Математика и математические методы в биологиии

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ФГБОУ ВО «ИРКУТСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.А.
ИЖЕВСКОГО»
Экономический факультет
Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин
Ю.И.Швецова
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ
Методические рекомендации и задания для контрольной
работы
для студентов заочного обучения
Технологического факультета по направлению
06.03.01– «Биология»
Чита, 2014
УДК
ББК
И
Методические рекомендации и задания по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения технологического факультета по направлению 06.03.01– «Биология»
Составитель: старший преподаватель кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин Швецова Ю.И.
Рецензенты: старший преподаватель кафедры естественнонаучных и гуманитарных дисциплин Колосова О.Е.
Рассмотрено на заседании кафедры Экономики ЗабАИ и рекомендовано к изданию «17» марта 2014 г.
Утверждено Методической комиссией экономического факультета ЗабАИ «____»_______2014 г., протокол №_____
Методические рекомендации предназначены для студентов заочного обучения и предусматривают освоение курса
знаний теоретического и прикладного характеров, для внутреннего пользования.
Методические рекомендации соответствуют требованиям
ФГОС ВПО и примерной учебной программе дисциплины: по
направлению 06.03.01– «Биология».
© Ю.И.Швецова, 2014
© ЗабАИ, 2014
2
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1
Введение ………………………………………………..……...с.4
Общие методические указания……………………..………...с.4
Программа курса ……………...………………………………с.7
Раздел 2
Указания к выполнению контрольной работы……………..с.13
Раздел 3
Задачи для контрольной работы…………………………….с.34
Приложение …………………………………………...……. с.55
Список рекомендованной литературы ………………..…... с.58
3
Раздел 1
Введение
Настоящие методические указания предназначены для
студентов-заочников специальности 06.03.01 «Биология», для
которых учебным планом предусмотрено изучение общего
курса данной дисциплины в объеме 216 учебных часов.
Методические указания содержат краткие указания к
выполнению контрольных работ, программу курса, образцы
решения задач, контрольные задания. Пособие может быть
полезным при изучении курса математика и математические
методы в биологии также и для студентов очной формы обучения.
Общие методические указания
Обучение студента-заочника в основном происходит
самостоятельно. Это чтение учебников, решение задач, выполнение контрольной работы.
Если в процессе изучения учебного материала у студента возникнут трудности, то он может обратиться к преподавателю за получением консультации.
В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс математики и математических методов в биологии на первом курсе и выполняют одну контрольную работу.
При выполнении контрольной работы следует придерживаться следующих указаний:
1. Контрольная работа должна выполняться в тетради (в клетку) чернилами любого цвета, кроме красного,
оставляя поля для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, название
дисциплины.
4
3. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.
4. Решение задач следует излагать подробно, делая
соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, чертежей.
5. После получения прорецензированной контрольной работы (как зачтенной, так и незачтенной), студент
должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и
недочеты. В случае незачета по работе студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при
этом первоначально выполненную работу.
6. По зачтенной контрольной работе студент должен пройти собеседование.
7. Студент выполняет тот вариант контрольной
работы, который совпадает с последней цифрой его учебного
шифра. При этом, если предпоследняя цифра его учебного
шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для
соответствующего варианта даны в таблице 1. Если предпоследняя цифра его учебного шифра есть число четное или
ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач даны в таблице 2.
Таблица 1
№
варианта
Номера задач для контрольной работы
1
2
3
4
5
6
7
8
1, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, 201
2, 22, 42, 62, 82, 102, 122, 142, 162, 182, 202
3, 23, 43, 63, 83, 103, 123, 143, 163, 183, 203
4, 24, 44, 64, 84, 104, 124, 144, 164, 184, 204
5, 25, 45, 65, 85, 105, 125, 145, 165, 185, 205
6, 26, 46, 66, 86, 106, 126, 146, 166, 186, 206
7, 27, 47, 67, 87, 107, 127, 147, 167, 186, 206
8, 28, 48, 68, 88, 108, 128, 148, 168, 188, 208
5
9
0
9, 29, 49, 69, 89, 109, 129, 149, 169, 189, 209
10, 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150, 170, 190, 210
Таблица 2
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
6
Номера задач для контрольной работы
11, 31, 51, 71, 91, 111, 131, 151, 171, 191, 211
12, 32, 52, 72, 92, 112, 132, 152, 172, 192, 212
13, 33, 53, 73, 93, 113, 133, 153, 173, 193, 213
14, 34, 54, 74, 94, 114, 134, 154, 174, 194, 214
15, 35, 55, 75, 95, 115, 135, 155, 175, 195, 215
16, 36, 56, 76, 96, 116, 136, 156, 176, 196, 216
17, 37, 57, 77, 97, 117, 137, 157, 177, 197, 217
18, 38, 58, 78, 98, 118, 138, 158, 178, 198, 218
19, 39, 59, 79, 99, 119, 139, 159, 179, 199, 219
20, 40, 60, 80,100, 120, 140, 160, 180, 200, 220
Программа курса «Математика и математические методы в биологии»
Программа рассчитана на 216 учебных часов, содержит
перечисление тем, которые должны быть изучены студентами.
В процессе изучения курса также предполагается решение задач с использованием имеющейся в вузе вычислительной техники.
Содержание программы
РАЗДЕЛ 1. Основы линейной алгебры
Тема 1. Основы матричного анализа
Матрицы. Основные понятия и операции над матрицами.
Понятие определителя квадратной матрицы. Вычисление
определителей второго и третьего порядков. Свойства
определителей. Теорема Лапласа (о разложении определителя). Обратная матрица, ее существование и метод построения. Понятие о ранге матрицы.
Тема 2. Элементы линейной алгебры
Система линейных алгебраических уравнений и ее матричная форма. Метод Гаусса. Число решений системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод
обратной матрицы.
Тема 3. Элементы векторного анализа
Векторы и векторные пространства. Линейные операции над
векторами. Линейная независимость векторов. Размерность и
базис. Скалярное произведение векторов. Линейные операторы.
РАЗДЕЛ 2. Основы аналитической геометрии.
7
Тема 4. Прямая на плоскости
Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости: виды
прямых, различные формы записи уравнения прямой. Угол
между прямыми. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема 5. Кривые второго порядка на плоскости
Общее уравнение кривой второго порядка. Канонические
уравнения и свойства кривых второго порядка: окружность и
эллипс, гипербола, парабола.
Тема 6. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
РАЗДЕЛ 3. Введение в анализ: множества и функции.
Тема 7. Элементы теории множеств
Понятие множества. Элемент множества. Формы записи и виды множеств. Подмножество. Пустое множество. Операции
над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Бинарные отношения на множествах. Числовые
множества. Числовая прямая. Виды числовых множеств. Понятие окрестности точки.
Тема 8. Функции
Понятие об упорядоченных множествах. Декартовы системы координат. Функциональная зависимость. Определение
функции. Способы задания функции. График функции.
Сложная и обратная функции. Геометрический смысл обратной функции. Свойства функции: четность, нечетность,
периодичность, ограниченность, монотонность. Точки экстремума (максимума и минимума) функции. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики.
Тема 9. Предел функции
Предел в метрическом пространстве. Числовая последовательность. Предел последовательности. Предел функции. Ви8
ды пределов. Основные способы раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные
теоремы о пределах.
Тема 10. Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке (первое и второе определения) и на промежутке. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность арифметических операций. Непрерывность сложной и обратной функций. Свойства непрерывных
функций: теорема о сохранении знака непрерывной функции;
теоремы о промежуточных значениях, о существовании корня
(об обращении в ноль), об ограниченности, о достижении
наибольшего и наименьшего значений и их следствия. Точки
разрыва функции и их классификация.
РАЗДЕЛ 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 11. Производная и дифференциал функции
Задачи, приводящие к понятию производной. Касательная к
графику функции. Определение производной функции. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции. Инвариантность дифференциала. Геометрический смысл производной и дифференциала функции.
Тема 12. Свойства производной. Правила дифференцирования функций
Основные свойства производной. Производные основных
элементарных функций. Правила дифференцирования суммы,
разности, произведения и частного двух функций. Производные сложной, обратной и показательно-степенной функций.
Тема 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
9
Локальные точки экстремума функции: максимум и
минимум функции. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши.
Их следствия. Правило Лопиталя и примеры его применения.
Тема 14. Локальные экстремумы и монотонность на интервале дифференцируемой функции
Критические точки функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции. Первое достаточное условие локального экстремума. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции на
интервале.
Тема 15. Выпуклость функции. Точки перегиба
Понятие о выпуклости функции. Геометрический смысл
выпуклости функции. Достаточное условие выпуклости
дифференцируемой функции. Точка перегиба графика
функции. Необходимый и достаточный признаки перегиба. Второе достаточное условие локального экстремума
функции.
Тема 16. Асимптоты графика функции
Понятие асимптоты графика функции. Виды асимптот
(вертикальная, наклонная и горизонтальная) и процедуры
нахождения этих асимптот.
Тема 17. Общая схема исследования функции
Этапы исследования функции. Порядок их применения.
Примеры исследования функции.
РАЗДЕЛ 5. Интегральное исчисление одной переменной
Тема 18. Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие о первообразной. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица первообразных. Основные методы инте10
грирования: метод подстановки (замены переменной) и метод
интегрирования по частям.
Тема 19. Определенный интеграл и его приложения
Понятие об определенном интеграле. Свойства определенного
интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические
приложения определенного интеграла: вычисление площади
плоской фигуры; нахождение объема тела вращения. Понятие
о несобственных интегралах и их сходимости.
Раздел 6. Дополнительные главы математического анализа и элементы функционального анализа
Тема 20. Дифференциальное исчисление функции многих
переменных
Понятие о функции нескольких переменных и ее непрерывности. Частные производные. Дифференциал функции
нескольких переменных. Производная по направлению.
Градиент и его свойства.
Тема 21. Локальный экстремум функции нескольких переменных
Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (независимости
от порядка дифференцирования). Необходимое условие
экстремума первого порядка. Достаточные условия существования локального экстремума.
Тема 22. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении
и его решении. Уравнение первого порядка и его нормальная форма. Задача Коши. Методы интегрирования некото11
рых уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейного уравнения, уравнения Бернулли.
Тема 23 Элементы теории рядов
Понятие о ряде и его сходимости. Необходимое условие
сходимости числового ряда. Знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Достаточные признаки сходимости этих рядов. Понятие о разностном уравнении и его решении. Функциональные ряды: степенные ряды и их радиус сходимости; тригонометрические ряды,
ряды Фурье и их свойства.
Тема 24. Элементы теории функций комплексной переменной
Мнимая единица. Комплексное число: алгебраическая и
тригонометрическая формы записи; модуль и аргумент
комплексного числа. Операции над комплексными числами. Понятие о функциях комплексной переменной.
РАЗДЕЛ 7. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
Тема 25. Элементы теории вероятностей событий
Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности события. Совместные и несовместные события.
Полная группа событий. Противоположные события. Теоремы сложения вероятностей событий и их следствия. Независимые и зависимые события. Условная вероятность.
Теоремы умножения вероятностей событий и их следствия. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Тема 26. Схема Бернулли
Понятие о последовательности независимых испытаний.
Формула Бернулли. Формула Пуассона и условие ее при12
менения. Функция Лапласа и ее свойства. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Тема 27. Случайные величины и их характеристики
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон
распределения дискретной случайной величины. Понятие
о функции распределения и ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Основные характеристики случайных величин (математическое ожидание и дисперсия) и их свойства. Среднеквадратическое отклонение. Основные распределения
случайных величин: биномиальное, Пуассона, равномерное, нормальное. Правило трех сигм. Распределения,
близкие к нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).
Система двух случайных величин. Корреляционный момент, корреляционная матрица и коэффициент корреляции.
РАЗДЕЛ 8. Основы математической статистики
Тема 28. Основные понятия математической статистики
Выборочный метод. Выборочное среднее и выборочная
дисперсия. Интервальные оценки параметров. Оценка закона распределения. Нулевая и альтернативная гипотезы.
Общая схема проверки гипотез. Статистические критерии.
Тема 29. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Модель корреляционного анализа. Модель
множественной линейной регрессии. Метод наименьших
квадратов для получения оценок коэффициентов регрессии.
Моделирование биологических процессов.
13
Раздел 2
Указания к выполнению контрольной работы
Задача 1. Элементы линейной алгебры
Решить систему линейных уравнений методом Крамера
 x1  2 x2  2 x3  2,

5 x1  8 x2  2 x3  12 ,
3x  x  3x  4.
2
3
 1
Решение: Составим и вычислим следующие определители
системы.
Определитель
неизвестных:
 , составленный из коэффициентов при
1 2 2
8 2
5 2
5 8
  5  8 2  1
 (2) 
 2
 1  (8  3  1  2)
1 3
3 3
3 1
3 1 3
 2  (5  3  3  2)  2  (5  1  3  (8))  50.
Аналогично вычисляем 1 , полученный из  заменой
первого столбца столбцом свободных коэффициентов:
14
2 2 2
1  12  8 2  100 ,
4
1 3
1 2 2
 2  5 12 2  50
3 4 3
и
1 2 2
 3  5  8 12 150 .
3 1 4
Тогда
x1 
решения
системы
найдём
по
формулам:

1 100


 2 , x2  2  50 1 , x3  3  150  3 .

50
 50
 50
Задача 2. Основы аналитической геометрии.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3),
В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения
сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD
и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К
пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7)
координаты точки М, расположенной симметрично точке А
относительно прямой СD.
Решение:
1. Расстояние d между точками A(x1,y1) и B(x2,y2) определяется по формуле
d   x2  x1 2   y 2  y1 2
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
(1)
ÀÂ  16  4 2   6  32  144  81  15.
2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1,y1) и
B(x2,y2) имеет вид
y  y1
x  x1

y 2  y1 x2  x1
(2)
15
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение
стороны АВ:
y 3
x4

;
 6  3 16  4
y 3 x 4

;
9
12
y 3 x 4

;
3
4
4 y 12  3 x 12; 3 x  4 y  24  0.
( AB )
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
3
3
4 y  3x  24; y   x  6, откуда k AB   .
4
4
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение
прямой ВС:
y6
x  16

;
16  6 20  16
y  6 x  16

;
22
4
11x  2 y  188  0
( BC), или y  5,5 x  94,
откуда k BC  5,5.
3. Известно, что тангенс угла

y  6 x  16

;
11
2
между двумя прямыми, уг-
ловые коэффициенты которых соответственно равны
k 2 , вычисляется по формуле
tg 
k 2  k1
1  k1k 2
k1 и
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые
3
4
коэффициенты которых найдены: k AB   ;
Применяя (3), получим
 3  5,5
k AB  k BC
4
tgB 

  25  2;
1 k AB  k BC
4 16,5
3


1     5,5
 4
16
k BC  5,5.
B  630 26 или B 1,11 рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
(4)
y  y1  k ( x  x1 ).
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности
прямых.
Так
как
3
k AB   ,
4
то
k CD   1  4 . Подставив в (4) координаты точки С и
k AB 3
найденный угловой коэффициент высоты, получим
4
( x  20);
3
4 x  3 y  32  0
y  16 
3 y  48  4 x  80;
(CD).
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D— точки пересечения прямых АВ и CD.
Решая совместно систему:
3x  4 y  24  0,
находим x  8, y  0, т.е. D(8;0).

4 x  3 y  32  0,
По формуле (1) находим длину высоты CD:
ÑD 
20  82
 16  0 2  20.
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала
координаты точки Е, которая является серединой стороны
ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
xE 
Следовательно,
xC  x B
y y
; yE  C B
2
2
(5)
xE  16  20 18; yE   6 16  5;
2
2
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение
медианы:
17
y 3
x4

;
5  3 18  4
x  7 y  17  0 ( AE )
y 3
x4

;
2
14
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты
CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
4 x  3 y  32  0, Находим

 x  7 y 17  0.
x 11,
y  4;
K (11;4)
6. Так как искомая прямая
параллельна стороне АВ,
то ее угловой коэффициент
будет равен угловому коэффициенту прямой АВ.
Подставив в (4) координаты найденной точки К и
угловой
коэффициент
3
k  ,
4
получим
Y
C
16
14
12
10
8
6
K
4
2
0
-2
E
A
D
2
4
-4
6
8
F
10 12 14 16 18 20
M
-6
рис.1
3
y  4   ( x  11);
4
B
4 у  16  3х  33
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D
является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5),
находим координаты искомой точки М:
18
X
8
4  xM
3  yM
; xM  12; 0 
;
2
2
yM  3; M (12;3).
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
Задача 3. Предел функции
Найти указанные пределы:
x2  x  6
x3  x  2
а) lim
;
б ) lim 3
;
x2 3x 2  5 x  2
x 1 x  x 2  x  1
Решение: а) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x  2 приводит к неопределенности
вида 0/0, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим
числитель и знаменатель на множители и сократим члены
дроби на общий множитель  x  2 . Так как аргумент x
только стремиться к своему предельному значению 2, но не
совпадает с ним, то множитель  x  2 отличен от нуля при
x 2 :
2
( x  2)( x  3)
lim x  x  6  lim
 lim x  3  5 .
x 2
3x 2  5 x  2
x 2
(3 x 1)( x  2)
x 2
3 x 1
7
б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x 1 приводит к неопределенности вида 0/0, чтобы
раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий
множитель  x 1 . Так как аргумент x только стремиться к
своему предельному значению 1, но не совпадает с ним, то
множитель  x 1 отличен от нуля при x 1:
отличен от нуля при x 1:
19
_ x3
 x2
3
2
x x
_ x2  x
x2 x
_ x 3  x 2  x 1 x 1
x3  x 2
x 2 1
x 1
x2  x2
2
_  x 1
 x 1
_ 2x  2
2x  2
0
0
Имеем:


x  1 x 2  x  2  l im x 2  x  2
x3  x  2

l
im
x 1 x 3  x 2  x  1
x 1
x 1
x  1 x 2  1
x2 1
4
  .
0
l im


Задача 4. Производная функций. Найти производные
dy следующих функций:
dx
4
а) y  3х  3
в) y 
3
1
х
 4; б) y  x 2  1sin x;
4 x 3
; г) y  ln arctg
x 2  5x  2
x 2 3 .
Решение: При нахождении производных функций используем правила дифференцирования и таблицу основных
элементарных функций.
Правила дифференцирования:

1. (C )  0 ;
5.  u   uv 2uv
v
v

2. (u  v  w)  u  v  w ; 6.  u   u
C 
20
C
3.
4.
(u  v)  uv  uv ;

7.  C    C
2
 v 
v
(C  u )  C  u ;
Производные основных элементарных функций
( x ) 1
( x  )   x  1
(sin x)  cos x
(cos x)  sin x
(tgx)  12
cos x
1
sin 2 x
x
(e )  e x
(ctgx)   
(a x )  a x ln a
(ln x)  1
x
1
x ln a
(lg x)  1
x ln 10
(log a x)  
(arcsin x) 
(arccos x)  
1
1 x 2
1

1 x2
1
1 x 2
( arcctg x)    1 2
1 x
( arctg x )  
Производные сложных
функций
(u )  u
(u  )   u  1 u 
(sin u )  cos u  u
(cos u )  sin u  u
1  u
cos2 u
(ctgu )   12 u 
sin u
u

(e )  eu  u 
(tgu) 
(au )  au ln a  u
(ln u )   1 u 
u
(log a u )  1  u
u ln a
(lg u ) 
1 u 
u ln 10
(arcsin u ) 
(arccos u )   
1
 u
1 u 2
1
u 
1 u 2
1 u 
1 u 2
( arcctg u )   1 2 u 
1 u
( arctg u ) 
а) Преобразуем данную функцию к следующему виду :
21
y  3х  3
1

1
3
 4  3х  х  4;
х
Применяя формулы дифференцирования (1), (2) и
4
формулу ( x

4
)   x  1 , получим:
y  3  4х 3 
1
1  3 1
1
х
 12 х 3 
.
3
3х3 х
б) Применив правило (3) дифференцирования и формулы ( x  )   x  1 , (sin x )  cos x
y   ( x 2  1)  sin x  ( x 2  1)  (sin x)  2 x sin x  ( x 2  1)  cos x,
в) воспользуемся правилом дифференцирования
(5), получаем:



4 x  3 3 x 2  5 x  2  4 x  3 3 x 2  5 x  2
y 

2
3
x 2  5x  2

(4 x)   3

4  0( x 2  5 x  2)
1
3
2
4 ( x  5 x  2)
2

1
3

 4 x  3 1 ( x 2  5 x  2)
3
43( x 2  5 x  2)
3
2
x
2
2
3
2
3
3

 4 x  32 x  5
( x  5 x  2)
2
2
3
( x 2  5 x  2)
( x  5 x  2)
2
3
3
3 ( x 2  5 x  2)
( x  5 x  2)
1
2
2
4 x  3( x 2 )   (5 x)   2
2


3
( x 2  5 x  2)
22

1
x 2  5 x  2  4 x  3  ( x 2  5 x  2) 3 


3
( x 2  5 x  2)


2
3


 5 x  2

12 x 2  5 x  2  4 x  32 x  5


4
( x 2  5 x  2) 3
12 x 2  60 x  24  8 x 2 14 x 15

4 x 2  46 x  9
4
.
( x  5 x  2)
е) Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.


2
1
y   ln arctg x 2  3 
arctg
x

3

arctg x 2  3

2
1
1

x

3

2
arctg x 2  3 1 x 2  3
( x  5 x  2)
2

4
3

2
3







2
1
1



x

3

2
arctg x 2  3 1 x  3 2 x 2  3
1



( x 2 )  3

2 arctg x  3 x  4
2
x
2
 4
2

x 3
2

2x

2 arctg x  3 x 2  4
2

x2  3
x
.
2
x  3  arctg x  3
2
Задача 5. Неопределенный интеграл
Найти неопределённые интегралы:
а)
4
х
 (5 х  5 
dx
); б)
8  5х 2
г)

dx
3  2х 2
; в)
3
 (1  sin х) cos xdx ;
 arctgxdx..
Решение: При нахождении неопределённых интегралов
функций используют следующие свойства:
1) C u( x)dx  C u( x)dx ,
23
2) u( x)  v( x)  w( x)dx  u( x)dx  v( x)dx   w( x)dx
и таблицу интегралов основных элементарных функций:
1. 0du C
2.  du  u  C
3.

u
u du 
 1
 1
C
5.  sin u du   cosu  C
7. eu du  eu  C
9.
u
8. a u du  a  C

ln a
du
 arcsin u  C
a
a2  u 2

du
1
du
1
u
10.
 a 2  u 2  a arctg a  C
11.
 a 2  u 2  2a ln a  u
12.

14.
 ctgu du  ln sin u  C
16.
 cosu  ln tg  2  4   C
a u C
du  ln x 
x2  
du
4.  du  ln u  C
u
6.  cosu du  sin u  C
u
9*.

du  arcsinu  C
1 u 2
du
10*.
1 u 2  arctgu  C
11*.
 u 2  a 2  2a ln u  a  C
x 2    C 13.
du
u a
1
 tgu du   ln cosu  C
15.
du
u
 sin u  ln tg 2  C

a) Преобразуем интеграл суммы в сумму интегралов
вынесем за знак интеграла в первом интеграле постоянный
коэффициент, в третьем коэффициент при
24
Используя таблицу интегралов, окончательно имеем
б) Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя
1 за знак интеграла
2
далее, используя таблицу интегралов (Формула №9), получим
В) Введем замену
и полученный интеграл находим
как интеграл от степенной функции:
25
Сделаем обратную замену
г) Интегрируем по частям по формуле:  udv  uv   vdu .
 arctgxdx 
xarctgx 
u  arctgx
dx
xdx

x  1  xarctgx   2
x 1
vx
du 
dv  dx
2
1
ln x 2  1  C .
2
Задача 6. Определенный интеграл и его приложения
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия2
ми у  х  2, у  2 х  х  6 .
2
Решение.
Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:
26
Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:
или
.
Находим: x1 = -2, x2 = 4.
Итак, данные линии, представляющие собой параболу
и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).
Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:
По формуле Ньютона-Лейбница находим:
27
Задача 7. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
а) Всхожесть семян данного растения составляет 90
%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян
взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение: Воспользуемся формулой Бернулли.
Если производится п независимых испытаний, при
каждом из которых вероятность осуществления событий А
постоянна и равна р, а вероятность противоположного события q=1-р, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А
осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле:
Pn ( m )  C nm p m q n  m , (1)
m
где C n – есть число сочетаний из п элементов по т.
а) По условию задачи вероятность всхожести семян
р=0,9; тогда q= 0,1; в данном случае n=5 и т = 4. Подставляя
эти данные в формулу Бернулли (1), получим
P5 ( 4 )  C 54 ( 0 ,9 ) 4 ( 0,1 ) 
5 4 3 2
0,656  0,1  0 ,328
1 2  3  4
.
б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом,
P ( A )  P5 ( 4 )  P5 ( 5 ). Первое слагаемое уже найдено.
Для вычисления второго снова применяем формулу (1):
P5 ( 5 )  C55 ( 0,9 )5 ( 0,1 )0  1  0,591  1  0,591
.
Следовательно, Р(А) =0,328 +0,591 = 0,919.
28
Вероятность появления события А в каждом из
625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появится ровно 415 раз.
Решение: Если число испытаний п велико, то
применение формулы Бернулли приводит к громоздким
вычислениям. Использование этой формулы становится
практически невозможным. В таких случаях применяют
приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна р (р
отлично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность Рп (т) того, что в этих испытаниях событие А наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле
b)
1
 ( x ),
npq
Pn ( m) 
где
x
m  np
, a  ( x) 
npq
(2)
1
e
2
x2

2
Имеются готовые таблицы значений функции
 ( x ) (см. табл. 1 Приложения). Для х>5 считают,
что  ( x)  0.
Так как функция φ(х)–четная, то φ(-х)=φ(х). По
условию задачи n = 625, m = 415, р= 0,64. Находим q = 1–0,64
= 0,36. Определяем значение x:
x
415  625  0,64
 1,25.
625  0,64  0,36
По таблице 1 находим, что φ(1,25)=0,1826. Подставив это
значение в (2), получим
29
P625 (415) 
1
625  0,64  0,36
0,1826  0,015.
c) Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5
семян сорняков?
Решение: Применение асимптотической формулы (2)
для случая, когда вероятность р близка к нулю, приводит
к значительному отклонению от точного значения Р п (т).
При малых значениях р (и при малых значениях q)
применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность появления события А в каждом из n
независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит
ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле
m
P (m)   e   ,
где   np. (3)
n
m!
Формулу (3) применяют в тех случаях, когда   10.
При этом чем больше число п и меньше число р,
тем точнее результат по этой формуле. По условию
задачи n = 5000, m = 5, р = 0,0004. Тогда λ = 5000·0,0004 =
2. Применяя (3), получим
P5000( 5 ) 
25  2
32
e 
0,1353  0,036.
5!
120
d) Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330
до 375.
Решение: Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно m раз при п независимых испытаниях. На
практике часто требуется определить вероятность того,
что событие А наступит не менее т1 раз и не более т 2 раз,
т. е. число т определено неравенствами
30
m1  m  m2 .
В таких случаях применяют интегральную теорему
Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом
из п независимых испытаний постоянна и равна р (р отлична от нуля и единицы), а число п достаточно велико,
то вероятность того, что событие А в таких испытаниях
наступит не менее т 1 раз и не более т 2 раз, вычисляется приближенно по формуле
Pn (m1  m  m 2 ) 
где  
m1  np
npq
1
2
,  

e

x2
2
dx,
(4)

m 2  np
npq
.
Функция Ф(х) являйся монотонно возрастающей.
При неограниченном возрастании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями
функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:
Pn ( m1  m  m2 )  Ô (  )  Ô (  ). (5)
Имеются
таблицы
õ
значений
функции
z2

2
1
 e dz , (см. табл. 2 Приложения). Функ2 0
ция Φ(х) называется функцией Лапласа. Эта функция
является нечетной, т.е. Ф(–х)=–Ф(х). Поэтому таблица
значений дается только для положительных чисел. По
условию n = 600, p=0,6, m1= 330, m2=375. Находим
Ô( õ ) 

330  600  0,6
 2,5,
600  0,6  0,4

375  600  0,6
1,25.
600  0,6  0,4
По таб. 2 находим Ф( 1,25) = 0,3944; Ф(–2,5) = –Ф(2,5)=
= – 0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую
вероятность:
P600( 300  m  375 )  0,3944  ( 0,4938 )  0,8882 .
31
Задача 8. Случайные величины и их числовые характеристики.
Случайная величина X распределена по нормальному
закону. Математическое ожидание М(Х) =5; дисперсия
D(X) = 0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4,7).
Решение: Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β), вычисляется
по формуле
P(   X   ) 


f ( x )dx.

Если величина X распределена по нормальному закону,
то
 à
  à 
P(   X   )  Ô 
  Ô
,
  
  
(6)
в) Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону. Стандартная
длина (математическое ожидание) а = 40 см, среднее
квадратическое отклонение σ = 0,4 см. Найти вероятность
того, что отклонение длины от стандартной составит по
абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение: Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а–δ, а+δ), где
а = 40 и δ = 0,6. Подставив в формулу (6) α=а – δ и β= а + δ,
получим
a  à
a   à
P( a    X  a   )  Ô 
  Ô







 
 
 
 Ô    Ô     2Ô   ,
 
 
 
32
 
P( X  a   )  2Ô  . (7)
 
Таким образом, подставляя в (7) имеющиеся данные,
получим
 0 ,6 
P( X  40  0 ,6 )  2Ô 
  2Ô ( 1,5 )  2  0 ,4332  0 ,8664 .
 0 ,4 
Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8864.
где а = М(Х) и   D( X ) . По условию задачи а = 5,
  0 ,64  0 ,8 , α=4 и β=7. Подставив эти данные в (6), получим:
 75
 45
P(4  X  7)  Ф
  Ф
  Ф(2,5)  Ф(1,25) 
 0,8 
 0,8 
 Ф(2,5)  Ф(1,25)  0,4938  0,3944  0,8882.
33
Раздел 3
Задачи для контрольной работы
№ 1- 20. Решить систему уравнений методом Крамера
1.
2 x1  3x2  x3  2,

 x1  x2  3x3  4,
3x  5 x  x  4.
2
3
 1
6.
2.
4 x1  3x 2  2 x3  1,

3x1  x2  x3  3,
 x  2 x  3x  8.
2
3
 1
7.
3.
4.
5.
34
5 x1  2 x2  x3  1,

2 x1  x2  2 x3  6,
 x  2 x  x  5.
2
3
 1
3x1  3x2  2 x3  1,

2 x1  x2  x3  3,
 x  2 x  3x  4.
2
3
 1
 x1  3x2  x3 1,

2 x1  x2  x3  7,
2 x  x  3x  5.
3
 1 2
8.
9.
2 x1  x2  3x3 1,

 x1  2 x2  x3  8,
4 x  3x  2 x  1.
2
3
 1
 x1  2 x2  x3  4,

2 x1  x2  3x3  5,
3x  4 x  x  2.
2
3
 1
2 x1  x2  3x3  3,

 x1  2 x2  x3  2,
 x  3x  4 x  1.
2
3
 1
3x1  x2  2 x3 1,

 x1  2 x2  3x3  5,
2 x  3x  x  4.
2
3
 1
3x1  2 x2  x3  3,
10. 
 x1  x2  2 x3  4,
2 x  2 x  x  4.
2
3
 1
3x1  x2  2 x3  4,

11.  x1  2 x2  x3  1,
2 x  3x  2 x  0.
2
3
 1
2 x1  3x2  x3  2,

12.  x1  2 x2  3 x3  0,
 x  x  2 x  6.
3
 1 2
 x1  x2  2 x3 1,

16. 2 x1  3 x2  x3  0,
 x  2 x  x  7.
2
3
 1
2 x1  3x2  x3  3,

17.  x1  x2  2 x3  4,
3x  2 x  6 x  0.
2
3
 1
3x1  2 x2  2 x3  3,

13. 2 x1  x2  x3  5,
5 x  x  3x  4.
3
 1 2
 x1  5 x2  x3  1,

14. 2 x1  x2  2 x3  7,
 x  4 x  x  0.
2
3
 1
 x1  2 x2  4 x3  0,

18. 3x1  x2  3x3  1,
2 x  x  5 x  3.
3
 1 2
2 x1  3x2  x3 1,

19.  x1  5 x2  x3  4,
3x  x  4 x  0.
3
 1 2
2 x1  3x2  3x3  0,

15.  x1  x2  2 x3  7,
 x  2 x  3x  3.
2
3
 1
 x1  3x2  x3  1,

20.  x1  x2  2 x3  0,
3x  x  x  3.
 1 2 3
№21- 40.Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до
двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой
медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей
через точку К, параллельно стороне АВ; 7) координаты точки
М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
35
36
21. A(-7;-2),
B(5;-11),
C(9;11).
22. A(-4;8),
B(8;-1),
C(12;21).
23. A(-11;0),
B(1;-9),
C(5;13).
24. A(-9;10),
B(3;1),
C(7;23).
25. A(1;3),
B(13;-6),
C(17;16).
26. A(-8;7),
B(4;-2),
C(8;20).
27. A(2;1),
B(14;-8),
C(18;14).
28. A(-3;11),
B(9;2),
C(13;24).
29. A(3;6),
B(15;-3),
C(19;19).
30. A(0;5),
B(12;-4),
C(16;18).
31. A(-1;8),
B(11;-1),
C(9;13).
32. A(-5;9),
B(7;0),
C(5;14).
33. A(4;7),
B(16;-2),
C(14;12).
34. A(-9;6),
B(3;-3),
C(1;11).
35. A(-3;12),
B(9;3),
C(7;17).
36. A(-2;11),
B(10;2),
C(8;16).
37. A(5;2),
B(17;-7),
C(15;7).
38. A(-6;5),
B(6;-4),
C(4;10).
39. A(1;4),
B(13;-5),
C(11;9).
40. A(-4;10),
B(8;1),
C(6;15).
№ 41–60 вычислить указанные пределы:
3x 4  4 x  1
41.
а) lim
42.
а) lim
43.
а) lim
44.
а) lim
45.
4x5  x  3
а) lim
;
x  x 4  8 x  5
46.
а) lim
47.
а) lim
48.
а)
49.
а) lim
;
x  4 x3  2 x 2  1
x 2  3x  1
б) lim
;
б) lim
;
б) lim
x 2  3x  1
x  2 x3  x 2  2
x  x3  8 x  5
 x3
x  x 4  8 x  5
4 x3  x  3
x  x  8 x 3  5
lim
.
2 x 2  9 x  18
.
x 6 x 2  7 x  6
2 x 2  9 x  18
.
x 6 x 2  7 x  6
x2  2 x  1
x 1 2 x 2  x  1
.
x 3  5x 2  8x  4
б) lim
.
x 2
x 3  3x 2  4
;
б) lim
;
б) lim
.
x2  5x  6
x  2 x 2  12 x  20
x  5x 4  8x  5
77 x 2  x  4
x3  3 x  2
x  1 x 2  x  2
x  x4  3
x  x  8 x 2  6
3 x 2  14 x  5
x 5 x 2  6 x  5
;
x  2 x3  x 2  2
2 x2  x  3
б) lim
;
;
б) lim
x4  1
x 1 2 x 4  x 2  1
б) lim
.
.
3 x 2  10 x  3
x 3 x 2  2 x  3
.
37
4 x3  5 x 2  3
а) lim
51.
5
3
а) lim 5 x4  x  3x ;
б) lim
x2  4  2 .
x 2  16  4
52.
3
4
а) lim 4 x4  x  3 ;
x  x  8 x  5
б) lim
3x
.
5 x  5 x
53.
а) lim
54.
а) lim
55.
а) lim
56.
а) lim
57.
x  x 4  8 x  5
x 
3x7  4 x 2  6
2
x  x  8 x  5
2 x3  x 2  8
3
x  x  8 x  5
59.
а)
60.
а)
lim
lim
8
x  4x  1
x8  5 x 2  5
x   x 4  8 x8  3
lim
4 x3  5 x 6  1
4
6
x  x  4 x  3
x4
x 3
б) lim
.
x 3 3 x  x
x 0
;
;
;
;
2 x 1  3 .
x2  2
б) lim
б) lim
7 x3  5 x 2  6
x 
;
;
x  x 3  8 x 5  5
а)
2x  7  5
.
x 9  x  3
;
12 x 6  7 x 2  9
.
б) lim
;
x  8x  9
4
x  5 x 2  7 x  10
x 0
4
4 x 2  5 x3  3
lim
x 0
16 x 2  5 x 4  3
x 
а) lim
б)
x  4x  5
x  x9  8 x  10
58.
38
;
2 x 2  11x  5
50.
3x 1  1 2 x
.
x x2
б) lim
x 0
3x 2  1  1
x3  x 2
.
б)
2x  3  3
.
x 3 x  2  1
б)
lim
lim
x2
3x  2  2
2x  5  3
;
2 x  3 1 ;
б) xlim
 1
x 5 2
№61-80 определить производные
dy
, пользуясь форdx
мулами дифференцирования.
61.
в) y 
62.
а)
64.
3x  4
x  3x  2
x3
3
x  6x  5
1
4x
x 3  5x 2  3
3
3x
3
2
x  4x  1
2
а) y  4 x  4
x
б) y  5 sin x;
;
 cos x;
x
2
х
2
х
б) y  (1  x )  е ;
г) y  ln tgx3
;
 ex;
x
х
б) y  2  cos x;
г) y  ln arcsin 1  x 2 ;
;
2
 arcsin x;
х4
2
а) y  4 x  3
в) y 
65.
x
3
а) y  2 x  3
в) y 
 sin x;
3
y  x4 
в) y 
63.
2
2
а) y  5 x 
;
 сosx;
г)
y  arctg
2x  1
;
2x  1
2
б) y  ( x  1)arctgx;
г) y  ln arctg x  1;
2
б) y  (1  x )  arcsin x;
39
ех
;
в) y  2
х  4х  3
66.
2
а) y  4 x  4
в) y 
67.
5x  3
40
x  4x  6
;
arctgx
;
1 x2
а) y  x 3 
x 4  3x
3
г) y  ln sin( 3x );
3
б) y  (6 x  x )arctgx;
1 x
;
2
3
б) y  (ln x  x )(1  x );
2
г) y  ln arcsin 3 ;
;
x
4 3 2
 х ;
х3
x 4  11
x5  8x  2
2
а) y  3x  5
2
б) y  (1  x )arctgx;
г) y  earccos
4
 ex;
4
х
3x 2  5
а) y  x 5 
в) y 
71.
х
 ех ;
а) y  4 x 5  5 x  2 sin x;
в) y 
70.
1
2
y
3
б) y  ( x  3x)  ln x;
х
6
г) y  (3  4) ;
2
а) y  5 x  4
в)
69.
х
 сosx;
ln x
;
х2
в) y 
68.
2
г) y  (2tg3x  x 4 )3 ;
5
x
;
 ln x;
3
б) y  ( x  3х) ln x;
г) y  ln tg
2
;
x
x
б) y  3 tgx;
ех
;
в) y  2
х  4х  3
72.
73.
74.
75.
а) y  4 x 5  4 х 3  sin x;
y
а)
y  x3 
в)
y
а)
y  3x 4 
в)
y
y
x3  2
;
2
б) y  x arctgx;
y  ln arccos
1
;
x
x
4
б) y  2 (3x  x);
г) y  ln cos e 4x ;
x
;
ex
1
 ctgx;
х
x
б) y  2 ctgx;
г) y  e arctg
ln x
;
x4
3
х
2
 tgx;
3
x 2 1
1
x
 ln x; ;
;
x
2
б) y  3 (1  4 x );
г) y  ln arccos
ln x
;
x 1
3
а) y  2 x  4
2
б) y  ( x  1)arctgx;
г)
2
 arcsin x;
х
а) y  4 x 6  3
в)
77.
sin x
;
x  cos x
y
2 x
;
1 x
г) y  earctg
1
 tgx;
х5
а) y  4 x 5  3
в)
76.
cos x
;
x2  4
в)
г) y  arctg
1
;
2x
3
х
б) y  (5  x )  е ;
41
в)
78.
cos x
;
1  sin x
;
а) y  x 4  3
3
y
в)
79.
80.
y
г)
 ctgx;
х
1  сosx
;
x 2  4x
arctgx
;
x 3  3x
y
а)
y  x3 
х4 1
;
в) y 
sin x
1 x 2
;
3
2х
б) y  ( х  3) ;
г) y  ln tge2
5
 ln x;
х4
1
x
x
б) y  2 sin x;
г) y  earccos
а) y  2  2 х 2  3 х 2 ;
в)
y  ln arctg
x
;
2
б) y  (1  х ) ln x;
г) y  e arcctg
4 x 1
;
В задачах 81–100 найти интегралы:
81.
а)  (2 х  5  3 х )dx ;
х
в)  4 xarctg2 xdx .
82.
а)  (4 х 3
3

х4
х )dx ;
x 2 dx
б)  3
;
3х  4
б)  22хdx ;
х 4
в)  ln xdx .
83.
4
а)  (5 х  3
2
х
 е х )dx ;
в)  2 x cos 4 xdx .
42
б)  sin 2 x  cos xdx ;
84.
а)  ( х 3 
5 3
 х )dx ;
3
х
б) 
dx
;
cos (3x  1)
2
в)  arccos 3xdx .
85.
а)  (6 х 5  5  3 х 2 )dx ;
х
в)  x sin 2 xdx .
б)  sin xdx
;
cos 2 x
86.
а)  (6 x 2  23
x
б)
 3 x ) dx ;
 xe
x 2 3
dx ;
в)  xe  x dx .
87.
а)  (10 x 4  42
x
б)  xdx
;
x2  2
 3 x 2 )dx ;
в)  arctg2 xdx .
88.
а)  (4 x  53
x
 4 x )dx ;
б)

dx
1 x
;
в)  2 xe 3 x dx .
89.
а)
6
x
 (7 x  x 7  e )dx ;
6
x 2 dx
б)  3 ;
3x 1
в)  x cos xdx .
90.
а)  (3x 2  67
x

1
)dx ;
cos 2 x
б) 
dx
x4
;
в)  x 2 e x dx .
91.
2
а)  (10 x 
4
x
 5)dx ;
б) 
xdx
2x 2  3
;
в)  xe4 x dx .
92.
4
а)  (3x 2  119 x 7 )dx ;
x2
б)

4x  5
11  x
dx ;
43
в)  dx .
sin 3 x
93.
а)  (7 x 6  67
x
 а x )dx ;
б)
 cos
в)  x ln xdx .
94.
а)  (2 
3
1

)dx ;
2
x 3 x2
б) 
2
dx
;
(3 x  2)
2x 1
dx ;
5  x  12
в)  ctg 3 xdx .
95.
а)  (6 x5  13  85
x
x 3 )dx ;
б)
dx
 (2 x  3)
5
;
в)  x cos 4 xdx .
96.
а)  (5x 4 
3
2

)dx ;
4
x
x
в)
97.
98.
 x sin 3xdx .
5
3
а)  (3x  6  3 2 )dx ;
x
x
2
в)
а)  (6 x 5  12
x
б)  22 x  1 dx ;
x  x5
x 2 dx
б)  3 ;
5 x 1
 x cos xdx .
 85 x 3 )dx ;
б)  cos 2 x sin xdx ;
в)  ln 5 xdx .
99.
а)
3
 (7 x  x 4  3 x )dx ;
4
б)

3x 2  1
x3  x  2
в)  xe3 x dx .
100.
44
2
5
а)  (4 x  3  7 2 )dx ;
x
x
3
x 2 dx
б)  3 ;
4 x 1
dx ;
в)  x 3 ln xdx .
№ 101-120. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
y  х 2  4 х  3, y  х  1
y  х 2  2 х, y  х  2
y  х 2  4 х  3, y  х  3
y  х 2  6 х  10, y  х
y  х 2  2 х  1, y  х  1
y  х 2  6 х  8, y  х  4
y  х 2  6 х  13, y  х  3
y  х 2  8х  15, y  х  5
y  х2 , y  х  2
y  х 2  1, y  х  1
112.
y  х3 , y  4х
y  2х  х 2 , y  х
113.
y
111.
2 2
1 2
х , y  4 х
3
3
115.
y  2х 2 , y  4 х
y  х , y  х2.
116.
y  3  2 х,
114.
117.
118.
y  х2.
y  4  х 2 , y  3х 2 .
y  3  2х , y  х 2 .
45
119.
y  2х , y  1 х 2 .
120.
y  х , y  х .
2
3
2
В задачах 121-125 использовать формулу Бернулли для
определения вероятностей появления события при повторении испытаний.
121. Всхожесть семян некоторого сорта пшеницы составляет 85%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных
семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
122.
В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 6 волокон длинных окажется: а) четыре; б) не более двух.
123.
Принимая вероятность рождения мальчика равной
0,51, найти вероятность того, что среди 5 новорожденных:
а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.
124.
В некотором водоеме караси составляют 80%.Найти
вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме
рыб окажется: а) 3 карася; б) не менее 4 карасей.
125.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%.
Найти вероятность того, что среди четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; в) все.
В задачах 126—130 использовать асимптотическую
формулу Пуассона для определения вероятностей появления
события при повторении испытаний.
126.
Семена содержат 0,15% сорняков. Какова вероятность
при случайном отборе 2000 семян обнаружить 6 семян сорняков?
127.
Вероятность появления зараженного побега в скрытой
форме равна 0,006. Найти вероятность того, что из 500 случайно взошедших зерен окажется 5 зараженных.
128.
Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти ве46
роятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков
129.
Книга издана тиражом в 100000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки равна
0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.
130.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 2 бактерий.
В задачах 131-140 дана вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равна 0,8. Найти:
1) Вероятность, что среди n стеблей опытного
участка будет т штук;
2) Наивероятнейшее число стеблей с тремя початками на опытном участке.
.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
п = 500, m = 380.
п = 400, т = 362.
п = 400, т = 320.
п = 600, m = 355.
п = 635, m = 400.
n =195, m =160.
n = 245, m =185.
п = 100, m = 94
п= 250, m =155.
n = 725, m = 560.
№141–160 Завод сортовых семян выпускает гибридные
семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют р. Найти:
1) Вероятность того, что из взятых наудачу n семян
первого сорта будет не менее m1 раз и не более m2
штук;
47
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
2) Наивероятнейшее число семян первого сорта из
взятых для проверки n семян.
n= 150, р = 0,6, m1 = 78, m2 = 96.
n= 100, р=0,8, m1 = 72, m2 = 84.
n = 400, p = 0,9, m1 = 345, m2=372.
n = 600, p = 0,4, m1 = 210, m2 = 252.
n = 300, p = 0,75, m1 = 210, m2 = 225.
n = 625, p = 0,36, m1 = 225, m2 = 255.
n = 400, p = 0,5, m1= 190, m2 = 215.
n = 225, p = 0,2, m1 = 45, m2 = 60.
n = 300, p = 0,25, m1 = 75, m2 = 90.
n = 625, p = 0,64, m1 = 400, m2 = 430.
n = 140, p = 0,6, m1 = 88, m2 = 96.
n = 120, p = 0,8, m1 = 82, m2 = 94.
n = 410, p = 0,9, m1 = 360, m2 = 390.
n = 600, p = 0,4, m1 = 220, m2 =242.
n = 310, p = 0,75, m1 = 210, m2 = 235.
n = 625, p = 0,36, m1 = 240, m2 = 280.
n = 400, p = 0,5, m1 = 220, m2 = 250.
n = 225, p = 0,2, m1 = 50, m2 = 80.
n = 300, p = 0,25, m1 = 85, m2 = 90.
n = 625, p = 0,64, m1 = 410, m2 = 430
В задачах 161–180 дано, что масса яблока, средняя величина которого равна a гр., является нормально распределенной величиной со средним квадратическим отклонением
 гр. Найти: 1) вероятность того, что масса наугад взятого
яблока будет больше  гр. и меньше  гр; 2) вероятность
того, что масса наугад взятого яблока отклонится от среднего
значения массы не более чем на  мм. Значения a ,  ,  ,
 ,  даны.
161.
162.
48
a =120
a =124


=5
=5
 =112
 =120
 =124
 =127
 =3
 =2
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
a =114
a =110
a =50
a =80
a =100
a =90
a =75
a =95
a =85
a =90
a =85
a =86
a =112
a =100
a =116
a =114
a =120
a =115


















=3
=4
=5
=4
=2
=5
=4
=3
=3
=5
=5
=4
=2
=3
=4
=5
=2
=4
 =112
 =108
 =42
 =76
 =106
 =87
 =72
 =90
 =83
 =86
 =84
 =84
 =110
 =106
 =115
 =112
 =116
 =112
 =116
 =114
 =54
 =84
 =112
 =94
 =78
 =99
 =88
 =92
 =89
 =90
 =114
 =111
 =117
 =118
 =124
 =118
 =1,5
 =2
 =2
 =1
 =2
 =1,5
 =2,5
 =2
 =3
 =1
 =2
 =3
 =1,5
 =1
 =3
 =2
 =3,5
 =2,5
В задачах 181-200 заданы результаты обследования. Требуется:
1) получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот;
49
2
2) вычислить выборочную среднюю хв , дисперсию s ,
среднее квадратическое отклонение s, коэффициент вариации V, ошибку средней s x ;
3) с надежностью 95% указать доверительный интервал для
оценки генеральной средней xr .
Обследовано 20 телят холмогорских помесей. Их живая масса
при рождении (кг) представлена в таблице: в таблице:
№
наблю
дения
1
1
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
2
27
3
43
4
39
5
36
6
26
7
27
8
28
9
26
10
34
11
27
2
32
26
30
36
35
43
26
32
32
37
3
31
35
30
28
45
39
38
30
36
37
4
32
45
36
31
26
36
30
38
39
32
5
28
26
38
30
35
26
33
35
36
33
6
37
35
24
32
32
32
37
28
30
40
7
35
32
32
24
32
26
35
35
35
33
8
26
32
30
38
35
30
24
31
26
25
9
28
35
31
36
35
36
32
36
32
34
10
32
35
28
30
28
35
32
35
32
23
50
№ задачи
11
39
28
36
30
32
31
35
32
37
35
12
34
32
36
39
36
36
32
35
32
28
13
30
36
25
32
32
30
32
28
27
31
14
37
32
27
27
36
28
24
30
27
26
15
26
36
35
35
37
45
32
28
36
31
16
27
37
37
32
33
32
26
39
26
37
17
40
33
28
34
28
45
32
28
35
31
18
35
28
31
26
31
36
30
36
35
27
19
37
31
27
23
36
31
38
30
35
28
20
28
32
37
28
33
26
35
32
37
36
Обследовано по весу (кг) 20 кроликов. Результаты обследования представлены в таблице:
№
наблю
дения
1
1
№ задачи
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
2
3,1
3
5,5
4
3,2
5
6,0
6
4,8
7
3,4
8
5,1
9
6,0
10
5,6
11
4,2
2
4,2
5,9
3,8
4,5
5,4
4,3
4,4
5,1
3,4
4,9
3
5,0
7,5
4,1
4,7
4,9
3,1
6,4
5,4
5,5
5,9
4
4,6
5,4
4,3
5,7
3,8
5,5
3,4
6,8
4,5
4,5
51
5
6,4
3,4
4,3
5,2
5,5
3,2
4,3
5,0
5,4
5,3
6
5,3
5,2
5,6
3,8
5,2
6,0
5,2
5,7
5,3
5,4
7
3,8
4,3
6,0
4,3
6,4
4,8
5,5
5,4
4,7
4,7
8
5,1
4,7
5,7
4,3
6,7
4,2
5,3
5,9
4,0
5,6
9
4,9
5,8
4,5
5,1
5,8
5,9
5,2
4,0
6,0
4,2
10
5,4
6,8
5,0
5,7
5,4
3,8
5,6
6,7
5,1
7,2
11
5,9
4,0
7,1
6,3
4,7
4,5
5,6
6,3
4,3
5,0
12
6,5
5,7
6,7
4,8
3,3
5,4
3,8
4,7
6,7
5,1
13
5,5
4,5
5,3
5,6
5,1
5,0
5,2
6,5
4,2
7,1
14
5,7
6,3
5,4
6,4
4,6
7,5
3,9
5,7
4,8
5,5
15
4,7
5,2
4,7
7,2
5,8
4,1
4,3
5,3
6,2
4,7
16
5,6
4,1
4,3
5,0
6,0
4,7
6,0
4,8
5,0
5,9
17
5,8
5,1
5,9
5,3
7,1
4,9
4,3
3,3
4,7
4,3
18
7,3
5,0
6,6
5,1
5,2
4,6
6,7
5,6
5,5
6,2
19
4,7
6,2
7,1
4,2
5,5
5,4
4,9
4,5
6,5
5,3
20
5,5
4,1
3,4
3,7
4,7
4,3
5,8
5,3
5,8
4,1
52
В задачах 201-220 требуется:
1) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между
признаками;
2) составить уравнение прямой регрессии Y на X;
3) нанести на чертеж исходные данные и построить прямую регрессии.
В таблице представлены данные о длине туши Х (см) и
толщине шпика У (мм) для свиней различных пород:
№
задачи
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
Пр
изнак
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
97
35
93
36
104
31
95
36
102
32
91
36
82
32
103
31
85
32
97
36
104
31
101
31
98
35
90
37
95
37
86
31
101
37
96
35
94
37
89
37
103
32
95
34
100
32
103
32
97
35
94
34
105
35
93
32
92
35
95
32
98
34
97
35
102
31
104
33
98
34
95
35
95
34
89
31
104
34
106
33
101
30
102
30
99
32
89
37
94
37
104
30
98
37
97
32
101
37
98
37
102
33
94
35
97
33
97
35
90
38
92
35
112
38
98
33
98
38
92
35
100
31
96
36
95
36
101
34
100
38
98
36
106
38
87
36
93
38
85
34
99
34
100
31
101
32
96
34
101
30
84
31
93
30
106
32
87
30
94
34
96
35
95
36
103
30
99
33
93
31
96
36
110
31
97
30
99
31
103
33
98
32
92
37
98
35
102
32
96
36
99
37
91
36
103
35
95
36
97
32
53
В таблице приведены измерения у 10 телят по глубине груди Х
(см) и живой массе У(кг):
№
задачи
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
54
Пр
изнак
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
91
62
82
51
103
79
85
56
97
61
97
52
93
61
103
54
85
62
104
54
86
43
101
59
96
61
94
63
89
48
104
59
101
43
96
63
94
43
98
63
94
60
105
78
93
68
92
60
95
59
103
78
95
60
93
60
92
60
100
60
95
73
95
63
89
69
104
70
106
75
98
63
97
73
89
70
104
73
102
70
104
87
98
73
97
55
101
64
98
62
101
73
102
87
97
64
101
87
99
64
92
65
112
68
98
70
98
59
92
67
102
68
94
65
98
59
98
65
97
59
98
79
106
65
87
66
93
61
85
60
100
65
96
79
87
61
93
79
95
61
84
52
93
62
106
64
87
49
94
72
99
62
100
52
106
49
87
52
101
49
96
65
110
70
97
75
99
58
103
78
96
70
95
65
97
58
99
65
103
58
99
68
91
62
103
61
95
56
97
58
98
62
92
68
103
56
95
68
98
56
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТАБЛИЦА 1.
Значение функции  ( x) 
x2
1 2
e
2
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0035 0034
0025 0025
0018 О018
0013 0013
0009 0009
0007 0006
55
3,6
3,7
3,8
3,9
0006
0004
0003
0002
0006
0004
0003
0002
0006
0004
0003
0002
0005
0004
0003
0002
0005
0004
0003
0002
0005
0004
0002
0002
0005
0003
0002
0002
0005
0003
0002
0002
0005
0003
0002
0001
0004
0003
0002
0001
ТАБЛИЦА 2.
Таблица значений функции Лапласа
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
56
Ф(х)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
x
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
Ф(х)
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
x
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
Ф(х)
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
x
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
Ф(х)
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
Ф( x ) 
x
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
1
2
Ф(х)
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
x
e

z2
2
dz
0
x
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф(х)
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
57
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Соловьев, Игорь Алексеевич. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и
ее приложения: учебное пособие/ И. А. Соловьев, В. В.
Шевелев, А. В. Червяков, А. Ю. Репин. - 2-е изд. испр..
- СПб.: Лань, 2009. - 320 с.
2. Соловьев, Игорь Алексеевич. Практическое руководство к решению задач по высшей математике.: учебное
пособие/ И. А. Соловьев, В. В. Шевелев, А. В. Червяков, А. Ю. Репин. - СПб.: Лань, 2009. - 448 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Изд-во «Мир и образование», 2003г.
 Ч.1 – 304 с., Ч.2 – 416 с.
Дополнительная литература
1.
Кузнецов, Альберт Васильевич. Высшая математика.
Математическое программирование: учебник/ А. В.
Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод. - 3-е изд. стер.. СПб.: Лань, 2010. - 352 с.
5. Двайт, Герберт Бристол. Таблицы интегралов и другие
математические формулы: справочное издание/ Г. Б.
Двайт ; пер. с англ. Н. В. Леви, ред. К. А. Семендяева.
- 10-е изд. стер.. - СПб.: Лань, 2009. - 232 с.
6. Гюнтер, Николай Максимович. Курс вариационного
исчисления: учебник/ Н. М. Гюнтер. - 2-е изд. стер.. СПб.: Лань, 2009. - 320 с.
7. Васильева, Аделаида Борисовна. Дифференциальные и
интегральные уравнения, вариационное исчисление в
примерах и задачах: учебное пособие/ А. Б. Васильева.
- СПб.: Лань, 2010. - 432 с.
4.
58
Акулич, Иван Людвигович. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие/ И.
Л. Акулич. - 2-е изд., испр.. - СПб.: Лань, 2009. - 352 с.
9. Кремер, Наум Шевелевич. Высшая математика для
экономистов: учебник/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И.
10. М. Тришин, М. Н. Фридман ; ред. Н. Ш. Кремер. - М:
Высш. образование, 2005. - 407 с; Ч. 2).
11. Высшая математика для экономистов./ Под ред. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. – М: Юнити, 2002.
– 471 с.
12. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т. Т.1. – М: Интеграл-Пресс, 2001. – 416
с.
13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т. Т.2. – М: Интеграл – Пресс, 2001. –
544 с.
14. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 кн. Кн. 1.-5-е изд., испр. – М: Высш. шк., 1999.
– 304 с.
15. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 кн. Кн. 2.-5-е изд., испр. и доп. – М: Высш.
шк., 1999. – 416 с.
8.
59
Для заметок
60