лекции моп
advertisement
Лекции по методике обучения предметам (математика) Роль и место математического образования в современном обществе. Основные тенденции развития математического образования в России. Основные дидактические принципы в обучении математике. Методы психологии в обучении математике. Методы математики в обучении. Уровневая и профильная дифференциация в обучении математике. Функции учителя математики. Роль и место математического образования в современном обществе На протяжении многих лет, особенно начале 80-х г. прошлого века, математическое образование, наряду с естественнонаучным и техническим, рассматривалось как наиболее престижное. В связи с этим важнейшим для себя предметом учащиеся средней школы считали математику во многом потому, что хотели поступать в технические вузы, где требовалось хорошая математическая подготовка. Начиная с середины 80-х гг. XX в. положение стало меняться. Более престижными стали юридические, экономические специальности; появилась практическая потребность в хорошем знании иностранных языков. Выявилось явное отставание российской системы образования в сфере гуманитарного знания. Как реакция на это стала проявляться тенденция гуманитаризации системы образования. Увеличилось внимание к изучению гуманитарных дисциплин. Уменьшилось число часов, которое отводилось на изучение математики по учебному плану. Опросы учащихся и выпускников общеобразовательных школ показали, что отношение к математике стало меняться. Она сместилась с первых мест среди самых любимых и наиболее важных школьных дисциплин. Математика, в отличие от многих других дисциплин, которые обычно называют естественнонаучными (или, как их называл И.М. Сеченов, - опытными), изучает не предметы реального мира, а количественные отношения и пространственные формы, им свойственные. В связи с этим выделяется абстрактность объектов, которые изучает математика. Эта абстрактность порождает два свойства математических знаний: универсальность и формально-логическую выводимость. Универсальность проникновении ее математических методов, прежде знаний всего проявляется метода в математического моделирования, в другие области научного знания, как естественнонаучного (физика, химия, биология и др.), так и гуманитарного (экономика, лингвистика, психология и др.). Математические модели, описывающие взаимосвязь количественных характеристик различных явлений и процессов, сегодня являются неотъемлемым элементом при проведении исследования в любой области знаний. Роль их возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки знаний. Именно поэтому математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе общего образования. Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это не только применение простых математических расчетов, но и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятностей (например, вычисление забытой комбинации цифр на коде замка чемодана, биржевые и фондовые игры с акциями и т.д.). Сегодня в повседневной речи можно услышать такие выражения, как «количество заболевших гриппом растет в геометрической прогрессии» или «ассигнования увеличились на порядок». Эти примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится обязательным элементом общей культуры современного человека. Наконец, в общеизвестной фразе М.В. Ломоносова о математике и пользе ее изучения, которая «ум в порядок приводит», выделено наиболее важное значения математического образования сегодня – обеспечение интеллектуального развития человека. Процесс усвоения математических знаний, которые представлены как хорошо организованная система взаимосвязанных между собой элементов, формирует системность и структурность мышления. Процесс решения математических задач требует постоянного проведения анализа, сравнения и синтеза информации. Работа с математическими понятиями раскрывает процессы обобщения и классификации. Изучение геометрических объектов позволяет раздвигать пространственных представления и воображение. Доказательство теорем раскрывает процесс построения аргументации для проведения доказательственных рассуждений. Выделенные выше операции и свойства мышления обусловливают обязательность включения математики в содержание общего и профессионального образования как инструмента развития интеллектуальной сферы обучающегося. Этим определяется и сохранения ведущей роли математического образования в общей системе образования. Однако операции логического мышления, формируемые при работе с математическими объектами, не всегда автоматически переносятся на другие объекты и не всегда включаются в интеллектуальный багаж человека. Само обучение математике и другим дисциплинам должно быть построено так, что бы демонстрировать возможность универсальности применения приобретенных знаний. Нужно не забывать о том, что математическое образование, его воспроизводству содержание специалистов, и уровень занятых в должны способствовать сфере математических, естественных и технических наук, а также специалистов, занятых в соответствующих сферах практической деятельности, включающей преподавание математики. Основные тенденции развития математического образования в России Преобразования, происходящие в системе образования России в целом, не могли не сказаться на математическом образовании. Интерес представляют особенности проявления этих тенденций. В качестве главных, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, тенденций можно выделить: гуманизацию, гуманитаризацию и технологизацию математического образования. Гуманизация математического образования проявляется, прежде всего, в установлении приоритетов при организации процесса обучения математике. Эти приоритеты связанны с ориентацией на личность учащегося, на развитие его интеллектуального потенциала и познавательных возможностей. Это означает, что при определении целей обучения математике в каждой конкретной ситуации будет предвосхищаться результат, характеризующий не просто знания и умения, которые должны быть сформированы, а изменения в личности учащегося (в интеллектуальной сфере), которые произойдут при освоении этих знаний. Отбор содержания и его построение должны осуществляться с учетом типичных особенностей понимания и осознания математических знаний обучающимися различных возрастов и их психологической организации (в частности, когнитивных стилей). Наконец, в системе контроля акцент должен быть смещен с фиксации только суммы и уровня усвоения знаний на динамику общего и математического развития учащихся при овладении этими знаниями. В связи с ориентацией на развитие обучающихся возникает проблема учета их образовательных интересов, возможностей и притязаний, а также имеющегося у них опята при организации процесса обучения математике. Как следствие этого, особое внимание при обучении математике сегодня уделяется дифференциальной (уровневой и профильной) и индивидуализации обучения. Дифференциация связанна с организацией обучения с учетом особенностей групп учащихся, выделенных на основе либо достигнутого уровня обученности математике (достигнутых результатов) и способностей, либо интересов, склонностей и, конечно, результатов. В первом случае речь идет об уровневой дифференциации, во втором о профильной. Применительно к процессу обучения математике оба вида дифференциации предполагают создание различного содержания и формулирования различных требований для учащихся, отнесенных к различным группам. Уровневая дифференциация осуществляется в общеобразовательной школе практически на каждом уроке математики посредством предложения учащимся разных типологических групп разных по сложности заданий, как для освоения соответствующих знаний, так и для контроля. При этом группа, к которой учитель относит того или иного ребенка, учащимися остается неизвестна. Тем более, что такие группы являются нестабильными. Однако существует и открытая форма дифференциации – это классы коррекции (или классы с недостаточной математической подготовкой). Для них существует и особая программа по математике. Основные дидактические принципы в обучении математике Практика школьного обучения, к какому бы учебному предмету она не относилась, должна быть такой, чтобы обеспечить принципиальное единство в подходе к учащимся, в выборе средств и методов учебной работы. Поэтому в разделе педагогики, называемом дидактикой (греч. слово, означающее поучающий), обобщены те положения в обучении той или иной учебной дисциплине, которые в определенном смысле имеют универсальный характер. В результате дидактические такого принципы обобщения обучения, выработаны так представляющие по называемые существу совокупность тех единых требований, которым должно удовлетворять обучение любому предмету, в частности обучение математике. «Разрабатываемые советской дидактикой дидактические принципы определяются стоящей перед школой задачей подготовки активных, сознательных, всесторонне развитых, высокообразованных строителей и членов коммунистического общества и основываются на закономерностях процесса обучения. Советская дидактика разрабатывает следующие основные дидактические принципы: научность обучения, воспитывающий характер обучения, наглядность обучения, сознательность и активность в обучении, прочность в усвоении знаний учащимися, систематичность и последовательность в обучении, доступность обучения, индивидуальный подход к учащимся в условиях коллективной учебной работы с классом». Принцип научности обучения в математике заключается в обязательности соответствия содержания и методов преподавания уровню и требованиям математики как науки в её современном состоянии. Таким образом, термин «научность обучения» следует понимать, как требование сообщать учащимся такие факты, формировать в их мышление такие понятия, которые в настоящее время признаны научными. Конкретно в процессе обучения математика принцип научности проявляется на каждом шагу. Так, например, учитель следует этому принципу, если: 1) следит за корректностью формулировок при определении математических понятий и построении математических суждений; 2) приучает учащихся критически относиться к каждому суждению, не принимать за доказанное то, что не обосновано; требует от учащихся четко различать определения и теоремы и т.п. В частности, необходимо: а) уточнять вопрос о рассматривается уравнение вида б) том, на каком числовом множестве ; указывать на то, что выражение, = 1 или = b суть определения, которые не доказывают (а допускают лишь мотивировку их разумности); в) указывать на неправильность выражения (еще бытующего в школьных учебниках) вида «первый пешеход прошел путь в 3 раза больший, чем второй» (говоря слово «раз» мы имеем в виду начало счета объектов, который ведется посредством натуральных чисел: один, два, …); г) знать, что аналитический метод «доказательства» (например , неравенства - 2 ) 0 не принимает за полностью проведенное обоснование и т.п. Воспитывать в процессе обучения – значит планомерно и целенаправленно вырабатывать у учащихся определенные взгляды мировоззрение, учить их правильно, с позиции и диалектического материализма, объяснять явления природы, правильно разбивать в явлениях общественной жизни, вести себя сообразно требованиям коммунистической морали. Воспитывать в процессе обучения математике – значит формировать у учащихся интерес к этому предмету, вырабатывать у них стремление к новым знаниям, к их полному и прочному усвоению; формировать умение пользоваться полученными знаниями и расширять их за счет самостоятельного изучения. Обучение математике будет воспитывающим, если оно эффективно развивает мышление учащихся, обогащает его новыми представлениями и понятиями, развивает внимание и память, способность к творческому воображению, облагораживает чувства и укрепляет волю. «Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысливания и обобщения учащимися изучаемого материала. На отдельных этапах изучения учебного материала наглядность выполняет различные функции. Когда учащиеся изучают внешние свойства предмета, то, рассматривая предмет или его изображение, они могут сами непосредственно извлекать знания. Если же дидактической задачей является осознание связей и отношений между свойствами предмета или между предметами и формирование научных понятий, то средства наглядности служат, лишь опорой для осознания этих связей, конкретизируют и иллюстрируют эти понятия». Практикой обучения математике выработаны специальные средства, способствующие реализации этого принципа (модели геометрических фигур, таблицы, анаглифы и т.п.). Высокий уровень современной техники дал возможность значительно обогатить арсенал этих средств за счет учебных диафильмов и кинофильмов, использования магнитных досок и т.д., за счет внедрения телевидения в практику обучения математике. Применение в процессе обучения математике различных средств наглядности не должно быть самоцелью. Напомним, что излишнее увлечение наглядностью обучения может привести к нежелательным результатам. Так, например, чрезвычайно полезное применение различных моделей фигур на первых уроках стереометрии (имеющее целью устранить трудности, связанные с большой нагрузкой на «пространственное воображение» учащимися) может привести в дальнейшем к торможению (а не развитию) этого важного компонента логического стереометрии мышления; конкретная иными наглядность словами, при (рассмотрение изучении моделей геометрических тел) должна постепенно уступать место «абстрактной наглядности» (рассмотрению плоских чертежей). «Принцип сознательности и активности в обучении вытекает из целей и задач советской школы, призванной готовить активных и сознательных строителей коммунистического общества, а также из особенностей самого процесса обучения, требующего осмысленного и творческого подхода к изучаемому материалу. Этот принцип состоит в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений, их осмысливании, творческой переработке и применение». Принцип активности обучения математике предполагает, в частности, что: 1. Изложение каждого нового раздела или темы начинается с так называемой «постановки вопроса», которая служит кратким введением в тему, устанавливает связь нового материала с предыдущим, выясняет теоретический или практический смысл изучения этой темы в общей системе знаний, относящихся к данному разделу науки, очерчивает примерный круг вопросов, подлежащих изучению в рамках данной темы, намечает основные пути ее изучения, указывает на возможную область практических приложений. 2. Начиная работу над изучением новой темы, учитель обращается к жизненному опыту учащихся, к их интуиции, организует наблюдение и эксперимент, рассматривает различные примеры и задачи, приводящие к естественному возникновению абстрактных понятий, иллюстрирует новые понятия на наглядных моделях, способствуя усвоению школьниками новых знаний по ступеням восприятие – представление – понятие. 3. В процессе обучения математике учитель применяет различные приемы и методы, каждые из которых ведет к конкретной цели оптимальным в данных условиях путем, возбуждая и укрепляя интерес учащихся к изучаемой теме, пробуждая у них желание и способность к активной деятельности; при этом предпочтение отдается тем методам изучения, которые дают учащимся возможность самим делать «открытия», если только изучаемый материал не требует серьезных математических рассуждений, сложных выкладок (т.е. когда лучше отдать предпочтение живому слову учителя или тексту учебника). 4. каждого У учащихся воспитывается творческий подход при изучении вопроса, которому способствуют самостоятельное решение различных задач и проведение доказательств теорем, ответы на нестандартно поставленные вопросы по изученному ранее материалу или в процессе его изучения, поощрения учителем учащихся к поиску наиболее естественных, коротких или оригинальных способов решения той или иной задачи. 5. У учащихся воспитывается потребность критически оценивать результаты своей работы; формируется способность к самоконтролю, умение коротко и ясно оформлять свои мысли в речи и записи. 6. Домашняя работа учащихся организуется правильно, задания, предлагаемые для этой работы, посильны, укладываются в норму времени, содержат одно – два обязательных упражнения повышенной трудности ( включая задания по какой-либо дополнительной литературе). Если обучение математике будет удовлетворять этим требованиям, учебная работа школьников будет активной, а значит, знания и умения, приобретенные ими, будут сознательными. Не случайно еще Л.Толстой говорил, что « математика имеет задачей не обучение счислению, но обучение приема человеческой мысли при исчислении». Принцип прочного усвоения учащимися знаний, умений и навыков также обуславливается как задачами школы, так и закономерностями самого обучения. Опираться на приобретенные знания, умения и навыки на последующих этапах обучения и пользоваться ими в жизни можно лишь тогда, когда они усвоены твердо, длительное время удерживаются в памяти. В процессе обучения учащиеся не только приобретают знания, умения и навыки, но и закрепляют и совершенствуют их. Принцип прочности усвоения знаний в процессе обучения математике реализуется, если учитель: а) Умело организует повторение пройденного материала (предваряющее изучение новой темы, сопровождающее ее изучение, итоговое повторение и т.д.); б) Осуществляет своевременный контроль знаний и умений учащихся, предупреждение и устранение пробелов в знаниях учащихся; в) Обращает особое внимание на систематический характер предлагаемых учащимся задач и упражнений и т.д. Принцип прочности усвоения знаний в процессе обучения математике реализуется, если учащиеся: а) Излагают учебный материал ясно и кратко, подкрепляя теоретические упражнения примерами практически реализуемых моделей; б) Успешно выполняют различные виды самостоятельной работы ( контрольные, проверочные, домашние, лабораторные и другие задания); в) Умеют четко и быстро воспроизвести в памяти определения основных понятий, теорем, формул и т.п.; г) Умеют применять теорию к решению простейших задач и т.д. Принцип систематичности и последовательности в обучении обусловливается и логикой самих наук, изучаемых в школе, и особенностями познавательной и практической деятельности учащихся, протекающей в соответствии с закономерностями их умственного и физического развития. Принцип систематичности и последовательности в обучении лежит в основе построения учебных программ, определяет систему работы учителя и деятельность учащихся в процессе обучения. Систематичность в обучении математике предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики. «Только система, конечно разумная, выходящая их самой сущности предметов, дает нам полную власть над нашими знаниями. Голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где сам хозяин ничего не отыщет; голова, где только система без знаний, похожа на лавку, в которой на всех ящиках есть надписи, а в ящиках пусто». Различая главное и второстепенное в математических знаниях и умениях, сформированных в определенной системе, учащийся всегда сумеет легко воспроизвести то, что забыто (не знаешь – умей вывести), и свободно использовать полученные знания по мере необходимости. Последовательность в обучении математике означает, что обучение идет: а) от простого к сложному; б) от представлений к понятиям; в) от известного к неизвестному; г) от знанию к умению, а то него – к навыку. Учитель реализует этот принцип, если обучение математике представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых дополняет известные учащимся знания и умения разумной дозой новых знаний и умений, которые, в свою очередь, становятся инструментом для приобретения школьниками новых знаний и умений. «Учет возрастных различий и особенностей учащихся находит выражение в принципе доступности обучения, которое должно проводить так, чтобы изучаемый материал по содержанию и объему был посилен учащимся. Применяемые методы обучения должны соответствовать развитию учащихся, ориентироваться на «зону ближайшего действия», развивать их силы и способности». Говоря о доступности в обучении математике, не следует понимать этот принцип как требование максимально облегчить для школьников процесс овладения ими знаниями и умениями; речь идет о том, что обучение математике не должно быть настолько трудным, чтобы стать непосильным для учащихся данного возраста, не подорвать веру в свои силы и возможности. Вместе с тем обучение математике предполагает обязательное преодоление учащимися посильных для них трудностей; в этом случае у школьников возникает уверенность в своих силах и желание добиться больших результатов. «Дидактические принципы выражают закономерности процесса обучения исследование им является необходимым условием успеха педагогической деятельности учителя. Они образуют систему, находятся между собой в тесной связи. Так, например, умелое применение средств наглядности делает обучение доступным. Ни один дидактический принцип не универсален, и его применение, изолированное от общей системы, не дает необходимых результатов». В частности, строгое соблюдение в обучении математике принципа систематичности и последовательности (и вследствие этого принципа постепенность в нарастании трудностей изучения математики) во многом предопределяют успешную реализацию в обучении принципа доступности. В самом деле, руководствуясь программой и учебником (в котором принцип систематичности и последовательности реализуется в первую очередь) и, соблюдая этот принцип в изложении учебного материала, даже неопытный учитель поставлен в такие условия, когда изложение материала, несоответствующего возрасту учащихся, или подстановка непосильных для них задач и упражнений исключаются. Как уже отмечалось выше, основные дидактические принципы совершенствуются и изменяются по мере развития педагогики, частной методики и т.д. К перечисленным выше принципам в последнее время был добавлен относительно новый дидактический принцип – принцип дифференцированного (индивидуального) подхода к учащимся, который был обусловлен особенностями индивидуального развития детей, типов высшей нервной деятельности, а также – стремлением наилучшим образом (в процессе обучения) развивать творческие силы и способности учащихся. Необходимость индивидуализации обучения диктуется основной целью коммунистического воспитания – воспитанием личностей не только всесторонне развитых, но и обладающих яркой индивидуальностью. Этот принцип предполагает оптимальное приспособление учебного материала и методов обучения к индивидуальным способностям каждого школьника. Дифференцированный подход обычно предполагает некоторое условное деление школьников на подвижные группы, состав которых естественно не является постоянным (чаще всего на три группы: сильных, средних и слабых). В процессе обучения математике учитель должен постоянно иметь ввиду наличие этих тех категорий учащихся и строить свою работу так, чтобы оптимально удовлетворить каждую из них. Разумеется, при этом необходимо соблюдение педагогического такта. В частности, на уроках, посвященных решению задач и упражнений по изученному вопросу теории, учителю необходимо иметь набор упражнений различной степени трудности; выполняя со всем классом некоторый набор таких упражнений, учитель дополняет его одной-двумя задачами повышенной трудности – для сильных учащихся или заменяет одно из упражнений несколькими более легкими подготовительными упражнениями – для слабых учащихся. Вызывая к классной доске одного из сильных учащихся (и контролируя визуально его работу), учитель имеет возможность оказать конкретную помощь на местах слабоуспевающим учащимся. Дидактический принцип учета индивидуальных особенностей учащихся должен приниматься во внимание учителем и при постановке контрольных работ, домашних заданий и на внеклассных занятиях по математике. Следует отметить, что процесс обучения в школе, в частности процесс обучения математике, является весьма сложным, ему присущи определенные диалектические противоречия. Даже при самой эффективной организации этого процесса, при правильном использовании разнообразных форм и методов обучения учитель математики постоянно встречается с этими противоречиями. Умение правильно выявлять эти противоречия, понимание их сущности, оценки их значимости на отдельных этапах обучения математике во многом предопределяют возможности для их своевременного решения и даже – предупреждения. Наиболее важными из этих противоречий являются: а) Противоречия между целями обучения (например, между целью всестороннего общего развития всех учащихся и целью углубленного развития математических интересов и способностей большинства из них); б) Противоречия, связанные с сущностью учебного процесса (например, противоречие между преподаванием и изучением математики); в) Противоречия, связанные с содержанием обучения (например, бурный рост ценной научной информации математического характера вызывает стремление ввести ее в содержание учебного предмета, в то время как рамки учебного времени, учебного плана и программы не позволяют это сделать); г) Противоречия, связанные с процессом формирования понятий (например, соотношение в обучении математике абстрактных и конкретных элементов); д) Противоречия, связанные с применением тех или иных методов обучения (например, проблема сочетания руководящей роли учителя в обучении математике и активной самостоятельной деятельности учащихся); е) Противоречия, связанные с применением тех или иных форм обучения (например, проблема сочетания классно-урочной формы обучения математике с индивидуальным подходом к учащемуся). Каждое из этих противоречий, так или иначе, разрешается в практике работы учителя; успешное их разрешение во многом зависит от умелого и целенаправленного сочетания форм и методов обучения, способных ослабить то или иное противоречие, как только оно становится препятствием для эффективного обучения. В современной практике обучения особенно остро проявляются противоречия, связанные с сущностью учебного процесса, которые воплощаются в двух основных видах обучения – непроблемном и проблемном. В первом случае учащиеся должны осознать цели, значение предстоящей работы, а затем усвоить определенную систему знаний, сообщаемых им в готовом виде из различных источников (рассказ учителя, учебник, учебный кинофильм и т.д.). Наконец, учащийся закрепляет изученное, отрабатывает навыки и приемы в процессе выполнения тренировочных упражнений. Он приходит от незнания к знанию, основное противоречие обучения разрешается. Однако оно продолжает действовать в неявной форме, так как учащиеся, как правило, не являются достаточно активными участниками в разрешении этого противоречия. Во втором случае указанное противоречие может выступить в качестве непосредственного явного стимула учебной познавательной деятельности, воплощаясь в учебных поисковых задачах, решаемых учениками самостоятельно или с помощью учителя. Здесь учащиеся уже выступают в качестве сознательных и активных участников разрешения этого противоречия, в силу того, что понимание, изучение и разрешение противоречия и составляют сущность решения любой поисковой задачи. Динамичность обучения, необходимость постоянного изменения уровня трудности учебных заданий с учетом индивидуальных особенностей учащихся порождают часто встречающееся противоречие между кажущейся и истинной оценкой тех или иных средств обучения. Любой метод, любая форма, любое средство обучения при изменяющихся условиях часто не только утрачивает свою действенность, но нередко превращается в свою противоположность. Так, например, любая нестандартная (поисковая) задача, решение которой сообщено учащимся, сохраняя все свои внешние признаки, превращается для них в репродуктивную задачу или тренировочное упражнение. Облегченные задания по математике, предлагаемые «слабым» учащимся, поначалу стимулируют активность их учебной деятельности, повышают уровень усвоения данной темы, но на определенной ступени обучения начинают тормозить их дальнейшее обучение и развитие. Точно так же программированное обучение обычно информационного типа способствует развитию самостоятельности учащихся, но только до определенных и весьма узких границ, которые образуются тогда, когда возникает потребность в умении осуществлять учебную деятельность творческого характера, т.е. по существу тормозит переход к высшему уровню самостоятельной деятельности. Методы психологии в обучении математике Анализ и синтез играют важную роль как методы научного исследования в математике и её изучении. В первоначальном понимании анализ рассматривался как путь мышления от целого к частям этого целого, а синтез - как путь мышления от частей к целому. Например, при помощи анализа сложная задача расчленяется на ряд простых задач, а затем с помощью синтеза происходит соединение решений этих простых задач в единое целое. В дальнейшем анализ стали понимать как операцию мышления, с помощью которой от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез - как операция мышления, с помощью которой от причины переходят к следствию, порожденной этой причиной. Психологи утверждают, что закономерности, присуще этим процессам, в их взаимоотношении друг с другом представляют собой основные закономерности мышления. Психологические исследования показывают, что анализ выступает в различных видах и формах. Так, И.А. Менчинская различает элементарный (бессистемный) анализ, комплексный (системный), предвосхищающий анализ, специальный анализ искомого и данных, анализ функциональных связей. C.K. Рубинштейн различает две формы анализа: а) анализ типа «фильтр», когда человек, решающий задачу действует без всякой видимой системы, отсеивает одну за другой не оправдавшие себя пробы решения, опирается на догадку (которая, таким образом, опирается на анализ); б) направленный анализ через синтез, когда анализ определяется и направляется к определенной цели через синтетический акт соотнесения условий с требованиями поставленной задачи. С. Л. Рубинштейн считает анализ через синтез « основной формой анализа, основным нервом процесса мышления: «объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все новое содержание; он как бы поворачивается каждый раз другой своей стороной, в нем выделяются все новые свойства... Синтезом в этом случае является всякое соотнесение, сопоставление, всякое установление связи между различными элементами, соединение тех компонентов, на которые был расчленен познаваемый объект в анализе». Рассмотрим теперь, какие формы принимают анализ и синтез в математике и её преподавании. Аналитический и синтетический методы доказательства теорем известны с древних времен. Аналитический метод доказательства заключается в том, что отправляясь от заключения и опираясь на известные предложения, показывают, что заключение является логическим следствием условия; рассуждают от неизвестного к известному, от искомого к данным. Здесь существуют две разновидности: а) восходящий (или совершенный) анализ, б) нисходящий анализ. При восходящем анализе ведущим вопросом является: «что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?» Таким образом, для доказываемого утверждения последовательно подбирают достаточные основания, от следствия «восходят» к основанию. Например, известное доказательство свойства: среднее арифметическое двух неравных положительных чисел больше их среднего геометрического. Достоинства восходящего анализа: а) рассуждение имеет отправной пункт, мотивируется каждый его шаг, в процессе доказательства развертывается осознаваемый учащимися план рассуждений; б) усиливается эвристический элемент, учащиеся принимают активное участие в создании доказательства; в) если доказательство пойдет другим путем, то восходящий анализ дает один из ключей к его созданию. Недостатки: а) восходящий анализ не является безотказным для отыскания доказательства, т.к. для каждого высказанного предложения можно подобрать несколько оснований и доказательство может пойти не по тому пути; б) некоторые ограничения на его применение накладывает то обстоятельство, что школьные курсы математики являются синтетическими, не каждое доказательство излагается аналитически. При нисходящем анализе рассуждение начинается с предположения: «временно допустим, что предложение, которое нужно доказать, установлено; вопрос: что отсюда следует?» Опираясь на допущение и доказанные раньше теоремы, выводим одно или несколько следствий, из этих следствий - следующие до тех пор, пока не получим некоторого следствия, которое или противоречит одному известно предложений, или является известным предложением. В первом случае необходимо заключить, что доказываемое предложение ложно; во втором наметился план доказательства данной теоремы (но ещё не доказательство, т.к. из ложного высказывания тоже можно получить верное). Достоинства нисходящего анализа : а) он имеет преимущества перед восходящим анализом в отношении поиска плана доказательства, т.к. учащиеся делают переход от предложения к следствию (это привычнее) , чем от предложения к его обоснованию; б) широко используется в учебном процессе в качестве педагогического метода Сократа: при появлении неверного утверждения со стороны ученика, учитель, не отклоняя этого предложения, ставит ученику целесообразно подобранные вопросы и в результате подводит его к явному противоречию с известным предложением; затем вскрывается ошибочность первоначального утверждения ученика. Например, при утверждении, что признаком равенства треугольников является равенство соответствующих трех пар углов, достаточно точно в качестве примера привести два равносторонних треугольника с разной длиной стороны. Синтетический метод доказательства, заключается в том, что отправляясь от условия и пользуясь известными предложениями, получают заключение как логическое следствие условия; рассуждают от известного к неизвестному, от данных к искомому. Например, та же теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом доказывается, начиная с утверждения «квадрат разности двух неравных чисел есть число положительное». На этом примере сразу видны недостатки метода: а) доказывающий теорему не может мотивировать на каком основании взяты те или иные положения и исходные, сделаны те или иные преобразования, и только в последний момент видна целесообразность доказательства: поэтому синтетические доказательства для начинающих изучать математику кажутся искусственными и, следовательно, в чистом виде мало удобны для обучения; б) в распоряжении доказывающего нет критерия выбора пути доказательства и тех предложений, которые нужно использовать дальше, он может пойти неправильным путем и не достигнуть цели, таким образом, синтетический метод не пригоден как метод поиска доказательства; в) применение чисто синтетического метода изложения доказательства на уроке неизбежно приводит к использованию лекционного метода, что ограничивает активность учащихся. Достоинства а) если синтетическое рассуждение исходит из верных утверждений и с логической точки зрения безупречно, то оно приводит к верному выводу; синтетическим методом теорема доказывается или отвергается; б) синтетическое изложение доказательства отличается исчерпывающей полнотой, сжатостью и краткостью, а поэтому удобно для представления в печатном виде; в) синтетический метод уместен в логически нетрудных теоремах и простых задачах, где нет необходимости особо искать план и способ доказательства, потому что они очевидны (анализ здесь может присутствовать в скрытном виде и не осознаваться). Таким образом, недостатки анализа являются преимуществами синтеза и наоборот, поэтому оба метода в обучении применяются совместно, они неизменно связаны и взаимодействуют. В поиске доказательства первенствует анализ, но он скрывает в себе синтез: в изложении доказательства и в простых теоремах первенствует синтез, но он скрывает в себе анализ. Поэтому анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод. Аналогично используется анализ и синтез при решении задач на доказательство и вычисление, при условии, что учащимся неизвестен алгоритм или специальный прием из решения (или таковой вообще не существует, как в нестандартных задачах). В этом случае общий анализ состоит в стремлении свести данную задачу к совокупности подзадач, до тех пор, пока не получится набор элементарных задач (т. е. задач, решаемых за один шаг поиска или решение которых уже известно из имеющегося опыта решение задач, а синтез - в объединении решений подзадач в единое целое. Очевидно, что если данная задача «элементарная», то она может быть сразу решена синтетическим методом. В математике её преподавании используется также специальные виды нисходящего анализа - геометрический и алгебраический анализ. Анализ при решении геометрических задач на построение, так называемый анализ древних или классический анализ состоит в следующем: 1) предположить, что задача решена и выполнить эскиз; 2) рассмотреть эскиз, выделить данные и искомые элементы, установить зависимость между ними, если нужно, сделать дополнительные построения; 3) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить простейшие геометрические построения, чтобы по данным элементам построить искомую геометрическую фигуру. Синтез в этом случае - в выполнении построений по намеченному плану. Например, задача: построить параллелограмм по стороне, высоте, опущенной на эту сторону и диагонали. Анализ при решении текстовых задач алгебраическим методом, так называемый алгебраический анализ состоит в следующем: 1) выделить в условии задачи величину (две или более), в которую удобно обозначить (принять) за неизвестное; 2) выразить все величины, входящие в условие задачи (и связанные между собой с помощью формул, законов и т.п.), через данные задачи и выбранное неизвестное (два и более); 3) на основе условия задачи установить равенство (два и более) между полученными алгебраическими выражениями одноименных величин. Синтез в этом случае состоит в решении полученного уравнения (или системы уравнений) и переводе решения на язык данной задачи. Сравнение - мысленное установление сходства или различия изучаемых объектов. Использование метода сравнения в обучении должно подчиняться следующим требованиям: 1) сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом, т.е. сравнение должно иметь смысл; например, можно сравнивать функции, однородные величины, но не имеет смысла сравнивать периметр треугольника с массой тела; 2) сравнение должно проходить планомерно с четким выделением тех свойств, по которым в определенной системе проводится сравнение; 3) сравнение по одним и тем же свойствам объектов должно быть полным, доведенным до конца. Из определения сравнения следует, что выделение общего и различного осуществляется в ходе анализа, сопоставление - в ходе синтеза; таким образом, сравнение основывается на анализе и синтезе и зависит от них. На этом основан один из основных приемов обучения сравнению - варьирование понятий, признаков, условий, требований, обозначений и т.п., существенных или несущественных в зависимости от формы сравнения. Например, построение определения окружности и сферы, изучение приемов решения линейных и квадратных уравнений. Сравнение подготавливает почву для обобщения. При обобщении выявляют какое-нибудь свойство, общее для сравниваемых объектов и объединяющее эти объекты воедино. При этом общие свойства различают двух видов: сходные и существенные (в данном случае, с. точки зрения математики) признаки. Всякое существенное сходство является вместе с тем и общим для данной группы однородных, объектов, но не наоборот (например, цвет для геометрической фигуры). Отсюда - две формы обобщения: а) первичное, эмпирическое обобщение посредством соотнесения и выделения общего в двух мни нескольких различных объектах или явлениях и б) высшая форма научного обобщения, основанного на выделений существенных свойств объектов или явлений. К тем и другим обобщениям приходят путем анализа, выделяющего существенные свойства, в обобщениях второй фирмы существенную роль играют также синтез, индукция и абстрагирование. Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему. Это - один и из основных путей расширения математических знаний, предпосылка и результат понятийного и структурного строения. Роль обобщения в обучении математике не только в том, что оно составляет сущность математики, это - необходимый этап полного цикла учебно-познавательной деятельности учащихся по усвоению знаний. Обобщение позволяет сокращать количество необходимой человеку информации, заменяя знание множества сходных случаев знанием общего принципа. При этом необходимо не только знать содержание обобщения, но и уметь подвести каждый частный случай под общее правило; другими словами, более общим понятиям, законам, задачам должны соответствовать более общие способы действий по их усвоению (обобщенные приемы учебной деятельности учащихся). Методы математики в обучении Мы условно разделили основные методы познания, применяемые в самой математике и играющие роль построении и изучении дидактической системы математики в школе, на две группы. К первой относятся те методы, которые характерны для всех математических дисциплин: метод математического моделирования, аксиоматический метод, использование математического языка, обучение через задачи; ко второй - методы, имеющие существенное значение в отдельных предметах или их разделах основанные на определенной математической теории. Одним из наиболее плодотворных методой математического познания действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата. Математическая модель - это приближённое описание какого- нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функции, системы геометрических предложений, векторов и т.п.). Метод математического моделирования содержит три этапа: 1) построение математической модели объекта (явления, процесса), 2) исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики, 3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации. При этом должны соблюдаться следующие требования : 1) модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств; 2) модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями; должна позволять получать новые знания об изучаемом 3) модель объекте. После того, как математическая модель построена, возможны два случая: а) полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами; б) эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой. Это развитие математических теории находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим объектам того же класса. Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитировать описанный процесс исследования в самой математике с помощью математического моделирования. С этой точки зрения обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач («подводящих» задач), с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих математических моделей. Затем объектом изучения становятся уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширению теоретических знаний учащихся. После того построена, как соответствующая теория построена, её аппарат применяется к решению исходной задачи, а также других задач из других областей , но приводящих к моделям этого же класса. Так можно строить изучение каждого нового вида функций, уравнений , производной, интеграла, операция над векторами, вывода формул вычисления площадей и объемов и т.п. Легко видеть, что в такой методике просматривается связь с проблемным обучением математике. Те же три этапа математического моделирования выступают как средство решения прикладных задач. Наиболее характерные примеры в курсе математики – решение в курсе алгебры текстовых задач (модель – уравнение или система уравнений), в курсе начал анализа – прикладных задач на нахождение экстремальных значений функции (модель – функция). Не менее важно акцентировать внимание учащихся на сущности метода математики, так и в смежных дисциплинах. Работа в этом направлении не только совершенствует реализацию меж предметных связей математики с другими предметами, но и способствует обучению учащихся принципам, умениям и навыкам прикладного математического исследования. Мы уже говорили не раз, что математика – дедуктивная наука, и важнейшую роль в этом отношении играет аксиоматический метод – такой метод научного построения теории, при котором из конечного числа аксиом логически выводят остальные положения этой теории. Таким образом, современный аксиоматический метод состоит из двух частей: 1) абстрагирование теории от конкретных образов и 2) дедуктивное построение теории вне интерпретации на базе какой-нибудь системы аксиом. Аксиоматический метод в качестве метода обучения можно использовать, привлекая самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучаемую теорию; для вывода новых знаний из уже имеющихся, для установления истинности математических предложений дедуктивным способом, для систематизации знаний учащихся. Уровневая и профильная дифференциация в обучении математике Профильная дифференциация осуществляется через организацию классов и школ, где уровень изучения математики будет различным в зависимости от сформированных интересов учащихся и выбора будущей специальности. Профильная дифференциация при изучении математики сегодня в основном осуществляется в старшей школе, хотя может реализовываться, начиная с 8 класса. В связи с этим выделяются программы по математике для школ (классов) с углублённым изучением математики (8-9 классы и 10-11 классы) и общеобразовательных учреждений. В некоторых документах первая программа называется программой профильного уровня, вторая – базового уровня. Индивидуализация обучения математике предполагает учет более ярких особенностей отдельных детей (либо математически одарённых, либо имеющих ярко выраженные психологические особенности). Она фактически состоит в использовании индивидуальной методики обучения этих учащихся. Гуманитаризация математического образования состоит в выделении в содержании обучения математике элементов, обращенных к человеку и обществу, таких, как использование математических знаний в повседневной деятельности человека, математические открытия как отклик на потребности общества. Кроме того, это выделение тех аспектов в математических знаниях, которые традиционно относятся к гуманитарным наукам - история развития математики, судьбы людей, внёсших значительный вклад в математическую науку, проблемы формирования и использования математического языка, использование математических закономерностей при создании произведений искусства. Под технологизацией математического образования понимают осмысление процесса обучения математике как регламентированной смены чётко описанных этапов, имеющих высокую степень результативности, а также разработку чётко описанных приёмов обучения, обладающих высокой степенью результативности в массовом масштабе. Эта тенденция проявляется в связи с массовым характером организации обучения в рамках классно-урочной системы с большим количеством участников процесса обучения (обучаемых и обучающих) и необходимостью получать положительных результат обучения. Она на первый взгляд вступает в противоречие с тенденцией гуманизации, проявляющейся, в частности, в индивидуализации обучения. Однако ориентация при разработке технологий на положительный результат обучения, а значит, на учёт, по крайне мере, наиболее типичных особенностей усвоения учащимися математических знаний и тем самым на успех учащихся в обучении, снимает кажущееся противоречие. Учитывая выделенные тенденции развития математического образования, качество его сегодня определяется знаниями о существенных свойствах рассмотренных математических объектов, правильными представлениями учащихся об использовании математических понятий и методов в повседневной жизни, а также сформированными умениями применять полученные знания в своей практической деятельности. В этом смысле гораздо важнее, чтобы выпускник современной школы знал, что квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней, чем помнил формулу вычисления корней для одного из частных видов квадратного уравнения. Надо заметить, что в системе среднего профессионального образования реализуются программы школьного образования, а также начального специального математического образования, необходимые для получения соответствующей квалификации. Кроме основного математического образования, существует система дополнительного образования. Она реализуется через систему кружков, факультативов, курсов по выбору для школьников на уровне профессионального (начального, среднего и высшего) образования. На схеме не обозначена ступень послевузовского образования, которая включает подготовку специалистов в аспирантуре и докторантуре, а также систему переподготовки специалистов. На послевузовском этапе может реализовываться и дополнительное математическое образование. У нас в стране эта система пока плохо развита, хотя в странах Западной Европы уже существуют университеты третьего возраста для людей, вышедших на пенсию и желающих получить образование в интересующих их областях. В последующих лекциях будет уделяться больше внимания системе математического образования (как основного, так и дополнительного), реализуемого на этапе школьного образования. Наряду с общей направленностью математического образование на развитие интеллектуальной сферы человека, на каждой ступени выделяются специфические цели. На ступени дошкольного образования- это формирование первоначальных представлений о математических объектах и отношениях, которые используются ребёнком в повседневной практике. На ступени начальной школы - формирование базовых умений, прежде всего вычислительных. На ступени основной и старшей непрофильной школы - овладение системой математических знаний, представляющей общий (базовый) уровень современного математического образования. Наконец, для профильных школ - формирование системы математических знаний, отражающий углублённый уровень изучения математики, и развитие математических способностей учащихся. Функции учителя математики Педагогическая деятельность учителя понимается как совокупность деятельностей, которая включает умения: - анализировать документы, психолого-педагогическую учебные планы, литературу, программы, нормативные методические пособия, дидактический материал и др.; - отбирать с учетом возрастных особенностей определенных групп учащихся учебный материал, необходимый для изучения; - конструировать предметное содержание образования; - планировать свою работу (уроки, мероприятия и т. д.); - организовывать различные виды деятельности учащихся; - помогать школьникам выполнять запланированное путем умелой и рациональной организации учебной деятельности; - управлять деятельностью учащихся; - оценивать деятельность учащихся с целью ее коррекции. Деятельность учителя математики подразумевает выполнение ряда функций. Гностическая функция: изучение программ по математике, планирование целей обучения, отбор содержания обучения по математике и др. Конструктивная функция: планирование этапов обучения математике, отбор приемов и средств обучения математике, определение форм деятельности, познавательных заданий и др. Организационная функция: организация познавательной деятельности учащихся, процесса обучения математике и др. Информативная функция: изложение учебного материала, применение приемов и средств обучения математике, отбор и методическое построение содержания образования и др. Контрольно-оценочная функция: коррекция знаний, систематическая проверка знаний и умений по математике, оценка качества и эффективности обучения математике и др. Для эффективного выполнения педагогических функций современному учителю важно включающей осознавать гностический, структуру педагогической конструктивный, деятельности, организаторский и коммуникативный компоненты. В современной образовательной ситуации особенно актуальна проблема соотношения целей и мотивов обучения в школе. Основной задачей учителя математики становится обеспечение принятия учеником цели обучения как цели, имеющей личностно-значимый смысл. Чтобы цель обучения, поставленная учителем, стала целью обучения ученика, необходимо, чтобы она стала мотивом деятельности ребенка, т.е. каждый школьник должен понимать, зачем он изучает ту или иную тему школьного курса математики. В каком же соотношении находятся цель и мотив обучения? Цель направлена на результат деятельности, а мотив на то, где этот результат может быть использован. Для учителя целеполагание представляет собой сложную проблему, решение которой включает: 1. Ознакомление с целями и учебной программой курса. 2. Знакомство с примерным тематическим планированием. 3. Установление межпредметных связей в курсе школьной дисциплины. 4. Умение выделить основной и сопутствующий учебный материал. Подготовка учителя к урокам математики начинается с годового и тематического планирования учебного процесса. Годовое планирование предполагает распределение тематики уроков и количества часов, отведенных на них, выделение базовых тем учебного материала для повторения и систематизации, подбор средств обучения (наглядных и учебных пособий, оборудования, дидактического материала и др.), распределение уроков по типам. Тематическое планирование включает определение задач изучения темы, знакомство с содержанием учебного материала, построение логической последовательности изучения темы в соответствии с дидактическими принципами, распределение количества часов на изучение темы, определение роли каждого конкретного урока в системе уроков по теме, выбор средств обучения темы. Уровни сформированности методических умений учителя математики Содержание деятельности учителя математики опирается на определенные профессиональные знания и умения. В методических умениях различают три уровня их сформированности: 1. Осознание цели выполнения методического действия; осмысление его операционного состава; поиск способов выполнения, чаще всего на основе образца, приложенного к инструкции. 2. Перенос отдельных сформированных методических умений на новые предметные объекты и более крупные блоки учебного материала. 3. Осознание мотивов и средств выбора способов деятельности; использование различных средств и методических умений в соответствии с конкретной педагогической ситуацией. Формирование умений 2-го и 3-го уровней предполагает соответствующую систему теоретической и практической подготовки учителя. Источниками методических знаний учителя математики являются: учебные пособия; научная, научно-популярная литература; методическая литература; наглядные средства обучения. Передовой педагогический опыт В повышении профессионального мастерства учителя, в росте эффективности обучения школьников математике важную речь играет изучение передового педагогического опыта, внедрение его в практику работы каждого учителя. Анализ опыта работы учителей — мастеров своего дела показывает, что их объединяют характерные для новаторства черты: - профессиональное мастерство; - четкая постановка цели, целенаправленность; - опора на развивающее обучение и опережающее обучение; - воспитание личности, вера в силы и возможности ребенка; - тщательная подготовка учителя к уроку; - свобода творчества и выбора; - высокий темп обучения; любовь к детям; - доведение навыков до автоматизма; - высокая культура общения; - знание педагогики и психологии человека; - наличие своей педагогической системы; - творческий подход к работе; ответственное отношение к делу; - высокая эрудиция и профессионализм; - наличие в педагогической деятельности исследовательского компонента; - умение ориентироваться в современной образовательной ситуации. В качестве примеров рассмотрим несколько современных систем обучения учителей-новаторов. Основная идея системы обучения Р.Г. Хазанкина — совершенствование форм и методов обучения и оптимальное сочетание различных видов учебных занятий. Главное в работе — творчество и графическая культура. Основной целью обучения учителя-новатора является побуждение ученика к активизации, к самостоятельному творчеству, реализации скрытых возможностей. Учитель выделяет восемь типов уроков: 1. Урок-лекция. 2. Урок решения ключевых задач. 3. Урок обучающих задач. 4. Урокконсультация. 5. Урок-зачет. 6. Урок — анализ результатов зачета. 7. Контрольная работа. 8. Урок — анализ и коррекция результатов контрольной работы. Отличительные черты системы обучения Р.Г. Хазанкина: поощрение творческой инициативы как всего коллектива, так и каждого учащегося; органическая связь коллективной и индивидуальной работы; умелое управление общением старших и младших школьников; развитие практических навыков в работе с графической информацией. Главная цель системы обучения Н.Н. Палтышева (г. Одесса) — интенсификация учебного процесса. Учитель-новатор старается выработать у учащихся умения: слушать и чувствовать; работать с литературой; давать полный ответ. Система обучения математике отрабатывается по алгоритму: 1. Выбор из всех программ основного, базового блока, т.е. необходимого минимума знаний; репродуктивное преподнесение учебного материала; неоднократный повтор, заканчивающийся зачетом. 2. Изучение нового материала по схеме: а) в целом; б) по блокам; в) «сворачивание» материала и составление плана изучения. 3. Подготовка к экзаменам через систему повторения по крупным обобщающим блокам, таблицам, схемам.
