаты точек, разбивающих диапазон на интервалы: х1 = 28 +
+ = 32, х2 = 32 + = 36, х3 = 36 + = 40 и т. д.
д) Определим число точек, относимых к каждому из интервалов, и найдем соответствующие частоты (к интервалу (а, b) относят точки, удовлетворяющие неравенству (а X < b): р1* =
= 2/20 = 0,1; р2* = 5/20 = 0,25 и т. д.
е) Сформируем интервальный статистический ряд:
Гистограмма – графическое изображение интервального
статистического ряда с учетом нормировки. Для построения на
17
оси абсцисс отложим интервалы значений вариант и на каждом
из них, как на основании, построим прямоугольник с высотой,
равной его частоте, деленной на ширину интервала: h1 = 0,1/4 =
= 0,025, h2 = 0,25/4 = 0,0625 и т.д. При этом площадь каждого
прямоугольника равна частоте попадания случайной величины в
данный интервал, а сумма всех площадей равна 1 (рис. 2).
Рис. 2. Гистограмма
Найдем интервальную оценку генерального среднего Хг для
случайной величины, имеющей нормальное распределение (табл.
1). Объем выборки – 20. По формулам (1.3.7), (1.3.8), (1.3.9)
найдем: X = 37,05, = 5,02.
Зададим доверительную вероятность 0,95. По таблице коэффициентов Стьюдента найдем t = 2,08. Вычислим точность
оценки: = t / n = 2,095,0220 = 2,34 (м/с).
Получим интервальную оценку: Р (37,05 – 2,34 < Хг < 37,05
+ 2,34) = 0,95.
1.3.4. Проверка статистических гипотез
1) t-критерий Стьюдента. t-критерий Стьюдента применяется для оценки различий величин средних двух выборок, которые распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией.
Первичная статистическая информация представляет собой
две выборки X = {хi} и Y = {уi}, содержащие nX и nY элементов
соответственно.
Значение критерия t находят по формуле:
(1.3.10)
18
где X , Y – выборочные средние значения выборок, X,
выборочные средние квадратичные отклонения.
Число степеней свободы:
f = nX + nY – 2,
Критическая область для отклонения H0:
|t| > tкp.
Критическое значение tкp находят
распределения.
по
таблице
Y
–
t–
2) F-критерий Фишера. F-критерий Фишера используют
для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух
нормальных выборок.
Первичная статистическая информация представляет собой
две выборки X = {хi} и Y = {уi}, содержащие nX и nY элементов
соответственно.
Значение критерия F находят по формуле:
F = D Y/ D X,
(1.3.11)
где D Y – большая выборочная дисперсия, a D X – меньшая.
Число степеней свободы для каждой выборки:
f1 = (nY – 1),
f2 = (nX – 1),
где f1 и f2 число степеней свободы числителя и знаменателя,
соответственно.
Критическая область для отклонения H0:
F > Fкp.
Критическое значение Fкp находят по таблице Fраспределения.
3) Критерий Вилкоксона. Критерий Вилкоксона применяется для проверки гипотезы о принадлежности сравниваемых независимых выборок, к одной и той же генеральной совокупности,
когда данные представлены в порядковой или ранговой шкале.
Первичная статистическая информация представляет собой две
выборки содержащие nX и nY элементов, значения которых представлены в порядковой шкале.
Подготовительная работа. Составляется объединенная выборка, элементы которой упорядочиваются. В результате получается таблица, в первой строке которой указана принадлежность
элемента, во второй строке указаны значения элементов, а в третьей строке стоят порядковые номера элементов упорядоченного
ряда от 1 до nX + nY.
19
Если в таблице встречаются одинаковые значения, то им
следует присвоить одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению рангов одинаковых элементов. После этого
находят суммы рангов для каждой выборки RX и RY.
Значение критерия U находят по формуле:
U = nX nY – Rm + nm (nm + 1)/2,
(1.3.12)
где nm – число членов в выборке с максимальным значением
суммы рангов.
Критическая область для отклонения Н0:
U < Uкp.
Критическое значение Uкp находят по таблице Fраспределения.
Примеры использования статистических критериев.
Пример 6. Критерий Стьюдента.
Даны две выборки, взятые из нормально распределенных
генеральных совокупностей X и Y, для которых известно:
Объем nX = 42, выборочное среднее X = 119, выборочная
дисперсия D X = 126,9;
Объем nY = 35, выборочное среднее Y = 107, выборочная
дисперсия D Y = 136,1.
Проверить гипотезу о равенстве средних при уровне значимости 0,05.
Решение. Выборочные дисперсии близки, поэтому обоснованным является предположение о равенстве генеральных дисперсий. В этом случае можно воспользоваться t-критерием Стьюдента.
Нулевая гипотеза Н0: генеральные средние двух совокупностей равны;
Альтернативная гипотеза H1: генеральные средние двух совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (1.3.10):
Числитель равен
(119 – 107)/[(42356)/(42 + 35)]1/2 = 52,4.
20
Знаменатель равен
[41127 – 34 107]/(42 + 35 – 2)]1/2 = 11,4.
Значение критерия равно t = 4,58. Критические значения
находим по таблицам t-распределения:
Значение критерия принадлежит однопроцентной области.
Поэтому нулевая гипотеза отвергается и признается различие
между выборками.
Пример 7. Длительность сердечного цикла (в секундах) в
кардиограммах у здоровых и больных детей представлена следующими выборками по 60 элементов:
а) здоровые дети – выборка X:
0,91; 0,71; 0,73; 0,82; 0,67; 0,89; 0,90; 1,00; 0,77; 0,78; 0,90;
0,68; 0,52; 0,58; 0,59; 0,66; 0,74; 0,54; 0,72; 0,74; 0,74; 0,79; 0,66;
0,84; 0,85; 0,81; 1,00; 0,77; 0,84; 0,74; 0,65; 0,83; 0,78; 0,93; 0,62;
0,69; 0,57; 0,82; 0,65; 0,74; 0,69; 0,80; 0,78; 0,66; 0,74; 0,68; 0,57;
0,75; 0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 0,89; 0,75; 0,68; 0,62; 0,68; 0,85; 0,79;
0,75;
б) больные дети – выборка Y:
0,91; 0,86; 0,74; 1,07; 0,79; 0,89; 0,98; 1,16; 0,77; 0,88; 0,84; 0,68;
0,73; 0,91; 1,12; 0,72; 1,23; 0,64; 0,98; 1,37; 0,77; 0,79; 0,66; 0,85;
0,85; 0,81; 1,00; 1,05; 0,94; 0,86; 0,75; 1,17; 0,78; 0,93; 0,69; 0,99;
1,07; 0,82; 0,95; 0,74; 0,69; 0,80; 0,78; 0,66; 0,74; 1,08; 0,77; 0,75;
0,69; 0,97; 0,83; 0,78; 1,18; 0,75; 0,63; 0,82; 0,89; 0,85; 0,77; 0,75.
Оценить достоверность различий этой характеристики в
представленных выборках. Исследовать влияние объема выборки
на результат проверки гипотез. Для этого выполнить процедуру
проверки при n равном: а) 10; б) 20; в) 60. Сделать вывод о влиянии объема выборки и доверительной вероятности на оценку достоверности различий.
Решение. Выборочные дисперсии близки, поэтому можно
воспользоваться t-критерием Стьюдента.
Нулевая гипотеза H0: генеральные средние совокупностей
равны.
21
Альтернативная гипотеза H1: генеральные средние совокупностей различны.
Промежуточные и конечные результаты, полученные при
обработке первичной информации, представлены в таблице.
Пример 8. F-критерий Фишера. По исходным данным
примера 7 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
Решение. Для проверки воспользуемся F-критерием Фишера.
Нулевая гипотеза H0: генеральные дисперсии совокупностей
равны;
Альтернативная гипотеза H1: генеральные средние совокупностей различны.
Значение критерия находим по формуле (1.3.11). Промежуточные и конечные результаты, полученные при обработке первичной информации, представлены в таблице.
Пример 9. Критерий Вилкоксона. Получены две независимые выборки, значения элементов которых представлены в порядковой шкале. Требуется проверить гипотезу о принадлежности выборок к одной и той же генеральной совокупности. Решим
задачу с помощью непараметрического критерия Вилкоксона.
22
Проверяемые гипотезы:
Нулевая гипотеза Н0: выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.
Альтернативная гипотеза H1: выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Подготовительная работа выполнена в таблице.
Таблица 3. Объединенная
Таблица 4. Данные табл. 3,
выборка по возрастанию
разнесенные по выборкам
значений наблюдений
с указанием исправленных
рангов
Rmax = 141, nmax = 10. Граничные значения для 1% и 5% областей равны 19 и 27.
23
По формуле (1.3.12) вычисляем значение критерия:
Uопыт = 10 10 – 141 + 10 11/2 = 14.
Значение критерия (U = 14) попадает в однопроцентную
критическую область. Поэтому нулевая гипотеза отвергается, и
различия между выборками являются значимыми.
1.3.5. Кинематика поступательного движения материальной точки
Механика представляет собой учение о простейшей форме
движения материи, которое состоит в перемещении тел или их
частей друг относительно друга.
Кинематика изучает движение тел вне зависимости от тех причин, которые обусловливают
это движение.
Иногда при рассмотрении движения тел можно пренебречь
их размерами. Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.
Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.
Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию – траекторию.
Путь (S) – это длина траектории.
Если тело движется из точки 1 в точку 2, то вектор, прове
денный из точки 1 в точку 2, называется перемещением ( r ).
12
Векторный способ описания движения.
Положение материальной точки в пространстве можно за
дать с помощью ее радиус-вектора r . При движении точки конец
радиус-вектора r описывает ее траекторию, а сам изменяется и
по величине, и по направлению.
r = r (t) – кинематический закон движения точки (уравнение траектории).
Пусть тело движется из точки с радиус-вектором r 1 в точку
с радиус-вектором r 2. За время t оно совершит перемещение
r = r 2 – r 1 и пройдет путь, равный S (см. рис.).
24
y
S
r1
r
r2
O
x
При бесконечно малом перемещении бесконечно малый
r
промежуток времени
можно
обозначить
как
dt,
тогда
d
= dS.
Скорость V – это предел, к которому стремится отношение
r при неограниченном убывании t:
t
r
d
r
= lim
(1.3.13)
.
V
t 0 t dt
Модуль скорости:
v = V = dr dS .
(1.3.14)
dt dt
Вектор скорости V направлен по касательной к траектории.
Средняя скорость:
S
r
общ
или
.
(1.3.15)
v
V
t
t
общ
Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по
направлению, остается постоянной по величине, называется равномерным. При таком движении скорость равна пути S, деленному на время t, за которое он пройден:
v = S/t.
(1.3.16)
Если при движении тела изменяется величина скорости, то
такое движение называют ускоренным.
Ускорение a определяется как предел, к которому
стремит
ся отношение приращения вектора скорости V к промежутку
времени t, за который оно возникает, при условии, что t 0:
2r
V
d
V
d
.
(1.3.17)
a lim
dt dt 2
t0 t
Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным.
Кинематика движения материальной точки с постоянным
ускорением:
V V at ;
(1.3.18)
0
25
2
a
(1.3.19)
r r V t t .
0 0
2
Прямая задача кинематики позволяет найти при заданном
уравнении траектории скорость и ускорение материальной точки:
dr
dV
r V ; a
.
dt
dt
Обратная задача кинематики позволяет найти при заданных
ускорении или скорости уравнение траектории материальной
точки:
t
t
V V adt ; r r Vdt .
(1.3.20)
0
0
0
0
Координатный способ описания движения.
Если с телом отсчета жестко связать какую-нибудь координатную систему (например, декартову), то положение частицы
(материальной точки) в любой момент времени определяется
тремя ее координатами
x(t), y(t), z(t):
r i x j y k z ; V i v x j v y k v z ; a i a x j a y k a z . (1.3.21)
Здесь
dv y
dvx
dv
dy
dx
dz
vx ;v y ;vz ; ax
;a y
; a z z . (1.3.22)
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Формулы для определения пройденного пути, модулей скорости частицы и ее ускорения:
S x 2 y 2 z 2 ; v v x2 v 2y v z2 ; a a x2 a 2y a z2 (1.3.23)
Обратная задача кинематики:
t
t
t
v x (t ) v a x dt; v y (t ) v a y dt; v z (t ) v a z dt
0x
0y
0z
0
0
0
t
t
t
x(t ) x v x dt ;
y(t ) y v y dt ;
z(t ) z v z dt
0
0
0
0
0
0
Кинематика движения материальной точки с постоянным
ускорением:
v x v a x t ; v y v a y t; v z v a z t .
(1.3.24)
0x
0y
0z
a yt 2
a xt 2
azt 2
.
x x v t
; y y v t
; z z v t
0 0x
0 0y
0 0z
2
2
2
(1.3.25)
26
В случае движения материальной точки по произвольной
плоской кривой вектор полного ускорения будет равен
a an a ,
(1.3.26)
где
V
Vn v 2
an lim
n , a ( lim v ) dv .
v
R
dt
t 0 t
t0 t
Вектор a – тангенциальное ускорение. Он характеризует
изменение скорости по величине. Если скорость по величине не
изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю и a = a n .
Вектор a n – нормальное (центростремительное) ускорение.
Он характеризует изменение скорости частицы по направлению.
Если направление скорости не изменяется, движение происходит
по прямолинейно траектории. Кривизна прямой равна нулю (R =
= ).
Модуль полного ускорения:
a an2 a2 ,
(1.3.27)
где
2
v
an ; a a dv .
R
dt
Между линейными и угловыми величинами существует
следующая связь:
а = R,
(1.3.28)
v = R,
(1.3.29)
2
an = v /R.
(1.3.30)
Здесь – угловая скорость тела, – угловое ускорение.
Пример 10. Радиус-вектор частицы изменяется со временем
по закону r (t ) i At 2 j Bt k C , где А = 1 м/с2, В = 2 м/с, С = 1 м.
Частица движется из начала координат. Найти через 2 секунды
после начала движения: 1) путь, пройденный частицей; 2) величину скорости частицы; 3) величину ускорения частицы.
Дано: r (t ) i At 2 j Bt k C ;
А = 1 м/с2, В = 2 м/с, С = 1 м;
t = 2 c.
Найти: S, v, a.
Решение. Путь, пройденный частицей за 2 секунды после
начала движения найдем из (1.3.23) с учетом (1.3.21):
27
S x 2 y 2 z 2 , где x = At2 = 1(22) = 4 (м), y = Bt = 22 = 4
(м), z = C = 1 (м).
Подставим полученные значения координат частицы в
(1.3.23) и рассчитаем пройденный частицей путь:
S x 2 y 2 z 2 = 5,7 (м).
Величину скорости и ускорения частицы через указанный в
условии задачи промежуток времени также найдем, используя
формулу (1.3.23) с учетом (1.3.22):
v v x2 v 2y v z2 ; a a x2 a 2y a z2 , где
dv y
dv
dv
dy
v x dx ; v y ; v z dz ; a x x ; a y
; az z ,
dt
dt
dt
dt
dt
dt
то есть
vx = d(At2)/dt = 2At = 4 (м/с); vy = d(Bt)/dt = B = 2 (м/с);
vz = d(C)/dt = 0.
v = (42 + 22 + 02)1/2 = 4,5 (м/с).
ax = d(2At)/dt = 2A = 2 (м/с2); ay = d(B)/dt = 0; az = 0,
a = (22 + 02 + 02)1/2 = 2 (м/с2).
Ответ: 5,7 м; 4,5 м/с; 2 м/с2.
Пример 11. Частица начала движение из начала координат
по плоской криволинейной траектории радиуса 1 м. Радиусвектор
частицы
зависит
от
времени
по
зако
3
ну r (t ) i At j Bt k C , где А = 1 м/с3, В = 2 м/с, С = 3 м. Найти
модуль нормального ускорения частицы через 1 секунду после
начала движения.
Дано: r (t ) i At 3 j Bt k C ;
А = 1 м/с3, В = 2 м/с, С = 3 м;
t = 1 с.
Найти: an.
Решение. Модуль нормального ускорения найдем с помощью формулы (1.3.30), учитывая (1.3.23) и (1.3.22):
an = v2/R,
где
v v x2 v 2y v z2 , а проекции скоростей на оси координат
dy
v x dx ; v y ; v z dz .
dt
dt
dt
28
Подставим в вышеприведенные формулы числовые данные,
получим:
vx = d(At3)/dt = 3At2 = 3 (м/с); vy = d(Bt)/dt = B = 2 (м/с);
vz = d(C)/dt= 0.
v = (32 + 22 + 02)1/2 = 3,6 (м/с); an = v2/R = 3,62/1 = (13 м/с2).
Ответ: 13 м/с2.
1.3.6. Кинематика вращательного движения вокруг неподвижной оси
Абсолютно твердое тело (АТТ) – это система частиц, расстояния между которыми в процессе движения тела неизменны.
Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных движения – поступательное и вращательное.
При вращательном движении все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой,
называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне
тела.
Радиус-вектор каждой точки (вектор, проведенный из центра соответствующей окружности в данную точку) поворачиваются за время t на один и тот же угол – угол поворота твердого тела.
Поворот тела на некоторый угол (бесконечно малый) d задают в виде отрезка, длина которого равна d , а направление
совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот.
Векторы типа d , направление которых связывается с
направлением вращения (или обхода), называют аксиальными
векторами.
Векторная величина
d
(1.3.31)
lim
t0 t dt
называется угловой скоростью АТТ. Вектор направлен (как и
d ) вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой аксиальный вектор.
При равномерном вращении
= /t.
(1.3.32)
29
При одном полном обороте на время t = T тело поворачивается на угол = 2:
= 2/T T = /2,
(1.3.33)
где Т – период вращения.
Число оборотов в единицу времени называется частотой
вращения:
= 1/Т = /2.
(1.3.34)
При неравномерном вращении говорят, что тело вращается с
ускорением (угловым)
d
.
(1.3.35)
lim
dt
t 0 t
При увеличении угловой скорости со временем вектор угловой скорости и вектор углового ускорения сонаправлены (ускоренное движение). В случае замедленного движения эти векторы
противонаправлены.
Обратная задача кинематики вращательного движения:
t
t
dt; dt .
(1.3.36)
0
0
0
0
Для равноускоренного (равнозамедленного) вращения:
2
(1.3.37)
t; t t .
0
0
0
2
Пример 12. Частица из состояния покоя начала ускоренное
вращение по окружности радиуса 1 м, угол поворота зависит от
времени по закону (t) = Аt3. Найти через 1 секунду после начала
движения: 1) отношение тангенциального и нормального ускорений; 2) величину полного ускорения частицы. А = 1 рад/с3.
Дано: (t) = Аt3,
R = 1 м,
t = 1 с.
Найти: 1) а/аn; 2) a.
Решение. Тангенциальное и нормальное ускорения частицы
найдем с помощью формул (1.3.28) и (1.3.30) с учетом (1.3.29),
(1.3.31) и (1.3.35):
а = R, = d/dt,
= d/dt = d(Аt3)dt = 3At2 =
3(рад/с). = d(3At2)dt = 6At = 6 (рад/с2), откуда а = 6 (м/с2).
Нормальное ускорение: an = v2/R, связь между линейной и
угловой скоростями: v = R = 3 (м/с), поэтому an= 32/1 = 9 (м/с2).
30
Отношение тангенциального и нормального ускорений:
а/an = 6/9 = 0,67.
Полное ускорение частицы найдем из (1.3.27):
a an2 a2 = (92 + 62)1/2 = 10,8 (м/с2).
Ответ: 0,67; 10,8 м/с2.
Пример 13. Диск радиуса 1 м начал вращаться вокруг своей
оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону
(t) = Аt3 – Вt2. Через сколько секунд диск остановится, если
А = 1 рад/с3, В = 1 рад/с2?
Дано: (t) = Аt3 – Вt2;
R = 1 м;
А = 1 рад/с3, В = 1 рад/с2.
Найти: t.
Решение. Время остановки диска находим из условия, что
его конечная угловая скорость равна нулю: = 0.
Вращение диска по условию задачи не является равнопеременным, поэтому для нахождения зависимости угловой скорости
от времени используем
формулу (1.3.31):
lim d , откуда = d/dt = d[Аt3 – Вt2]/dt = 3At2 –
t0 t dt
– 2Bt.
Теперь используем условие равенства нулю угловой скорости, приравняв к нулю полученное выражение, и найдем время
остановки диска:
3At2 – 2Bt = 0 t(3At – 2B) = 0.
Имеем два корня уравнения:
t1 = 0
и
t2 = 2B/3A = 0,67 (с).
Ответ: диск остановится через 0,67 секунды.
1.3.7. Основное уравнение динамики поступательного
движения материальной точки. Импульс. Закон сохранения
импульса
Импульс материальной точки, имеющей массу m и скорость
V – это вектор, равный произведениюмассы на скорость:
(1.3.38)
р mV .
Введем понятие замкнутой системы как совокупности материальных тел, включая и точечные массы, взаимодействующие
31
друг с другом и не взаимодействующие с окружающими замкнутую систему телами. Для замкнутой системы существует несколько величин, связанных со скоростями входящих в нее тел,
которые не изменяются с течением времени. Такие величины
называют сохраняющимися.
Одной из сохраняющихся величин является полный импульс замкнутой системы, равный векторной сумме импульсов
образующих ее точечных масс:
P рi miVi ,
i
i
где рi , mi , Vi – импульс, масса и скорость i-той материальной точки, а суммирование ведется по всем точкам замкнутой системы.
Таким образом, система называется замкнутой, если все
внешние
силы, действующие на систему, уравновешиваются
( Fвнешн 0 ). Тогда имеет место закон сохранения импульса:
dP 0 или P const ,
(1.3.39)
dt
то есть
Полный импульс замкнутой
системы сохраняется.
Если, например, Fвнешн 0, Fвнешн 0 Px const ,
x
то есть, сохраняется только проекция импульса на соответствующую ось.
Если частица взаимодействует с окружающими телами, то
ее импульс будет изменяться с течением времени. Мерой такого
изменения и, следовательно, характеристикой взаимодействия
является сила, определяемая как
dp
d 2r
d
V
(1.3.40)
F m
m
ma .
2
dt
dt
dt
Выражение (1.3.40) является основным уравнением динамики поступательного движения частицы и носит название второго
закона Ньютона.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 14. Импульс материальной точки массы 1 кг изме
3
няется со временем по закону pt i At j Bt k C . Найти вели-
32
чину ускорения материальной точки через 1 секунду после начала движения. А = 2 кгм/с4, В = 3 кгм/с2, С = 2 кгм/с.
3
Дано: pt i At j Bt k C ;
А = 2 кгм/с4, В = 3 кгм/с2, С = 2 кгм/с;
m = 1 кг.
Найти: а.
Решение. Величину ускорения частицы найдем из второго
закона Ньютона (1.3.40):
а = F/m,
причем модуль силы, аналогично (1.3.23), получим так:
F Fx2 F y2 Fz2 ,
(1.3.41)
где Fx, Fy, Fz – проекции силы на оси координат, которые согласно (7.3), равны соответственно:
Fx = dpx/dt,
Fy = dpy/dt,
Fz = dpz/dt.
(1.3.42)
По условию задачи px = Аt3, py = Bt, pz = C.
Тогда, согласно (7.5), имеем для проекций силы на оси координат:
Fx = dpx/dt = d(Аt3)/dt = 3At2 = 6 (Н),
Fy = dpy/dt = d(Bt)/dt = B = 3 (Н),
Fz = dpz/dt = d(C)/dt = 0.
Подставим полученные значения проекций силы в (1.3.41), а
затем в (1.3.40):
F = (62 + 32)1/2 = 6,7 (Н).
а = 6,7 (м/с2).
Ответ: 6,7 м/с2.
Пример 15. Два шара массами 2 кг и 3 кг движутся по плоскости без трения и проскальзывания со скоростями 4 м/с и 2 м/с
соответственно. После неупругого удара найти скорость шаров,
если а) первый шар догоняет второй; б) шары движутся навстречу друг другу.
Дано: m1 = 2 кг, m2 = 3 кг,
v1 = 4 м/с, v2 = 2 м/с.
Найти: u.
Решение. а) Рассмотрим случай, когда шары движутся в одном направлении.
При неупругом ударе тела движутся вместе со скоростью,
которую мы обозначим u.
33
v1
m1
v2
m2
u
m1+ m2
x
до удара
после удара
Направление оси Оx выберем в направлении скоростей тел,
как показано на рисунке. Система двух шаров является замкнутой
по условию задачи, поэтому для нее будет выполняться закон сохранения импульса (1.3.39). Запишем его в проекции на ось Оx:
m1v1 + m2v2 = (m1+ m2) u,
откуда выразим скорость системы после удара:
u = (m1v1 + m2v2)/(m1+ m2) = 2,8 (м/с).
б) Шары движутся навстречу друг другу:
v1
v2
u
m1
m2
m1+ m2
до удара
x
после удара
Предположим, что после удара шары будут двигаться в
направлении движения первого шара до соударения. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Оx:
m1v1 – m2v2 = (m1+ m2) u, откуда
u = (m1v1 – m2v2)/(m1+ m2) =
= 0,4 (м/с).
Ответ: 2,8 м/с; 0,4 м/с.
Пример 16. Радиус-вектор частицы массы 1 кг зависит от
времени по закону r (t ) i At 3 j Bt k C , где А = 1 м/с3, В = 2 м/с,
С = 3 м. Записать закон, по которому со временем изменяется
вектор силы, действующей на частицу, и найти модуль скорости
частицы через 1 секунду после начала движения.
Дано: r (t ) i At 3 j Bt k C ;
А = 1 м/с3, В = 2 м/с, С = 3 м,;
m = 1 кг.
Найти: F t , v.
Решение. Исходная формула для нахождения зависимости
силы от времени – второй закон Ньютона (1.3.40):
34
F (t ) m
d 2r
dt 2
= F t =
= m i 6 At .
2 3
d i At d 2 i Bt d 2 k C
=
m
dt 2
dt 2
dt 2
Модуль скорости частицы найдем из (1.3.23), используя
(1.3.22):
v x dx = d(At3)/dt = 3At2 = 3 (м/с),
dt
dy
= d(Bt)/dt = B = 2 (м/с),
vy
dt
v z dz = d(C)/dt = 0.
dt
v v x2 v 2y v z2 = (32 + 22)1/2 = 3,6 (м/с).
Ответ: F t = m i 6 At ; v = 3,6 м/с.
1.3.8. Динамика вращательного движения твердого тела
Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой
траектории и имеющей
в данный момент времени радиус вектор
r и импульс p mV , относительно точки (центра) О, называется
векторное произведение радиус-вектора
и импульса частицы:
(1.3.43)
L r , p.
Направление L определяется правилом правого винта.
Векторное произведение любых векторов определяется следующим образом:
i j k
xp yp .
x
y
z
i
yp
zp
j
zp
xp
k
L r , p
z
z
y
x
y
x
px p y pz
Закон изменения момента импульса:
dL r, F M .
(1.3.44)
dt
Здесь M – момент силы.
* Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно
той же точки.
35
M перпендикулярен векторам r и F , и образует с ними
правую тройку векторов.
M = rFsin,
(1.3.45)
l = rsin,
где l – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы – плечо силы.
Проекция вектора момента силы на некоторую фиксированную (закрепленную) ось, например ось z, называется моментом
импульса относительно оси:
Lz = I,
(1.3.46)
где I – момент инерции частицы,
I = mR2.
(1.3.47)
Закон изменения момента импульса относительно оси:
dLz
(1.3.48)
Mz ,
dt
где Mz – проекция момента силы на ось z.
Спроектируем
уравнение моментов для системы материаль
dL
ных точек сист M внешн на ось вращения Oz , получим:
dt
dLz
d
I M z .
или
Mz
dt
dt
Для абсолютно твердого тела I = const, поэтому
d
I
I M z ,
(1.3.49)
dt
то есть,
* произведение момента инерции на угловое ускорение равно
результирующему моменту внешних сил относительно закрепленной оси вращения.
Уравнение (1.3.49) – основное уравнение вращательного
движения твердого тела относительно закрепленной оси.
Здесь I играет роль меры инертности (как масса при поступательном движении).
Как следует из основного уравнения,
* Если моменты всех сил относительно оси уравновешены,
то есть, Mz = 0, то момент импульса тела (или системы тел)
относительно той же оси сохраняется: Lz = I = const. Это
частный случай закона сохранения момента импульса.
36
Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс его материальных точек на квадраты их расстояний
до оси вращения:
I = miR2i.
Поскольку масса твердого тела распределена непрерывно,
сумму следует заменить на интеграл. Тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm = dV.
Таким образом,
I = R2 dm = R2dV,
(1.3.50)
где R – расстояние от элемента dV до оси вращения.
Пример 17. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей
через середину стержня, перпендикулярно ему.
l/2
dm
x
O
C
dx
ось
Решение. Ось, относительно которой нужно рассчитать момент инерции, проходит через центр масс стержня (точку С), так
как по условию задачи он однороден. Выделим элемент массы dm
стержня и длины dx. Момент инерции стержня относительно оси,
проходящей через его центр масс, найдем из выражения (1.3.50),
учитывая, что dV = dx, так как по условию задачи стержень тонкий, а масса единицы объема (в нашем случае масса единицы
длины) определяется выражением = m/l:
dm dV dx m dx
l
l
2 .
2 2m
ml
I x
dx
12
l
l
2
Пример 18. Рассчитать момент инерции стержня (см. пример 17) относительно оси, проходящей через один из его концов
(точку О).
37
Решение. Согласно (1.3.50),
2
l
I x 2 m dx ml .
3
0 l
Моменты инерции тел относительно оси, проходящей через
центр масс:
Тонкого обруча: IC = mR2;
(1.3.51)
Диска (цилиндра): IC = (1/2) mR2;
(1.3.52)
2
Шара: IC = (2/5) mR .
(1.3.53)
Если момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент
инерции относительно любой параллельной ей оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс по теореме Штейнера:
* Момент инерции относительно произвольной оси равен
сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и
проходящей через центр масс, и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями:
I0 = IC + md2.
(1.3.54)
Пример 19. Рассчитать момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей
через его конец (точку О), используя теорему Штейнера.
Решение. Момент инерции стержня относительно центра
масс, согласно примеру 17, равно IC = ml2/12. Расстояние между
осями d составляет d =l/2. По теореме Штейнера (1.3.54) имеем:
I0 = IC + m(l/2)2 = ml2/12 + ml2/4 = ml2/3.
Пример 20. Тонкий однородный стержень массы 1 кг и
длиной 1 м вращается в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень
располагают под углом 30 к горизонту и отпускают без толчка.
Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени.
Ускорение свободного паления считать равным 10 м/с2.
Дано: m = 1 кг;
l = 1 м;
= 30;
g = 10 м/с2.
Найти: .
Решение.
38
А
В
r
C
mg
Введем следующие обозначения: АС = l, АВ = ВС = l/2, плечо силы тяжести (она действует на центр масс однородного
стержня, находящегося в точке В, посередине стержня) r =
(l/2)cos. Тогда, используя основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), запишем:
M = I,
откуда
= M/I.
(1.3.55)
Найдем момент силы тяжести М из (8.3):
М = mg = (mglcos)/2.
(1.3.56)
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей
2
через один из его концов, мы рассчитали в примере 18: I ml ,
3
поэтому, подставляя полученные выражения для момента инерции и момента сил (1.3.56) в (1.3.55), получим окончательно:
= M/I = (3mglcos)/(2ml2) = (3gcos)/(2l) = 13 (рад/с2).
Ответ: 13 рад/с2.
Пример 21. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной
оси без трения. Его момент импульса относительно этой оси зависит от времени по закону L(t) = At2 + Bt + C. Через 0,5 секунд
после начала вращения тело имело угловое ускорение 2 рад/с2.
Найти зависимость момента инерции тела от времени и его величину через 0,5 секунд после начала вращения. А = 1 кгм2/с3, В = 2
кгм2/с2, С = 1 кгм2/с.
Дано: L(t) = At2 + Bt + C;
t = 0,5 с;
= 2 рад/с2;
А = 1 кгм2/с3, В = 2 кгм2/с2, С = 1 кгм2/с.
Найти: I(t), I.
Решение. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), откуда выразим момент инерции:
39
dL
1 dL 1
I M I
2 At B.
dt
dt
Чтобы рассчитать момент инерции тела в момент времени
0,5 с, подставим в полученное выражение значения углового
ускорения и коэффициентов А и В:
I = (1/2)(210,5 + 2) = 1,5 (кгм2).
1
Ответ: I(t) = 2 At B; I = 1,5 кгм2.
1.3.9. Полная механическая энергия тела. Законы сохранения и изменения энергии
Если частица массы m движется со скоростью v, то ее кинетическая энергия может быть представлена в виде
mv 2
K
.
(1.3.57)
2
Кинетическая энергия системы частиц – величина аддитивная и представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы:
N mi vi2
,
K
2
i1
где N – число частиц в системе, mi – масса i-той частицы, vi – скорость i-той частицы.
* Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой. Математически условие консервативности
силы выражается в виде:
F
dr 0 ,
что означает:
* циркуляция консервативной силы по любому замкнутому
контуру равна нулю.
Из определения консервативной силы следует:
работу консервативной силы можно представить как убыль
некоторой скалярной функции U r , зависящей только от положения тела (частицы), которая называется потенциальной энергией:
40
dAконс Fконс dr dU
или
2
U r U r U Fконс dr
1
2
1
Последняя формула является определением потенциальной
энергии:
* Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной.
Так как определена только разность потенциальной энергии,
то к выражению для потенциальной энергии можно добавить или
вычесть любую постоянную величину. Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о начале отсчета потенциальной
энергии (в какой именно точке считают U = 0).
Полная механическая энергия частицы – это сумма ее кинетической и потенциальной энергий:
Если на частицу действуют только консервативные силы, то
с одной стороны dA = – dU , с другой (из второго закона Ньютона): dA = dK – dU = dK,
d(K + U) = dE=0
Е = const
(1.3.58)
Выражение (1.3.58) – это закон сохранения полной механической энергии, который гласит:
* механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется.
Неконсервативные силы – силы, работа которых зависит от
длины и формы пути. То есть, работа неконсервативных сил на
замкнутом пути не равна нулю, с ними не связана потенциальная
энергия.
Примеры: сила трения скольжения, сила вязкого трения.
Работа силы трения скольжения зависит не от перемещения
тела, а от длины пути: Aтр = – Nl, и не равна нулю при возвращении тела в исходную точку.
Если на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы, то полная механическая энергия этой частицы сохраняться не будет:
dE = d(K + U) = dAнеконс.
41
(1.3.59)
Выражение (1.3.59) является математическим выражением
закона изменения полной механической энергии:
* Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех действующих на нее неконсервативных сил:
Потенциальная энергия системы частиц складывается из
собственной потенциальной энергии Uсоб (энергия взаимодействия частиц системы между собой) и внешней потенциальной
энергии Uвнешн:
Uсист = Uсоб + Uвнешн,
где
U
1 U ij .
соб 2 i ji
Здесь Uij – потенциальная энергия взаимодействия i-той и j-той
частиц системы; коэффициент 1/2 учитывает тот факт, что каждое слагаемое в двойной сумме учитывается дважды.
Если на каждую частицу системы действуют, кроме внутренних, также внешние силы, пусть тоже консервативные, то их
работа равна убыли внешней энергии dA = – dUвнешн,
где
U внешн U i .
i
Здесь Ui – потенциальная энергия i-той частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной (в отличие от собственной энергии Uсоб).
В таком случае, полная механическая энергия системы частиц запишется так:
E = Kсист + Uсоб + Uвнешн.
* Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: Eсист = сonst. В такой системе отсутствуют любые неконсервативные силы (и внешние, и
внутренние).
Заметим, что консервативность системы и закон сохранения
энергии никак не связаны с замкнутостью системы.
Закон изменения полной механической энергии системы:
* Изменение полной механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил:
dEсист = dAнеконс.
Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной
оси твердого тела:
42
2
mi Ri
miVi2
mi Ri2 2 I 2
, (1.3.60)
Kвращ
2
2
i 2
i
i 2
где mi – масса i-той частицы, Ri – радиус окружности, по которой
вращается i-тая частица, – угловая скорость вращения тела.
Продифференцируем по времени формулу (1.3.60) и получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела:
dKвращ
I d I M z .
dt
dt
то есть,
* скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности результирующего момента
сил относительно оси вращения.
Отсюда
dKвращ = Mzdt = Mzd K K2 – K1 = Mzd ,
то есть,
* изменение кинетической энергии вращательного движения равно работе момента сил.
Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось вращения тела, проходящая через его центр масс, остается перпендикулярной к этой
плоскости, называется плоским движением. Типичным примером
такого движения является качение симметричного тела.
Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной)
оси.
Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, запишется в виде
mV 2 I 2
C
.
(1.3.61)
K плоск
2
2
Здесь VС – скорость движения центра масс тела.
Пример 22. Однородный диск массы 1 кг и радиуса 1 м катится без трения и проскальзывания. Скорость центра масс диска
составляет 1 м/с. Найти кинетическую энергию диска.
Дано: m = 1 кг;
R = 1 м;
VC = 1 м/с.
43
Найти: Кплоск.
Решение. Данное движение диска является плоским, поэтому для кинетической энергии диска запишем формулу (1.3.61):
mV 2 I 2
C
.
K плоск
2
2
Найдем момент инерции диска, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр масс из (1.3.52):
IC = (1/2) mR2,
а угловую скорость вращения диска из (5.17): v = R.
Имеем:
2 mV 2 mV 2 3mV 2
mV 2 I 2 mV 2 1 mR 2 V
C
C
C
C
C=
C
=
K плоск
2
2
2
2
2 2 R
2
4
4
= 0,75 (Дж).
Ответ: 0,75 Дж.
Пример 23. Небольшая шайба массы 1 кг, имея начальную
скорость 10 м/с, останавливается, пройдя путь, равный 5 м. Найти
силу трения, действующую на шайбу.
Дано: m = 1 кг;
V0 = 1 м/с;
S = 5 м.
Найти: Fтр.
Решение. В силу того, что во время движения на шайбу действует сила трения, полная механическая энергия шайбы изменяется, причем из (1.3.59) имеем:
dE = d(K + U) = dAнеконс или в интегральной форме, расшифровывая работу силы трения,
Е = Aнеконс = Fтр Scos = – Fтр S,
(1.3.62)
так как вектор силы трения противонаправлен перемещению
шайбы, то есть = 180, cos180 = – 1.
Запишем, чему равно изменение полной механической энергии шайбы, используя (1.3.62):
2
mV 2
2 mV0
mV
E
0 Fтр S ,
откуда
2
2
2
mV 2
0 = 10 (Н).
Fтр
2S
Ответ: 10 Н.
44
Пример 24. Резиновая шайба массы 1 кг, двигаясь со скоростью 1 м/с, соскальзывает с горки высотой 1 м и приобретает
скорость V у подножия горки. Во время движения над шайбой
была совершена работа сил трения Атр = 1 Дж. Считая, что ускорение свободного падения составляет 10 м/с2, найти скорость
шайбы V.
Дано: m = 1 кг;
V0 = 1 м/с;
Атр = 1 Дж;
g = 10 м/с2.
Найти: V.
Решение. Поскольку во время движения шайбы на нее по
условию задачи действует сила трения, полная механическая
энергия шайбы изменяется. Запишем закон изменения полной
механической энергии в интегральной форме:
E = Е2 – Е1 = Aтр.
Изменение полной механической энергии:
mV 2
mV 2
0
E
mgh
,
откуда выразим скорость, ко2
2
торую приобретает шайба у подножия горки:
mV 2 2mgh 2 Aтр
0
= 4,36 (м/с).
V
m
Ответ: 4,36 м/с.
1.3.10. Колебания
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или
иной степенью повторяемости.
В зависимости от характера воздействия, оказываемого на
колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные)
колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободными или собственными колебаниями называются
такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она
была выведена из положения равновесия. Пример – колебания
шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вы45
звать колебания можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе
которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Пример – колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в
ногу.
Автоколебания, как и вынужденные, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляется это воздействие, задаются
самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Пример – часы, в которых маятник получает
толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины,
причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.
Простейшими являются гармонические колебания, то есть
такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, так как
1) колебания в природе и в технике часто имеют характер,
очень близкий к гармоническому;
2) периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Система, совершающая колебания, называется осциллятором.
Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.
Движение тела, совершающего свободные незатухающие
колебания под действием силы вида F = – kx (x – смещение тела
из положения равновесия), описывается линейным однородным
дифференциальным уравнением второго порядка:
d 2x 2x 0,
(1.3.63)
0
2
dt
где 0 – собственная частота свободных незатухающих колебаний.
46
Для шарика массы m, колеблющегося на пружине жесткостью k:
0 = (k/m)1/2.
(1.3.64)
Общее решение уравнения (1.3.63) имеет вид:
x = Acos(0t +),
(1.3.65)
где А – амплитуда собственных колебаний, (0t +) – фаза колебаний, – начальная фаза колебаний (значение фазы в момент
времени t = 0).
Амплитудой колебания называется величина наибольшего
отклонения системы от положения равновесия. Амплитуда А –
постоянная положительная величина. Ее значение определяется
величиной первоначального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.
Период колебаний Т – это время одного полного колебания:
T = 2/0.
(1.3.64)
Число колебаний в единицу времени – частота колебания :
= 1/T.
За единицу частоты принимается частота такого колебания,
период которого равен 1 секунда. Эту единицу называют герцем
(Гц).
Из формулы (10.4) для периода Т следует, что
0 = 2/T,
то есть, 0 – число колебаний за 2 секунд. 0 – круговая (циклическая) частота.
В механике гармонические колебания возникают при выполнении следующих условий:
* На частицу (систему частиц) должны действовать
сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы
из положения равновесия и стремящиеся вернуть ее в положение равновесия (квазиупругая сила).
Математический маятник – это идеализированная система,
состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошее приближение к математическому маятнику – небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нитке.
Физический маятник – это любое физическое тело, совершающее колебания вокруг оси подвеса, не проходящей через
центр масс, в поле сил тяжести.
Уравнение колебаний математического и физического маятников имеет вид:
47
d 2
2 0 .
0
dt 2
Оно идентично уравнению колебаний шарика на пружине.
Его решение:
= Acos(0t +),
то есть, при малых колебаниях угловое отклонение математического и физического маятников изменяется со временем по гармоническому закону.
Период колебаний математического маятника:
T = 2/0 = 2 l ,
g
где l – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника:
I ,
Т 2
mgd
где I – момент инерции маятника, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, d – расстояние от точки подвеса до
центра масс маятника.
Если система совершает свободные затухающие колебания
(в вязкой среде, где на нее будут действовать
силы
вязкого трения или силы сопротивления среды) Fсопр V , то уравнение
движения системы будет иметь вид:
2
md x F
F
kx dx .
упр X
сопрX
dt
dt 2
Обозначим: k/m = 02, /2m = , тогда получим динамическое уравнение собственных затухающих колебаний в общем виде:
d 2 x 2 dx 2 x 0 .
(1.3.67)
0
2
dt
dt
Если 0 (сопротивление среды невелико), то колебания
осциллятора совершаются по закону
x(t) = A0e–tcos(t+),
(1.3.68)
где А(t) = A0e–t – амплитуда затухающих колебаний, убывающая
по экспоненциальному закону, – собственная частота затухающих колебаний, причем
48
2 2 .
(1.3.69)
0
Такое уменьшение амплитуды А называют релаксацией
(ослаблением колебаний), а коэффициент – коэффициентом затухания колебаний.
– время релаксации – время, за которое амплитуда A(t)
уменьшается в е = 2,71828 раз.
= 1/.
(1.3.70)
Логарифмический декремент затухания – это натуральный
логарифм отношения амплитуд (или смещений) через период:
A(t )
(1.3.71)
ln
ln e t T 2 / .
A(t T )
Период затухающих колебаний:
2
2
.
T
2
2
0
Если сопротивление среды велико ( 0), то общее решение уравнения собственных затухающих колебаний будет иметь
вид:
x(t) = A1e1t + A2 e2t.
(сумма двух убывающих экспонент).
x
A0
t
При возвращении осциллятора в положение равновесия никаких колебаний не возникает, и такое движение осциллятора
называется апериодическим (см. рис).
Полная механическая энергия осциллятора складывается из
потенциальной энергии, обусловленной наличием консервативной квазиупругой силы Fx = – kx и равной
2
x
x
U ( x) U (0) Fx dx 0 (kx)dx kx
(1.3.72)
2
0
0
2
dx
m
m
2
и кинетической энергии K v .
2
2 dt
49
Если осциллятор вращается, то его кинетическая энергия
2
d
I
заменяется на K .
2 dt
* Полная механическая энергия гармонического осциллятора всегда пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний:
E = K+U =(kA2/2) = const.
(1.3.73)
Если на колеблющуюся систему (одномерный осциллятор)
действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону Fвн = F0cos(внt), то уравнение движения осциллятора будет
иметь вид:
d 2 x 2 dx 2 x F0 cos t ,
(1.3.74)
вн
0
m
2
dt
dt
– это динамическое уравнение вынужденных колебаний.
Здесь = /2m – коэффициент затухания, 0 = ( k/m)1/2 –
собственная частота незатухающих колебаний, F0 – амплитуда
внешней вынуждающей силы, вн – частота внешней вынуждающей силы.
Вынужденные колебания с частотой внешней силы вн
останутся после того, как собственные колебания затухнут. Поэтому для такого установившегося со временем режима колебаний решением уравнения (1.3.74) будет частное решение в виде
гармонической функции
x(t) = Acos(внt – ),
где А – амплитуда вынужденных колебаний, – отставание по
фазе от вынуждающей силы, которые соответственно равны:
F /m
0
A
;
2
2 2
2 2
4
вн
вн
0
2 вн
arctg
.
2
2
вн
0
* Установившиеся вынужденные колебания происходят с
постоянной, не зависящей от времени амплитудой, то есть,
не затухают, не смотря на сопротивление среды, поскольку
работа внешней силы идет на увеличение механической энергии осциллятора и полностью компенсирует ее убывание, ко50
торое происходит из-за действия диссипативной силы сопротивления среды.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой
определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний
достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы
при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой:
(1.3.75)
рез 2 2 2 .
0
Амплитуда при резонансе:
F /m
0
.
A
2
2
2
0
Пример 25. Тело массы 1 кг, подвешенное на пружине
жесткости k, совершает колебания по закону x = 0,5cos(6,5t), t
измеряется в секундах, x – в метрах. Найти амплитуду колебаний,
кинетическую и потенциальную энергию тела при x = 0,16 м, а
также полную механическую энергию тела.
Дано: x = 0,5cos(6,5t);
x = 0,16 м;
m = 1 кг.
Найти: A, K, U, E.
Решение. а) Амплитуду колебаний найдем из данного в
условии задачи динамического уравнения собственных незатухающих колебаний, сравнив его с уравнением (1.3.65):
x = Acos(0t +),
x = 0,5cos(6,5t),
где А – амплитуда колебаний. Очевидно, что А = 0,5 (м).
Из этого же уравнения видно, что собственная частота незатухающих колебаний 0 составляет 6,5 (с–1). Поскольку тело подвешено на пружине, то, следуя (1.3.64), запишем:
0 = (k/m)1/2, откуда выразим коэффициент жесткости
пружины:
k = 02 m.
(1.3.76)
б) Найдем кинетическую энергию тела при смещении из положения равновесия на величину x = 0,16 м. Из (1.3.57) следует,
что
51
mv 2
K
,
(1.3.77)
2
где v – скорость тела в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет 0,16 м. Найдем эту скорость, учитывая (1.3.22):
v dx = – 0,56,5sin(6,5t).
(1.3.78)
dt
Момент времени t в (1.3.78), который соответствует смещению тела из положения равновесия x = 0,16 м, найдем из динамического уравнения собственных незатухающих колебаний x =
0,5cos(6,5t):
0,5cos(6,5t) = 0,16 t = [arccos((0,16/0,5)]/6,5 = 0,19 (с).
Замечание. arccos((0,16/0,5) = 71,34, градусы необходимо
перевести в радианы: 71,34 = 1,245 (рад). Тогда t = 1,245/6,5 =
= 0,19 (с).
Подставим найденное время в (1.3.78), а затем из (1.3.77)
найдем кинетическую энергию колеблющегося тела:
v dx = – 0,56,5sin(6,5t) = – 0,56,5sin(6,50,19) = – 3,08
dt
(м/с),
mv 2
K
= 4,74 (Дж).
2
в) Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания на пружине, согласно (1.3.72) и (1.3.76), равна
2
U ( x) kx = (0 m x2)/2 = 0,54 (Дж).
2
г) Полную механическую энергию тела найдем из (1.3.73):
E = K+U =(kA2/2) = 5,28 (Дж).
Ответ: 0,5 м; 4,74 Дж; 0,54 Дж; 5,28 Дж.
Пример 26. Дифференциальное уравнение собственных
d 2x
гармонических колебаний имеет вид 0,2
0,8x 0 . Найти
2
dt
собственную частоту и период этих колебаний.
d 2x
Дано: 0,2
0,8x 0 .
2
dt
Найти: 0, Т.
52
Решение. Преобразуем данное в условии задачи уравнение к
виду (1.3.63), для чего разделим его почленно на 0,2:
d 2x
02 = 4, 0 = 2 (с–1).
4 x 0 , откуда
dt 2
Период колебаний найдем из (1.3.660.4):
T = 2/0 = 3,14 (с).
Ответ: 2 с–1; 3,14 с.
Пример 27. Рассматривая ногу как физический маятник,
определить период колебаний, пользуясь формулой для физичеI . Ногу считать стержнем длиной 0,8
ского маятника Т 2
mgd
м с шарниром на конце, центр тяжести находится на расстоянии
0,5 м от ступни. Масса ноги 12 кг.
Дано: m = 12 кг;
l = 0,8 м;
d = 0,5 м.
Найти: Т.
Решение. Момент инерции ноги находим по формуле для
момента инерции стержня длины l (см. пример 18):
I = ml2/3,
тогда для периода колебаний получим:
T 2 ml 2 3mg 0,8 0,5 6,28 0,64 / 3,08 9,8 1,7 (с).
Ответ: 1,7 с.
Пример 28. Дифференциальное уравнение затухающих коd 2x
dx
лебаний имеет вид 0,5
0,25 8x 0 . Найти коэффициент
dt
dt 2
затухания и собственную частоту этих колебаний.
d 2x
dx
Дано: 0,5
0,25 8x 0 .
dt
dt 2
Найти: , .
Решение. а) Найдем коэффициент затухания колебаний, для
чего сначала приведем уравнение, данное в задаче, к виду
(1.3.67), разделив его почленно на 0,5:
53
d 2x
dx
0,5 16x 0 ,
dt
dt 2
откуда видно, что 2 = 0,5 и = 0,25 (с–1).
б) Из этого же уравнения находим, что
02 = 16, тогда 0 = 4 (с–1).
Собственная частота затухающих колебаний, как следует из
(1.3.69), равна
2 2 = (16 – 0,0625)1/2 = 3,99 (с–1).
0
Ответ: 0,25 с–1; 3,99 с–1.
Пример 29. Грузик массой 1 кг совершает колебания на
пружине жесткостью 2 Н/м по закону x(t) = A0e–аtcos(bt+/4).
Найти а) коэффициент затухания (b = 1 с–1); б) логарифмический
декремент затухания (b = 1 с–1); в) собственную частоту затухающих колебаний (а = 1 с–1).
Дано: x(t) = A0e–аtcos(bt+/4);
m = 1 кг;
k = 2 Н/м;
а = 1 с–1;
b = 1 с–1.
Найти: , , .
Решение. а) Сравним данное в условии задачи динамическое уравнение затухающих колебаний с уравнением (1.3.68):
x(t) = A0e–tcos(t+),
x(t) = A0e–аtcos(bt+/4), откуда
b = – собственная частота затухающих колебаний;
= а – коэффициент затухания.
Собственная частота незатухающих колебаний, согласно
(1.3.64) и (1.3.69):
0 = (k/m)1/2 = (2 + 2) = (b2 + 2) = ((k/m) – b2)1/2 = 1 (с–1).
б) Логарифмический декремент затухания найдем их
(1.3.71):
= Т = 2/ = 2/b = 6,28.
в) По условию задачи а = 1 (с–1), причем = а. Поэтому, как
следует из (1.3.69),
= (02 – 2) = ((k/m) – а2)1/2 = 1 (с–1).
Ответ: 1 с–1; 6,28; 1 с–1.
Пример 30. За 5 секунд амплитуда колебаний уменьшается
в «е» раз. Найти коэффициент затухания колебаний.
54
Дано: = 5 с.
Найти: .
Решение. По условию задачи известно время релаксации колебаний – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается
в «экспоненту» раз. Согласно (1.3.70), имеем:
= 1/ = 1/5 = 0,2 (с–1).
Ответ: 0,2 с–1.
Пример 31. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
d 2x
dx
0,4
0,48 1,6 x 0,8sin(3t ) . Найти частоту внешней вынужdt
dt 2
дающей силы, собственную частоту незатухающих колебаний и
резонансную частоту.
d 2x
dx
Дано: 0,4
0,48 1,6 x 0,8sin(3t ) ;
dt
dt 2
Найти: а) вн; б) 0; в) рез.
Решение. а) Для того, чтобы найти частоту внешней вынуждающей силы, приведем уравнение, данное в условии задачи, к
виду (1.3.74), для чего разделим уравнение на 0,4:
d 2x
dx
1,2 4 x 2 sin(3t ) ,
dt
dt 2
откуда видно, что
а) вн = 3 (с–1);
б) 0 = 2 (с–1).
в) Резонансную частоту найдем из (1.3.75):
рез 2 2 2 ,
0
причем 2 = 1,2 (как следует из уравнения колебаний), и = 0,6
(с–1).
Тогда рез 2 2 2 = (22 – 2(0,6)2)1/2 = 1,81 (с–1).
0
Ответ: 3 с–1; 2 с–1; 1,81 с–1.
1.3.11. Акустика. Физические характеристики звука. Характеристики слухового ощущения
55
Акустика – область физики, изучающая упругие колебания и волны, методы получения и регистрации колебаний и
волн, их взаимодействие с веществом.
Звук в широком смысле – упругие колебания и волны, распространяющиеся в газообразных, жидких и твердых веществах;
в узком смысле – явление, субъективно воспринимаемое органом
слуха человека и животных. В норме ухо человека слышит звук в
диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц.
Звук с частотой ниже 16 Гц называется инфразвуком, выше
20 кГц – ультразвуком, а самые высокочастотные упругие волны
в диапазоне от 109 до 1012 Гц – гиперзвуком.
Существующие в природе звуки разделяют на несколько
видов.
Звуковой удар – это кратковременное звуковое воздействие
(хлопок, взрыв, удар, гром).
Тон – это звук, представляющий собой периодический процесс. Основной характеристикой тона является частота. Тон может быть простым, характеризующимся одной частотой (например, издаваемый камертоном, звуковым генератором), и сложным
(издаваемым, например, аппаратом речи, музыкальным инструментом).
Сложный тон можно представить в виде суммы простых
тонов (разложить на составляющие тона). Наименьшая частота
такого разложения соответствует основному тону, а остальные –
обертонам, или гармоникам. Обертоны имеют частоты, кратные
основной частоте.
Акустический спектр тона – это совокупность всех его
частот с указанием их относительных интенсивностей или
амплитуд.
Шум – это звук, имеющий сложную, неповторяющуюся
временную зависимость, и представляет собой сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Акустический спектр
шума – сплошной (шорох, скрип).
Физические характеристики звука:
а) Скорость (v). Звук распространяется в любой среде, кроме вакуума. Скорость его распространения зависит от упругости,
плотности и температуры среды, но не зависит от частоты колебаний. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна
56
примерно 330 м/с ( 1200 км/ч). Скорость звука в воде равна 1500
м/с; близкое значение имеет скорость звука и в мягких тканях организма.
б) Интенсивность (I) – энергетическая характеристика звука – это плотность потока энергии звуковой волны. Для уха человека важны два значения интенсивности (на частоте 1 кГц):
порог слышимости – I0 = 10–12 Вт/м2; такой порог выбран на
основе объективных показателей – это минимальный порог восприятия звука нормальным человеческим ухом; встречаются люди у которых интенсивность I0 может составлять 10–13 или 10–9
Вт/м2;
порог болевого ощущения – Imax – 10 Вт/м2; звук такой интенсивности человек перестает слышать и воспринимает его как
ощущение давления или боли.
в) Звуковое давление (Р). Распространение звуковой волны
сопровождается изменением давления.
Звуковое давление (Р) – это давление, дополнительно возникающее при прохождении звуковой волны в среде; оно является избыточным над средним давлением среды.
Физиологически звуковое давление проявляется как давление на барабанную перепонку. Для человека важны два значения
этого параметра:
– звуковое давление на пороге слышимости – P0 = 210–5 Па;
– звуковое давление на пороге болевого ощущения – Рmах =
= 60 Па.
Между интенсивностью (I) и звуковым давлением (Р) существует связь:
I = P2/2v,
где – плотность среды, v – скорость звука в среде.
г) Волновое сопротивление среды (Ra) – это произведение
плотности среды () на скорость распространения звука (v):
Ra = v.
Коэффициент отражения (r) – величина, равная отношению
интенсивностей отраженной и падающей волн:
r = Iотр/Iпад.
При нормальном падении коэффициент r рассчитывается по
формуле:
r = [(Ra2 – Ra1)/(Ra2 + Ra1)]2 .
Интенсивность преломленной волны зависит от коэффициента пропускания.
57
Коэффициент пропускания () – величина, равная отношению интенсивностей прошедшей (преломленной) и падающей
волн:
= Iпрош/Iпад.
При нормальном падении коэффициент рассчитывается по
формуле
= 4(Ra1/Ra2)/( Ra1/Ra1 + 1)2.
Отметим, что сумма коэффициентов отражения и преломления равна единице, а их значения не зависят от того порядка, в
котором звук проходит данные среды. Например, для перехода
звука из воздуха в воду значения коэффициентов такие же, как
для перехода в обратном направлении.
д) Уровень интенсивности. При сравнении интенсивности
звука удобно пользоваться логарифмической шкалой, то есть
сравнивать не сами величины, а их логарифмы. Для этого используется специальная величина – уровень интенсивности (L):
L = lg(I/I0);
L = 2lg(P/P0).
(1.3.79)
Единицей измерения уровня интенсивности является – бел,
[Б].
Логарифмический характер зависимости уровня интенсивности от самой интенсивности означает, что при увеличении интенсивности в 10 раз уровень интенсивности возрастает на 1 Б.
Один бел большая величина, поэтому на практике используют более мелкую единицу уровня интенсивности – децибел
[дБ]: 1 дБ = 0,1 Б. Уровень интенсивности в децибелах выражается следующими формулами:
LДБ = 10lg(I/I0); LДБ = 20lg(P/P0).
Если в данную точку приходят звуковые волны от нескольких некогерентных источников, то интенсивность звука равна
сумме интенсивностей всех волн:
I = I1 + I2 + ...
Для нахождения уровня интенсивности результирующего
сигнала используется следующая формула:
L = lg(10Ll+10 Ll + ...).
Здесь интенсивности должны быть выражены в белах. Формула для перехода имеет вид
L = 0,lLДБ.
Характеристики слухового ощущения:
58
Высота тона обусловлена, прежде всего, частотой основного тона (чем больше частота, тем более высоким воспринимается
звук). В меньшей степени высота зависит от интенсивности волны (звук большей интенсивности воспринимается более низким).
Тембр звука определяется его гармоническим спектром.
Различные акустические спектры соответствуют разному тембру,
даже в том случае, когда основной тон у них одинаков. Тембр –
это качественная характеристика звука.
Громкость звука – это субъективная оценка уровня его интенсивности.
Закон Вебера-Фехнера:
Если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (то есть в одинаковое число раз), то ощущение этого
раздражения возрастает в арифметической прогрессии (то
есть на одинаковую величину).
Для звука с частотой 1 кГц вводят единицу уровня громкости – фон, которая соответствует уровню интенсивности 1 дБ.
Для других частот уровень громкости также выражают в фонах
по следующему правилу:
громкость звука равна уровню интенсивности звука (дБ)
на частоте 1 кГц, вызывающего у «среднего» человека такое
же ощущение громкости, что и данный звук, причем
Е = klg(I/I0).
(1.3.80)
Пример 32. Звук, которому на улице соответствует уровень
интенсивности L1 = 50 дБ, слышен в комнате как звук с уровнем
интенсивность L2 = 30 дБ. Найти отношение интенсивностей звука на улице и в комнате.
Дано: L1 = 50 дБ = 5 Б;
L2 = 30 дБ = 3 Б;
I0 = 10–12 Вт/м2.
Найти: I1/I2.
Решение. Для того чтобы найти интенсивность звука в комнате и на улице, запишем формулу (1.3.79) для двух рассматриваемых в задаче случаев:
L1 = lg(I1/I0); L2 = lg(I2/I0),
откуда выразим интенсивности I1 и I2:
5 = lg(I1/I0)
I1 = I0105;
3 = lg(I2/I0)
I2 = I0103.
Очевидно: I1/I2 = 105/103 = 100.
59
Ответ: 100.
Пример 33. Для людей с нарушенной функцией среднего
уха слуховые аппараты сконструированы так, чтобы передавать
колебания непосредственно на кости черепа. Для костной проводимости порог слухового восприятия на 40 дБ выше, чем для воздушной. Чему равна минимальная интенсивность звука, которую
способен воспринимать человек с дефектом слуха?
Дано: Lк = Lв + 4.
Найти: Imin.
Решение. Для костной и воздушной проводимости, согласно
(1.3.79),
Lк = lg(Imin/I0);
Lв = lg(I2/I0),
(1.3.81)
где I0 – порог слышимости.
Из условия задачи и (1.3.81) следует, что
Lк = lg(Imin/I0) = Lв + 4 = lg(I2/I0) + 4, откуда
lg(Imin/I0) – lg(I2/I0) = 4, то есть,
lg[(Imin/I0) : (I2/I0)] = 4
lg(Imin/I2) = 4, имеем:
4
Imin/I2 = 10
Imin = I2104.
При I2 = 10–12 Вт/м2,
Imin = 10–8 Вт/м2.
Ответ: Imin = 10–8 Вт/м2.
Пример 34. Звук с частотой 1000 Гц проходит через стенку,
при этом его интенсивность уменьшается с 10–6 Вт/м2 до 10–8
Вт/м2. На сколько уменьшился уровень интенсивности?
Дано: = 1000 Гц;
I1 = 10–6 Вт/м2;
I2 = 10–8 Вт/м2;
I0 = 10–12 Вт/м2.
Найти: L2 – L1.
Решение. Уровни интенсивности звука до и после прохождения стенки найдем из (1.3.79):
L1 = lg(I1/I0); L2 = lg(I2/I0), откуда
–6
L1 = lg(10 /10–12) = 6;
L2 = lg(10–8/10–12) = 4.
Тогда L2 – L1 = 6 – 4 = 2 (Б) = 20 (дБ).
Ответ: уровень интенсивности уменьшился на 20 дБ.
Пример 35. Для людей с нормальным слухом изменение
уровня громкости ощущается при изменении интенсивности звука на 26 %. Какому интервалу громкости соответствует указанное
60
изменение интенсивности звука? Частота звука составляет 1000
Гц.
Дано: = 1000 Гц;
I0 = 10–12 Вт/м2;
k = 1;
I = 26 %.
Найти: L.
Решение. Для частоты звука, равной 1000 Гц, шкалы интенсивностей и громкостей звука совпадают согласно формуле
(1.3.80), так как k = 1,
Е = klg(I/I0) = lg(I/I0) = L, откуда
L = lg(I/I0) = 11,4 (Б) = 1 (дБ) = 1 (фон).
Ответ: 1 фон.
Пример 36. Уровень интенсивности приемника составляет
90 дБ. Чему равен максимальный уровень интенсивности трех
приемников, работающих одновременно?
Дано: L1 = 90 дБ = 9 Б;
I0 = 10–12 Вт/м2;
Найти: L2.
Решение. Из (1.3.79) найдем интенсивность звука одного
приемника, которую обозначим как I1:
L1 = lg(I1/I0)
I1 = 10910–12 = 10–3 (Вт/м2).
Тогда для одновременно работающих трех приемников имеем:
L2 = lg(3I1/I0) = lg(310–3/10–12) = 9,5 (Б) = 95 (дБ).
Ответ: 95 дБ.
Пример 37. Средняя мощность человеческого голоса 10
мкВт. За одну секунду человек в среднем произносит 4 слога. В
звуковую переходит (1/1000) часть израсходованной энергии.
Сколько энергии затратит человек на произнесение двухсложного
слова?
Дано: Ф = 10–5 Вт;
t = 1 с.
Найти:W.
Решение. При решении этой задачи энергия, затрачиваемая
на произнесение слова – произведение мощности на время – обозначена как W (чтобы не путать с громкостью звука Е):
W = Фt.
61
На произнесение двухсложного слова человек тратит время
t2слога = t/2 = 0,5 (с).
Поскольку в звуковую по условию задачи перейдет только
(1/1000) часть израсходованной энергии, то
W2слога = Фзв t2слога = 510–9 (Дж),
где Фзв = 0,001Ф.
Ответ: 510–9 Дж.
1.3.12. Механические волны. Плоская волна
Процесс распространения механических колебаний в
упругой среде называется упругой, или механической, волной.
С волной связан перенос энергии колебаний от источника
колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде
возникают периодические деформации сжатия и сдвига, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. При
распространении механической волны сами частицы среды не
перемещаются вместе с ней, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
Механические волны различаются по тому, как колебания
частиц среды ориентированы относительно направления распространения волны. Простейшие типы волн в этом случае следующие.
Продольные волны – такие, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения колебаний. При этом
в среде чередуются области сжатия и разряжения. Продольные
механические волны могут возникать во всех средах (твердых,
жидких и газообразных).
Поперечные волны – такие, в которых частицы колеблются
перпендикулярно к направлению распространения колебаний.
При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при
сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в
этих средах не возникают. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.
Фронт волны – геометрическое место точек (поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Для всех точек фронта время, за которое до них дошло
возмущение, одинаково.
62
Скоростью волны v называется скорость перемещения ее
фронта. Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны:
поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.
Скорость звуковой волны в воздухе при нормальных условиях составляет около 330 м/с.
Форма волнового фронта определяет геометрический тип
волны. Простейшие типы волн по этому признаку – плоские и
сферические.
Плоской называется волна, у которой фронтом является
плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.
Сферической называется волна, у которой фронт имеет
форму сферы. Такой, например, является волна, вызываемая в
однородной среде точечным источником.
Для волны, созданной гармоническими колебаниями источника, колебания точек среды также являются гармоническими.
Такая волна называется гармонической. Колебания каждой точки
среды описываются уравнением
х = Acos(t + 0),
где А – амплитуда колебаний данной точки, – круговая (циклическая) частота колебаний, определяемая частотой внешнего воздействия ( = 2) и потому одинаковая для всех точек, 0 – фаза
колебаний данной точки в момент времени t = 0 (начальная фаза
колебаний).
Рассмотрим распространение плоской волны, созданной
гармоническими колебаниями источника: xи = Acos(t). Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны – V, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время t = s/V. Поэтому фаза колебаний в
рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как
фаза колебаний источника в момент времени (t = s/V). В результате колебания данной точки будут определяться уравнением:
х = Acos[(t – s/V)].
(1.3.82)
Уравнение (1.3.82), определяющее смещение любой точки
среды в любой момент времени, называется уравнением плоской
волны.
Аргумент при косинусе – величина = (t – s/V) –
называется фазой волны.
63
Обычно вместо круговой частоты колебаний указывают
частоту или период колебаний точек среды Т. Связь между
этими величинами:
= 2 = 2/Т.
(1.3.83)
Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время равное периоду колебаний частиц среды:
= VT,
где V – скорость волны.
При волновом движении происходит перенос энергии Е, которая складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформацией среды при взаимном смещении частиц.
Для количественного описания переноса энергии вводят
следующие величины.
Поток энергии (Ф) – величина, равная средней энергии,
проходящей за единицу времени через данную поверхность:
Ф = E/t [Вт].
Объемная плотность энергии (p) – средняя энергия колебательного движения, приходящаяся на единицу объема
среды:
p = А22/2 [Дж/м3],
где – плотность среды.
Интенсивность волны (плотность потока энергии волны) (I) – величина, равная потоку энергии волны, проходящей
через единичную площадь, перпендикулярную к направлению
распространения волны:
I = Ф/S [Вт/м2].
(1.3.84)
Можно показать, что интенсивность волны определяется соотношением
I = VA22/2 = р2/(2V),
где р – звуковое давление, V = 330 м/с – скорость звука в воздухе.
Пример 38. Капсула фонендоскопа имеет диаметр 3 см.
Площадь барабанной перепонки 70 мм2, на нее попадает 90 %
звуковой энергии при интенсивности 10–11 Вт/м2. Чему равна интенсивность сердечных тонов у входа в капсулу фонендоскопа?
Дано: d = 3 см = 0,03 м;
Sп = 70 мм2 = 710–5 м2;
64
Iп = 10–11 Вт/м2;
Фп = 0,9Фф.
Найти: Iф.
Решение. Исходя из (1.3.84), запишем, чему равны потоки
звуковой энергии у входа в капсулу фонендоскопа (Фф) и воздействующие на барабанную перепонку (обозначен как Фп):
Фп = IпSп,
Фф = IфSф.
По условию задачи Фп = 0,9Фф, поэтому, с учетом S = d2/4,
Фф = IфSф = Iф(d2/4),
Фп = IпSп = 0,9Фф = 0,9Iф(d2/4),
откуда Iф = (4IпSп)/(0,9d2) = 1,110–12 (Вт/м2).
Ответ: 1,110–12 Вт/м2.
Пример 39. Две точки находятся на расстоянии 6 м и 12 м
от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения V = 300 м/с.
Дано: s1 = 6 м;
s2 = 12 м;
T = 0,04 с;
V = 300 м/с.
Найти: .
Решение. Согласно (1.3.82) для точек, находящихся на расстоянии s1 и s2 от источника колебаний, имеем:
х1 = Acos[(t – s1/V)],
х2 = Acos[(t – s2/V)],
где фазы колебаний
1 = (t – s1/V),
2 = (t – s2/V),
а разность фаз колебаний
= 1 – 2 = (s2 – s1)/V = [2( s2 – s1)]/(ТV),
где использована формула связи между частотой колебаний и
периодом колебаний Т (1.3.83): = 2/Т.
Имеем окончательно:
= (рад), то есть, точки колеблются в противофазе.
Ответ: рад.
1.3.13. Эффект Доплера
Эффект Доплера состоит в том, что воспринимаемая приемником частота отличается от излучаемой источником частоты
0 вследствие движения источника волн и приемника.
65
Эффект может наблюдаться в акустике и оптике.
Пусть гармонические колебания источника волн определяются уравнением
xИ = Acos(20t) = Acos(2t/T0),
где 0 – частота ультразвука, излучаемого генератором, T0 – период колебаний источника.
Период и частота колебаний, фиксируемых приемником:
V V
V V
И T ,
П ,
(1.3.85)
T
0
0
V V
V V
П
И
где V – скорость ультразвука, излучаемого генератором, VИ –
скорость источника колебаний, VП – скорость приемника колебаний.
Верхний знак берется, если соответствующая скорость
направлена в сторону оси х (от источника к приемнику), а нижний знак – для обратного направления.
Рассмотрим один частный случай использования эффекта
Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с
приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук с
частотой 0, который распространяется в среде со скоростью V.
Навстречу системе со скоростью V0 движется некоторый
объект. В данном случае система выполняет роль источника (VИ
= 0), а объект – роль приемника (VП = V0). По формуле (1.3.85)
найдем частоту, воспринимаемую объектом:
V V
0 .
0
V
Ультразвуковая волна с частотой отражается объектом в
сторону технической системы. Теперь система выполняет роль
приемника (VП = 0), а объект – роль источника (VИ = – V0). В этом
случае приемник воспринимает частоту
V V
V
0 .
0
V V
V V
0
0
Таким образом, возникает разница между принятой и испущенной частотами, которую называют доплеровским сдвигом частоты:
2V
V V
0
0 .
D
0 V V
0 0 V V
0
0
0
66
В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (V V0). В этом случае V – V0 V или:
2V
(1.3.86)
D 0 .
0
V
При приближении объекта к датчику частота отраженного
сигнала увеличивается, а при удалении – уменьшается.
Эффект Доплера используется для определения скорости
кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов.
Пример 40. Определить скорость кровотока в артерии, если
при отражении ультразвука частотой 100 кГц, имеющим скорость
1500 м/с, от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты
D = 40 Гц.
Дано: 0 = 100 кГц = 100 000 Гц;
V = 1500 м/с;
D = 40 Гц.
Найти: V0.
Решение. Из формулы (1.3.86) найдем: V0 = D (V/2) 0 =
= 401500/(2100 000) = 0,3 (м/с).
Ответ: 0,3 м/с.
Пример 41. Источник создает звук частотой 500 Гц, когда
он находится в покое. Затем он начинает двигаться к наблюдателю, стоящему на месте, со скоростью 30 м/с. Какую частоту звука
будет воспринимать наблюдатель?
Дано: V = 330 м/с;
VП = 0 м/с;
VИ = 30 м/с;
0 = 500 Гц.
Найти: .
Решение. Поскольку источник звука приближается к покоящемуся приемнику звука (это в данном случае наблюдатель), в
формуле (1.3.85) берем верхний знак с учетом того, что по условию VП = 0:
V V
П = V = 330 500 = 550 (Гц).
0 V V
0 330 30
V V
И
И
Ответ: 550 Гц.
67
Пример 42. Две машины движутся навстречу друг другу со
скоростями 20 м/с и 15 м/с. Первая машина дает сигнал с частотой 750 Гц. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин; б) после встречи машин.
Дано: V1 = 20 м/с, V2 = 15 м/с;
0 = 500 Гц;
V = 330 м/с.
Найти: .
Решение. а) Рассмотрим случай сближения машин. В
(1.3.85) следует брать верхний знак. Имеем:
V V
V V
П
2 = 835 (Гц).
=
0 V V 0
V V
И
1
б) При удалении машин друг от друга после встречи в
(1.3.85) берем нижний знак, получаем:
V V
V V
П =
2 = 675 (Гц).
0 V V 0
V V
И
1
Ответ: 835 Гц; 675 Гц.
ВАРИАНТЫ ТЕСТОВ
Вариант 1
1.1. Выберите правильный ответ:
Колебания, которые происходят в системе, предоставленной
самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была
выведена из положения равновесия, называют
1. Вынужденными.
2. Свободными (собственными).
3. Автоколебаниями.
4. Параметрическими.
1.2. Выберите правильный ответ:
Динамика – это раздел механики, в котором изучается
1. Влияние взаимодействия тел на их механическое движение.
2. Механическое движение тел без рассмотрения причин,
вызывающих это движение.
3.Законы равновесия тел.
1.3. Выберите правильный ответ:
68
Аудиометрия – это метод измерения
1. Уровня громкости шума.
2. Остроты слуха.
3. Спектра шума.
4. Механической активности сердца.
1.4. Укажите формулу для определения модуля тангенциального ускорения материальной точки:
1. а = R.
2. а = V2R.
3. а = R.
4. а = V2/R.
1.5. Дополните:
Тело массы 3 кг движется со скоростью 2 м/с. Величина его
импульса равна …….(1) кгм/с, так как вычисляется по формуле р
= …….(2).
1.6. Дополните:
Векторное произведение радиус-вектора частицы и силы,
действующей на частицу, называется ……..(1)………(2).
1.7. Дополните:
Основные физические характеристики вибраций – это
……(1), …….(2), ……..(3).
1.8. Дополните:
Для звука частотой 1000 Гц порог слышимости равен
…….(1) фон, порог болевого ощущения равен ……(2) фон.
1.9. Чистый тон частотой 1000 Гц, плотность воздуха составляет 1,29 кг/м3. Разрыв барабанной перепонки наступает при
уровне интенсивности 160 дБ. Чему равно амплитудное значение
звукового давления при этом?
1.10. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
r(t) = At2i + Btj + Ck. Какой путь пройдет эта частица за 2 секунды, если в начальный момент времени она находилась в начале
координат? A = 1 м/с2, В = 1 м/с, С = 1 м.
69
1.11. Через 20 секунд амплитуда колебаний уменьшается в
«е» раз. Найти коэффициент затухания этих колебаний.
Вариант 2
2.1. Выберите правильный ответ:
Полный импульс замкнутой системы – это
1. Алгебраическая сумма импульсов, образующих эту систему тел.
2. Векторное произведение импульсов, образующих эту систему тел.
3. Векторная сумма импульсов, образующих эту систему
тел.
2.2. Выберите правильный ответ:
Укажите верную формулу полной механической энергии
материальной точки массы m, которая движется на высоте h от
поверхности Земли:
1. mgh.
2. mV2/2 + mgh.
3. mR2/2.
4. mV2/2.
2.3. Выберите правильный ответ:
Гармонический спектр сложного колебания – это
1. Амплитуды колебаний.
2. Коэффициент затухания.
3. Фазы колебаний.
4. Смещение колеблющейся точки от положения равновесия.
2.4. Выберите правильный ответ:
При диагностировании патологического изменения в тканях
организма ультразвуковым методом отраженный сигнал был
принят через 210–5 с после излучения. Скорость ультразвука в
этих тканях составляет 1500 м/с. Неоднородность была обнаружена на глубине
1. 1,5 см.
2. 3 мм.
3. 3 см.
4. 1,5 мм.
70
2.5. Дополните:
Колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся
силы, называются ……(1).
2.6. Дополните:
Тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 5
м/с. Чтобы тело прошло путь 100 м, ему необходимо затратить
время ……..(1) с.
2.7. Дополните:
Фонокардиограф – это прибор для графической регистрации
….(1) и …..(2) сердца.
2.8. Дополните:
Основные эффекты, вызванные воздействием ультразвука
на биологические объекты: …….(1), ……..(2), ……..(3).
2.9. Сердце человека периодически сокращается. У эмбриона оно делает 1 сокращение в каждую секунду. Определить частоту сокращений сердца эмбриона.
2.10. Шары массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг
другу со скоростями 4 м/с и 2 м/ с соответственно. Найти скорость шаров после абсолютно неупругого удара. В какую сторону
они будут двигаться после удара?
2.11. Площадь излучателя ультразвукового генератора равна
5 см . С помощью акустической линзы, через которую проходит
50 % энергии, концентрируют ультразвук в фокальном пятне
диаметром 4 мм. Во сколько раз при этом изменится интенсивность ультразвука?
2
Вариант 3
3.1. Выберите правильный ответ:
Аускультация – это
1. Графическая регистрация шумов организма.
2. Графическая регистрация тонов и шумов сердца.
3. Выслушивание звучания отдельных частей тела при их
прослушивании.
71
4. Выслушивание низкочастотных колебаний, возникающих
при физиологической деятельности внутренних органов.
3.2. Выберите правильный ответ:
Различие в уровнях интенсивности звука, равное 10 дБ,
означает, что отношение их интенсивностей равно
1. 1.
2. 10.
3. 100.
4. 1000.
3.3. Выберите правильный ответ:
Длина волны определяется выражением
1. = V/T.
2. = VT.
3. = T.
4. = /T.
3.4. Выберите правильный ответ:
Если частицы среды при распространении в ней упругой
волны смещаются в направлении распространения этой волны, то
волна называется
1. Сферической.
2. Поперечной.
3. Продольной.
3.5. Дополните:
Импульс тела массой 2 кг составляет 6 кгм/с. Скорость тела
равна …….(1) м/с, так как вычисляется по формуле V = ……(1).
3.6. Дополните:
Геометрическое место точек, в которых находится материальная точка в различные моменты времени, образует непрерывную линию, называемую …..(1).
3.7. Дополните:
Если скорость кровотока возрастает в три раза, то в случае
совпадения направлений кровотока и УЗ-волны доплеровский
сдвиг частоты ……(1) (возрастает, уменьшается) в ……(2) раза.
72
3.8. Дополните:
Тонкий стержень массы 2 кг вращается вокруг своей оси,
проходящей через центр масс. Длина стержня составляет 1 м.
Момент инерции стержня относительно этой оси равен …….(1)
кгм2, так как вычисляется по формуле I = ………(2).
3.9. Импульс материальной точки изменяется со временем
по закону р(t) = Аt7i + Bt3j. Найти величину импульса материальной точки в момент времени t = 1 с. А = 2 кгм/с8, В = 1 кгм/с4.
3.10. Чему равно амплитудное значение давления в ткани
при облучении ультразвуком интенсивностью 1 Вт/см2?
3.11. Тонкий однородный стержень массы 1 кг и длиной 1 м
вращается в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают
под углом = 30 к горизонту и отпускают без толчка. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.
Вариант 4
4.1. Выберите правильный ответ:
Количественная мера инертности тела при его поступательном движении – это
1. Сила.
2. Масса.
3. Импульс.
4. Момент инерции.
4.2. Выберите правильный ответ:
Система, в которой не сохраняется полная механическая
энергия тела, называется
1. Замкнутой.
2. Неконсервативной.
3. Консервативной.
4.3. Выберите правильный ответ:
Перкуссия – это
1. Графическая регистрация шумов организма.
2. Графическая регистрация тонов и шумов сердца.
73
3. Выслушивание звучания отдельных частей тела при их
прослушивании.
4. Выслушивание низкочастотных колебаний, возникающих
при физиологической деятельности внутренних органов.
4.4. Выберите правильный ответ:
В «ультразвуковом скальпеле» используется интенсивность
1. 1 Вт/см2.
2. 50 Вт/см2.
3. 103 Вт/см2.
4. 0,1 Вт/см2.
4.5. Дополните:
Тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 5
м/с. Чтобы это тело прошло путь 400 м, ему необходимо затратить время ……(1) с.
4.6. Дополните:
Шар массы 1 кг и радиуса 1 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс. Момент инерции шара равен ……(1)
кгм2, так как вычисляется пол формуле I = ……(2).
4.7. Установите соответствие:
Волна
Особенности распространения
1. Ультразвук
А. Большая длина волны
2. Инфразвук
Б. Малая длина волны
В. Легко сфокусировать
Г. Распространяется на значительные расстояния
Д. Слабое поглощение средами
Е. Лучевой характер
4.8. Дополните:
Закон Вебера-Фехнера: если увеличивать раздражение в
…….(1) прогрессии, то ……(2) …..(3) возрастет в …….(4) прогрессии.
4.9. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без
трения. Его момент импульса относительно этой оси вращения
зависит от времени по закону L(t) = At2 + Bt + C. Через 0,5 секунд
74
тело имело угловое ускорение 1 рад/с2. Найти зависимость момента инерции тела от времени. Ему он стал равен через 0,5 секунд? А = 1 кгм2/с3, В = 2 кгм2/с2, С = 1 кгм2/с.
4.10. Интенсивность сердечных тонов, воспринимаемых через стетоскоп, равна 10–9 Вт/см2. Чему равен уровень интенсивности тонов сердца при этом?
4.11. Небольшая шайба массой 0,1 кг, имея начальную скорость 10 м/с, останавливается, пройдя путь 4 м. Найти силу трения, действующую на шайбу.
Вариант 5
5.1. Выберите правильный ответ:
Интенсивность звука – это
1. Плотность потока энергии звуковой волны.
2. Поток энергии звуковой волны.
3. Плотность энергии звуковой волны.
4. Энергия звуковой волны.
5.2. Выберите правильный ответ:
Ультразвуковая локация – это метод
1. Разрушения костной ткани с помощью ультразвука.
2. Механического и теплового воздействия ультразвука.
3. Определения размеров сред.
4. Определения размеров сердца в динамике.
5.3. Выберите правильный ответ:
Системы отсчета, в которых свободная частица движется
неускоренно, называют
1. Неинерциальными.
2. Инерциальными.
3. Консервативными.
4. Замкнутыми.
5.4. Выберите правильные ответы:
1. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к
траектории частицы.
2. Тангенциальное ускорение направлено к центру кривизны
траектории частицы.
75
3. Нормальное ускорение направлено к центру кривизны
траектории частицы.
4. Полное ускорение частицы является векторной суммой
тангенциального и нормального ускорений.
5.5. Дополните:
Тело движется по окружности радиуса 5 м с постоянной
скоростью 10 м/с. При этом его нормальное ускорение равно
……(1) м/с2.
5.6. Установите соответствие:
Величина
Единица измерения
1. Импульс р
А. Н
2. Скорость V
Б. кг
3. Масса m
В. кгм/с
4. Сила F
Г. м/с
5.7. Дополните:
Сложный тон – это …….(1) колебания, которые могут быть
разложены на ……(2).
5.8. Дополните:
Если амплитуды затухающих колебаний, измеренных через
период равны А1 = 5 см, А2 = 4,5 см, то логарифмический декремент затухания равен ……(1), так как по формуле = …….(2).
5.9. Резиновая шайба массы 1 кг, двигаясь со скоростью V0 =
1 м/с, соскальзывает с горки высотой h = 1 м и приобретает скорость V у подножия горки. Во время движения над шайбой была
совершена работа силы трения Атр = 1 Дж. Считая, что ускорение
свободного падения составляет 10 м/с2, найдите скорость шайбы
у подножия горки.
5.10. Определить частоты волн, имеющих в воде (скорость
V1 = 1500 м/с) и в воздухе (скорость V2 = 330 м/с) одинаковую
длину 2 см.
5.11. Грузик массой 1 кг совершает собственные затухающие колебания на пружине жесткости 2 Н/м по закону x = Ae–
at
cos(bt + /4). Найти коэффициент затухания, если b = 1 с–1.
76
Вариант 6
6.1. Выберите правильный ответ:
Фонокардиография – это
1. Графическая регистрация шумов организма.
2. Графическая регистрация тонов и шумов сердца.
3. Выслушивание звучания отдельных частей тела при их
прослушивании.
4. Выслушивание низкочастотных колебаний, возникающих
при физиологической деятельности внутренних органов.
6.2. Выберите правильный ответ:
В децибелах измеряется
1. Уровень громкости.
2. Интенсивность звука.
3. Звуковое давление.
4. Уровень интенсивности.
6.3. Выберите правильный ответ:
Метод измерения остроты слуха называется
1. Фонография.
2. Шумометрия.
3. Аудиометрия.
4. Аудиограмма.
6.4. Выберите правильный ответ:
Первичный механизм действия инфразвука на организм:
1. Воздействие на ЦНС.
2. Резонансные колебания частей и органов тела.
3. Тепловое воздействие.
4. Химическое действие на ткани.
6.5. Дополните:
Чистый тон – это ……….(1) колебания, а соответствующая
плоская звуковая волна описывается уравнением S = …….(2).
6.6. Дополните:
Если интенсивность звуковой волны возросла в 9 раз, то
звуковое давление изменится в …..(1) раз, так как по формуле I =
…..(2).
77
6.7. Дополните:
В основе устройств ультразвуковых излучателей лежат явления ………(1), ………..(2).
6.8. Дополните:
Примеры автоколебательных процессов в живом организме:
…….(1) ……(2), ………(3).
6.9. Скорость кровотока в аорте 0,3 м/с. Вдоль потока
направляются ультразвуковые волны с частотой 4 МГц. Эти волны отражаются от красных кровяных телец. Чему равен доплеровский сдвиг частот?
6.10. Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости.
Чему равна скорость тела в момент падения на Землю? Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.
6.11. Шар массы 1 кг и радиуса 1 м катится со скоростью 1
м/с по гладкой поверхности без проскальзывания. Найти кинетическую энергию шара.
ОТВЕТЫ
Вариант 1
01 – 2
02 – 1
03 – 2
04 – 3
05 – (1) 6; (2) р = mV
06 – (1) моментом; (2) силы
07 – (1) частота; (2) амплитуда; (3) энергия
08 – (1) 0; (2) 130
09 – 2965 Па
10 – 4,6 м
11 – 0,5 с–1
Вариант 2
01 – 3
02 – 2
03 – 1
04 – 1
05 – (1) вынужденными
06 – (1) 20 с
07 – (1) тонов; (2) шумов
08 – (1) механические; (2) тепловые; (3)
физико-химические
09 – 1 Гц
10 – 0 м/с, остановится
11 – 19,9 (20) раз
Вариант 4
01 – 2
02 – 2
03 – 3
04 – 3
05 – (1) 80 с
06 – (1) 0,4; (2) I = 2mR2/5
07 – 1Б, В, Е; 2А, Г, Д
08 – (1) геометрической; (2) ощущение; (3)
этого раздражения; (4) арифметической
09 – I = (2Аt + B)/; I = 3 кгм2
10 – 10 дБ
11 – 1,25 Н
Вариант 5
01 – 1
02 – 3
03 – 2
04 – 1, 3, 4
05 – (1) 20 м/с2
06 – 1В, 2Г, 3Б, 4А
07 – (1) ангармонические; (2) простые
08 – (1) 0,1; (2) = ln(An/An+1)
09 – 4, 36 м/с
10 – 75000 Гц, 16500 Гц
11 – 1 с–1
78
Вариант 3
01 – 4
02 – 2
03 – 2
04 – 3
05 – (1) 3; (2) V = p/m
06 – (1) траекторией
07 – (1) возрастает; (2) три
08 – (1) 1/6; (2) I = ml2/12
09 – 2,24 кгм/с
10 – 2,5105 Па
11 – 13 рад/с2
Вариант 6
01 – 2
02 – 4
03 – 3
04 – 2
05 – (1)гармонические; (2)S = Acos(t–x/v)
06 – (1) три; (2) I = p2/(2c)
07 – обратного пьезоэффекта; (2) магнитострикции
08 – (1) расщепление глюкозы; (2) сердце;
(3) автоколебательные процессы восстановления кофермента
09 – 1558 Гц
10 – 44,7 м/с
11 – 0,7 Дж
2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Для успешного тестирования по курсу «Электричество»
необходимо знать следующие законы, определения и формулы:
1. Точечный заряд. Сила Кулона, закон Кулона, взаимодействие
электрических зарядов.
2. Понятие напряженности электрического поля; силовые
линии, их направление, принцип суперпозиции для вектора
напряженности электрического поля.
3. Работа силы Кулона.
4. Понятие потенциала электрического поля, принцип суперпозиции для потенциала.
5. Связь напряженности и потенциала электрического поля.
6. Понятие электрического диполя, плечо диполя, дипольный момент, сила действующая на диполь во внешнем однородном и неоднородном электрическом поле, энергия диполя во
внешнем электрическом поле, потенциал диполя.
7. Диэлектрики во внешнем электрическом поле: понятие
диэлектрика, какие вещества являются диэлектриками, поляризованность, вектор поляризованности, электрическое поле диэлектрика, вектор электрической индукции.
8. Проводники. Поле проводника, индукция, электрическая
емкость, емкость проводника, емкость конденсатора, энергия
конденсатора.
9. Постоянный ток. Понятия силы тока, напряжения, сопротивления. Законы постоянного тока (закон Ома для однородной
цепи и закон Джоуля Ленца в интегральной форме).
10. ЭДС. Закон Ома для неоднородной цепи.
79
11. Ток в электролитах, электрофорез.
12. Понятие о дипольном электрическом генераторе (токовом диполе).
13. Физические основы электрографии тканей и органов.
Дипольный эквивалентный электрический генератор сердца.
Теория Эйнтховена и объяснение электрокардиограмм в рамках
модели дипольного эквивалентного электрического генератора
сердца.
14. Физические процессы в мембранах. Функции мембран.
Структура и модели мембран, их физические свойства. Перенос
молекул (атомов) через мембраны. Уравнение Фика. Перенос заряженных частиц, электродиффузионное уравнение НернстаПланка. Виды транспорта через мембраны: пассивный и активный.
15. Биоэлектрические потенциалы. Ионные потоки в мембране. Потенциал покоя. Уравнение Гольдмана-Ходжкина-Катца.
Потенциал действия и его распространение.
16. Медицинские методы, использующие электричество: лекарственный электрофорез, электрокардиография, электроэнцефалография, электромиография.
17. Медицинская электроника. Надежность медицинской
аппаратуры. Усилители. Генераторы.
2.1. Тестовые задачи первого уровня
Выберите правильный ответ:
1. Сила взаимодействия между двумя покоящимися точечными зарядами
1. Прямо пропорциональна произведению величин этих зарядов.
2. Обратно пропорциональна произведению величин этих
зарядов.
3. Прямо пропорциональна расстоянию между зарядами.
4. Обратно пропорциональна расстоянию между зарядами.
2. Силовые линии электростатического поля
1. Начинаются на отрицательных и заканчиваются на положительных зарядах.
2. Начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
80
3. Это линии, не имеющие ни начала, ни конца.
4. Перпендикулярны к вектору напряженности в каждой
точке.
Что такое плечо простейшего диполя?
1. Расстояние между полюсами диполя, умноженное на величину заряда.
2. Расстояние между полюсами диполя, умноженное на величину заряда со знаком минус.
3. Расстояние от оси вращения диполя до линии действия
силы.
4. Расстояние между полюсами диполя.
3.
4.
Проводниками являются:
1. Серебро
2. Керамика.
3. Резина.
4. Пластмасса.
5.
Диэлектриками являются:
1. Серебро.
2. Медь.
3. Железо.
4. Резина.
Сила тока в однородном участке цепи
1. Пропорциональна сопротивлению проводника.
2. Обратно пропорциональна сопротивлению проводника.
3.Обратно пропорциональна напряжению на концах проводника.
4. Равна произведению напряжения на концах проводника и
его сопротивления.
6.
Количество тепла, выделяемое в проводнике
1. Прямо пропорционально силе тока, текущего по проводнику.
2. Обратно пропорционально силе тока.
3. Прямо пропорционально сопротивлению проводника.
4. Обратно пропорционально сопротивлению проводника.
7.
81
Оформление ответов:
01 – 1
04 – 1
02 – 2
05 – 4
03 – 4
06 – 2
07 – 1
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру правильного ответа.
2.2. Тестовые задачи второго уровня
Дополните:
1. Сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов
q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга, называется
…….(1) ……..(2).
2. Число силовых линий электростатического поля, пересекающих площадку
dS, которую описывают нормальным к ней век
тором dS n dS , называется ……(1) ……(2) …….(3).
3. Имеется бесконечная вертикальная равномерно заряженная
плоскость с поверхностной плотностью заряда = 2 нКл/м2.
Напряженность электрического поля на расстоянии 2 м от плоскости справа от нее равна Е = ……(1) В/м, так как она вычисляется по формуле Е = …….(2).
4. Сила тока на участке однородного проводника составляет
2 А, напряжение на его концах равно 2 В, сопротивление проводника будет равно ……(1) Ом, так как по закону Ома оно вычисляется по формуле R = ……….(2).
Установите правильную последовательность:
5.
Что такое емкость уединенного проводника?
1 – называется;
2 – уединенного проводника;
3 – зависящий от;
4 – коэффициент;
5 – пропорциональности;
6 – формы и размеров;
82
7 – электрической емкостью.
6. Сформулируйте принцип суперпозиции для потенциала
электростатического поля.
1 – в данной точке поля;
2 – сумме потенциалов;
3 – в отдельности;
4 – потенциал поля системы;
5 – равен алгебраической;
6 – точечных неподвижных зарядов;
7 – создаваемых в этой точке каждым зарядом.
Установите соответствие:
7.
Обозначение
1. Е
2.
3. F
4. q
5. C
Физическая величина
А. Сила Кулона
Б. Заряд
В. Емкость
Г. Напряженность
Е. Потенциал
8.
Законы
1. С = 0S/d
2. Q = I2Rdt
3. I = U/R
4. A = q(1 – 2)
Название
А. Работа сил Кулона.
Б. Закон Ома для однородного участка цепи
В. Емкость плоского конденсатора
Г. Закон Джоуля-Ленца
Оформление ответов:
01 – (1) силой, (2) Кулона
02 – (1) потоком, (2) вектора, (3) напряженности
03 – (1) 113, (2) Е = /20
04 – (1) 1, (2) R = U/I
05 – 7-2-1-4-5-3-6
06 – 4-6-1-5-2-7-3
07 – 1Г, 2Е, 3А, 4Б, 5В
08 – 1В, 2Г, 3Б, 4А
83
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру (номерам) правильного ответа.
2.3. Тестовые задачи третьего уровня
2.3.1. Принцип суперпозиции для вектора напряженности электрического поля
Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства – создает электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в
какую-либо его точку другой, «пробный», заряд испытывает действие силы.
Силовой характеристикой электрического поля является
напряженность – это сила, с которой электрическое поле действует на пробный заряд.
Величина напряженности поля неподвижного точечного заряда:
1 q
E
.
(2.3.1)
2
4 r
0
Принцип суперпозиции для вектора напряженности электрического поля:
Напряженность системы точечных неподвижных зарядов
равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности:
(2.3.2)
E
E .
i
рез
i
Электрическое поле принято изображать с помощью силовых линий – это линии, касательные к которым в каждой точке
совпадают с направлением вектора напряженности. Силовые линии электростатического поля не могут начинаться или заканчиваться в вакууме. Они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах:
Пример 1. Имеются два точечных заряда q1 = 2 нКл, q2 = 1
нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50 см друг
84
от друга (по условию задачи заряд q1 расположен слева, заряд q2
– справа). Найти модуль напряженности электростатического поля в точке О, расположенной между зарядами на расстоянии 10
см от заряда q2.
Дано: q1 = 2 нКл = 210–9 Кл,
q2 = 1 нКл = 110–9 Кл,
r = 50 см = 0,5 м,
r2 = 10 см = 0,1 м.
Найти: Ерез.
Решение. Сделаем рисунок, на котором укажем расположение зарядов и точку О, в которой будем находить модуль результирующей напряженности.
Выбираем направление
оси x:
q2 E 1
E 2 q1
А
О
В
x
Здесь E 1 – напряженность, создаваемая в точке О зарядом
q1, E 2 – напряженность, создаваемая в точке О зарядом q2. По
условию задачи и в соответствии с рисунком, АВ = r = 0,5 м; ОВ
= r2 = 0,1 м; АО = r1 = АВ – ОВ = r – r2 = 0,5 – 0,1 = 0,4 м.
Запишем исходные формулы – формулу для расчета модуля
напряженности поля точечного заряда (2.3.1) и принцип суперпозиции для вектора напряженности поля системы зарядов (2.3.2):
1 q
E
;
E
E .
i
рез
4 r 2
i
0
Напряженность – это вектор. Чтобы найти модуль напряженности поля системы двух зарядов по формуле (2.3.2), необходимо рассчитать модули напряженностей Е1 и Е2, создаваемых
зарядами q1 и q2 по формуле (1), а потом сложить их с учетом
знака. Вектор E 2 противоположен
выбранному нами направле
нию оси x, вектор E 1 направлен в ту же сторону, что и ось. Имеем:
Ерез= Е1 – Е2.
(2.3.3)
Теперь подставим числовые данные в формулу (2.3.1) и, используя формулу (2.3.3), получим окончательный ответ:
1 q1
1 q2
= 113 В/м;
= 900 В/м;
E
E
1 4 2
2 4
2
0 r1
0 r2
85
Ерез =Е1 – Е2 = 113 – 900 = 787 В/м.
Ответ: Ерез = 787 В/м.
Пример 2. Имеются два точечных заряда q1 = 2 нКл, q2 = –1
нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50 см друг
от друга (по условию задачи заряд q1 расположен слева, заряд q2
– справа). Найти модуль напряженности электростатического поля в точке О, расположенной между зарядами на расстоянии 10
см от заряда q2.
Дано: q1 = 2 нКл = 210–9 Кл,
q2 = – 1 нКл = – 110–9 Кл,
r = 50 см = 0,5 м,
r2 = 10 см = 0,1 м.
Найти: Ерез.
Решение. Как и в примере 1, сделаем рисунок, на котором
укажем расположение зарядов и точку О, в которой будем находить модуль результирующей напряженности.
q1
q2 E 2
E1
А
О
В
x
Здесь E 1 – напряженность, создаваемая в точке О зарядом
q1, E 2 – напряженность, создаваемая в точке О зарядом q2 . Аналогично предыдущему примеру, АВ = r = 0,5 м; ОВ = r2 = 0,1 м;
АО = r1 = 0,4 м.
Исходные формулы – формула для расчета модуля напряженности поля точечного заряда (2.3.1) и принцип суперпозиции
для вектора напряженности поля системы из
двух зарядов (2.3.2).
Как видно из рисунка, оба вектора E 2 и E 1 направлены в
ту же сторону, что и ось x, поэтому формулу (2) можно записать
как
Ерез = Е1 + Е2.
(2.3.4)
Теперь подставим числовые данные в формулу (2.3.1) и, используя формулу (2.3.4), получим окончательный ответ:
1 q1
1 q2
=
113
В/м;
= 900 В/м;
E
E
1 4 2
2 4
2
0 r1
0 r2
Ерез = Е1 + Е2 = 1013 В/м.
Ответ: Ерез = 1013 В/м.
86
2.3.2. Принцип суперпозиции для потенциала электростатического поля
Потенциал поля точечного заряда q равен потенциальной
энергии единичного точечного заряда q в данной точке поля:
1 q
.
(2.3.5)
4 r
0
Потенциал электростатического поля системы точечных неподвижных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов
поля каждого заряда в отдельности:
= 1 + 2 + 3 + …+ n.
(2.3.6)
i
рез
i
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 3. Имеются два точечных заряда q1 = 2 нКл, q2 = 1
нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50 см друг
от друга (по условию задачи заряд q1 расположен слева, заряд q2
– справа). Найти потенциал электростатического поля в точке О,
расположенной между зарядами на расстоянии 10 см от заряда
q2.
Дано: q1 = 2 нКл = 210–9 Кл,
q2 = 1 нКл = 110–9 Кл,
r = 50 см = 0,5 м,
r2 = 10 см = 0,1 м.
Найти: рез.
Решение. Делаем рисунок, на котором указываем расположение зарядов и точку О, в которой будем находить потенциал
поля данной системы зарядов:
q1
q2
А
О
В
По условию задачи и в соответствии с рисунком, АВ = r =
0,5 м; ОВ = r2 = 0,1 м; АО = r1 = 0,4 м.
Исходные формулы для расчета результирующего потенциала в точке О – формулы (2.3.5) и (2.3.6). В (2.3.5) подставим числовые данные:
87
q
q
1 = 45 В; 1
2 = 90 В.
1 4 r
2 4 r
0 2
0 1
Используем формулу (2.3.6) для расчета результирующего потенциала:
1
= 1 + 2 = 135 В.
i
i
Ответ: рез = 135 В.
рез
Пример 4. Имеются два точечных заряда q1 = 2 нКл,
q2 = – 1 нКл, находящиеся на одной прямой на расстоянии r = 50
см друг от друга (по условию задачи заряд q1 расположен слева,
заряд q2 – справа). Найти потенциал электростатического поля в
точке О, расположенной между зарядами на расстоянии 10 см от
заряда q2.
Дано: q1 = 2 нКл = 210–9 Кл,
q2 = – 1 нКл = – 110–9 Кл,
r = 50 см = 0,5 м,
r2 = 10 см = 0,1 м.
Найти: рез.
Решение. Аналогично примеру 3, рассмотренному выше,
делаем рисунок, на котором указываем расположение зарядов и
точку О, в которой будем находить результирующий потенциал
поля данной системы зарядов:
+ q1
– q2
А
О
В
По условию задачи и в соответствии с рисунком, АВ = r =
0,5 м; ОВ = r2 = 0,1 м; АО = r1 = 0,4 м.
Подставим числовые данные в формулу (2.3.5), а затем используем формулу (2.3.6) для получения окончательного ответа:
1 q1
1 q2
= 45 В;
= – 90 В.
1 4 r
2 4 r
0 2
0 1
= 1 + 2 = – 45 В.
i
рез
i
Ответ: рез = – 45 В.
88
2.3.3. Работа силы Кулона
При перемещении электрического заряда q в электрическом
поле сила Кулона совершает над ним работу:
Акул = q(1 – 2),
(2.3.7)
где 1 и 2 – потенциалы начальной и конечной точек поля соответственно.
В силу того, что сила Кулона является консервативной,
1) ее работа не зависит от траекторий, по которым перемещались заряды, а определяется лишь начальным и конечным положением этих зарядов;
2) при перемещении заряда по замкнутой траектории работа
действующих на него кулоновских сил равна нулю;
3) работа кулоновских сил идет на изменение потенциальной энергии системы зарядов.
Пример 5. Два шарика с зарядами 6,7 и 13,3 нКл находятся
на расстоянии 40 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?
Дано: q1 = 6,7 нКл = 6,710–9Кл,
q2 = 13,3 нКл = 13,310–9Кл,
r1 = 40 см = 0,4 м,
r2 = 25 см = 0,25 м.
Найти: Авн.
Решение. В задачах такого типа удобно считать один из шариков неподвижным, образующим электрическое поле, а другой
– движущимся в поле первого шарика. Пусть шарик с зарядом q1
создает электрическое поле, а шарик с зарядом q2 движется в
этом поле из точки, находящейся на расстоянии r1 = 0,4 м от шарика q1, в точку, находящуюся на расстоянии r2 = 0,25 м от него.
Работа силы Кулона определяется выражением (2.3.7):
Акул = q2(1 – 2).
Поле образовано точечным зарядом q1, поэтому как исходную формулу для расчета потенциала поля точечного заряда мы
используем формулу (2.3.5):
1 q
.
4 r
0
89
Поскольку в задаче надо найти не работу силы Кулона, а работу внешней силы Авн, которая совершает работу против силы
Кулона, то
Авн = – Акул = – q2(1 – 2) = q2(2 – 1). (2.3.8)
Теперь используем вышеприведенные формулы для нашего
конкретного случая. Перепишем формулу (2.3.5) для заряда, создающего поле (это, как мы условились, заряд q1), и найдем потенциалы в начальной и конечной точках поля:
1 q1
;
(2.3.9)
1 4 r
0 1
1 q1
.
(2.3.10)
2 4 r
0 2
Подставив формулы (2.3.9) и (2.3.10) в формулу (2.3.8), получим для работы внешней силы:
Авн = q2(2 – 1) = q2
1 q1
1 q1
–
.
4 r
4 r
0 2
0 1
(2.3.11)
После подстановки числовых данных в (2.3.11), получим
окончательный ответ:
Авн = 1,210–6Дж = 1,2 мкДж
Ответ: 1,2 мкДж.
2.3.4. Связь вектора напряженности электрического поля и
потенциала
Между вектором напряженности электрического поля и потенциалом существуетследующая связь:
(2.3.12)
E = – grad ,
где i j k
– дифференциальный оператор «набла»,
x
y
z
который является вектором. Действуя на любой скаляр, он превращает его в вектор:
grad = i
,
j
k
x
y
z
поэтому
.
(2.3.13)
E = – i
j
j k
x
y
z
90
Как известно, любой вектор можно разложить на проекции
по осям координат, то есть
(2.3.14)
E i E j E kE
x
y
z
Сравнивая формулы (2.3.13) и (2.3.14), получаем:
Ex = – (/x); Ey = – (/y);
Ez = – (/z).
(15)
Чтобы найти модуль вектора (его абсолютное значение), используют следующую
формулу:
E = E = (E2x + E2y + E2z)1/2.
(2.3.16)
Между силой Кулона F , действующей на электрический
заряд со стороны электрического поля, и потенциальной энергией
W этого заряда в данной точке поля существует связь, аналогичная связи между вектором напряженности и потенциалом:
W W W
,
(2.3.17)
F = – grad W = – W i
j
k
x
y
z
причем
Fx = – (W/x); Fy = – (W/y); Fz = – (W/z), (2.3.18)
а модуль силы Кулона
F = F = (F2x + F2y + F2z)1/2.
(2.3.19)
Пример 6.
Потенциал электростатического поля завиxyz
сит от координат по закону = A
. Найти величину напря3
b
женности электрического поля в точке Р(x0,y0,z0), если А = 3 В, x0
= y0 = z0 = 1 м, b = 1м.
Решение. Запишем исходные формулы (это формулы
(2.3.13), (2.3.15), (2.3.16) соответственно):
;
E = – i
j
j k
x
y
z
Ex= – (/x);
Ey = – (/y);
Ez = – (/z);
E = E = (E2x + E2y + E2z)1/2.
Рассчитаем проекции вектора напряженности на оси координат по формуле (2.3.15):
Ex = – (/x) = – А(yz/b3);
(2.3.20)
Ey = – (/y) = – A(xz/b3);
(2.3.21)
Ez = – (/z) = – A(xy/b3).
(2.3.22)
91
Подставляя в (2.3.20), (2.3.21) и (2.3.22) значения координат
x = x0, y = y0, z = z0 получаем:
Ex = – 3 В/м, Ey = – 3 В/м, Ez = – 3 В/м.
Результат
подставляем в (2.3.16):
E = E =(E2x + E2y + E2z)1/2 = 5,2 В/м.
Ответ: 5,2 В/м.
Пример 7. Потенциальная энергия точечного заряда в элек2
xyz
тростатическом поле зависит от координат по закону W = A
.
4
b
Найти величину силы Кулона, действующую на этот заряд в точке Р(x0,y0), если А = 2 Дж, x0 = y0 = z0 = 1 м, b = 1м.
Решение. Запишем исходные формулы (это формулы
(2.3.17), (2.3.18), (2.3.19) соответственно):
W W W
,
F = – grad W = – W i
j
k
x
y
z
Fx= – (W/x);
Fy = – (W/y); Fz = – (W/z);
F = F = (F2x + F2y + F2z)1/2.
Рассчитаем проекции вектора силы Кулона на оси координат по формуле (2.3.18):
Fx = – (W/x) = – А(yz2/b4);
(2.3.23)
2 4
Fy = – (W/y) = – A(xz /b );
(2.3.24)
4
Fz = – (W/z) = – 2A(xyz/b ).
(2.3.25)
Подставляя в (2.3.23), (2.3.24) и (2.3.25) значения координат
x = x0, y = y0, z = z0, получаем:
Fx = – 2 Н,
Fy = – 2 В/м, Fz = – 4 В/м.
Результат
подставляем в (2.3.19):
F = F = (F2x + F2y + F2z)1/2 = 4,9 Н.
Ответ: 4,9 Н.
2.3.5. Диполь в электрическом поле
Электрический диполь – электронейтральная в целом система зарядов малого размера. Простейший диполь – это два точечных, одинаковых по величине и разных по знаку заряда, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием r от
диполя то точки наблюдения.
92
Плечо простейшего диполя – это вектор l , направленный от
отрицательного заряда к положительному.
Электрический дипольный момент такого диполя вычисляется по формуле:
ре = q l .
(2.3.26)
В электрическом поле на диполь действует момент сил, модуль которого определяется выражением
М = реЕвнsin
(2.3.27)
,
где – угол между векторами ре и Евн .
Пример 8. Диполь находится в электрическом поле, плечо
диполя составляет 10–10 м, его заряд 1,610–19 Кл. Найти дипольный момент такого диполя.
Дано: l = 10–10 м,
q = 1,610–19 Кл.
Найти: ре.
Решение. Дипольный момент диполя найдем с помощью
формулы (2.3.26):
ре = q l = 1,610–29 Клм.
Ответ: 1,610–29 Клм.
Пример 9.
Диполь находится во внешнем электрическом поле напряженностью Е = 1000 В/м. Дипольный момент диполя составляет 410–20 Клм. В начальный момент времени диполь ориентирован перпендикулярно линиям напряженности
электрического поля. Найти модуль момента сил, действующих
на диполь в электрическом поле.
Дано: Евн = 1000 В/м,
ре = 410–20 Клм,
Найти: М.
Решение. Модуль момента сил, действующих на диполь в
электрическом поле, найдем с помощью формулы (2.3.27):
М = реЕвнsin.
По условию задачи = 90, sin = 1, поэтому
М = реЕвн
(2.3.28)
После подстановки числовых данных в (2.3.28), получим
окончательный ответ:
М = peEвн = 410–17 Нм.
93
Ответ: 410–17 Нм.
2.3.6. Ёмкость. Конденсаторы
Электрическое поле внутри плоского конденсатора заключено строго внутри него, энергия W этого поля вычисляется по
формуле
W = 0E2V/2 = CU2/2 = q2/2C.
(2.3.29)
Здесь W – энергия электрического поля внутри конденсатора, –
диэлектрическая проницаемость среды, которой заполнен конденсатор, 0 – электрическая постоянная, E – напряженность
электрического поля конденсатора, V – объем пространства внутри конденсатора, C – емкость конденсатора, U – напряжение
между обкладками конденсатора, q – заряд на обкладках конденсатора.
Емкость плоского конденсатора:
C = q/U = 0S/d,
(2.3.30)
где S – площадь обкладок конденсатора, d – расстояние между
его обкладками.
Если конденсатор воздушный, то = 1.
Между напряженностью E электрического поля конденсатора и напряжением U на его обкладках существует связь:
U = Ed,
(2.3.31)
Поверхностная плотность заряда на обкладках плоского
конденсатора – это заряд единицы площади, определяемый выражением:
q = S,
(2.3.32)
S – площадь пластин (обкладок) конденсатора, причем
S = ab – площадь прямоугольных пластин плоского конденсатора,
S = a2 – площадь квадратных пластин плоского конденсатора,
S = r2 – площадь пластин-дисков плоского конденсатора.
Электроемкость батареи, состоящей из параллельно соединенных конденсаторов,
С = Сi,
(2.3.33)
а из последовательно соединенных конденсаторов –
1/С = (1/Сi),
(2.3.34)
94
где Сi – электроемкость отдельного конденсатора.
Пример 10. Найти энергию электрического поля внутри
плоского воздушного конденсатора, если известны напряженность поля конденсатора Е = 1000 В/м, площадь пластин S = 10
см2, а также расстояние между пластинами d = 1 мм.
Дано: Е = 1000 В/м,
S = 10 см2 = 110–3 м2,
d = 1 мм = 0,001 м.
= 1.
Найти: W.
Решение. Для расчета энергии электрического поля внутри
конденсатора запишем формулу (29):
W = 0E2V/2.
Объем поля конденсатора равен объему пространства внутри конденсатора, поэтому
V = S d
(2.3.35)
Подставим (2.3.35) в (2.3.29):
W = 0E2V/2 = 0E2Sd/2.
(2.3.36)
После подстановки в (2.3.36) числовых данных, получим искомую энергию поля внутри конденсатора:
W = 0E2Sd/2 = 4,410–12 Дж.
Ответ: 4,410–12 Дж.
Пример 11. Найти энергию электрического поля плоского
воздушного конденсатора с зарядом на обкладках, равным 2 нКл
(заряд распределен по поверхности обкладок равномерно) и расстоянием между обкладками 1 мм. Обкладки конденсатора имеют
форму дисков радиусом 10 см. Найти напряжение между обкладками конденсатора.
Дано: = 1,
d = 1 мм = 0,001 м,
r = 10 см = 0,1 м,
q = 2 нКл = 210–9 Кл.
Найти: W, U.
Решение. Для расчета энергии электрического поля конденсатора используем исходную формулу (2.3.29):
W = q2/2C,
Емкость плоского конденсатора будем рассчитывать по
формуле (2.3.30):
95
C = 0S/d .
Обкладки конденсатора – диски, поэтому площадь обкладок
будет вычисляться по формуле
S = r2.
(2.3.37)
Подставим (2.3.37) в (2.3.30) и получим формулу для расчета емкости конденсатора:
C = 0S/d = 0r2/d .
(2.3.38)
Подставим (2.3.38) в (2.3.29) и рассчитаем энергию поля
внутри конденсатора:
W = q2/2C = q2/2(0r2/d) = q2d/(20r2) = 7,210–9 Дж.
Напряжение между обкладками конденсатора найдем по
формуле (2.3.31):
U = Ed,
а напряженность поля внутри конденсатора – по формуле
E = /0,
(2.3.39)
где – поверхностная плотность заряда обкладок конденсатора, которую выразим из (2.3.32): = q/S.
Таким образом,
E = /0 = q/S0 = q/r20,
U = Ed = (q d)/(r20) = 7,2 В.
Ответ: 7,210–9 Дж; 7,2 В.
Пример 12. Вычислите электроемкость тела человека, считая ее равной электроемкости электропроводящего шара того же
объема. Среднюю плотность тела принять равной 1 г/см3, масса
человека составляет 60 кг.
Дано: = 1 г/см3 = 1000 кг/м3,
m = 60 кг,
Найти: С.
Решение. Емкость проводящего шара будем искать по формуле
C = 40R .
3
Объем шара: V = (4/3) R , откуда выразим радиус шара:
R = [(3V)/(4)]1/3.
Объем тела человека можно выразить через массу и плотность следующим образом:
V = m/, поэтому R = [(3m)/(4)]1/3, поскольку по условию задачи объемы проводящего шара и тела человека равны, а
емкость тела человека окончательно
96
C = 40R = 40[(3m)/(4)]1/3 = 9 пФ.
2.3.7. Законы постоянного тока
Сила тока – это заряд, потекший по проводнику за единицу
времени:
I = dq/dt.
(2.3.40)
Плотность тока задается выражением:
j = I/S,
(2.3.41)
где S – площадь поперечного сечения проводника, перпендикулярная направлению тока.
Закон Ома для однородного участка цепи:
U = IR,
(2.3.42)
где U – напряжение (разность потенциалов) на участке однородного проводника, I – сила тока на участке, R – сопротивление
проводника.
В случае если проводник однородный, сопротивление можно выразить следующей формулой:
R = l/S,
(2.3.43)
здесь – удельное сопротивление проводника, l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения проводника.
Закон Джоуля-Ленца:
Q = I2Rdt,
(2.3.44)
где Q – количество тепла, выделившееся на участке однородного
проводника с сопротивлением R за время t.
Количество тепла, выделившегося на участке однородного
проводника с сопротивлением R в единицу времени, называют
мощностью постоянного тока:
P = IU = I2R.
(2.3.45)
Коэффициент полезного действия источника тока – это отношение полезной мощности к затраченной:
= Рполезн/Рзатр.
(2.3.46)
В медицине используют постоянный электрический ток для
лечебных и диагностических целей. Электрофорез – это метод,
основанный на введении лекарственного средства через кожу или
слизистые оболочки под действием постоянного тока.
Масса m вещества, введенного при электрофорезе, может
быть рассчитана по формуле
m = (AIt)/(FZ),
(2.3.47)
97
где A – молярная масса вещества, Z – валентность иона, F – постоянная Фарадея (F = 96000 Кл/моль), I – сила тока в электролите, t – время протекания процедуры электрофореза.
Гальванизация — физиотерапевтический метод, основанный
на пропускании через ткани организма постоянного тока под
напряжением 60–80 В.
При гальванизации различных участков тела используют
следующие различные токи:
конечности — 20–30 мА,
туловище — 15–20 мА,
части лица — 3–5 мА,
слизистые оболочки — 2–3 мА.
При проведении гальванизации в подлежащих тканях активизируются системы регуляции локального кровотока. Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повышение
проницаемости их стенок происходит не только в месте приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях, через
которые проходит постоянный электрический ток.
Пример 13. Заряд, протекающий по проводнику, изменяется
со временем по закону q(t) = Аt2+Вt3. Найти силу тока в проводнике через одну секунду после начала протекания по нему заряда.
Дано: q(t) = Аt2+Вt3,
А = 1Кл/с2, В = 1 Кл/с3,
t = 1 c.
Найти: I.
Решение. Используем формулу (2.3.40) как исходную для
нахождения силы тока в проводнике и подставим в нее числовые
данные:
I = dq/dt = 2Аt + 3Вt2 = 5 А.
Ответ: 5 А.
Пример 14. Имеется однородный проводник с удельным
сопротивлением 10–7 Омм, силой тока 4 А. Длина проводника
составляет 1 м, площадь его поперечного сечения равна 1 мм2.
Найти напряжение на концах этого проводника.
Дано: = 10–7 Омм,
I = 4 A,
l = 1 м,
98
S = 1 мм2 = 110–6 м2.
Найти: U.
Решение. Запишем исходные формулы для решения этой задачи – формулы (2.3.42) и (2.3.43):
U = IR,
R = l/S.
Подставим (2.3.43) в (2.3.42), получим:
U = IR = (Il)/S = 0,4 В.
Ответ: 0,4 В.
Пример 15. Сила тока на участке однородного проводника
составляет 2 А, сопротивление проводника 1 Ом. Найти количество тепла, выделившегося на этом участке проводника за 20 секунд.
Дано: I = 2 A,
R = 1 Ом,
t = 20 с.
Найти: Q.
Решение. Исходной формулой для решения этой задачи является закон Джоуля-Ленца (2.3.44):
20
Q = I2Rdt = I2R dt = 80 Дж.
0
Ответ: 80 Дж.
Пример 16. Определить плотность тока при гальванизации
конечностей пациента, если ток равен 20 мА, а размер электродов
составляет 1515 см2.
Дано: I = 20 мА = 2010–3 А,
S = 1515 см2 = 22510–4 м2
Найти: j.
Решение. Для нахождения плотности тока гальванизации
используем формулу (2.3.41):
j = I/S = 0,089 А/м2.
Ответ: 0,089 А/м2.
Пример 17. Определить КПД аппарата для гальванизации
«Поток–1», если максимальное напряжение в терапевтической
цепи составляет 50 В при сопротивлении 1000 Ом, а мощность,
потребляемая аппаратом, равна 16 Вт.
99
Дано: Рзатр = 16 Вт,
U = 50 В,
R = 1000 Ом.
Найти: .
Решение. КПД аппарата для гальванизации определим по
формуле (2.3.46):
= Рполезн/Рзатр,
где Рполезн – полезная мощность аппарата, Рзатр – затраченная
мощность, причем, как следует из (2.3.45) и (2.3.42),
Рполезн = IU = I2R,
U = IR
I = U/R, откуда Рполезн = U2/R.
Подставим последнее выражение для полезной мощности в
(2.3.46) и получим КПД аппарата для гальванизации:
= Рполезн/Рзатр = U2/(RРзатр) = 502/(100016) = 0,16,
или в процентах: = (Рполезн/Рзатр)100% = 16%.
Ответ: 16%.
Пример 18. Определить количество ионов натрия, введенного пациенту при электрофорезе, если процедура продолжалась
4 минуты при плотности тока 0,05 мА/см2 и площади электрода
25 см2.
Дано: t = 4 мин = 240 с,
j = 0,05 мА/см2 = 0,5 А/м2,
S = 25 см2 = 2,510–3 м2,
Z = 1 (валентность ионов натрия),
F = 96000 Кл/моль.
Найти: N.
Решение. Число ионов натрия, введенного пациенту при
электрофорезе, равно произведению числа молей вещества, введенного при процедуре, и числа Авогадро:
N = NА.
(2.3.48)
Масса вещества, введенного пациенту при процедуре электрофореза, определяется формулой (2.3.47):
m = (AIt)/(FZ),
откуда легко выразить число молей введенного вещества:
= m/A = (It)/(FZ).
(2.3.49)
Силу тока выразим через плотность тока и площадь электродов из (2.3.41):
j = I/S
I = jS,
тогда
(2.3.49) преобразуется к
виду:
100
= m/A = (It)/(FZ) = (jSt)/(FZ).
Подставим (2.3.49) в (2.3.48) и получим искомое количество
ионов натрия:
N = NА = (NАjSt)/(FZ) = 1,91018.
Ответ: 1,91018.
2.3.8. Биоэлектрические потенциалы
Биоэлектрический потенциал – это разность потенциалов
между двумя точками живой ткани, определяющая ее биоэлектрическую активность.
Потенциал покоя – это разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой в нормально функционирующей
клетке.
Через мембрану проходят потоки разных ионов. Основной
вклад в суммарный поток вносят ионы натрия (Na+), калия (К+) и
хлора (Cl–) Суммарная плотность потока этих ионов с учетом
знаков:
J = JNa+ + JK+ – JCl– .
В стационарном состоянии J = 0.
Для потока различных ионов электрический мембранный
потенциал (потенциал покоя) равен
(2.3.50)
Здесь квадратными скобками []i и []o обозначены концентрации
ионов, соответственно, внутри и вне клетки; Р – проницаемости
мембраны для данного вида иона; F – постоянная Фарадея; R –
универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура в
Кельвинах.
Выражение (2.3.50) носит название уравнения Гольдмана–
Ходжкина–Катца. При температуре 30С потенциал покоя составляет М = – 59,7 мВ.
Из (2.3.50) можно получить уравнение для равновесного состояния. При этом следует пренебречь проницаемостями мембраны для всех ионов, кроме ионов одного вида. Тогда имеем
уравнение Нернста:
М = – (RT/FZ)ln([Ci]/[Co]),
(2.3.51)
где [Ci] – концентрация ионов внутри клетки, [Co] – концентрация
ионов вне клетки, Z – валентность иона.
101
Эту разность потенциалов называют равновесным мембранным потенциалом.
Пример 19. Определить равновесный мембранный потенциал на мембране, если отношение концентраций калия внутри и
снаружи равно 100 при температуре 30С.
Дано: [Ci]/[Co] = 100,
Т = 273С + 30С = 303 К,
R = 8,31 Дж/мольК,
F = 96000 Кл/моль.
Найти: М.
Решение. Равновесный мембранный потенциал определим с
помощью уравнения Нернста (2.3.51):
М = – (RT/FZ)ln([Ci]/[Co]) = – (8,31303/96000) ln(100) = –
121 мВ.
Пример 20. Потенциал покоя клетки при температуре 25С
равен – 60 мВ. Определить концентрацию ионов калия снаружи
клетки, если внутри она равна 400 мМ.
Дано: Т = 273С + 25С = 298 К,
М = – 60 мВ = – 6010–3 В,
[Ci] = 400 мМ,
R = 8,31 Дж/мольК,
F = 96000 Кл/моль.
Найти: [Co].
Решение. Используем уравнение Нернста (2.3.51), откуда
выразим концентрацию ионов калия снаружи клетки:
М = – (RT/FZ)ln([Ci]/[Co]) [Co] = [Ci]/exp(–МF/RT) = 39 мМ.
Ответ: 39 мМ.
3. МАГНЕТИЗМ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Для успешного тестирования по курсу «Магнетизм и электромагнетизм. Электромагнитные колебания» необходимо знать
следующие законы, определения и формулы:
1. Магнитное поле, линии магнитной индукции, вектор магнитной индукции (в том числе, как находить его направление в
заданной точке магнитного поля).
102
2. Принцип суперпозиции магнитного поля (формулировка
и математическая запись).
3. Силы Ампера и Лоренца (формулы, правила левой и правой руки).
4. Магнитное поле в веществе, вектор намагниченности,
магнитная проницаемость.
5. Магнетики (диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики, их свойства). Энергия магнитного поля.
6. Электромагнитная индукция.
7. Закон Фарадея, правило Ленца.
8. Самоиндукция, индуктивность, взаимная индукция.
9. Электромагнитные колебания: свободные электромагнитные колебания, апериодический разряд конденсатора. Зарядка
конденсатора. Электрический импульс и импульсный ток. Элементы реабилитологии. Импульсная электротерапия.
10. Импульсный сигнал и его параметры. Импульсный ток.
11. Переменный ток. Сопротивление в цепи переменного
тока (импеданс). Импеданс тканей организма. Частотная зависимость импеданса и возможность ее использования для определения жизнеспособности биологических тканей и органов. Эквивалентная электрическая схема тканей организма. Физические основы реографии и ее применение.
12. Ток смещения, электромагнитное поле. Уравнения
Максвелла. Плотность электромагнитной энергии. Плотность потока энергии. Вектор Пойнтинга.
13. Электромагнитные волны: волновое уравнение, скорость
электромагнитной волны в веществе, показатель преломления.
14. Шкала электромагнитных волн. Классификация частотных интервалов, принятая в медицине. Влияние электромагнитных волн различного диапазона на человека.
3.1. Тестовые задачи первого уровня
Выберите правильный ответ:
Линии индукции магнитного поля
1. Начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
2. Начинаются на отрицательных и заканчиваются на положительных зарядах
1.
103
3. Можно назвать силовыми.
4. Являются замкнутыми
2.
Однонаправленные токи
1. Отталкиваются.
2. Притягиваются.
3. Не взаимодействуют.
4. Сначала притягиваются, затем отталкиваются.
3.
К ферромагнетикам относят
1. Пластик.
2. Дерево.
3. Резину.
4. Железо.
4. Электрический колебательный контур, в котором колебания будут затухать, состоит из
1. Катушки индуктивности и омического сопротивления.
2. Катушки индуктивности и конденсатора, омические сопротивления которых близки к нулю.
3. Конденсатора и омического сопротивления.
4. Омического сопротивления, катушки индуктивности и
конденсатора.
5.
В чем суть метода микроволновой терапии?
1. Прогревание тканей с помощью постоянного электрического
тока.
2. Прогревание тканей с помощью ультравысокочастотного
электрического тока.
3. Прогревание тканей с помощью электромагнитных волн
СВЧ-диапазона.
4. Прогревание тканей с помощью высокочастотного электрического тока.
6. Укажите дифференциальное уравнение свободных незатухающих электрических колебаний.
d 2q
1.
2q 0 .
0
dt 2
104
d 2q
dq
2.
2 2q 0 .
0
dt
dt 2
3. q = qmaxcos(0t+0).
Оформление ответов:
01 – 4
04 – 4
02 – 2
05 – 3
03 – 4
06 – 1
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру правильного ответа.
3.2. Тестовые задачи второго уровня
Дополните:
1. Если свернуть проводник в замкнутый контур и начать изменять магнитный поток через поверхность, ограниченную этим
контуром, то в этом замкнутом проводнике возникает…………(1)
ток, а само явление носит название ………………(2).
2. На проводник с током I, помещенный во внешнее магнитное
поле с индукцией В, действует ……...(1), модуль которой определяется выражением FA = ……….(2).
3. Магнитное поле создают движущиеся ……..(4) или ….……(5).
4. Магнитный момент единицы объема вещества называется ……….(1).
Установите соответствие:
5.
Обозначение
1. H
2.
3. 0
4. FA = IВlsin
Физическая величина
А. Магнитная постоянная
Б. Вектор напряженности магнитного поля
В. Вектор магнитной индукции
Г. Относительная магнитная проницаемость среды
5.FЛ=qBV sin Д. Сила Ампера
Е. Магнитная составляющая силы Лоренца
6. B
105
6.
Метод физиотерапии
1. ДЦВ-терапия
2. СМВтерапия
3.КВЧ-терапия
Глубина проникновения электромагнитных волн с биологические ткани
А. До 1 см
Б. От 3 до 5 см
В. До 9 см
Установите правильную последовательность:
7. Установите последовательность различных электромагнитных волн по мере увеличения длины волны колебаний:
1 – видимый свет;
2 – радиоволны;
3 – гамма-излучение;
4 – ультрафиолетовое излучение;
5 – инфракрасное излучение.
Оформление ответов:
01 – (1) индукционный, (2) электромагнитной индукции
02 – (1) сила Ампера, (2) FA =IlBsin
03 – (1) электрические заряды, (2) магниты
04 – (1) намагниченностью
05 – 1Б, 2Г, 3А, 4Д, 5Е, 6В
06 – 1В, 2Б, 3А
07 – 3-4-1-5-2
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру (номерам) правильного ответа.
3.3. Тестовые задачи третьего уровня
3.3.1. Принцип суперпозиции магнитного поля
Направление линий индукции магнитного поля прямого
бесконечно длинного проводника определяется по правилу правого винта: если правый винт вращать таким образом, что его
ход совпадает с направлением тока в прямом проводнике, то
вращение его рукоятки покажет направление линий
магнитной
индукции (при этом вектор магнитной индукции В направлен по
106
касательной в каждой точке получившейся окружности); если
имеем круговой виток с током, то вращение рукоятки правого
винта должно совпадать с направлением тока в витке, тогда
ход винта покажет направление вектора магнитной индукции.
Пример 21. Имеется прямой бесконечный ток, текущий от
нас (за плоскость рисунка). Показать направление линий магнит
ной индукции и направление вектора магнитной индукции В .
На рисунке ниже показан ток (кружок с крестиком показывает, что ток течет за плоскость рисунка перпендикулярно ей). По
правилу правого винта определяем направление линий магнитной
индукции (они образуют окружности вокруг тока, их направле
ние показано стрелкой). При этом вектор магнитной индукции В
будет направлен по касательной к окружностям в каждой точке.
В
В
I
Пример 22. Имеются прямые бесконечные токи, текущие,
как показано на рисунке ниже. Показать направление линий индукции магнитного поля.
I
I
А
В
С
D
Направление линий магнитной индукции ищем по правилу
правого винта, они будут замкнуты, и иметь вид окружностей вокруг тока. Их направление показано на рисунке стрелкой. Вектор
магнитной индукции будет направлен по касательной в каждой
точке этих окружностей: в точке А он будет направлен к нам изза плоскости рисунка, в точке В – от нас за плоскость рисунка, в
точке С – от нас за плоскость рисунка, в точке D – к нам из-за
плоскости рисунка.
107
Если магнитное поле создано не одним, а несколькими токами, то результирующее поле находят с помощью принципа суперпозиции полей:
(3.3.1)
В
В .
i
рез
i
Поскольку сумма (3.3.1) является
векторной, то складывать
векторы магнитной индукции В i удобно, проектируя их на выбранные оси координат x и y (если токи протекают в одной плоскости) и x, y и z (если токи протекают в разных плоскостях). При
этом необходимо помнить несколько формул для расчета величины магнитной индукции поля, созданного проводниками с током разных конфигураций:
I
а) В 0 ,
(3.3.2)
2R
– индукция магнитного поля прямого бесконечно длинного
проводника с током I на расстоянии R от него (0 – магнитная постоянная, 0 = 410–7 Гн/м).
I
б) В 0 ,
(3.3.3)
4R
– индукция магнитного поля прямого полубесконечного
проводника с током I на расстоянии R от его конца.
I
в) В 0 ,
(3.3.4)
2R
– индукция магнитного поля в центре витка с током I, радиус витка равен R.
I
г) В 0
(3.3.5)
2R 2
– индукция магнитного поля в центре дуги с током I радиуса R с углом разворота (угол необходимо подставлять в формулу в радианах!).
При этом линейный прямой ток, текущий в точку, в которой
надо найти результирующую индукцию магнитного поля, магнитное поле в ней не создает и В = 0.
Пример 23. Электрический ток течет по длинному проводу,
изогнутому так, как показано на рисунке ниже. Найти индукцию
108
магнитного поля, созданного этим током в центре окружности I =
1 А, R = 1 м.
2
I
1
3
Дано: I = 1 А,
R = 1 м.
Найти: Врез.
Решение. Пронумеруем три участка проводника с током
слева направо для удобства решения задачи. При этом, как было
отмечено выше, участки 1 и 3 магнитное поле в точке О не создают, поскольку направлены в эту точку (или, как на участке 3,
из нее). Поэтому В1 = В3 = 0. Магнитное поле в точке О будет создавать только участок проводника под номером два. Это дуга с
углом разворота = ( = 180, но мы должны подставлять в
формулу (3.3.5) угол в радианах).
Запишем исходные формулы для нахождения магнитного
поля Врез (это формулы (3.3.1) и (3.3.5)):
I
.
В 0
В
В ,
i
рез
2
R
2
i
Из (3.3.1) следует:
I
Врез = В1 + В2 + В3 = В2 = 0
= 3,1410–7 Тл.
2 R 2
Вектор В2 в точке О направлен по правилу правого винта от
нас, за плоскость рисунка перпендикулярно ей.
Ответ: 3,1410–7 Тл.
Пример 24. Электрический ток I = 1 А течет по длинному
проводу, изогнутому так, как показано на рисунке ниже. Найти
величину индукции магнитного поля, созданного этим током в
центре окружности радиуса R = 1 м.
I
2
1
3
109
Дано: I = 1 А,
R = 1 м.
Найти: Врез.
Решение. Пронумеруем три участка проводника с током
слева направо для удобства решения задачи. Участок 3 магнитное поле в точке О не создает, поскольку направлен из нее). Поэтому В3 = 0. Магнитное поле в точке О будут создавать участки
проводника 1 и 2. Участок 1 – это прямой полубесконечный ток,
участок 2 – дуга с углом разворота = (в (3.3.5) подставляет
угол в радианах).
Запишем исходные формулы для нахождения величины результирующего магнитного поля Врез (это формулы (3.3.1), (3.3.3)
и (3.3.5) соответственно):
I
I
.
В 0 ,
В 0
В
В
i
рез
4R
2R 2
i
Поскольку токи, создающие магнитное поле, протекают в
одной плоскости, проекции векторов магнитной индукции от
различных участков провода с током мы будем проектировать на
одну выбранную ось координат x. Направление векторов магнитной индукции в точке О определим с помощью правила правого винта. Участок 1 – прямой ток, магнитные линии – это
окружности вокруг проводника, в точке О вектор магнитной индукции будет направлен по касательной к окружности к нам из-за
плоскости рисунка перпендикулярно ей:
О (вектор В1 направлен к нам)
Вектор В2 (участок 2) в точке О будет направлен по правилу
правого винта от нас за плоскость рисунка перпендикулярно ей.
Выберем направление оси координат x из-за плоскости рисунка
(к нам). Таким образом, вектор магнитной индукции В1 направлен в направлении оси x , а вектор В2 – в направлении, противоположном оси x.
Из (3.3.1) следует: Врез = В1 – В2, (В3 = 0),
I
I
В 0 ,
,
В 0
1 4R
2 2R 2
110
Врез = В1 – В2 =
I I
0 0
= 110–7 – 3,1410–7 = – 2,1410–7 Тл.
4R 2R 2
Ответ: – 2,1410–7 Тл.
Пример 25. Токи I1 и I2 текут по двум одинаковым виткам
радиуса R с общим центром в перпендикулярных плоскостях.
Найти величину индукции магнитного поля, созданного этими
токами в центре витков. I1 = 2 А, I2 = 1 А, R = 1 м.
Дано: I1 = 2 А,
I2 = 1 А,
R = 1 м.
Найти: Врез.
x
I1
z
I2
Решение. Как и в предыдущих примерах 23 и 24, записываем исходные формулы для решения задачи (это формулы (3.3.1) и
(3.3.4) соответственно):
I
В 0 .
В
В ,
i
рез
2R
i
Для того чтобы воспользоваться формулой (3.3.1), необходимо выбрать оси координат, на которые
мы
будем проектировать векторы магнитной индукции В 1 и В 2. Токи, создающие
магнитное поле в точке О (в центре витков с током), расположены в разных плоскостях, поэтому оси координат будут взаимно
перпендикулярны (пусть это будут оси координат x и z). По правилу правого
винта
находим
направление векторов магнитной
индукции
В 1 и В 2: вектор В 1 будет направлен против оси z, а
вектор В 2 – по оси x:
В рез
В2
В1
О
111
Как видно из рисунка, чтобы найти модуль результирующего вектора магнитной индукции Врез необходимо воспользоваться
теоремой Пифагора:
В
При этом:
2 2
В В .
1
2
рез
(3.3.6)
I
(3.3.7)
В 01
1 2R
– магнитная индукция в центре витка (точке О) создаваемая витком с током I1,
I
(3.3.8)
В 0 2
2
2R
– магнитная индукция в центре витка (точке О) создаваемая витком с током I2.
Подставим числовые данные в формулы (3.3.7) и (3.3.8), а затем полученные результаты – в формулу (3.3.6), получим окончательный ответ:
Врез = 1,410–6 Тл.
Ответ: 1,410–6 Тл.
3.3.2. Силы Ампера и Лоренца
Сила Ампера действует на проводник с током, который помещен в магнитное поле. Направление силы Ампера находят с
помощью правила левой руки: если четыре пальца левой руки
направлены по направлению тока в проводнике, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90 большой
палец левой руки покажет направление силы Ампера.
Модуль силы Ампера определяется выражением:
FA = IBlsin,
(3.3.9)
где FA – модуль силы Ампера, I – сила тока в проводнике, l –
длина прямого проводника, B – магнитная индукция, – угол
между проводником и вектором магнитной индукции.
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле,
действует магнитная составляющая силы Лоренца. Направление
магнитной составляющей силы Лоренца находят с помощью правила левой руки (для положительного заряда): если четыре пальца левой руки направлены по скорости движения частицы, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90
112
большой палец левой руки показывает направление силы Лоренца.
Если в магнитном поле движется отрицательно заряженная частица, то направление магнитной составляющей силы Лоренца
находят с помощью правила правой руки: если четыре пальца
правой руки направлены по скорости движения частицы, а линии магнитной индукции входят в ладонь, то отогнутый на 90
большой палец правой руки показывает направление силы Лоренца.
Модуль силы Лоренца:
FЛ = qVBsin,
(3.3.10)
где FЛ – модуль магнитной составляющей силы Лоренца, q – заряд частицы, V – скорость заряженной частицы, с которой она
движется в магнитном поле, B – магнитная индукция, – угол
между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции.
Заряженная частица, влетающая в магнитное поле под углом
90 к вектору магнитной индукции В, в поле движется по окружности. Для этой частицы можно записать второй закон Ньютона:
FЛ = maц = mV2/R = qVB,
(3.3.11)
где m – масса заряженной частицы, aц – ее центростремительное
(нормальное) ускорение, V – скорость частицы, R – радиус
окружности, по которой она движется.
Период обращения заряженной частицы по окружности радиуса R с постоянной скоростью V:
Т = 2 R/V.
(3.3.12)
Пример 26. В магнитном поле движется прямолинейный
проводник с током, сила тока в котором составляет 1 А, длина
проводника 1 м. Магнитная индукция равна В = 0,1 Тл, на проводник действует сила Ампера, равная 2 Н. Найти угол между
проводником и вектором магнитной индукции.
Дано: FA = 1 Н,
I = 4 А,
B = 1 Тл,
l = 1 м.
Найти: .
Решение. Запишем исходную формулу для нахождения силы Ампера (это формула (3.3.9)):
FA = IBlsin,
откуда выразим вначале sin, а затем уже и сам угол :
113
sin = FA/(IВl),
14,5.
Ответ: 14,5.
= arcsin FA/(IВl) = arcsin(0,25) =
Пример 27. Заряженная частица с зарядом 1 нКл и массой
10 кг движется в магнитном поле по окружности. Скорость
движения частицы составляет 1000 м/с. На частицу со стороны
магнитного поля действует сила Лоренца, равная 0,002 Н. Найти
радиус окружности, по которой движется частица, а также период обращения частицы по окружности.
Дано: q = 1 нКл = 110–9 Кл,
V = 1000 м/с,
FЛ = 0,002 Н,
m = 10–20 кг.
Найти: R, T.
Решение. Запишем исходные формулы для расчета искомых
в задаче величин – формулы (3.3.10), (3.3.11), (3.3.12):
FЛ = qVBsin ( = 90 по условию)
FЛ = maц = mV2/R = qVB,
Т = 2 R V.
Радиус окружности выразим из (3.3.11):
R = mV/qB.
(3.3.13)
После подставки (3.3.13) в (3.3.12) получим для периода обращения заряженной частицы по окружности:
Т = 2 R/V = (2 mV)/(VqB) = (2 m)/(qB).
(3.3.14)
Магнитную индукцию выразим из (3.3.10):
В = FЛ /qV.
(3.3.15)
Подставим (3.3.15) в (3.3.13) и (3.3.14) и получим окончательно для радиуса окружности и периода обращения частицы по
окружности:
–20
R = mV/qB = (mVqV)/(qFЛ) = mV2/FЛ = 510–12 м.
Т = (2 m)/(qB) = (2 mV)/FЛ = 3,1410–14 с.
Ответ: 510–12 м; 3,1410–14 с.
3.3.3. Электромагнитная индукция. ЭДС индукции и самоиндукции
Пусть некоторый замкнутый контур Г находится в неоднородном магнитном поле. Контур Г ограничивает поверхность S,
114
как показано на рисунке ниже. Поток индукции магнитного
поля через поверхность S – это величина, которая определяется
выражением
= BdScos,
(3.3.16)
где B – магнитная индукция, – угол между вектором магнитной
индукции и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле пронизывает.
В
n
dS
Если поверхность S, ограниченная контуром Г, плоская и
имеет, к примеру, форму круга или квадрата, то интеграл (3.3.16)
по этой поверхности превращается в выражение
= BdScos = BScos,
(3.3.17)
где S = R2, если поверхность – круг радиуса R,
S = а2, если поверхность – квадрат со стороной а.
Закон электромагнитной индукции Фарадея: при изменении
магнитного потока через поверхность S, опирающуюся на замкнутый проводящий контур Г, в нем возникает ЭДС электромагнитной индукции:
dФ
.
(3.3.18)
инд
dt
Поток может изменяться вследствие следующих причин:
1. Изменяется площадь S поверхности, ограниченной контуром Г.
2. Изменяется угол между вектором магнитной индукции
и нормалью к площадке поверхности dS, которую магнитное поле
пронизывает (это может происходить, когда контур вращается в
магнитном поле).
3. Изменяется индукция магнитного поля В .
Протекая
по замкнутому проводнику, ток I создает магнитное поле В и магнитный поток, пронизывающий площадь, охватываемую проводником. Величина такого магнитного потока
пропорциональна величине тока в нем:
= LI.
(3.3.19)
115
Здесь L – индуктивность контура.
В случае если протекающий по контуру Г ток начинает изменяться с течением времени, в этом контуре возникает ЭДС самоиндукции
d LI
,
(3.3.20)
самоинд
dt
а явление носит название самоиндукции.
Знак «–» в формулах (3.3.18) и (3.3.20) означает, что при изменении магнитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая ЭДС, которая стремится уменьшить изменение
потока. Это правило Ленца.
Пример 28. Квадратный проводящий контур со стороной
а = 1 см пронизывает однородное магнитное поле под углом
= 30 к вектору нормали контура. Найти модуль ЭДС индукции
в контуре в момент времени t = 2с, если А = D = 1 Тл, = 1с,
B(t) = A(t/) + D(t/)4.
Дано: а = 1 см = 0,01 м.
= 30,
А = D = 1 Тл,
= 1с,
t = 2с,
B(t) = A(t/) + D(t/)4.
Найти: Еинд.
Решение. Запишем исходные формулы для модуля ЭДС индукции (это формулы (3.3.17) и (3.3.18)):
= BdScos = BScos,
dФ
.
Е
инд dt
По условию задачи контур квадратный, его площадь будем
вычислять по формуле:
S = а 2.
Подставим в (3.3.18) закон изменения магнитной индукции
В от времени, данный в условии задачи, и продифференцируем
по времени:
dФ d
=
[A(t/) + D(t/)4] Scos = (А/ + 4Dt3/4) Scos =
Е
инд dt
dt
= (А/ + 4Dt3/4) a2cos = 2,8610–3 В.
116
Ответ: 2,8610–3 В.
Замечание. Если в условии задачи сказано, что проводящий
контур пронизывает однородное магнитное поле под углом к
плоскости контура, мы то имеем следующую картину:
n
В
Поскольку в формулах (3.3.16)–(3.3.17) угол – это угол
между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции, то,
как следует из нашего рисунка, в (3.3.16)–(3.3.17) мы должны
подставлять угол = 90 – .
Пример 29. По проводящему контуру индуктивностью
L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем по закону
I(t) = B(t/)2. Найти момент времени, в который величина ЭДС
самоиндукции в контуре составляет 2 В, если В = 1А, = 1с.
Дано: I(t) = B(t/)2,
Есамоинд = 2 В,
В = 1А,
= 1с,
L =1 Гн,
Найти: t.
Решение. Время t выразим из (3.3.20):
d LI
.
самоинд
dt
Поскольку в условии задачи речь идет о модуле ЭДС самоиндукции, то знак «–» в (3.3.20) сменится на обратный. Подставим в (3.3.20) закон изменения силы тока, данный в условии задачи и продифференцируем по времени:
d LI d
Е
L(B(t/)2) = 2LBt/2,
самоинд
dt
dt
откуда выразим время t:
t = (Есамоинд2)/(2LB) =1 с.
Ответ: 1 с.
3.3.4. Электрические колебания
117
Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с нулевым
омическим сопротивлением, то колебания в таком контуре будут
незатухающими (собственными). Уравнение собственных гармонических незатухающих колебаний:
q = q0cos(0t + 0),
(3.3.21)
где q0 – амплитудное значение заряда на конденсаторе, 0 – циклическая частота собственных незатухающих колебаний, 0 –
начальная фаза колебаний.
Собственная частота незатухающих колебаний 0 определяется выражением
1
0 =
,
(3.3.22)
LC
где L – индуктивность катушки индуктивности, С – емкость конденсатора.
Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных резистора (омического сопротивления) с сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивности с
индуктивностью L, то колебания в таком контуре будут затухающими, а уравнение затухающих колебаний будет выглядеть так:
q = q0exp(–t)cos(t + 0).
(3.3.23)
Здесь – циклическая частота собственных затухающих колебаний, определяемая выражением
= 2 2 ,
(3.3.24)
0
– коэффициент затухания, причем
R
=
.
(3.3.25)
2L
Импедансом Z называется полное сопротивление цепи, которая содержит омическое сопротивление (оно еще называется
активным), катушку индуктивности и конденсатор:
1
2
2
L R .
Z=
(3.3.26)
C
Период колебаний в контуре, если в нем совершаются собственные незатухающие колебания, определяется выражением
Т = 1/ = 2/0.
(3.3.27)
118
Для случая собственных затухающих колебаний период колебания следует вычислять по формуле
Т = 2/,
(3.3.28)
где частота определяется выражением (3.3.24).
Пример 30. Определить коэффициент затухания и емкость
колебательного контура аппарата УВЧ, если активное сопротивление R = 4,3103 Ом, индуктивность катушки L = 65мкГн, а частота электрических колебаний в контуре составляет = 20 МГц.
Дано: R = 4,3103 Ом,
L = 65мкГн = 6510–6 Гн,
= 20 МГц = 20106 Гц.
Найти: , С.
Решение. Поскольку в колебательном контуре имеется омическое сопротивление, то колебания будут затухать. Запишем исходные формулы для решения задачи. Для нахождения коэффициента затухания воспользуемся формулой (3.3.25):
R
= ,
2L
R
подставим в нее числовые данные: =
= 33106 с–1.
2L
Емкость конденсатора найдем с помощью выражений
(3.3.22) и (3.3.24):
1
0 =
,
= 2 2 .
0
LC
Собственная частота затухающих колебаний нам неизвестна, но мы знаем, как связаны между собой частота и циклическая частота:
= 2,
(3.3.29)
поэтому
2 2
2 = = .
0
Выразим из (3.3.24) частоту 0, а затем и емкость конденсатора:
1
1
0 = 2 2 =
, откуда С =
= 310–12 Ф.
2
2
LC
L
119
Ответ: 33106 с–1; 310–12 Ф.
Пример 31. Колебательный контур состоит из двух конденсаторов, соединенных последовательно, емкостью 10000 пФ каждый и соленоида. Определить индуктивность катушки, если контур резонирует на частоту волны 300 кГц.
Дано: р = 300 кГц = 300000Гц,
С1 = С2 = С = 10000 пФ = 10–8 Ф.
Найти: L.
Решение. Резонансная частота определяется формулой
(3.3.22):
1
р =
,
LC
откуда легко выразить искомую в задаче индуктивность катушки:
L = 1/(Cобщр2).
Здесь Cобщ – общая емкость батареи из двух последовательно соединенный конденсаторов, которую находим из формулы
(2.3.34):
1/Cобщ = 1/С1 + 1/С2 , откуда Cобщ = С1С2/(С1 + С2) = С/2 = 510–9 Ф.
Тогда для индуктивности имеем:
L = 1/(Cобщр) = 2/(Cр2) = 2,210–3 Гн.
Ответ: 510–9 Ф; 2,210–3 Гн.
3.3.5. Медицинская электроника
Для медицинской аппаратуры проблема надежности особенно актуальна, так как выход приборов и аппаратов из строя
может привести не только к экономическим потерям, но и гибели
пациентов.
Надежность – это способность изделия не отказывать в
работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение данного интервала времени.
Надежность имеет вероятностный характер.
Вероятность безотказной работы оценивается экспериментально отношением числа N исправных на данный момент t
изделий к общему числу N0 изделий, взятых для испытаний:
Р(t) = N(t)/N0.
(3.3.20)
120
Количественным показателем надежности является также
Интенсивность отказов – отношение числа отказов в единицу времени dN/dt к общему числу N работающих изделий:
=–
dN 1
.
dt N
(3.3.31)
Знак «–» взят потому, что dN 0, так как число работающих изделий убывает со временем.
В схемы медицинских электронных приборов и аппаратов
входят усилители. Их применяют для усиления слабых биопотенциалов в системах, регистрирующих медико-биологическую
информацию.
Усилитель электрических сигналов (электронный усилитель) – устройство, увеличивающее эти сигналы без изменения их
формы.
Характеристики и параметры усилителя (по напряжению):
1) Входное сопротивление Rвх – сопротивление между его
входными клеммами, которое можно найти с помощью закона
Ома для однородного участка цепи (2.3.42):
Rвх = Uвх/Iвх.
(3.3.32)
2) Коэффициент усиления усилителя равен отношению сигнала на выходе усилителя к значению сигнала на входе:
К = Uвых/Uвх.
(3.3.33)
Если К имеет значения, не достаточные для получения на
выходе сигнала нужного напряжения, то соединяют несколько
усилителей. Каждый отдельный усилитель называется при этом
усилительным каскадом. Коэффициент усиления усилителя из
нескольких каскадов равен произведению коэффициентов усиления усилителей всех используемых каскадов:
Кобщ = К1 К2 К3…
(3.3.34)
Пример 32.
Определить вероятность безотказной работы
аппарата УВЧ-30, если известно, что через 1460 часов эксплуатации двадцати аппаратов в заданных условиях из строя вышли три
аппарата. Найти интенсивность отказов аппарата УВЧ-30 в заданных условиях.
Дано: N0 = 20,
N = 20 – 3 = 17.
Найти: Р, .
121
Решение. Запишем формулу (3.3.30) и подставим в нее числовые данные:
Р = N/N0 = 17/20 = 0,85.
Таким образом, вероятность безотказной работы аппарата
УВЧ-30 составляет 0,85.
Интенсивность отказов аппарата УВЧ-30 найдем из формулы (3.3.31):
=–
dN 1
= ( 3 1 ) = 1,2110–4 час–1.
1460 17
dt N
Ответ: 0,85; 1,2110–4 час–1.
Пример 33.
На вход трехкаскадного усилителя подается
напряжение 2 мВ. Напряжение на выходе равно 30 В. Определить
напряжение на выходе первого каскада и его коэффициент усиления, если коэффициенты усиления второго и третьего каскадов
равны соответственно 30 и 10.
Дано: Uвх = 2 мВ = 210–3 В,
Uвых = 30 В,
К2 = 30,
К3 = 10.
Найти: К1, Uвых1.
Решение. Напряжение на выходе трехкаскадного усилителя,
как следует из (3.3.33) и (3.3.34):
Uвых = К1 К2 К3Uвх,
откуда
К1 = Uвых/(К2К3Uвх) = 30/(3010210–3) = 50.
Напряжение на выходе первого каскада:
Uвых1 = К1Uвх = 50210–3 = 0,1 В.
Ответ: 50; 0,1 В.
Пример 34. Определить коэффициент усиления трехкаскадного усилителя по мощности, если коэффициенты усиления первого и второго каскадов равны 40, напряжение на выходе второго
каскада 2 В. Входное и выходное сопротивление усилителя соответственно равны 3 кОм и 30 Ом, а напряжение на выходе равно
10 В.
Дано: К1 = К2 = 40,
Uвых2 = 2 В,
Uвых = 10 В,
Rвх = 3 кОм = 3000 Ом,
122
Rвых = 30 Ом.
Найти: Кр (коэффициент усиления по мощности).
Решение. Мощность усилителя определяется формулой
(2.3.45):
Р = I2R = UI = U2/R,
а коэффициент усиления трехкаскадного усилителя по мощности (по аналогии с (3.3.33)) как
Кр = Рвых/Рвх.
(3.3.35)
Выразим входную и выходную мощности из (2.3.45) и подставим (3.3.35):
Кр = Рвых/Рвх = (U2вых/Rвых) (U2вх/Rвх) = (102/30) (U2вх/3000)
= 10000/U2вх.
Найдем входное напряжение:
Uвых2 = К1К2Uвх ,
откуда Uвх = Uвых2/(К1К2) = 1,2510–3 В.
Тогда коэффициент усиления по мощности трехкаскадного
усилителя
Кр = 10000/U2вх = 10000/(1,2510–3)2 = 64108.
Ответ: 64108.
ВАРИАНТЫ ТЕСТОВ
Вариант 1
1.1.Выберите правильный ответ:
Величина силы кулоновского взаимодействия между двумя
покоящимися точечными зарядами
1. Обратно пропорциональна произведению величин этих
зарядов.
2. Обратно пропорциональна величине пробного заряда.
3. Прямо пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
4. Обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
1.2. Выберите правильный ответ:
Диэлектрики – это
1. Вещества, проводящие электрический ток.
2. Вещества, практически не проводящие электрический ток.
3. Вещества, имеющие заряды, способные перемещаться на
значительные расстояния, создавая ток.
123
1.3. Выберите правильный ответ:
Магнитное поле создают
1. Неподвижные электрические заряды.
2. Магнитные заряды.
3. Движущиеся электрические заряды.
1.4. Выберите правильный ответ:
В чем суть диагностического метода реографии?
1. Изменение импеданса тканей, обусловленное количеством крови, протекающим через ткань или орган.
2. Регистрация ЭКГ в процессе сердечной деятельности.
3. Регистрация магнитного поля биотоков организма.
4. Измерение сопротивления тканей постоянному току.
1.5. Дополните:
Напряженность электрического поля покоящегося точечного заряда определяется по формуле………………(1)
1.6. Дополните:
Имеется плоский конденсатор с зарядом на обкладках 1
мкКл и емкостью 1 нФ. При этом напряжение, приложенное к
конденсатору равно ……..(1), поскольку оно вычисляется по
формуле …….(2).
1.7. Дополните:
Если свернуть проводник в замкнутый контур и начать изменять магнитный поток через поверхность, ограниченную этим
контуром, то в этом замкнутом проводнике возникает…………(1)
ток, само явление носит название ………………(2) и выражается
формулой …….(3).
1.8. Дополните:
К катушке индуктивности приложено напряжение, меняющееся по закону U = U0cost, сила тока через катушку индуктивности выражается формулой I = ……….(1).
1.9. По проводу течет переменный электрический ток. Закон изменения заряда от времени имеет вид: q(t) = 2Аt5+Вt6.
Найти закон изменения силы тока от времени и силу тока через 2
124
секунды после того, как по проводу начал течь ток. А = 1 Кл/с5, В
= 1Кл/с6.
1.10. Определить коэффициент затухания и емкость колебательного контура аппарата УВЧ, если активное сопротивление R
= 6,5103 Ом, индуктивность катушки L = 45мкГн, а частота =
60 Гц.
1.11.Частица с зарядом q = 1 мкКл влетает в магнитное поле
перпендикулярно линиям индукции, при этом В = 2 Тл. На частицу действует сила Лоренца Fл = 0,01 Н. Чему равен радиус
окружности, по которой начнет двигаться частица? Масса частицы 10-10 кг.
Вариант 2
2.1. Выберите правильный ответ:
Вектор напряженности электрического поля в данной точке
– это
1. Сила, действующая на точечный заряд со стороны электростатического поля.
2. Сила, действующая на проводник с током в электрическом поле.
3. Сила со стороны электростатического поля, действующая
на единичный положительный заряд.
4. Сила со стороны электростатического поля, действующая
на единичный, положительный, неподвижный заряд.
2.2. Выберите правильный ответ:
Что такое вектор поляризованности диэлектрика?
1. Это явление поляризации диэлектрика во внешнем электрическом поле.
2. Это дипольный момент диэлектрика по внешнем электрическом поле.
3. Это дипольный момент одной молекулы диэлектрика.
4. Это дипольный момент единицы объема диэлектрика.
2.3. Выберите правильный ответ:
Какой ток используется в методе реографии?
1. Постоянный.
2. Низкочастотный (100 Гц).
125
3. Высокочастотный (30 кГц – 100 кГц).
4. Сверхвысокочастотный (свыше 100 кГц).
2.4. Выберите правильные ответ:
Магнитные силы действуют только на
1. Неподвижные электрические заряды.
2. Движущиеся магниты.
3. Движущиеся электрические заряды.
4. Нейтральные молекулы или атомы.
2.5. Дополните:
Величина силы Кулона (сила взаимодействия двух точечных
неподвижных зарядов), находящихся в вакууме на расстоянии r
друг от друга, определяется выражением …….(1).
2.6. Дополните:
Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S =1
2
м , расстояние между ними d = 1 мм, емкость C конденсатора
равна ……..(1), поскольку вычисляется по формуле……….(2).
2.7. Дополните:
На элемент проводника с током I, помещенный во внешнее
магнитное поле с индукцией В, действует ……...(1), определяемая выражением dFA = ……….(2).
2.8.Дополните:
К резистору приложено напряжение, меняющееся по закону U =
U0cost, сила тока через резистор выражается формулой I =
……….(1).
2.9. Имеется однородный проводник, удельное сопротивление которого составляет 10-7 Омм, а площадь поперечного сечения S =1 мм2. Чему равна длина проводника, если по нему течет
ток I = 1 А, а напряжение, приложенное к его концам составляет
U = 5 В?
2.10. Бесконечный проводник образует виток в
форме кольца, как показано на рис. По проводнику
течет ток I = 1 А. Определить величину индукции
магнитного поля В в центре кольца, радиус которого
равен R = 1 м.
126
2.11. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 48 пФ и катушки индуктивности с индуктивностью 90
мкГн. Определить частоту собственных колебаний в этом контуре.
Вариант 3
3.1. Выберите правильный ответ:
Возникновение потенциала действия связано с изменением
проницаемости мембраны для ионов
1. К+
3. Cl–
2. Na+
4. Ca++
3.2. Выберите правильный ответ:
В чем суть метода лекарственного электрофореза?
1. Введение лекарственных веществ через кожу или слизистые оболочки с помощью постоянного тока.
2. Пропускание постоянного тока через ткани.
3. Использование лекарственных препаратов.
4. Использование переменного тока для лечения.
3.3. Выберите правильный ответ:
Какое основное действие оказывают на организм токи высокой частоты?
1. Раздражающее.
2. Стимулирующее.
3. Тепловое.
3.4. Выберите правильный ответ:
В чем суть метода микроволновой терапии?
1. Прогревание тканей с помощью высокочастотного магнитного поля.
2. Прогревание тканей с помощью высокочастотного электрического поля.
3. Прогревание тканей с помощью электромагнитных волн
СВЧ-диапазона.
4. Прогревание тканей с помощью высокочастотного тока.
3.5. Дополните:
На электрический диполь во внешнем электрическом поле
действует ……(1) …..(2), равный М = ……..(3) (формула).
127
3.6. Дополните:
Потенциал, создаваемый неподвижным электрическим зарядом, определяется по формуле = ……..(1).
3.7. Дополните:
Объемная плотность энергии электрического поля ( ЭЛ) зависит от напряженности электрического поля (Е) и выражается
формулой ЭЛ = ……..(1).
3.8. Дополните:
Магнитные силы действуют только на ………(1) ……..(2)
или на …….(3). Магнитное поле создают движущиеся ……..(4)
или ….……(5).
3.9. Два заряда q1 = 2 нКл и q2 = 3 нКл находятся на одной
прямой на расстоянии r = 1 м друг от друга (заряд q1 находится
слева, заряд q2 – справа). Найти модуль напряженности электрического поля данной системы зарядов в точке, расположенной на
одинаковом расстоянии от обоих зарядов (посередине между зарядами).
3.10. Заряженная частица движется в магнитном поле по
окружность с постоянной скоростью V = 500 м/с, на нее действует сила Лоренца Fл = 0,02 Н, масса частицы m = 10–10 кг. Чему равен период вращения частицы по окружности?
3.11. Определить период колебаний в контуре, если его индуктивность составляет L = 310–5 Гн, площадь электродов S = 100
см2, расстояние между ними d = 8 мм, а диэлектрическая проницаемость ткани = 6.
Вариант 4
4.1. Выберите правильный ответ:
Работа силы Кулона при перемещении заряда в электростатическом поле
1. Равна произведению модуля силы на плечо.
2. Не зависит от формы и длины пути.
3. Зависит от того, по какой траектории перемещают заряд.
4. Равна отношению потенциальной энергии к величине
пробного заряда.
128
4.2. Выберите верную формулу:
1. i .
3. Fл = qVEsin.
i
2. U = I/R.
4. Fл = qVHsin.
4.3. Выберите правильный ответ:
Линии индукции магнитного поля – это линии,
1. Касательные к вектору силы, действующей на электрический заряд в магнитном поле.
2. Касательные к вектору скорости заряда.
3. Касательные к вектору магнитной индукции.
4. Перпендикулярные к вектору магнитной индукции.
4.4. Выберите правильный ответ:
Какой частоты токи используются для местной дарсонвализации?
1. 100 – 400 Гц.
3. 30 – 300 МГц.
2. Более 500 МГц.
4. Более 300 МГц.
4.5. Дополните:
Вектор напряженности электрического поля – это векторная
величина, равная…..(1), с которой поле действует на
…………..(2), поскольку Е = …….. (3) (формула).
4.6. Дополните:
На диполь в неоднородном осесимметричном электрическом поле действует сила, зависящая от: F = ……..(1) (формула).
4.7. Дополните:
Прямая задача электрографии заключается в выяснении
……..(1) ……..(2) электрограмм.
4.8. Дополните:
Угол сдвига фаз между током и напряжением для случая
прохождения переменного тока через последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности выражается
формулой tg = ……..(1).
129
4.9. Два заряда q1 = 2 нКл и q2 = – 3 нКл находятся на одной
прямой на расстоянии r = 1 м друг от друга (заряд q1 находится
слева, заряд q2 – справа). Найти модуль напряженности электрического поля данной системы зарядов в точке, расположенной на
одинаковом расстоянии от обоих зарядов (посередине между зарядами).
4.10. Частица с зарядом q = 1 мкКл и массой m = 10–10 кг
движется в магнитном по окружности радиуса R = 1 м со скоростью V = 10 км/с. Чему равна магнитная индукция такого поля?
4.11. Колебательный контур аппарата для терапевтической
диатермии состоит из катушки индуктивности и конденсатора
емкостью 300 пФ. Определить индуктивность катушки, если частота колебаний в контуре составляет 1 МГц.
Вариант 5
5.1. Выберите правильный ответ:
Потенциал – это величина,
1. Численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.
2. Прямо пропорциональная квадрату расстояния между зарядом q и пробным зарядом.
3. Обратно пропорциональная величине заряда q.
4. Для которой несправедлив принцип суперпозиции.
5.2. Выберите правильный ответ:
Электродвижущая сила – это
1. Работа кулоновских сил по перемещению точечного заряда в электрической цепи.
2. Работа сторонних сил по перемещению точечного заряда.
3. Работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на данном участке цепи.
4. Работа сторонних сил по перемещению единичного отрицательного заряда на данном участке цепи.
5.3.Выберите правильный ответ:
Линии индукции магнитного поля
1. Являются замкнутыми.
130
2. Начинаются на положительных зарядах и оканчиваются
на отрицательных зарядах.
3. Можно назвать силовыми.
4. Параллельны магнитной силе в каждой точке.
5.4. Выберите правильный ответ:
В чем суть метода диатермии?
1. Прогревание тканей с помощью высокочастотного тока.
2. Воздействие высокочастотного электрического разряда,
возникающего между кожей пациента и электродом.
5.5. Дополните:
А
В
О
Имеется система двух положительных зарядов. Первый заряд находится в точке А и создает в точке наблюдения О напряженность Е1 = 3 В/м, второй – напряженность Е2 = 2 В/м. Результирующая напряженность системы зарядов в точке наблюдения О
равна …….(1), что следует из принципа суперпозиции Ерез =
………..(2) (формула).
5.6. Дополните: Емкость плоского конденсатора С = 1 мкФ,
напряжение между его обкладками U = 1 В. Энергия поля внутри
конденсатора равна …..(1), так как она вычисляется по формуле
W = …….(2).
5.7. Дополните: Импеданс цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенных резистора, конденсатора и
катушки индуктивность выражается формулой Z = …….(1).
5.8. Дополните: Магнитный момент единицы объема вещества называется ……….(1) и определяется выражением J =
………(2).
5.9. Чему равно количество теплоты, выделившейся за 2 с в
проводнике, по которому течет ток I = 1 А, а к концам его приложено напряжение U = 5 В?
5.10. На вход трехкаскадного усилителя подается напряжение 2 мВ. Напряжение на выходе равно 25 В. Определить напряжение на выходе первого каскада и его коэффициент усиления,
131
если коэффициенты усиления второго и третьего каскадов равны
соответственно 25 и 20.
5.11. Определите активное сопротивление катушки индуктивности электромагнитного реле в схеме рентгеновского аппарата, если индуктивность составляет 150 Гн, ток I = 2,5 мА,
напряжение U =120 В, частота = 50 Гц.
ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ
Вариант 1
Вариант 4
01 – 4
02 – 2
03 – 3
04 – 1
05 – (1)Е = kq/r2
06 – (1)1000 В; (2)U = q/C
07 – (1) индукционный;
(2) электромагнитной индукции;
(3)ЕИ = –dФ/dt
08 – (1) I = I0cos(t – /2)
09 – I(t) = 10Аt4 + 6Вt5; I(2) = 352 А
10 – 72106 с-1; 4,2 пФ
11 – 0,25 м
Вариант 2
01 – 3
02 – 4
03 – 3
04 – 2,3,4
05 – (1)F = kq1q2/r2
06 – (1)8,8510-9 Ф; (2) C = 0S/d
07 – (1)сила Ампера с величиной;
(2)dFA = IBdlsin
08 – (1)I = I0cost
09 – 50 м
10 – 8,2810-7Тл
11 – 15,2 106 с–1
01 – 2
02 – 1
03 – 3
04 – 1
05 – (1)силе; (2)единичный пробный
заряд; (3)Е = F/q0
06 – (1)F = p(dE/dx)
07 –(1)механизма; (2)возникновения
08 – (1)tg = (XL – XC)/R
09 – 180 В/м
10 – 1 Тл
11 – 3,3 мГн
Вариант 5
01 – 1
02 – 3
03 – 1
04 – 1
05 – (1)5 В/м; (2)Ерез=Еi
06 – (1)510-7 Дж; (2)W = CU2/2
07 – (1)Z = (R2+ (L – 1/C)2)1/2
08 – (1) вектором намагниченности;
(2) J = lim (pm/V), V0
09 – 10 Дж
10 – 25; 0,05 В
11 – 9,3 кОм
Вариант 3
01 – 2
02 – 1
03 – 3
04 – 3
05–(1)момент; (2)силы;(3)М =реЕвн
08–(1)движущиеся; (2) электрические заряды; (3)магниты;
(4)электрические заряды; (5)токи,
переменное вихревое электрическое
поле
09 – 36 В/м
132
06 – (1) = kq/r
07 – (1)эл = 0E2/2
10 – 1,5710-5 с
11 – 2,810-7 с
4. ОПТИКА
Для успешного тестирования разделу «Оптика» необходимо
знать следующие законы, определения и формулы:
1. Интерференция света. Когерентные источники света и
волны. Способы излучения когерентных волн: метод Юнга, зеркало Ллойда. Условия для наибольшего усиления (максимум) и
ослабления (минимум) волн.
2. Интерференция света в тонких пластинках (пленках).
Просветление оптики. Интерферометры и интерференционный
микроскоп, их использование в медицине.
3. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля на щели в
параллельных лучах. Дифракционная картина.
4. Дифракционная решетка. Условие для главных максимумов (основная формула дифракционной решетки).
5. Физические основы рентгеноструктурного анализа, формула Вульфа-Бреггов. Применение рентгеноструктурного анализа для расшифровки структуры биологически важных молекул.
6. Поляризация света. Свет естественный и поляризованный.
Закон Малюса. Двойное лучепреломление. Способы получения
поляризованного света: отражение на границе двух диэлектриков
(закон Брюстера) и призма Николя.
7. Вращение плоскости поляризации оптически активными
веществами. Применение поляризованного света для решения
медико-биологических задач: поляриметрия, поляризационная
микроскопия, свойство фотоупругости.
8. Геометрическая оптика как предельный случай волновой
оптики. Законы преломления света. Полное внутреннее отражение света. Волоконная оптика и ее использование в медицине.
Линза. Формула тонкой линзы. Аберрации линз: сферическая,
хроматическая, астигматизм, кома.
9. Оптическая система глаза: светопроводящий и световоспринимающий аппарат. Главная оптическая и зрительная оси глаза. Единая узловая точка. Аккомодация. Расстояние наилучшего
зрения. Ближняя точка глаза. Разрешающая способность глаза.
Недостатки оптической системы глаза и способы их компенсации.
133
10. Оптическая микроскопия. Лупа, ход лучей в лупе, ее
увеличение. Ход лучей в микроскопе, формула для увеличения.
11. Предел разрешения и полезное увеличение микроскопа.
Специальные приемы микроскопии: ультрафиолетовый микроскоп, иммерсионные среды, ультрамикроскопия, микропроекция
и микрофотография.
4.1. Тестовые задачи первого уровня
Выберите правильный ответ:
1. Дальнозоркость, как один из недостатков оптической
системы глаза, состоит в том, что задний фокус при отсутствии аккомодации лежит
1. Впереди сетчатки.
2. За сетчаткой.
3. Совпадает с сетчаткой.
2.
Периодом дифракционной решетки называется
1. Ширина щели дифракционной решетки
2. Суммарная ширина щели и промежутка между щелями.
3. Ширина промежутка между щелями.
3.
Укажите формулу, выражающую закон Малюса:
1. sin /sin = n.
2. tg = n.
3. I = I0cos2 .
4. = [0]cl.
Выберите правильные ответы:
Выберите свойства абсолютно черного тела
1. Коэффициент поглощения черного тела не зависит от
длины волны.
2. Коэффициент поглощения черного тела равен единице.
3. Излучение черного тела имеет сплошной спектр.
4. Черное тело при равных условиях является более интенсивным источником теплового излучения по сравнению с любым
телом.
4.
134
5.
К специальным приемам микроскопии относится:
1. Измерение размеров малых объектов.
2. Вращение плоскости поляризации.
3. Микропроекция и микрофотография.
4. Ультрамикроскопия.
6. Какие кристаллы используют для изготовления поляризаторов?
1. Исландский шпат.
2. Турмалин.
3. Алмаз.
4. Поваренная соль.
5. Герапатит.
Оптической осью кристалла называют
1. Направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи имеют разные скорости.
2. Направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются с одинаковой скоростью.
3. Направление, вдоль которого двойного лучепреломления
не наблюдается.
7.
8. Интерференционный микроскоп используется для измерения
1. Показателя преломления.
2. Скорости света.
3. Толщины прозрачных микрообъектов.
4. Концентрации сухого вещества.
Оформление ответов:
01 – 2
05 – 1, 3, 4
02 – 2
06 – 1, 2, 5
03 – 2
07 – 2, 3
04 – 1, 2, 3, 4 08 – 1, 3, 4
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру правильного ответа.
4.2. Тестовые задачи второго уровня
Дополните
135
1. Метод рентгеноструктурного анализа, предложенный П.
Дебаем и П. Шеррером, основан на …….(1) монохроматических
…….(2) лучей в поликристаллических телах.
2. Согласно закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость черного тела пропорциональна ……(1) степени его
…….(2).
r
Т1
Т1Т2Т3
Т2
Т3
3. Термография – это …….(1) метод, заключающийся в регистрации ……..(2) различных участков поверхности тела человека
и определении их ……..(3).
4. Зависимость спектральной плотности энергии теплового излучения от длины волны называют ………(1) ……….(2) тела.
5. Применив соответствующий закон теплового излучения,
можно выразить энергию, теряемую поверхностью человеческого
тела за единицу времени при взаимодействии с окружающей средой с помощью формулы ……..(1).
6. УФ-излучение необходимо для работы ……(1) и ……(2)
микроскопов. Главное применение УФ-излучения в медицине
связано с его ……(3) действием.
Установите соответствие:
7.
Схема медицинского сахариметра
1
2
3
4
5
6
136
7
8
Название элементов
А. Дифракционная решетка.
Б. Источник света.
В. Объектив.
Г. Объектив и окуляр зрительной трубы.
Д. Фильтр.
Е. Поляризатор.
Ж. Анализатор.
З. Кювета с раствором.
И. Кварцевая пластинка.
К. Призма.
8. Недостатки оптической
системы глаза
1. Миопия.
2. Астигматизм.
3. Гиперметропия
Типы линз для
для их устранения
А. Цилиндрические.
Б. Собирающие.
В. Рассеивающие.
Г. Комбинированные.
Оформление ответов:
01 – (1) дифракции, (2) рентгеновских
02 – (1) четвертой, (2) температуры
03 – (1) диагностический, (2) теплового излучения, (3) температуры
04 – (1) спектром, (2) излучения
05 – P = ReS = S(T14 – T04) = S(T14 – T04)
06 – (1) ультрафиолетовых, (2) люминесцентных, (3) фотохимическим (специфическим, биологическим)
07 – 1Б, 2Д, 3В, 4Е, 5И, 6З, 7Ж, 8Г
08 – 1В, 2А, 3Б
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру (номерам) правильного ответа.
4.3. Тестовые задачи третьего уровня
4.3.1. Интерференция
137
Интерференция волн – это явление устойчивого увеличения
или уменьшения результирующей амплитуды колебаний при
наложении (суперпозиции) двух или более когерентных волн.
При этом в разных точках пространства результирующая амплитуда различна, но она остается постоянной в течение довольно
большого промежутка времени (времени наблюдения).
Волны называются некогерентными, если их разность фаз
(2 – 1) зависит от времени. При наложении некогерентных
волн их интенсивности складываются, и результирующая (усредненная) интенсивность будет одинакова во всех точках пространства:Iрез= = I1 + I2.
Когерентными называются волны, для которых разность фаз
постоянна во времени: (2 – 1) = const.
Условие минимума интерференции:
в тех точках экрана, где разность фаз когерентных волн равна нечетному числу , т.е.
= 2 – 1 = (2k +1),
(4.3.1)
где k – целое число (порядок интерференции) результирующая
амплитуда будет минимальной.
Условие максимума интерференции:
в тех точках пространства, где разность фаз когерентных
волн равна четному числу , т.е.
= 2 – 1 = 2k, где k – целое число (4.3.2)
результирующая амплитуда будет максимальной.
Различают геометрическую S и оптическую L длину пути
светового луча. Оптическая длина пути L – это геометрическая
длина пути S, умноженная на показатель преломления n среды, в
которой распространяется световой луч:
L = Sn.
(4.3.3)
Оптическая разность хода двух волн, интерферирующих в
некоторой точке Р пространства:
= n(r2 – r1),
где r2 – это расстояние от источника второй волны до точки Р, r1
– расстояние от источника первой волны до точки Р.
Если когерентные источники испускали волны в одинаковой
фазе и, оптическая разность хода когерентных волн, дошедших в
точку наблюдения, равна четному числу длин полуволн
138
макс = 2k , k – целое число,
2
(4.3.4)
то волны при сложении создают интерференционный максимум
интенсивности.
Если оптическая разность хода когерентных волн, пришедших от таких источников, равна нечетному числу длин полуволн
мин = (2k + 1) , k – целое число,
(4.3.5)
2
то волны приходят в противофазе и гасят друг друга, т.е. получается интерференционный минимум интенсивности света.
Пример 1. В точку пространства приходят световые когерентные волны, от источников, испускающих волны в одинаковой фазе, с оптической разностью хода 3 мкм. Длина волны света
равна 500 нм. Чему равна соответствующая разность фаз? Каков
результат интерференции света в этой точке?
Дано: = 500 нм = 50010-9 м,
= 3 мкм = 310-6 м.
Найти: , k.
Решение. Запишем условие максимума интерференции
(4.3.4) и подставим в него числовые данные:
макс = 2k
310-6 = 2k(50010-9/2), откуда
2
k = 6, то есть, в данной точке пространства мы будем наблюдать
максимум интенсивности света.
Для того чтобы найти разность фаз, запишем условие (4.3.2)
и подставим в него полученное значение k:
= 2 – 1 = 2k = 26 = 12.
Ответ: = 12, максимум интерференции.
Пример 2. Разность фаз двух интерферирующих волн, от
двух когерентных источников, испускающих волны в одинаковой
фазе, в точке наблюдения равна 5. Длина волны света 600 нм.
Чему равна соответствующая разность хода? Каков результат интерференции света?
Дано: = 5,
= 600 нм = 60010-9м,
Найти: , k.
Решение. По условию задачи разность фаз составляет 5,
то есть у нас нечетное число . Таким образом, в точке интерфе139
ренции двух волн будет наблюдаться минимум интенсивности
света, поэтому необходимо записать условие минимума интерференции (4.3.1):
= 2 – 1 = (2k +1) = 5,
откуда выразить порядок интерференции k: k = 2.
Для того чтобы найти оптическую разность хода, запишем
условие минимума интерференции (4.3.5) и подставим соответствующие числовые данные:
мин = (2k + 1) = (22 +1)(60010-9/2) = 310-6м = 3 мкм.
2
Ответ: k = 2, наблюдаем минимум интерференции, мин = 3
мкм.
4.3.2. Дифракция
Каждый участок волнового фронта электромагнитной волны
– это быстропеременные колебания электрических и магнитных
полей, которые, согласно уравнениям Максвелла, снова порождают электромагнитную волну. Иначе говоря,
Любой участок волнового фронта является источником
вторичных электромагнитных волн, имеющих ту же частоту и
распространяющихся во все стороны с такой же фазовой скоростью и складывающихся в точке наблюдения дифракции.
Это утверждение называется принципом Гюйгенса-Френеля.
Дифракция электромагнитных волн – это явления, возникающие при сложении бесконечного числа вторичных электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта.
При этом появляются отклонения от законов геометрической оптики.
В частности, в результате дифракции происходит огибание
волнами препятствий, а также образование картины чередующихся максимумов и минимумов освещенности, аналогичной интерференционной картине.
При падении плоской волны на узкую щель шириной а,
условие максимума дифракции будет иметь вид:
tg( /2) = /2, 0
(4.3.6)
Первыми тремя корнями этого уравнения будут соответственно:
1 = 8,99 рад, 2 = 15,45 рад, 3 = 21,81 рад.
140
Условие минимума дифракции при этом будет иметь вид:
asin = 2k ,
(4.3.7)
2
Дифракционная решетка – это система из N одинаковых щелей, расположенных на равном расстоянии d (постоянная решетки) друг от друга.
Условие главных интерференционных максимумов интенсивности света, прошедшего через дифракционную решетку:
dsin = k.
(4.3.8)
Здесь – угол дифракции, k – порядок интерференционного
максимума.
Если ширина дифракционной решетки l, и число щелей N,
то постоянная решетки вычисляется по формуле
d = l/N.
(4.3.9)
Пример 3. Во сколько раз различаются ширины двух щелей,
если при нормальном падении на них одного и того же монохроматического света третий дифракционный минимум от первой
щели наблюдается под тем же углом, что и второй дифракционный минимум от второй щели.
Дано: k1 = 3,
k2 = 2,
1= 2,
Найти: а2/а1.
Решение. Запишем условие минимума (4.3.7) для первой и
второй щели:
a1 sin = 2k1 ,
k1 = 3,
откуда
a1 sin = 6 ,
2
a2 sin = 2k2
,
2
2
k2 = 2,
откуда
a2 sin = 4 .
2
Получаем:
а2/а1 = 1/3.
Ответ: 1/3.
Пример 4. Какой наивысший порядок спектра можно
наблюдать при нормальном падении на щель монохроматического света, если длина волны укладывается в ширине щели 7 раз?
Дано: а = 7,
Найти: kмакс.
Решение. Необходимо записать условие максимума дифракции на щели:
141
asin = (2k + 1)
2
и учесть, что в условии задачи надо найти максимальный порядок
спектра kмакс. Поскольку ширина щели а и длина волны света, падающего на щель, остаются постоянными, то наивысший порядок
спектра будет наблюдаться при условии максимума синуса угла
дифракции ((sin)макс = 1):
a(sin)макс = (2kмакс + 1) 7 = (2kмакс + 1) ,
14 = 2kмакс + 1
лых).
Ответ: kмакс = 6.
2
2
kмакс = 13/2 = 6 (ответ округляем до це-
Пример 5. Дифракционная решетка имеет 2500 штрихов на
1 см, при этом максимум четвертого порядка наблюдается под
углом 30. Найти длину волны падающего света. Какой наивысший порядок спектра можно наблюдать с помощью этой дифракционной решетки, если на нее нормально падает свет с длиной
волны 670 нм?
Дано: N = 2500,
l = 1 см = 0,01 м,
k = 4,
= 30,
= 670 нм = 67010-9м.
Найти: , kмакс.
Решение. а) Найдем длину волны света, падающего на дифракционную решетку. Для этого запишем условие главных интерференционных максимумов (4.3.8) при падении света на решетку, а также формулу (4.3.9) для расчета постоянной решетки:
dsin = k,
d = l/N, (l/N) sin = k.
Выразим из последней формулы длину волны :
= (l sin )/(N k) = 510-7м = 500 нм.
б) Найдем теперь наивысший порядок спектра, который
можно наблюдать помощью этой дифракционной решетки, если
на нее нормально падает свет с длиной волны 670 нм. Для этого
запишем условие дифракционных максимумов (4.3.8) с учетом
(4.3.9), а также с учетом того факта, что наивысший порядок
спектра будет наблюдаться при условии максимума угла дифракции (см. пример 4):
d(sin )макс= kмакс, (sin )макс = 1, d = l/N,
142
имеем:
kмакс = l/(N) = 5,9 = 5.
Ответ: = 500 нм, kмакс = 5.
4.3.3. Поляризация электромагнитных волн. Оптически
активные среды
В поперечной электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей происходят перпендикулярно
направлению движения волны.
Естественным называется свет, в котором колебания вектора
напряженности электрического поля Е (или вектора напряженно
сти магнитного поля Н ) происходят беспорядочно, в любом
направлении, перпендикулярно скорости распространения волны:
Е
Н
Е
Н
Vэм
Е
Н
Е
Н
Н
Е
Если колебания светового вектора Е как-либо упорядочены,
то свет называется поляризованным.
Для плоскополяризованного света колебания светового век
тора Е происходят все время в одной плоскости:
Е
Н
Н
Е
Е
Н
Е
Н
Vэм
Можно получить световую волну, в которой вектор Е будет
вращаться вокруг направления скорости волны. Если при враще
нии вектора Е вокруг направления скорости волны его конец
описывает эллипс, то поляризация называется эллиптической.
Если траекторией конца вектора Е является круг, то это свет с
круговой поляризацией. Он получится, если сложить две плоскополяризованные во взаимно перпендикулярном направлении световые волны, амплитуды которых одинаковы, а разность фаз равна /2.
143
В приведенных выше примерах свет полностью поляризован. Если световой луч складывается из естественного и поляризованного света, то он называется частично поляризованным.
При падении естественного света на границу раздела двух
непроводящих сред под углом
Б = arctg(n2/n1) (угол Брюстера)
(4.3.10)
отраженный луч будет полностью поляризован: колебания векто
ра Е в нем происходят только перпендикулярно плоскости падения света.
Если падение света происходит под другим углом Б,
то отраженный свет будет частично поляризован. Преломленный луч всегда частично поляризован в плоскости падения света.
На практике для поляризации света используют так называемые поляризаторы – устройства, пропускающие только те элек
тромагнитные волны, в которых вектор Е колеблется вдоль оси
поляризатора. Интенсивность прошедшего света связана с интенсивностью падающего света (если он плоскополяризован) законом Малюса:
Iпрош = Iпад cos2.
(4.3.11)
Здесь – угол между осью поляризатора и направлением поляризации падающего света.
Если на поляризатор падает естественный свет с интенсивностью I0, то после прохождения через поляризатор интенсивность света уменьшается в два раза:
Iпрош = I0/2.
(4.3.12)
При распространении света в среде с показателем преломления n его скорость вычисляется по формуле:
V = c/n,
(4.3.13)
8
где с – скорость света в вакууме (с = 310 м/с).
Существуют вещества способные вращать плоскость поляризации света в отсутствии внешних воздействий. Такие вещества называются оптически активными. В качестве примера оптически активных веществ можно привести скипидар, камфору,
никотин, киноварь, раствор сахара, биологические макромолекулы и др. При этом, как показали опыты, для данной длины волны
света величина угла поворота плоскости поляризации прямо
пропорциональна длине пути луча в оптически активной среде,
то есть
= constCl,
(4.3.14)
144
где С – концентрация раствора, l – длина пути луча в оптически
активной среде.
Пример 6. Естественный луч света падает на границу раздела жидкость-стекло. Угол между падающим на стекло лучом и
отраженным от него лучом составляет 98. Определить показатель преломления жидкости, если отраженный луч максимально
поляризован, а абсолютный показатель преломления стекла равен
1,5. Определить угол преломления, а также скорость распространения луча в стекле и в жидкости.
Дано: 2 = 98,
n2 = 1,5,
Найти: n1, V1, V2, .
Решение. а) Закон отражения света: угол падения равен углу
отражения:
Поскольку по условию задачи отраженный луч полностью
поляризован, то угол падения (и, соответственно, угол отражения) является углом Брюстера, мы можем записать закон Брюстера (4.3.10):
Б = arctg(n2/n1) = 98/2 = 49,
откуда следует, что tgБ = n2/n1
и
n1 = (n2/ tgБ) = 1,3.
б) 180 = Б + + . Когда свет падает под углом Брюстера,
угол равен 90, поэтому
= 180 – 90 – Б = 41.
Можно найти угол , используя закон преломления света:
sinБ/sin = n2/n1,
откуда sin = (sinБ n1)/ n2 =
0,654;
= arcsin(0,654) = 41.
в) Для расчета скорости распространения света в жидкости
и стекле используем формулу (4.3.13):
V = c/n,
145
для жидкости: V1 = c/n1 = 2,3108 м/с,
для стекла: V2 = c/n2 = 2,0108 м/с.
Ответ: n1 = 1,3; = 41; V1 = 2,3108 м/с; V2 = 2,0108 м/с.
Пример 7. Естественный свет проходит последовательно
через поляризатор и анализатор. Угол между плоскостями поляризатора и анализатора изменили от = 45 до = 60. Во
сколько раз при этом уменьшилась интенсивность света, прошедшего через анализатор?
Дано: = 45,
= 60.
Найти: Ia1/Ia2.
Решение. Запишем закон Малюса (4.3.11) для углов и :
Iа1 = Iп cos2,
Iа2 = Iп cos2,
где Iа1 и Iа2 – интенсивности света, прошедшего первый и второй
анализаторы соответственно, Iп – интенсивность света, прошедшего поляризатор.
Разделив первое соотношение на второе почленно, получаем
окончательно:
Ia1/Ia2 = cos2/cos2 = 2.
Ответ: интенсивность света уменьшится в два раза.
Пример 8. При прохождении через раствор 10%-го раствора
сахара толщиной l1 плоскость поляризации света повернулась на
15. В другом растворе сахара вдвое большей толщины плоскость
поляризации повернулась на 20. Найти концентрацию второго
раствора.
Дано: С1 = 10%,
l2 = 2l1,
1 = 15,
2 = 20.
Найти: С2.
Решение. Запишем исходное выражение (4.3.14) для угла
поворота плоскости поляризации света оптически активными
средами и применим его для растворов двух рассматриваемых в
задаче концентраций:
146
1 = constC1l1 = 15,
2 = constC2l2 = 20.
Разделим второе выражение на первое почленно и выразим
неизвестную концентрацию: 20/15 = (С22 l1)/(С1 l1) = 2С2/С1 ,
откуда
С2 = 6,7%.
Ответ: С2 = 6,7%.
4.3.4. Геометрическая оптика. Разрешающая сила оптических систем
При падении света на границу раздела двух прозрачных веществ падающий луч разделяется на два – отраженный и преломленный. Направления этих лучей определяются законами отражения и преломления света.
Закон отражения света.
Отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Угол падения
равен углу отражения:
=
(4.3.15)
Закон преломления света.
Преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим
лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Отношение
синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина
постоянная для данных веществ:
sin/sin = n2/n1.
(4.3.16)
Здесь n1 и n2 – абсолютные показатели
преломления первой и второй сред относительно.
Вещество с большим показателем преломления называют оптически более плотным.
При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч света будет удаляться от нормали к
147
поверхности. Увеличение угла падения сопровождается более
быстрым ростом угла преломления и по достижении углом
некоторого предельного значения
пред = arcsin(n2/n1),
(4.3.17)
угол становится прямым ( = /2).
При углах падения, заключенных в пределах от пред до /2,
свет полностью отражается от границы сред. Это явление носит
название полного внутреннего отражения, а выражение (4.3.17)
называется предельным углом полного внутреннего отражения.
Прозрачное тело, ограниченное, к примеру, двумя сферическими или сферической и плоской поверхностями, называется
линзой. Точка линзы, через которую любой луч проходит не изменяя своего направления, называется главным оптическим центром О линзы. Прямая FF, проходящая через центры О1 и О2
сферических поверхностей, называется главной оптической осью.
Остальные оси, проходящие через оптический центр линзы,
называют побочными, а плоскости, перпендикулярные к главной
оптической оси, и проходящие через фокусы – фокальными плоскостями линзы. Любая прямая АВ, проходящая через оптический
центр линзы, называется побочной осью линзы.
M
А
F
F
O1 O O2
N
В
Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок сходящихся лучей, называется собирающими.
Линзы, превращающие падающий на них параллельный пучок лучей в пучок расходящихся лучей, называется рассеивающими. Схематические изображения собирающей и рассеивающей
линз изображены на рисунке ниже:
Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после
преломления в линзе сходится в главном фокусе F. Для собира148
ющей линзы главный фокус является действительным, для рассеивающей – мнимым. Каждая линза имеет два фокуса: передний и
задний. Плоскость MN, проведенная через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной.
Каждый из лучей, параллельных оптической оси, после преломления в линзе проходит через одну и ту же точку, лежащую на
фокальной плоскости линзы (в параксиальном приближении).
Для построения изображений в линзах из всего пучка лучей,
падающих на линзу, удобно использовать следующие лучи:
1) луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через правый главный фокус;
2) луч, проходящий через левый главный фокус, после преломления проходит параллельно главной оптической оси;
3) луч, проходящий через оптический центр линзы, после
преломления проходит по тому же направлению (справедливо
только для тонкой линзы).
Формула тонкой линзы:
1 1 1
(4.3.18)
,
d
f
F
где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы
до изображения, F– фокусное расстояние линзы. В формуле
(4.3.18) берется знак «плюс», если изображение является действительным, «минус», если мнимым. У собирающей линзы фокусное расстояние F > 0, у рассеивающей линзы F < 0.
Оптическая сила линзы D – это величина, обратная фокусному расстоянию линзы (n – показатель преломления среды):
D = n/F.
(4.3.19)
Оптическая сила системы тонких прижатых друг к другу
линз является суммой оптических сил этих линз:
D = D1 + D2 + D3 +…
(4.3.20)
Линейное увеличение линзы – это отношение линейного
размера изображения А1В1 к линейному размеру предмета АВ.
Г = А1В1/АВ = f/d.
(4.3.21)
Линейное увеличение оптической системы тонких линз –
это произведение линейных увеличений каждой линзы в отдельности:
Г = Г 1Г 2Г 3…
(4.3.22)
Расстояние наилучшего зрения для человеческого глаза: L
0,25 м.
149
Простейший микроскоп состоит из двух собирающих линз –
объектива и окуляра.
Для определения разрешающей способности микроскопа
Аббе предложил освещать объект когерентным излучением, в качестве объекта была выбрана дифракционная решетка с постоянной d.
Разрешающая способность микроскопа:
Z
0,5
u
n sin
2
,
(4.3.23)
где – длина волны света, n – показатель преломления среды, в
которой находится объект (u/2) – апертура (половина угла между
крайними лучами, идущими от объекта к краям объектива).
Угловая дисперсия дифракционной решетки:
D = k/(dcos),
(4.3.24)
где k – порядок дифракции, d – постоянная дифракционной решетки, – угол дифракции.
По критерию Рэлея два интерференционных пика интенсивности, еще можно увидеть раздельно, если минимум первого пика с длиной волны ( + ) совпадает с максимумом второго пика в спектре k-того порядка с длиной волны . Отсюда следует,
что
/ = kN,
(4.3.25)
где отношение / называется разрешающей способностью дифракционной решетки, N – число штрихов дифракционной решетки.
Пример 9. Собирающая линза дает действительное, увеличенное в 2 раза изображение предмета. Определить фокусное
расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением составляет 24 см. Построить изображение предмета в линзе.
Дано: Г = 2; f = 24 см = 0,24 м.
Найти: F.
Решение.
A
A1
2F B F
F
150
2F
B1
d
f
Для построения изображения верхней точки А предмета АВ
рассмотрим два луча. Первый луч, идущий параллельно главной
оптической оси, преломившись, пройдет через главный фокус
линзы; второй, идущий через главный оптический центр линзы,
не изменит своего направления. Точка пересечения А1 этих лучей
является действительным изображением точки А. Опустив из
точки А1 перпендикуляр на главную оптическую ось, получим
действительное, увеличенное и перевернутое изображение А1В1
предмета АВ. Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой тонкой линзы (4.3.18), откуда выразим фокусное
расстояние F:
F = df/(d+f).
(4.3.26)
Линейное увеличение линзы найдем из формулы (4.3.21):
Г = f/d, откуда
d = f/Г.
(4.3.27)
Подставив соотношение (4.3.27) в (4.3.26), найдем
F = f/(Г+1) = 0,24/(2+1) = 810-2 м.
Ответ: F = 810-2 м.
Пример 10. Какое увеличение дает лупа, если ее оптическая
сила равна 16 дптр? Построить изображение предмета в лупе.
Дано: D = 16 дптр.
Найти: Г.
Решение. Если не учитывать расстояние между глазом и
линзой, то увеличение, даваемое лупой с фокусным расстоянием
F, как следует из (4.3.21), будет равно
Г = f/d.
В частном случае, когда предмет расположен так, что его
изображение получается на расстоянии наилучшего зрения нормального глаза (L = 0,25 м), должно быть f = L, поэтому увеличение, даваемое лупой,
Г = L/F = LD,
где F – фокусное расстояние лупы, причем D = 1/F, как следует
из (4.3.19).
Следовательно, Г = 0,2516 = 4.
A1
A
151
В1
F B
O
F
Чтобы рассмотреть предмет через лупу, его располагают
между лупой и ее фокусом. Для построения изображения точки А
этого предмета используем два луча, исходящие из нее: один, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через фокус; другой, проходящий через главный оптический
центр линзы, не изменит своего направления. Изображение А1
точки А получится в точке пересечения продолжения лучей. Аналогично получаем изображение В1 точки В. Следовательно, изображение А1В1 предмета АВ мнимое, увеличенное и прямое.
Пример 11. Микроскоп состоит из объектива и окуляра,
расстояние между главными фокусами которых 18 см. Найти
увеличение, даваемое микроскопом, если фокусные расстояния
объектива и окуляра соответственно равны 2 и 40 мм. Построить
изображение предмета.
Дано: l = 18 см = 0,18 м, F1 = 2 мм = 210-3 м, F2 = 40 мм =
410-3 м.
Найти: Г.
Решение. Построим в микроскопе изображение предмета
АВ, который обычно помещают вблизи фокальной плоскости
объектива. Для этого возьмем два луча, исходящих из точки А
предмета АВ (см. рис. ниже). Первый луч, проходящий через фокус F1 объектива, после преломления в линзе пойдет параллельно
главной оптической оси до падения на окуляр в точке D. После
преломления в окуляре луч пройдет через его фокус F2. Второй
луч, падающий на оптический центр О1 объектива, не изменит
своего направления и упадет на окуляр в точке Е. Чтобы найти
ход луча после преломления в окуляре, проведем через точку F2
фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось, параллельную этому лучу и пересекающую фокальную плоскость в
точке К. Тогда второй луч после преломления в окуляре также
пройдет через эту точку.
M
A
B2
B F1 O1
B1
O2
152
F2
A1
D
K
A2
E
N
Точка А2 пересечения продолжений первого и второго лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изображением точки А. Опуская из точки А2 перпендикуляр на главную оптическую
ось, получим мнимое, увеличенное и перевернутое изображение
А2В2 предмета АВ.
Поскольку микроскоп состоит из двух линз (объектив и
окуляр), то увеличение микроскопа определяется формулой
(4.3.22):
Г = Г1Г2,
(4.3.28)
где Г1 – увеличение объектива, Г2 – увеличение окуляра. По
определению, увеличение объектива (см. (4.3.21))
Г1 = f1/d1.
(4.3.29)
Так как f1 l, d1 F1, то Г1 l/F1.
Окуляр действует как лупа, поэтому
Г2 = L/F2,
(4.3.30)
где L – расстояние наилучшего зрения, L = 0,25 м (для нормального глаза).
Подставив выражения (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.28), получим
Г = lL/F1F2 = 562.
Ответ: Г = 562.
Пример 12. Разрешающая способность светового микроскопа с иммерсионным объективом равна 6000 мм-1. Чему равен
апертурный угол, если в качестве иммерсионной жидкости использован глицерин (n = 1,47), а длина волны света, освещающая
препарат, составляет 446 нм?
Дано: Z = 6000 мм-1,
n = 1,47,
= 446 нм = 44610-9м.
Найти: u/2.
Решение. Для того чтобы найти апертурный угол, используем формулу (4.3.23):
Z
0,5
u
n sin
2
153
,
откуда выразим сначала синус апертурного угла, а потом и сам
угол:
sin(u/2) = 0,5/(nZ) u/2 = arcsin[(0,5/(nZ)] = 65,5.
Ответ: u/2 = 65,5.
Пример 13. На дифракционную решетку шириной 5 мм
нанесено 2000 штрихов. а) Определить наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. б)
Чему равна угловая дисперсия этой решетки в спектре второго
порядка для света с длиной волны 700 нм?
Дано: l = 5 мм = 510-3 м,
N = 2000,
= 546 нм = 54610-9 м.
Найти: а) (/)макс; б) D.
Решение. а) Определим наибольшую разрешающую способность решетки для света с длиной волны 546 нм. Для этого используем исходные формулы (4.3.25) и (4.3.8) и учтем, что
sinмакс = 1:
/ = kN,
(/)макс = kмаксN
dsin = k,
dsinмакс = kмакс, откуда d= kмакс,
Из (4.3.9) найдем
d = l/N, поэтому
kмакс = d/ = l/N = 4,58 = 4,
а наибольшая разрешающая способность равна соответственно
(/)макс = 4N = 42000 = 8000.
б) Теперь найдем, чему равна угловая дисперсия этой дифракционной решетки в спектре второго порядка для длины волны 700 нм.
Запишем исходную формулу для угловой дисперсии (4.3.24)
и формулу (4.3.8) для главных максимумов дифракции:
D = k/(dcos), dsin = k.
Из (4.3.8) находим, чему равен угол дифракции :
sin = k/d
= 0,56
= arcsin(0,56) = 34.
Подставим полученный угол в (4.3.24) и рассчитаем угловую дисперсию:
D = k/(dcos) = 9,65105 м-1.
Ответ: (/)макс = 8000, D = 9,65105 м-1.
4.3.5. Поглощение света. Закон Бугера-Ламберта. Люминесценция
154
При прохождении света через вещество он может поглощаться. Данное явление носит название поглощения света.
Оптическая плотность раствора:
D = lg(I0/I)
(4.3.31)
I – интенсивность света, прошедшего через раствор, I0 – интенсивность света, падающего на раствор.
Закон Бугера-Ламберта (закон поглощения света):
I = I0e-kl,
(4.3.32)
где k – коэффициент поглощения, l – толщина поглощающего слоя.
Поглощение света раствором (в не поглощающем растворителе) описывается следующим выражением:
I = I010-сl,
(4.3.33)
где k = с, – молярный коэффициент поглощения, характерный для молекулы растворенного вещества (он не зависит от
концентрации раствора), с – молярная концентрация растворенного вещества.
При этом: D с.
Коэффициент светопропускания раствора:
= I/I0.
(4.3.34)
В этом случае можно переписать выражение для оптической
плотности раствора таким образом:
D = lg(1/).
(4.3.35)
Излучение света, обусловленное переходом частиц (атомов,
молекул, ионов и других более сложных комплексов) из возбужденного состояния в основное называется люминесценцией.
Интенсивность люминесценции:
I = 2,3I0D,
(4.3.36)
где – квантовый выход люминесценции, D – оптическая
плотность раствора, I – интенсивность люминесценции, I0 – интенсивность возбуждающего света.
Пример 14. Определите молярный показатель поглощения
спиртового раствора йода на длине волны 546 нм, если при прохождении кюветы с раствором длиной 0,7 см интенсивность света уменьшилась в 10 раз. Молярная концентрация спиртового
раствора йода составляет 235 моль/м3. Чему равна оптическая
плотность этого раствора и коэффициент пропускания раствора?
Какая часть энергии поглощается?
155
Дано: l = 0,7 см = 0,007 м,
с = 235 моль/м3.
Найти: , D, .
Решение. Для решения задачи следует воспользоваться законом поглощения раствора (4.3.33):
I = I010-сl
и учесть, что по условию задачи I = I0/10. Тогда (4.3.33) преобразуется следующим образом:
I0/10 = I010-сl, откуда выражаем начальную интенсивность света:
I0 = 10I010-сl или 1 = 1010-сl = 101-сl.
Прологарифмируем полученное выражение почленно:
lg1 = lg(101-сl), откуда получаем: сl = 1.
Из последнего выражения легко получить требуемый в задаче молярный показатель поглощения:
= 1/сl = 0,608 м2/моль.
Оптическую плотность раствора и коэффициент пропускания раствора определим с помощью формул (4.3.31) и (4.3.34) соответственно:
D = lg(I0/I) = lg(10I0/I0)= lg10 = 1,
= I/I0 = 1/10 = 0,1.
При этом поглощается 1 – = 0,9 часть энергии светового
излучения.
Ответ: = 0,608 м2/моль; D = 1; = 0,1.
Пример 15. Определить оптическую плотность и коэффициент светопропускания раствора, если квантовый выход люминесценции составляет 0,318, а интенсивность на выходе в три раза меньше интенсивности возбуждающего света.
Дано: = 0,318,
I = I0/3.
Найти: D, .
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой
(4.3.36) и учтем, что по условию I = I0/3:
I = I0/3 = 2,3I0D,
откуда оптическая плотность раствора D = 1/(32,3) = 0,46.
Теперь найдем коэффициент светопропускания из (4.3.34):
= I/I0 = 0,33.
Ответ: = 0,33.
156
5. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. ИОНИЗИРУЮЩЕЕ
ИЗЛУЧЕНИЕ И ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ
Для успешного тестирования по разделу «Физика атомов и
молекул. Ионизирующее излучение и основы дозиметрии» необходимо знать следующие законы, определения и формулы:
1. Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения. Черное и серое тела. Закон Кирхгофа.
2. Законы излучения черного тела: формула Планка, закон
Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Тепловое излучение
(радиация) Солнца: солнечная постоянная, спектр излучения, изменение спектрального состава радиации земной атмосферой.
Тепловое излучение тела человека. Физические основы термографии.
3. Ионизирующие излучения. Рентгеновское излучение как
разновидность ионизирующего излучения. Устройство рентгеновской трубки. Тормозное рентгеновское излучение и его
спектр. Зависимость спектра тормозного излучения от напряжения, температура накала катода и материала анода (антикатода).
Жесткое и мягкое рентгеновское излучение. Характеристическое
рентгеновское излучение.
4. Взаимодействие рентгеновского излучения с веществом
(когерентное и некогерентное рассеяние, фотоэффект). Явления,
наблюдаемые при действии рентгеновского излучения на вещество: ионизация, химическое действие, рентгенолюминесценция.
Закон ослабления потока рентгеновского излучения веществом.
Физические основы применения рентгеновского излучения в медицине: рентгеноскопия, рентгенография, рентгеновская томография (рентгеновская компьютерная томография) и рентгенотерапия.
5. Радиоактивность (радиоактивный распад). Радиоактивность как источник ионизирующего излучения. Альфа-распад
атомных ядер. Энергетический спектр альфа-излучения. Электронный и позитронный распад (бета-распад) атомных ядер.
Энергетический спектр бета-излучения. Нейтрино и антинейтрино. Электронный захват. Гамма-излучение атомных ядер.
Нейтроны.
6. Основной закон радиоактивного распада. Постоянная
распада, период полураспада. Активность.
157
7. Взаимодействие корпускулярного ионизирующего излучения с веществом. Линейная плотность ионизации. Линейная
тормозная способность вещества. Средний линейный пробег частицы. Взаимодействие гамма-излучения с веществом. Ослабление потока гамма-излучения веществом. Биофизические основы
действия ионизирующих излучений на организм.
8. Детекторы ионизирующего излучения: трековые (камера
Вильсона и пузырьковая камера), счетчики (Гейгера и сцинтилляционный) и интегральные (фотопленка и ионизационная камера непрерывного действия). Использование радионуклидов и
нейтронов в медицине: диагностическое и лечебное.
9. Дозиметрия ионизирующих излучений. Поглощенная и
экспозиционная дозы. Мощность дозы, связь мощности экспозиционной дозы и активности радиоактивного препарата.
10. Количественная оценка биологического действия ионизирующего излучения. Коэффициент качества. Эквивалентная
доза. Эффективная доза. Коэффициент радиационного риска.
11. Дозиметрические приборы. Естественный фон и допустимые значения доз ионизирующего излучения. Защита от ионизирующих излучений.
12. Электронные энергетические уровни атомов. Энергетические уровни молекул. Особенности излучения и поглощения
энергии атомами и молекулами: два типа квантовых переходов
(безызлучательный и с излучением или поглощением фотона),
формула, связывающая частоту фотона с энергиями стационарных состояний, спонтанное и индуцированное излучения.
13. Взаимодействие света с веществом. Поглощение света.
Закон Бугера-Ламберта-Бера. Эффективное сечение поглощения
молекулы. Показатель поглощения, коэффициент пропускания,
оптическая плотность раствора. Спектры поглощения вещества.
Концентрационная колориметрия.
14. Рассеяние света: явление Тиндаля и молекулярное рассеяние. Закон Рэлея. Нефелометрия.
15. Люминесценция. Различные виды люминесценции. Хемилюминесценция. Фотолюминесценция: флуоресценция и фосфоресценция, механизм возникновения.
16. Спектр фотолюминесценции, закон Стокса. Квантовый
выход люминесценции. Закон Вавилова. Количественный и качественный люминесцентный анализ. Люминесцентный микроскоп.
Использование люминесценции для решения медицинских задач.
158
17. Фотобиологические процессы, их основные стадии.
Квантовый выход и поперечное сечение фотохимических превращений молекул. Спектры поглощения и спектры действия.
Действие ультрафиолетового излучения на биологические объекты как пример фотобиологического процесса.
18. Лазеры (оптические квантовые генераторы). Вынужденное излучение и инверсная заселенность энергетических уровней
как принципиальные условия для работы лазера. Устройство гелий-неонового лазера. Основные свойства лазерного излучения.
Применение лазеров в медицине. Понятие о фотомедицине.
5.1. Тестовые задачи первого уровня
1.
ля:
Выберите правильный ответ:
Укажите формулу, выражающую длину волны де Брой1. = V/.
2. = h/(mV).
3. = csin u/k.
4. = 2lsin/k.
2. Принцип действия электронного микроскопа основан на
использовании
1. Корпускулярных свойств электронов.
2. Малого размера электронов.
3. Волновых и корпускулярных свойств света.
4. Волновых свойств электронов.
3. Носителями магнитного момента, обусловливающими
явление ядерного магнитного резонанса, являются
1. Атомы.
2. Молекулы.
3. Электроны
4. Ядра атомов.
4.
Офтальмокоагулятор – это прибор для:
1. Уничтожения раковых клеток.
2. «Приваривания» сетчатки.
3. Лечения глаукомы.
159
4. Бескровного рассечения тканей.
Метод ЯМР-томографии позволяет
1. Уничтожать раковые клетки, разрушать злокачественные
образования.
2. Послойно сканировать образец с целью получения информации о пространственном распределении и структуре молекул.
3. Определить механизм протекания физико-химических и
оптических процессов путем сопоставления полученных спектров.
5.
6. Какой параметр рентгеновского излучения и как изменится при увеличении температуры нити накала катода
рентгеновской трубки?
1. Поток рентгеновского излучения уменьшится.
2. Поток рентгеновского излучения увеличится.
3. Граничная длина волны излучения уменьшится.
4. Проникающая способность увеличится.
Выберите правильные ответы:
7.
Какие виды излучения относятся к ионизирующим?
1. Поток -частиц
2. Поток электронов с большой энергией.
3. Поток фотонов с длиной волны от 400 до 600 нм.
4. Поток нейтронов.
5. Поток фотонов с длиной волны от 600 до 800 нм.
Укажите виды защиты от ионизирующих излучений:
1. Удаление от источника излучения.
2. Уменьшение времени облучения.
3. Воздействием противоположно направленным потоком квантов.
4. Установка защитных материалов.
8.
9. В каких системных и внесистемных единицах измеряется поглощенная доза?
1. Дж.
2. Гр.
3. Дж/кг.
160
4. Бэр.
5. Рад.
6. Зв.
Оформление ответов:
01 – 2
05 – 2
02 – 4
06 – 2
03 – 4
07 – 1, 2, 4
04 – 2
08 – 1,2, 4
09 – 2, 5, 3
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру правильного ответа.
5.2 Тестовые задачи второго уровня
Дополните:
1. Оптическая плотность раствора зависит от интенсивности
падающего и прошедшего потока излучения и определяется формулой D = ………(1).
2. Ядерный магнитный резонанс – это явление резонансного
поглощения ……..(чего) (1) веществом в постоянном ………(вид)
(2) поле, обусловленное переориентацией магнитных моментов
……..(3).
3. Рентгеновским излучением называют электромагнитные
волны с длиной волны от …..(1) до …….(2). Оно подразделяется
на ……..(3) и ……..(4).
4. Естественные радиоактивные источники создают фон примерно …..(1) Зв или ……..(2) Бэр в год.
5. В лечебных целях ионизирующие излучения применяются
для разрушения глубоко расположенных …….(1).
6. Отношение числа зарегистрированных частиц к общему
числу частиц, пролетевших через счетчик, называют ……(1).
Установите соответствие:
7.
Области спектра
Фотобиологическое
действие
161
1.
2.
Инфракрасная область 750 нм.
Видимая область 400 –750 нм.
8.
Приборы
А. Зрение.
Б. Загар, синтез
витамина D.
3. Ультрафиолетовая область 200-400 нм. В. Тепловые эффекты
Г. Ожог глаз, канцерогенез.
Медико-биологическое
применение
А. Эхокардиография.
Б. Получение голографиче
ских изображений.
В. Исследование
структуры молекул.
Г. Лечение глаукомы.
Д. Исследование свободных
радикалов.
Е.Обнаружение паталогических «включений» малого
размера.
1. Лазер.
2. Спектрометр ЭПР.
3. ЯМР-томограф.
9. Возникающий эффект
Тип следового детектора
1. Конденсация перенасыщенного пара.
А.Пузырьковая
камера.
2. Образование разряда в газе.
Б.Камера
Вильсона.
3. Парообразование перегретой жидкости.
В. Искровая камера.
4. Фотохимическое действие.
Г. Диффузионная
камера.
Д.Толстослойные
фотоэмульсии.
Установите правильную последовательность:
10. Определение оптической плотности растворов с помощью фотоэлектроколориметра:
1 – измерительной диафрагмой уравнять интенсивность световых потоков;
162
2 – установить кюветы: измерительное плечо-растворитель,
компенсационное плечо-растворитель;
3 – получить значение оптической плотности по шкале измерительного барабана;
4 – полностью раскрыть диафрагмы;
5 – компенсационной диафрагмой уравнять интенсивность
световых потоков;
6 – установить кюветы: измерительное плечо-исследуемый
раствор, компенсационное плечо-растворитель.
11. Линейная плотность ионизации – это
1 – одного знака;
2 – отношение числа ионов;
3 – образованных ионизирующей частицей;
4 – к этому пути;
5 – при прохождении элементарного пути в веществе.
Оформление ответов:
01 – (1) D = lg (I0/I)
02 – (1) электромагнитных волн (эл. м. энергии), (2) магнитном, (3) ядер
03 – (1) 80 нм, (2) 10–5 нм, (3) тормозное, (4) характеристическое
04 – (1) 12510–5 Зв (2мЗв/год), (2) 2510–3 Бэр
05 – (1) опухолей
06 – (1) эффективностью, (2) счетчика
07 – 1В; 2А, Г; 3Б
08 – 1Б, Г; 2В, Д; 3В, Е
09 – 1Б, Г, 2В, 3А, 4Д
10 – 4-6-5-2-1-3 или 6-4-5-2-1-3
11 – 2-1-3-5-4
Здесь первый столбец соответствует номеру тестового задания, второй столбец – номеру (номерам) правильного ответа.
5.3. Тестовые задачи третьего уровня
5.3.1. Тепловое излучение
163
Мощность излучения с единицы площади поверхности тела
в единичном интервале частот называется излучательной способностью тела:
r(, T) = dE,+d/d.
Под поглощательной способностью тела понимается отношение количества поглощенной поверхностью энергии в интервале частот , + d к общему количеству энергии падающего
излучения в том же интервале частот:
a(,T) = dE погл
, d
/ dE пад
, d
.
Тела, способные поглощать все падающее на них излучение
произвольной длины волны при любой температуре, называются
абсолютно черными телами. Для абсолютно черных тел:
a(,T) = 1.
(5.3.1)
Закон смещения Вина:
m T = b,
(5.3.2)
где m – наиболее вероятная длина волны теплового излучения
(на эту волну приходится максимум в спектре теплового излучения абсолютно черного тела), Т – температура тела, которой соответствует эта длина волны, b – постоянная Вина, b = 2,89810-3
мК.
Закон Стефана-Больцмана:
Rэ (T) = T4,
(5.3.3)
Rэ(T) – энергетическая светимость абсолютно черного тела, –
постоянная Стефана-Больцмана, = 5,6710-8 Вт/(м2К4).
Энергетическая светимость (и излучательная способность)
реальных тел меньше, чем у абсолютно черного тела при той же
температуре:
Rэ (T) = А(Т)T4.
Здесь А(Т) 1 – коэффициент поглощения среды, зависящий от
температуры сложным образом и различный для разных сред.
Для серого тела коэффициент поглощения среды обозначается ( 1) и его можно считать постоянным. Энергетическая
светимость серого тела:
Rэ (T) = T4.
(5.3.4)
Если считать, что для тела человека коэффициент поглощения не зависит от температуры, то здесь = 0,21.
164
Мощность излучения Р для абсолютно черного тела – это то
количество тепла, которое излучает тело за единицу времени:
Р = RэS,
(5.3.5)
где S – площадь излучаемого тела, Rэ – энергетическая светимость абсолютно черного тела.
Тепло, излучаемое абсолютно черным телом с площади S за
время t, вычисляется по формуле
Q = RэSt.
(5.3.6)
Если тело серое, то (5.3.6) будет иметь вид:
Q = T4St.
(5.3.7)
Пример 16. Определите количество энергии, теряемое раздетым человеком за 1 минуту посредством излучения, если температура поверхности тела 33С, а температура окружающей
среды 18С. Площадь поверхности тела принять равной 1,6 м2.
Дано: Т1 = 18С = 291 К,
Т2 = 33С = 306 К,
S = 1,6 м2.
t = 1 мин = 60 с.
Найти: Q.
Решение. Для расчета количества тепла, теряемого человеком, будем использовать формулу (5.3.7) с учетом того, что для
тела человека = 0,21:
Q = T4St,
Q1 = T14St, Q2 = T24St.
Искомое в задаче теряемое количество тепла:
Q = Q2 – Q1 = T24St – T14St = 28,58 Дж.
Ответ: Q = 28,58 Дж.
Пример 17. Энергетическая светимость абсолютно черного
тела составляет 3,0 Вт/см2. Определить длину волны, отвечающую максимуму излучательной способности этого тела.
Дано: Rэ = 3,0 Вт/см2 = 30000 Вт/м2,
Найти: m.
Решение. Используем формулы законов смещения Вина и
Стефана-Больцмана (5.3.2) и (5.3.3) соответственно. Выразим из
(5.3.3) температуру и подставим в (5.3.2):
Rэ (T) = T4
Т = (Rэ/)1/4;
165
m T = b
Ответ: m = 3,4 мкм.
m = b/T = b/(Rэ/)1/4 = 3,4 мкм.
5.3.2. Волны де Бройля
Длина волны де Бройля:
Б
2
,
p
(5.3.8)
где р – импульс частицы.
Если заряженная частица с зарядом qe проходит ускоряющую разность потенциалов , то за счет работы электрического
поля она приобретает кинетическую энергию:
mV 2 p 2
=
= qe,
2
2m
(5.3.9)
причем = U (U – разность потенциалов – напряжение).
Поле, ускоряющее частицу, совершает работу:
p2
= A.
2m
(5.3.10)
Если частица движется со скоростью V0, импульс частицы
будет равен p = mV0, тогда длина волны де Бройля будет вычисляться по формуле:
2
.
(5.3.11)
Б
mV
0
Пример 18. Электроны в электронном микроскопе ускоряются напряжением 100 В. Определите длину волны де Бройля
электронов в конце процесса ускорения, работу электрического
поля над электронами, скорость электронов в конце процесса
ускорения. Масса электрона mе = 9,110-31 кг.
Дано: U = 100 В,
mе = 9,110-31 кг,
qe = 1,610-19 Кл.
Найти: Б, А, V.
Решение. Длину волны де Бройля найдем по формуле
(5.3.8), импульс – из закона сохранения энергии (5.3.9) с учетом
того факта, что = U:
Б
p2
2
,
= qe = qeU, имеем из (5.3.9):
2m
p
2mqeU , тогда, после подстановки полученного
p=
выражения для импульса в (5.3.8):
166
Б
2
= 1,2310-10 м.
2mq U
e
Работа электрического поля: А = qeU = 1,610-17 Дж.
Скорость электронов в конце процесса ускорения:
V = p/ m = 2mqeU / m = 5,93106 м/с.
Ответ: Б = 1,2310-10 м, А = qeU = 1,610-17 Дж, V = 5,93106
м/с.
5.3.3. Фотоны. Энергия фотонов
Энергия фотона вычисляется по формуле:
Еф = h = hc/,
(5.3.12)
где h – постоянная Планка, – частота фотона, c – скорость света, – длина волны фотона.
Энергия импульса лазерного излучения, состоящего из N
фотонов:
Еимп = NЕф = N h = N hc/.
(5.3.13)
Кроме того:
Еимп = Р,
(5.3.14)
где Р – мощность светового импульса , – длительность светового импульса.
Предел разрешения микроскопа:
Z
0,5
u
n sin
2
.
(5.3.15)
Разрешающая способность микроскопа:
A = 1/d.
(5.3.16)
Числовая апертура микроскопа – это произведение показателя преломления среды и синуса апертурного угла: nsin(u/2).
Пример 19. Для сварки отслоившейся сетчатки используется лазер, работающий в импульсном режиме. Определить число
фотонов в импульсе, если длина волны излучения составляет 640
нм, а энергия импульса равна 14 мДж. Чему станет равна мощность лазерного излучения, если за 1 с лазер будет излучать
3,21017 фотонов света? Какова энергия этого лазерного импульса,
если он длится 0,01 с?
Дано: = 640 нм = 64010-9 м,
167
Еимп = 14 мДж = 1410-3 Дж,
= 1 с,
N2 = 3,21017,
t1 = 0,01 с.
Найти: N1, Р, W.
Решение. а) Число фотонов N1 в импульсе выразим из формулы (5.3.13) с учетом (5.3.12):
Еимп = N1Еф,
где
Еф = h = hc/,
тогда
Еимп = N1 h = N1 hc/
N1 = Еимп/ hc =
16
4,4810 .
б) Мощность лазерного излучения выразим из формулы
(5.3.14):
Еимп = Р.
Поскольку здесь энергия импульса Еимп=N2h = N2hc/, то
после подстановки в (5.3.14) получим окончательно
Р = Еимп/ = N2hc/() = 0,1 Дж.
в) Энергию лазерного излучения рассчитаем по формуле
(5.3.13) с учетом того, что за 0,01 секунду фотонов будет испущено лазером в 0,01 раз меньше, чем за одну секунду:
W = 0,01N2 h = 0,01N2 hc/ = 9,9410-4 Дж.
Ответ: N1 = 4,481016, Р = 0,1 Дж, W = 9,9410-4 Дж.
Пример 20. Найти предел разрешения электронного микроскопа, принимая во внимание, что кинетическая энергия электронов составляет 0,2110-16 Дж, а угловая апертура u = 10-2 рад.
Дано: Ек = 0,2110-13 Дж,
u = 10-2 рад = 0,57.
Найти: Z.
Решение. Чтобы найти предел разрешения электронного
микроскопа, необходимо воспользоваться формулой (5.3.15):
Z
0,5
u
n sin
2
,
Здесь нам неизвестна длина волны электронов, и ее мы найдем
(считая, что это длина волны де Бройля) из соотношения (5.3.8):
2
,
Б
p
где импульс р электронов легко найти, учитывая, что в условии
задачи дана кинетическая энергия электронов:
168
2
p2
= mV = Ек,
откуда
2
2m
2
= 1,0710-10 м.
Б
2mЕ
к
p = 2mЕк ,
поэтому
Подставим найденную длину волны в (5.3.15) и найдем предел разрешения микроскопа:
Z
0,5
u
n sin
2
= (n = 1 по условию задачи) = 1,0710-8 м.
Разрешающая способность микроскопа при этом будет составлять, учитывая (5.3.16):
A = 1/d = 9,3107 м-1.
Числовая апертура микроскопа: nsin(u/2) = 4,9710-3.
Ответ: d = 1,0710-8 м.
5.3.4. Электронный парамагнитный резонанс
Условие парамагнитного резонанса:
h = hc/ = gБВ,
(5.3.17)
где h – постоянная Планка, – частота фотона, c – скорость света, – длина волны фотона, g – множитель Ланде, Б = 9,2710-24
Ам2 – магнетон Бора, В – индукция постоянного магнитного поля.
Пример 21. Электронный парамагнитный резонанс возникает при индукции постоянного магнитного поля В = 0,25 Тл.
Определите длину волны, соответствующую поглощаемому высокочастотному электромагнитному полю. Множитель Ланде
принять равным 2.
Дано: В = 0,25 Тл,
g = 2.
Найти: .
Решение. Из формулы (5.3.17) выразим длину волны:
hc/ = gБВ
= hc/gБВ = 0,043 м.
Ответ: = 0,043 м.
Пример 22. В постоянное магнитное поле помещен атом,
энергетические уровни которого характеризуются множителями
169
Ланде 2/3 и 2. Как различаются длины волн резонансно поглощаемого электромагнитного излучения?
Дано: g1 = 2/3,
g2 = 2.
Найти: 2/1.
Решение. Для решения задачи необходимо найти длины
волн 2 и 1, для чего используем условие парамагнитного резонанса (5.3.17):
hc/1 = g1БВ 1 = hc/(g1БВ);
hc/2 = g2БВ 2 = hc/(g2БВ).
Отсюда
2/1 = g1/g2 = 0,333,
то есть длины волн различаются в три раза.
Ответ: различаются в три раза.
5.3.5. Ионизирующее излучение. Дозиметрия
Закон радиоактивного распада:
N = N0e-t,
(5.3.18)
где N – число не распавшихся радиоактивных атомов, N0 – первоначальное число радиоактивных атомов, – постоянная распада,
t – время распада.
Из (5.3.18) следует, что число ядер, распавшихся в промежуток времени от t1 до t2 равно
N = N0(e-t1 – e-t2).
(5.3.19)
Периодом полураспада называется время, за которое распадается половина первоначального количества радиоактивных
ядер:
Т1/2 = ln2/.
(5.3.20)
Активность – это число распадов за 1 с:
N = N0(e-t1 – e-t2),
где t1 = 0 с, t2 = 1 с. Поэтому для активности можно записать:
N = N0(1 – e - t2).
(5.3.21)
Поток рентгеновского излучения выражается формулой:
I = I0e-d,
(5.3.22)
где I – это интенсивность рентгеновского излучения, прошедшего
ослабляющий слой толщины d, ослабляющий коэффициент которого ; I0 –интенсивность первоначального рентгеновского излучения.
170
Поглощенная доза D0 – это отношение энергии, поглощенной элементом облученного вещества, к массе этого вещества.
Если поглощено N электронов, то
D = ND0.
(5.3.23)
Пример 23. Сколько процентов ядер радиоактивного йода
(период полураспада Т1/2 = 8 суток) распадается за 48 суток?
Дано: Т1/2 = 8 суток,
T = 48 суток.
Найти: m.
Решение. Запишем закон радиоактивного распада (5.3.21),
где постоянная распада выражается формулой (5.3.22):
N = N0e-t,
Т1/2 = ln2/, откуда
= ln2/Т1/2 = 0,087 сут-1.
k = (N /N0)100% = e-t100% = 1,54% – столько процентов ядер останется через 48 суток,
m = 100 % – k = 100 – 1,54 = 98,46 % – ядер распадется.
Ответ: распадется 98,46 % радиоактивных ядер.
Пример 24. Определите линейный коэффициент ослабления
-лучей для свинца, если интенсивность излучения, прошедшего
через свинцовую пластину толщиной 40 мм, уменьшилась примерно в 7,29 раза.
Дано: d = 40 мм = 0,04 м,
I0/I = 7,29.
Найти: .
Решение. Используем закон (5.3.22), откуда выразим линейный коэффициент ослабления:
I = I0e-d I/I0 = e-d или I0/I = ed.
Тогда, после операции потенцирования, получим:
d = ln(I0/I)
= ln(I0/I)/d = 0,5 см-1.
Ответ: = 0,5 см-1.
Пример 25. Кролик массой 4 кг облучался электронами с
энергией 6 МэВ. Поглощенная доза составила 0,24 Гр. Энергия
какого количества электронов была поглощена телом животного?
Дано: Еэл = 6 МэВ = 9,610-13 Дж,
D = 0,24 Гр.
171
m = 4 кг.
Найти: N.
Решение. Найдем поглощенную дозу, приходящуюся на
один электрон, для чего поделим энергию электронов, которыми
облучалось животное, на его массу:
D0 = Еэл/m = 2,410-13 Гр.
Теперь, используя формулу (5.3.23), найдем число электронов, поглощенных телом животного:
D = ND0 N = D/D0 = 1012.
Ответ: телом животного поглощено 1012 электронов.
ВАРИАНТЫ ТЕСТОВ
Вариант 1
Выберите правильный ответ:
1. 1. Когерентными называются волны, для которых
1. Разность фаз зависит от времени.
2. Разность фаз постоянна во времени: (2 – 1) = const.
3. Нет верного ответа.
1.2. Дифракция электромагнитных волн – это явление,
возникающее при сложении и интерференции
1. Конечного числа вторичных электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта.
2. Двух электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта.
3. Бесконечного числа вторичных электромагнитных волн,
пришедших в точку наблюдения от всех точек волнового фронта.
4. Двух вторичных электромагнитных волн, испущенных
каждой точкой волнового фронта.
1.3. Укажите условие, при котором луч света, отраженный от границы раздела двух диэлектриков, полностью поляризован
1. I = I0cos2 .
2. sin /sin = n.
3. = [0]cl.
4. tg = n2/ n1.
172
1.4. Какое явление ограничивает увеличение микроскопа?
1. Поляризация.
2. Дифракция.
3. Поглощение.
4. Рассеяние.
Дополните:
1.5. Излучение света, обусловленное переходом частиц
(атомов, молекул, ионов и других более сложных комплексов) из
возбужденного состояния в основное называется ……..(1).
1.6. Одним из законов теплового излучения абсолютно черного тела является закон Вина, который выражается следующей
формулой: ………(1).
1.7. Длина волны де Бройля электрона ……..(1) (больше или
меньше), чем у протона, в ……(2) раз, согласно формуле …….(3).
(Электрон и протон движутся с одинаковой скоростью).
1.8. В электронном микроскопе ускоряющее напряжение
увеличили в 4 раза, при этом предел разрешения микроскопа
……(1) (как изменится) в …..(2) раза.
Решите задачи:
1.9. Электронный парамагнитный резонанс возникает при
индукции постоянного магнитного поля В = 0,25 Тл. Длина волны, соответствующая поглощаемой высокочастотной электромагнитной энергии составляет 0,043 м. Определить, чему равен
множитель Ланде.
1.10. Сколько процентов ядер радиоактивного йода (период
полураспада Т1/2 = 8 суток) останется через 36 суток?
1.11. Кролик облучался электронами с энергией 6 МэВ. Поглощенная доза составила 0,27 Гр. Телом животного поглощено
1012 электронов. Найти массу кролика.
173
Вариант 2
Выберите правильный ответ:
2.1. Укажите формулу Бугера-Ламберта:
1. I = I0e-kl.
2. D = lg(I/I0).
3. = I/I0.
4. I = 2,3I0D.
2.2. Абсолютно черным телом называется
1. Тело, коэффициент поглощения которого близок к единице.
2. Тело, поглощающее все электромагнитное излучение, падающее на него.
3. Тело, поглощающее излучение определенной длины волны.
4. Тело, коэффициент поглощения которого зависит от температуры.
2.3. Укажите формулу, выражающую длину волны де
Бройля:
1. = csin u/k.
2. = V/.
3. = h/р.
4. = 2lsin/k.
2.4. Какой прибор служит для определения оптической
плотности окрашенного раствора?
1. Микроскоп.
2. Эндоскоп.
3. Люксметр.
4. Фотоэлектроколориметр.
Дополните:
2.5. Максимум интенсивности света при интерференции когерентных волн, испущенных когерентными источниками в одинаковой фазе, наблюдается, если оптическая разность хода скла174
дываемых волн в точке наблюдения равна ……(1) числу
…….(2)……(3).
2.6. Согласно принципу Гюйгенсу, каждая точка волновой
поверхности, которой достигла в данный момент волна, является
центром …….(1)…… (2), их внешняя огибающая будет волновой
поверхностью в последующий момент времени.
2.7. Поляризатор – это устройство, позволяющее получить
…….(1) свет из ………..(2) света. При этом он пропускает свет, в
котором световой вектор колеблется ……..(3) только одной
плоскости (плоскости падения света).
2.8. Интерференционный микроскоп представляет собой сочетание двухлучевого …..(1) и ……. (2).
Решите задачи:
2.9. Определите молярный показатель поглощения спиртового раствора йода на длине волны 750 нм, если при прохождении кюветы с раствором длиной 1 см интенсивность света
уменьшилась в 10 раз. Молярная концентрация спиртового раствора йода составляет 235 моль/м3.
2.10. Для сварки отслоившейся сетчатки используется лазер,
работающий в импульсном режиме. Определить число фотонов в
импульсе, если длина волны излучения составляет 670 нм, а энергия импульса равна 12 мДж.
2.11. Линейный коэффициент ослабления -лучей с энергией
квантов 4 МэВ для свинца составляет 1 см-1. Определите толщину
ослабляющего слоя, если интенсивность излучения, прошедшего
через свинцовую пластину уменьшилась примерно в 9 раз.
Вариант 3
Выберите правильный ответ:
3.1. На какую глубину проникает в биологические ткани
бета-излучение?
175
1. 0,5 – 1 мм.
2. 10 – 15 мм.
3. 5 – 10 см.
4. 0,1 – 0,5 м.
3.2. Укажите формулу, выражающую условие возникновения электронного парамагнитного резонанса
1. Е = ze2/(80r).
2. E = h.
3. h = gБB.
4. E = eU.
3.3. Предел разрешения электронного микроскопа порядка
1. 10-3 м.
2. 10-10 м.
3. 10-16 м.
4. 10-32 м.
3.4. Что называется плоскостью поляризации света?
1. Плоскость, проходящая через вектор напряженности магнитного поля и вектор скорости распространения электромагнитной волны.
2. Плоскость, проходящая через оптическую ось и падающий луч.
3. Плоскость, проходящая через вектор напряженности
электрического поля и вектор скорости распространения электромагнитной волны.
Дополните:
3.5. Закон Кирхгофа устанавливает количественную связь
между излучением и поглощением энергии и выражается формулой ………..(1).
3.6. Оптической длиной пути называют произведение
………(1) длины пути на ……(2) ……..(3) среды.
3.7. Квантовым выходом люминесценции называют отношение числа ……(1) квантов к числу ……..(2) квантов света.
176
Установите соответствие:
3.8.
Квантовое число
1. Главное.
2. Орбитальное
3. Магнитное
4. Спиновое
Определяет
А. Орбитальный момент импульса электрона относительно
ядра.
Б. Проекцию орбитального момента импульса электрона на
некоторое направление
В. Энергетическое состояние
Г. Заряд ядра
Д. Возможные значения проекции спина электрона
Е. Количество электронов в
атоме
Решите задачи:
3.9. В некоторую точку пространства приходят световые когерентные волны, испущенные когерентными источниками одинаковой фазе, с разностью хода 6 мкм. Длина волны света равна
600 нм. Каков результат интерференции света в этой точке?
3.10. Какой наивысший порядок дифракционного спектра
можно наблюдать при нормальном падении на дифракционную
решетку монохроматического света с длиной волны 450 нм? Постоянная решетки 1 мкм.
3.11. Какова оптическая сила лупы, если она дает увеличение, равное 5?
Вариант 4
Выберите правильный ответ:
4.1. Укажите график, выражающий зависимость интенсивности света, прошедшего через слой раствора, от толщины этого раствора.
I
I
177
I
1
3
l
I
l
2
4
l
l
4.2. Укажите формулу, выражающую поток рентгеновского
излучения.
1. N = N0exp(–t).
2. I = I0exp(–d).
3. h = eU.
4. = kJU2Z.
Выберите правильные ответы:
4.3. В каких системных и внесистемных единицах измеряется экспозиционная доза?
1. Дж/кг.
2. Р.
3. Кл/кг.
4. Зв.
5. Бк.
6. Гр.
Выберите правильный ответ:
4.4. От какого из перечисленных видов излучения труднее всего защититься?
1. Поток -частиц.
2. Поток -квантов.
3. Рентгеновское излучение.
4. Поток нейтронов.
Дополните:
178
4.5. Активность радиоактивного препарата связана с периодом полураспада и начальным числом радиоактивных ядер соотношением А = ………(1).
4.6. Спектры ЯМР твердых тел имеют …….(1) ширину, в то
время как спектры ЯМР жидкостей имеют ……(2) линии.
4.7. Минимум интенсивности света при интерференции волн
от когерентных источников, испускающих волны в одинаковой
фазе, наблюдается, если оптическая разность хода складываемых
волн равна ……..(1) числу длин ……..(2).
4.8. Разрешающая способность дифракционной решетки зависит от порядка спектра и определяется по формуле: ……….(1).
Решите задачи:
4.9. Собирающая линза дает действительное, увеличенное в
3 раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние
линзы, если расстояние между линзой и изображением составляет 50 см.
4.10. Чему равна энергетическая светимость абсолютно черного тела, если длина волны, отвечающая максимуму излучательной способности этого тела, составляет 5 мкм.
4.11. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, при этом угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора составляет 60. Во сколько раз уменьшится
интенсивность света после прохождения светом анализатора по
сравнению с первоначальной?
Вариант 5
Выберите правильный ответ:
5.1. В интерферометре Майкельсона одно из зеркал передвинули вдоль луча на расстояние /2. На сколько изменилась при этом оптическая разность хода интерферирующих
лучей?
1. /4.
2. /2.
3. .
179
4. 2.
5.2. Укажите формулу дифракционных минимумов при
дифракции света на узкой щели:
1. макс = 2k ,
3. asin = 2k .
2
2. asin = (2k + 1)
2
2
4. dsin = k.
.
5.3. В световодах волокно с показателем преломления n1
покрыто веществом с показателем n2. Укажите правильное
соотношение между n1 и n2.
1. n1 n2.
2. n1 = n2.
n2
3. n1 n2.
4. n1 n2.
n1
5.4. Зависит ли угол поворота плоскости поляризации
оптически активным веществом от длины волны плоскополяризованого света?
1. Да.
2. Нет.
3. Возможны различные варианты.
Дополните:
5.5. Предел разрешения микроскопа характеризует …….(1)
расстояние между двумя точками, которые могут быть различимы с помощью микроскопа. Условия освещения …….(2) (влияют,
не влияют) на предел разрешения. Окуляр ……(3) (влияет, не
влияет) на предел разрешения.
5.6. интенсивность света, прошедшего через раствор,
уменьшилась в 10 раз, это означает, что оптическая плотность
раствора равна ……(1).
5.7. Серым называется тело, для которого коэффициент поглощения ……..(1) единицы и ……..(2) от длины волны. Примером служит тело человека, для которого коэффициент поглощения составляет …….(3).
5.8. Коэффициент качества ионизирующего излучения показывает, во сколько раз эффективность ……..(1) действия данного
180
вида излучения больше, чем …….(2) или …….(3)-излучения, при
одинаковой дозе излучения в тканях.
Решите задачи:
5.9. Электроны в электронном микроскопе ускоряются
напряжением 50 кВ. Определите длину волны де Бройля электронов в конце процесса ускорения. Масса электрона mе = 9,110-31
кг.
5.10. Определить, во сколько раз интенсивность люминесценции меньше интенсивности возбуждающего света, если коэффициент светопропускания раствора составляет 0,23. Квантовый
выход люминесценции равен 0,42.
5.11. Дифракционная решетка имеет 3000 штрихов на 1 см,
при этом максимум третьего порядка наблюдается под углом 45.
Найти длину волны падающего света (ответ записать в нанометрах).
Ответы
Вариант1
Вариант 2
01 – 2
02 – 3
03 – 4
04 – 2
05 – (1) люминесценцией
06 – (1) m = bT
07 – (1) больше; (2) 2103; (3) = h/mV
08 – (1) уменьшится; (2) два
09 – 2
10 – 4,42%
181
01 – 1
02 – 2
03 – 3
04 – 4
05 – (1) целому; (2) длин; (3) волн
06 – (1) вторичных; (2) волн
07 – (1) плоскополяризованный;
(2) естественного; (3) параллельные
08 – (1) интерферометра; (2) мик-
11 – 3,6 кг
роскопа
09 – 0,426 м2/ моль
10 – 4,018106
11 – 2,2 см
Вариант 3
Вариант 4
01 – 2
02 – 3
03 – 2
04 – 3
05 – (1) r = f(, Т)
06 – (1) геометрической; (2) показатель; (3) преломления
07 – (1) излучаемых; (2) поглощенных
08 – 1В, 2А, 3Б, 4Д
09 – максимум
10 – 2
11 – 20 дптр
Вариант 5
01 – 3
02 – 3
03 – 1
04 – 2
05 – (1) минимальное (наименьшее);
(2) влияют; (3) влияет
06 – (1) единице
07 – (1) меньше; (2) не зависит; (3)
0,21
08 – (1) биологического; (2) рентгеновского; (3) гамма
09 – 5,210-12 м
10 – в 1,6 раза
11 – 786 нм
01 – 2
02 –4
03 – 2,3
04 – 2
05 – (1) А = (N ln2)/T
06 – (1) большую; (2) узкие
07 – (1) нечетному; (2) полуволн
08 – (1) R = kN
09 – 0,125 м
10 – 6,4 Вт
11 – в 8 раз
Список литературы
1. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. – М.:
ВШ, 1987.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. – 3-е изд. – М.: Наука,
1986 – Т.Т. 2,3.
3. Блохина М.Е., Эссаулова И.А., Мансурова Г.В. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической
физике. – М: Дрофа, 2002.
182
4. Тестовые задания к дисциплинарному экзамену по медицинской и биологической физике/ Под. ред. Омельченко В.П. –
М: ГОУ ВУНМЦ МЗ РФ, 2001.
183
