Вопрос 11

Вопрос 11. Простая модель ценообразования инвестиционного опциона в непрерывном времени
Задача определения стоимости возможности инвестировать в случае определённости
Как и в двухпериодной модели инвестиционных опционов, предполагаем, что фирма может выбирать
момент времени, когда ей проводить инвестиции, и инвестировать ли вообще. Чтобы опцион (в данном
случае право инвестировать в проект, право купить его) имел стоимость, нужно, чтобы стоимость проекта
изменялась со временем (иначе всё равно, когда инвестировать).
Предпосылки модели:
 V – стоимость проекта (сколько фирма получит от его реализации)
 Предположим, что стоимость V растет во времени с темпом α,
(1) V (t )  V (0)e at
 Пусть 0 < α < r (иначе неинтересно и вообще бессмысленно – в такой проект чем дальше, тем
выгоднее инвестировать)
 I - объем инвестиций в проект, r - безрисковая ставка
 Стоимость инвестиционного опциона можно определить как функцию от стоимости проекта (опцион
call, не стоит ничего, если стоимость проекта меньше инвестиций, мы не инвестируем, в противном
случае стоимость опциона = разность):
(2) F (V )  max V (T )  I e rT ,0
T


Цель фирмы – найти оптимальный момент времени для инвестиций (Т), если он есть. Либо – принять
решение не инвестировать вообще.
Оптимальное время совершение инвестиций и стоимость фирмы
Подставим (1) в (2) и возьмём условие 1 порядка (потом отдельно сравним максимум в этом условии со
случаем, когда не инвестируем вообще, и решим, что больше):
dF (V )
 (r   )Ve ( r  )T  rIe  rT  0
(3)
dT
Получаем, что
 1  rI  
(4) T   max  ln 
,0 (если первый член в скобке положительный, (3) выполнено как
  (r   )V  
равенство и инвестировать стоит; если он отрицательный, то инвестиций не будет и стоимость опциона –
нулевая)
Когда фирма достигнет момента оптимальной реализации опциона Т*, ей будет всё равно, инвестировать в
данный момент или ждать (условие (3) – это как раз равенство предельных издержек и предельной выгоды
ожидания). Поэтому в момент реализации Т* =0 (в сам этот момент фирме всё равно, ждать или нет, а
r
потом ждать невыгодно) – оптимально инвестировать сразу: (5) V  (T *) 
I
(r   )
Стоимость опциона при оптимальной схеме его реализации находим, подставляя оптимальную стоимость
r



I
(
r


)
V



, V  V ,
(5) в формулу (2): (6) F (V )   r    rI 


V  I , V  V .
(как только V превышает V*, в проект оптимально тут же инвестировать, поэтому стоимость опциона
определяется простой разностью; до того, как стоимость проекта превысила оптимальный уровень,
стоимость опциона – это ожидания будущего роста стоимости)
График инвестиционного опциона.
Зависимость стоимости опциона от стоимости проекта
графически (по (6)):
После V* стоимость опциона – линейная функция, до – сложная
степенная. Слева от V* оптимальная стратегия фирмы –
отложить решение инвестировать, в V*
и дальше –
инвестировать немедленно
Рост параметра а (темп роста стоимости во времени)
увеличивает V* и сдвигает функцию стоимости опциона вверх
(если в будущем ожидается быстрый рост стоимости, лучше
подождать ещё)
Условия соотношения стоимостей и гладкости
По определению функции стоимости опциона выполнено:
F (0)  0 (стоимость ожидания в начальный момент времени равна нулю)
1) условие соотношения стоимостей = условие отсутствия арбитража – в точке оптимальной стоимости
фирма не получит ни прироста, ни потери капитала, реализовав опцион
F (V  )  V   I
(при реализации опциона фирма теряем F(V*), но приобретает V*-I
2) Условие гладкости (smooth-pasting condition) требует, что бы в момент оптимальной реализации
инвестиционного опциона приращение в его стоимости (вызванное приращением стоимости актива)
равнялось приращению в величине отдачи, определяемой как разность между стоимостью актива и
издержками инвестиций
F (V  )  1
V* 2 куска функции F(V) имеют равные наклоны)
Решение задачи в условиях неопределённости
Пусть стоимость фирмы меняется не с детерминированным темпом роста, а со стохастическим:
(7) V (t )  V (0)e at dz или, что эквивалентно:
(7’) dV  Vdt  Vdz - это т.н. геометрическое броуновское движение (GBM) (в определённости было
dV  Vdt )
dz здесь – стандартный винеровский процесс (в дискретном случае его аналогом было бы простое
случайное блуждание):
(8) dz (t )   (t ) dt
(8’)  (t ) ~ N (0,1), Et dz (t )  0, Et dz(t )  dt ,
В общем, GBM – это случайное блуждание стоимости около детерминированного экспоненциального
тренда.
Стоимость опциона выглядит так же, как при определённости, только выражение ожидаемое, поскольку
точного значения V в будущем фирма не знает:
(9) F (V )  max E V (T )  I e rT ,0
2
T


Для решения задачи максимизации используем уравнение Беллмана:
(10) rFdt  Et dF 
Ожидаемое приращение стоимости инвестиционного опциона должно совпадать с безрисковым доходом,
который могли бы принести вложения в безрисковый актив – это в каждый момент времени, индивиду
должно быть всё равно: вкладывать деньги в безрисковый актив или ожидать, пока наступит оптимальной
время инвестиций в проект. Иначе (если доходы слева и справа не совпадает, фирма бы перераспределяла
средства в своём портфеле и добивалась равенства).
Чтобы найти правую часть уравнения (10), используем лемму Ито (это такая штука, которая раскладывает
приращение стоимости опциона до 2 порядка через приращение стоимости проекта, наподобие формулы
Тейлора):
1
2
(11) dF  F (V )dV  F (V )dV 
2
Чтобы подставить (11) в (10), нужно посчитать матожидание приращения стоимости:
2
2
(12) Et dV   Et Vdt  Vdz   2V 2 dt ( в остальных слагаемых получается dt в степени выше 1, dt
стремится к нулю, мы эти слагаемые выкидываем как слишком маленькие)
1
(12’) E dF   VF (V )dt   2V 2 F (V )dt (в первом слагаемом просто подставили (7’) и взяли матожидание,
2
остался только тренд)
Уравнение Беллмана принимает вид:
1
(13)  2V 2 F (V )  VF (V )  rF (V )  0
2
Мы получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных. Его общее решение имеет
вид:
(14) F (V )  A1V 1  A2V  2
1 
2 
2

1 
1
1
 (   2 )      2   2r 2   1,
2
2




2 

2

1 
1
1
 (   2 )      2   2r 2   0.
2
 
2
2 




- не думаю, что этот ужас надо писать, главное – знаки
Частное решение получаем, добавив условия соотношения стоимостей и гладкости:
(15.1) F (0)  0
(15.2) F (V  )  V   I
(15.3) F (V  )  1
Трёх условий достаточно, чтобы определить константы A1, A2 и значение стоимости проекта в тот
момоент, когда надо инвестировать, V*.
Из 15.1 однозначно определяем:
(16) F (0)  0  A2  0 (если V стремится к 0, то сомножитель после A2 стремится к бесконечности, т.к.
там отрицательная степень; чтобы равенство выполнялось, нужно A2 = 0)
Из двух оставшихся условий
(14’) F (V )  A1V 1
F (V  )  V   I
F (V  )  1
определяем значения второй константы и оптимальной стоимости: (15) A1 
1  1 1
1  I  1
1
(16) V  
1
I
1  1
График опциона выглядит аналогично детерминированному случаю (правда, в отличие от того случая, мы
не знаем, когда достигнем той или иной точки на графике,
поскольку V меняется стохастически):
1
1



 A1V 1 , V  V ,
F (V )  


V  I , V  V .
Как и в детерминированном случае, до V* стоимость
опциона – это нелинейная функция (стоимость возможности
ждать), а после V* - чистая стоимость реализованного
проекта.
Оптимальное инвестиционное правило
(задаёт порог стоимости проекта V*, на котором
необходимо инвестировать)
Если не принимать во внимание опцион при инвестировании, оптимальное правило имело бы вид:
(17) V* = I (как только стоимость проекта превысит инвестиции, инвестировать)
Анализ с применением инвестиционного опциона даёт:

(16) V   1 I
1  1
Простое («маршалианское») правило NPV, не учитывающее возможность ждать, является некорректным:
между критической величиной V* и I существует «клин», β/(β - 1) – инвестировать оптимально после
того, как V* превысит инвестиции «с запасом» (если фирма не делает «запаса», фирма может столкнуться
с ситуацией, когда стоимость проекта, увеличившись до I, снова ушла надолго в минус)
Вспомним выражения для  1 :
2

1 
1 2
1 2

1  2  (   )        2r 2   1
 
2
2 




Можно утверждать, что «клин» между V* и инвестициями, т.е. запас прочности, возрастает с ростом
неопределённости по стоимости проекта (  2 ) и темпов увеличения стоимости:
1
  V * ,
1  1
1
   1  
  V* 
1  1
   1  
Экономический смысл такой:
1) выше неопределённость – лучше подождать, пока она разрешится и появится запас прочности, иначе
можно инвестировать, а стоимость проекта уйдёт в глубокий минус
2) выше средние темпы роста стоимости – тоже лучше подождать, пусть стоимость подрастёт ещё
Графически влияние роста неопределённости на стоимость
опциона выглядит так:
3) влияние изменений в ставке процента
Если рассматривать рост r и не менять остальные параметры
модели, то инвестиции должны вырасти, поскольку фирме
становится более затратно ждать с инвестированием.
Альтернативные издержки реализации опциона (будущий
прирост стоимости проекта) становятся меньше, выгоднее
инвестировать раньше. Формально:
1
r   1  
  V* 
1  1
Результат несколько странный; рассмотрим одновременное
увеличение и безрисковой ставки, и средних темпов роста доходности проекта a (мы таким образом
устраним влияние роста r на будущие значения стоимости, поскольку a растёт параллельно с ней):
1
r ,   const     1  
  V* 
1  1
В этом случае упадут будущие издержки инвестирования, а будущая ожидаемая стоимость проекта
останется неизменной:
r   Ie  rT 
  const  VeT  const
Рост ставки процента приводит к падению инвестиций, но НЕ потому, что растут издержки
использования капитала, а потому, что растет стоимость инвестиционного опциона (растут альтернативные
издержки решения инвестировать сейчас, лучше подождать будущего, когда инвестировать будет дешевле)
Графически положительная зависимость между V* и
безрисковой ставкой на графике:
Проблема в тестировании этой теории состоят в том,
что
мы
определили
оптимальное
правило
инвестирования в терминах стоимости проекта, но НЕ
времени. Последнее сделать вообще невозможно,
поскольку оптимальная стоимость достигается в
неопределённый момент времени из-за стохастики.
Параллели с неоклассической теорией инвестиций
Пусть прибыль фирмы описывается процессом:
(17) d  dt  dz (GBM)
Тогда стоимость фирмы тоже задаётся GBM:

 t 
(18) V t   Et    e r  t d 
r 
t
(7’) dV  Vdt  Vdz
Сравним правила инвестирования, которые предлагают неоклассическая теория инвестиций и теория
опционов:
1) неоклассическая теория
Фирма должна инвестировать, если:
(19) V t   I или  t   r   I
2) Если учесть возможность ждать с инвестированием, получаем:


(20) V   1 I или  t      1 r   I  r   I
1  1
1  1
Можно преобразовать правило инвестирования в анализе инвестиционного опциона:
1 2
  (   1)    r  0 - «фундаментальное квадратное уравнение» (преобразованное уравнение
2
Беллмана)
1
r     r  1  2 1
1  1
2
Фирма должна инвестировать, если:
1


(21)  t       r   2 1  I  rI
2


 Величина rI характеризует издержки использования капитала: фирма должна инвестировать, когда
π = rI, а НЕ когда π = (r-α)I
 Поэтому даже в детерминированном случае (σ2 = 0) фирме, возможно, стоит ждать: ожидание
позволяет отложить инвестиции, что означает снижение приведенной стоимости издержек (с учетом
дисконтирования)
 Чем выше неопределенность (σ2), тем дольше фирме придется ждать (при прочих равных условиях)
– поскольку фирма должна создать «запас прочности», страхующий её от того, что стоимость снова
упадёт ниже суммы инвестиций)
Определение q-Тобина в случае существования инвестиционного опциона
q-Тобина (среднее) – это отношение рыночной стоимости проекта к его балансовой стоимости, т.е.
сумме инвестиций. Рыночная стоимость равна разности стоимостей проекта и инвестиционного
опциона, поскольку последний при реализации проекта исчезнет. Это знакомый подход ‘value of the
firm’:
V  F (V )
q
,
(22)
I
Если V  V  , то F (V )  V  I , q  1.
Если рассчитывать q-Тобина без учёта того, что при инвестировании мы теряем стоимость опциона,
получится, что q в момент инвестирования превышает 1. Это так называемый подход “assets in place” С
теоретической точки зрения этот подход менее корректен,
V

 1  1.
(23) q  
I
1  1