Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания и задания
к самостоятельной работе по математике
для студентов всех специальностей
всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета.
Саратов 2007
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа входит в цикл методических указаний «Элементы
высшей математики» и посвящена приближенным методам решения
нелинейных уравнений. Изложенный материал соответствует программе
курса «Математика» для инженерно-технических специальностей высших
учебных заведений.
Работа предназначена для самостоятельной подготовки студентов к
практическим занятиям, в особенности при вечерней и заочной форме
обучения. Она может быть полезна при выполнении текущих заданий и
типовых расчетов, при подготовке к контрольным работам и
теоретическим коллоквиумам.
С этой целью в наглядной и доступной форме приведены краткие (без
доказательства) необходимые теоретические сведения, правила и способы
решения задач вместе с рекомендациями по их применению. В
соответствии с требованиями программы изложение построено таким
образом, чтобы помочь студенту свести процесс решения к
последовательности взаимосвязанных действий, способствовать развитию
логического и алгоритмического мышления. Указанный подход
проиллюстрирован на примерах, снабженных подробными пояснениями.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Решение нелинейных уравнений является одной из задач, наиболее
часто встречающихся в практике инженера.
Всякое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в
виде:
F ( x)  0,
(1)
где F (x) – некоторая непрерывная функция.
Решением уравнения (1) называется такое значение x (корень
уравнения или нуль функции F (x) ), при котором F ( x)  0 .
Формулы для нахождения точного значения корней известны только
для узкого класса уравнений, например, квадратных и биквадратных,
некоторых тригонометрических, показательных и логарифмических.
На практике чаще всего встречаются уравнения, которые невозможно
решить с помощью элементарных приемов (прямых методов). Кроме того,
в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном
3
решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы
приближенно. Поэтому важное значение приобретают итерационные
методы, то есть методы последовательных приближений, позволяющие
находить корни уравнения (1) с любой наперед заданной степенью
точности.
Задача нахождения приближенного значения корня распадается на два
этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корня. Для каждого из этих
этапов решения задачи разработаны свои численные методы.
Определение. Под отделением корня уравнения (1) понимают
нахождение какого-либо отрезка, на котором лежит этот и только этот
корень данного уравнения.
Для отделения корней полезны следующие теоремы из математического
анализа.
Теорема 1. Если функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и
f (a) f (b)  0 , то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один
корень уравнения (1).
Теорема 2. Если функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a,b],
f (a) f (b)  0 и f 1 ( x) на интервале (a;b) сохраняет знак, то внутри отрезка
[a;b] существует единственный корень уравнения f ( x)  0 .
Для отделения корней можно использовать также график функции
y  f (x) .
Корнями уравнения (1) являются те значения x , при которых график
функции y  f (x) пересекает ось абсцисс. Построение графика функции
даже с малой точностью обычно дает представление о расположении
корней уравнения (1). Если построение графика функции y  f (x)
вызывает затруднение, то исходное уравнение (1) следует преобразовать к
виду 1 ( x)  2 ( x) таким образом, чтобы графики функций y  1 ( x) и
y  2 ( x) были достаточно просты. Абсциссы точек пересечения этих
графиков и будут корнями уравнения (1).
Пример 1. Отделить корни уравнения x3  x 2  x  6  0 .
Решение. Функция y  f ( x)  x3  x 2  x  6 определена и непрерывна на всей
действительной оси и f 1 ( x)  3x 2  2 x  1  2 x 2  ( x  1)2  0 для любого
действительного значения x . Следовательно, f (x) возрастает на всей оси и
может пересечь ось абсцисс не более чем в одной точке.
Заметив, что f (1)  3 , а f (2)  8 , можно утверждать, что единственный
действительный корень исходного уравнения лежит на отрезке [1,2].
4
Пример 2. Отделить корни уравнения е х sin x  1  0 .
Решение. Построить график функции y  е x sin x  1 трудно. Перепишем
исходное уравнение следующим образом: sin x  е  x .
Построив графики функций y  sin x и y  е  x (рис. 1), видим, что они
пересекаются в бесконечном числе точек. Следовательно, наше уравнение
имеет бесконечное множество действительных корней, причем все они
положительные. Можно указать отрезки, на каждом из которых
лежит один и только один
корень
исходного
уравнения
[2кП ;2кП 
П
],
2
и [2кП 
П
; (2к  1) П ] ,
2
к  0,
1, 2, … Так, например,
П
2
наименьший положительный корень расположен на отрезке [0; ] .
y
1
0

2
x
π
2π
3π
4π
5π
Рис.1
Уточнение корня. Постановка задачи
Допустим, что искомый корень уравнения (1) отделен, т.е. найден
отрезок [a,b], на котором имеется один и только один корень уравнения.
Любую точку этого отрезка можно принять за приближенное значение
корня. Погрешность такого приближения не превосходит длины [a,b].
Следовательно, задача отыскания приближенного значения корня с
заданной точностью  сводится к нахождению отрезка [a,b] ( b  a   ) ,
содержащего только один корень уравнения (1). Эту задачу обычно
называют задачей уточнения корня.
5
Метод половинного деления
Предположим, что корень уравнения (1) отделен и f (a) f (b)  0 .
Разделим отрезок [a,b] пополам и вычислим значение функции f (x) в
точке x  (a  b) / 2 . Может случиться, что f (( a  b) / 2)  0 , тогда корень
уравнения найден. Если же f (( a  b) / 2)  0 , то на концах одного из отрезков
[a; (a  b) / 2] или [( a  b) / 2; b] функция будет принимать значения разных
знаков. Обозначим этот отрезок через [a1, b1 ] и заметим, что b1  a1  b  a / 2 .
Если b1  a1   , то любая точка из интервала a1;b1  может быть принята за
приближенное значение корня.
Если же b1  a1   , то положив a  a1 , b  b1 и продолжая процесс
деления отрезка пополам, на каком-то конечном шаге получим точное
значение корня, либо через конечное число шагов длина [a,b] станет
меньше  . В последнем случае за приближенное значение корня можно
принять любую точку отрезка [a,b] ( желательно, его середину).
Метод хорд
Предположим, что корень уравнения (1) отделен и f (a) f (b)  0 .
Проведем через точки M (a; f (a)) и N (b; f (b)) прямую линию (хорду),
уравнение которой записывается в виде:
y  f (a)
xa

.
f (b)  f (a ) b  a
Найдем точку пересечения хорды осью абсцисс:
x1  a 
f (a)
(b  a) .
f (b)  f (a)
(2)
За приближенное значение корня уравнения (1) примем x1 .
Второе приближение x2 вычисляем по (2) относительно того из
отрезков a; x1  и x1; b , на концах которого функция f (x) принимает
значения разных знаков. Аналогично вычисляются и следующие
приближения.
Кроме того, предположим, что вторая производная f 11( x) на интервале
(a,b) сохраняет знак. Тогда на (a;b) график функции выпуклый, если
f 11 ( x)  0 , и лежит выше своей хорды. В этом случае точка пересечения
хорды с осью абсцисс находится между корнем уравнения (1) и тем
концом отрезка [a,b], в котором значение функции f (x) положительно
(рис. 2, 3).
Если же f 11( x)  0 на (a;b), то график функции f (x) на интервале (a,b)
вогнутый и лежит ниже любой своей хорды. В этом случае точка
6
пересечения хорды с осью абсцисс находится между корнем уравнения (1)
и тем концом отрезка [a,b], в котором значение f (x) отрицательно
(рис. 4, 5).
y
y
N(b, f(b))
M(a, f(a))
0
•
а x
b
M(a, f(a))
•
x
0
a
Рис.2
x
b
N(b, f(b))
Рис.3
y
y
N
M
x
•
0
x
x
•
x
a
b
0
a
M
Рис.4
x
b
N
Рис.5
Следовательно, во всех случаях приближенное значение корня лежит
между точным его значением и тем концом отрезка [a,b], в котором знаки
f (x) и f 11( x) противоположны. Поэтому, если известно (n  1)  е
приближение корня, то его n  е приближение можно вычислить по
Формуле:
xn  bf ( xn 1 )  xn 1 f (b)/ f ( xn 1 )  f (b) , n  N
7
для случая f (a) f 11( x)  0 или по формуле:
xn  af ( xn 1 )  xn 1 f (a)/ f ( xn 1 )  f (a), n  N
для случая f (b) f ( x)  0 .
На практике вычисление приближенных значений продолжают до тех
пор, пока два последовательных приближения xn и xn 1 не будут
удовлетворять условию
(3)
xn  xn 1   ,
11
но из выполнения неравенства (3) не следует, что
x *  xn   ,
где x * – искомый корень уравнения.
Более надежным практическим критерием окончания счета является
выполнение неравенства:
(4)
( xn  xn1 ) 2 / 2xn1  xn  xn2   .
Метод касательных (метод Ньютона)
Предположим, что корень уравнения (1) отделен, f (a) f (b)  0 и f 11 ( x)
сохраняет знак на интервале (a;b). Проведем касательную к графику
функции y  f (x) в том конце отрезка [a,b], в котором знаки f (x) и f 11 ( x)
совпадают.
Уравнение касательной имеет вид:
y  f (a)  f 1 (a)( x  a) , если f (a) f 11(a)  0 ;
y  f (b)  f 1 (b)( x  b) , если f (a) f 11(a)  0 .
Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс. Полагаем y  0 .
Тогда
x1  a  f (a) / f 1 (a) , если f (a) f 11(a)  0 ;
x1  b  f (b) / f 1 (b) , если f (a) f 11(a)  0 .
Полученное таким образом x1 примем за приближенное значение корня.
Последующие приближения вычисляются по формуле:
xn  xn 1  f ( xn 1 ) / f 1 ( xn 1 ) , n  2,3...
Вычисления выполняют до тех пор, пока не выполнится одно из
неравенств (3) или (4), в зависимости от того, какой из критериев принят за
условие окончания счета.
Легко заметить, что приближение к корню методом касательных будет
происходить с того конца отрезка [a,b], в котором знаки f (x) и f 11 ( x)
совпадают.
8
Комбинированный метод
Пусть f 11 ( x) сохраняет знак на интервале (a,b). Было показано, что
уточнения значения корня методом хорд и методом касательных
производятся приближением к корню с разных сторон: одно с
недостатком, другое с избытком. Комбинированный метод заключается в
последовательном применении метода хорд и метода касательных.
При этом метод хорд и метод касательных дают приближенные
значения, расположенные по разные стороны от искомого корня.
Если, например, график функции y  f (x) расположен, как на рис. 6, то,
взяв в качестве исходного отрезок [a,b], по методу хорд находим
приближение b1 , а по методу касательных–приближение a1 .
y
N
x =a
•
0
a
•
b
x
b
M
Рис. 6
В результате получаем отрезок [a1; в1 ] , содержащий искомый корень.
Значения a1 и b1 определяются по формулам:
a1  a 
f (a)
;
f 1 (a)
b1  a 
f (a)
(b  a) .
f (b)  f (a)
Положив a  a1 , b  b1 , получим новый отрезок [a;b], длина которого
меньше длины предыдущего. Если b  a   , то задача решена, если же
b  a   , то вычисления повторяются.
9
Метод простой итерации
(метод последовательных приближений)
Заменим уравнение (1) эквивалентным ему уравнением
x   (x) .
(5)
Это можно сделать различными способами, например,
x  x  cf (x) , c  0.
(6)
Предположим, что выбрано некоторое начальное приближение корня
уравнения (5). Определим числовую последовательность по формулам:
(7)
xn 1   ( xn ) , n  0,1,2,...
Такую последовательность называют итерационной.
Если на отрезке [a;b], содержащем x0 и все последующие приближения
xn , n  N , функция  (x ) имеет непрерывную производную  1 ( x) и
 1 ( x)  g  1 , то итерационная последовательность (7) сходится к
единственному на [a;b] корню уравнения (5). Скорость сходимости
определяется неравенством:
gn
x  xn 
x1  x0 .
1 g
*
Из этого неравенства, в частности, следует, что скорость сходимости
метода простой итерации зависит от величины g : чем меньше g , тем
быстрее сходимость. Следовательно, на практике при нахождении корней
методом простой итерации желательно представить уравнение (1) в форме
(5) таким образом, чтобы производная  1 ( x) в окрестности корня по
абсолютной величине была возможно меньше. Для этого иногда
пользуются параметром С из формулы (6).
Пример 3. Отделить корни уравнения x 2  2 cos x  0 и уточнить их
комбинированным методом (  104 ) .
Решение. Рассмотрим два способа отделения корней.
Графический способ.
Перепишем уравнение в виде x 2  2 cos x и построим графики функций
y  x 2 и y  2 cos x в одной и той же системе координат (рис. 7).
Так как эти графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два
корня, расположенные симметрично относительно начала координат на
интервалах (
10
П
П
;0) и ( ;0) .
2
2
y
y = x²
y = 2cos x

–
2
x

2
0
Рис.7
Аналитический способ.
Пусть f ( x)  x 2  2 cos x . Так как f (x) – четная функция, то достаточно
рассмотреть неотрицательные значения x . В силу неравенства
П
2 cos x  2   
2
будут меньше
2
положительные корни уравнения, если они существуют,
П
.
2
Производная
f 1 ( x)  2( x  sin x) .
На
интервале
 П
 0; 
 2
f 1 ( x)  0 ,
следовательно, f (x) здесь монотонно возрастает и ее график может
пересечь ось Ox не более, чем в одной точке. Заметим, что f (0)  2  0 , а
2
П П
f       0 . Значит, уравнение имеет один положительный корень,
2 2
П
лежащий на интервале  0;  . В силу четности функции уравнение имеет
 2
также один отрицательный корень, симметричный положительному.
Теперь
перейдем
к
уточнению
корня.
Для
применения
комбинированного метода уточнения корня необходимо убедиться, что
 П
f 11( x) на  0;  сохраняет знак, и выбрать начальное приближение корня
 2
11
для применения метода касательных. Оно должно удовлетворять условию:
f ( x) f 11( x)  0 .
Так как
f 11( x)  2(1  cos x)
положительна на 0;  , то
 2
П
начальное приближение корня в методе касательных может быть взято
Следовательно, можно положить x 
П
.
2
П
 1,570796 , x1  0 .
2
В нашем случае метод хорд будет давать приближенное значение корня
с недостатком, а метод касательных – с избытком (рис. 8).
y
2
x
•
•
x = x2

2
x
–2
Рис. 8
Рассмотрим один итерационный шаг уточнения корня. Вычислим
значения f (0), f 
П  1 П 
, f   . Новые значения x1 и x найдем соответственно
2 2
по формулам:
П

f (0)  0 
2
  0,703226 ;
x1  0 
П
f    f ( 0)
2
П
f 
П
2
x
    1,090906 .
2
П
f 1 
2
Вычисляем x  x1  0,38768  0,4  104   .
Заданная точность не достигнута, и вычисления нужно продолжить.
Результаты дальнейших вычислений приведены в табл. 1.
Следовательно, приближенное значение корня с нужной точностью
найдено в результате трех итераций и приближенно равно 1,0217.
12
Таблица 1
f (x)
x1
f ( x1 )
Номер
f 1 ( x)
x
итерации
1
0
1,570796
-2
2,467400 5,141592
2
0,703226 1,090906 -1,030993 0,266711 0,395590
3
1,011228 1,023485 -0,0390598 0,00673404 3,754823
1,021682 1,021691
x  x1
0,4
0,01
105
В силу симметрии графика функции f (x) значение второго корня
приближенно равно 1,0217.
Пример 4. Используя метод простой итерации, найти наименьший
положительный корень уравнения е x sin x  1  0 (  104 ) .
Решение. Запишем уравнение в виде (6):
x  x  c(е x sin x  1) ,
то есть в нашем случае  x   x  c(е x sin x  1) . Выберем постоянную
величину c так, чтобы  1 ( x)  1  cе x (sin x  cos x)  1 на 0;  .
 2
П
П
Очевидно, что при c  0 этого достичь нельзя. На интервале  0;  при
 2
c  0  ( x)  2cе cos x есть величина отрицательная, а значит,  ( x) на этом
интервале монотонно убывает. Поэтому наибольшее значение  1 ( x) при
11
x
1
любом фиксированном отрицательном значении c будет достигаться при
x  0 , 1 (0)  1  c , а наименьшее – при x 
П
П
,  1    1  4,8c.
2
2
Приравнивая эти выражения нулю, получим два значения для c : с  1 и
с  0,21 . Следовательно, если бы искомый корень был близок к нулю, то в
качестве c можно было бы взять число, близкое к  1 ; если бы корень был
близок к П / 2 , то в качестве c можно было бы взять число, близкое к  0,2 .
Но так как положение корня на
 П
0; 2 


неизвестно, то возьмем
c  (1  0,2) / 2  0,6 , то есть выберем среднее арифметическое полученных
ранее значений.
За начальное приближение x0 искомого значения корня возьмем
приблизительно середину отрезка, например, x0  0,7 .
Результаты вычислений по формулам:
xn 1  xn  0,6е x sin xn  1 , n  N
приведены в табл. 2. Промежуточные вычисления проводились с двумя
запасными знаками. Последний столбец таблицы состоит из левых частей
неравенства (4), округленных до двух значащих цифр.
n
13
Из табл. 2 видно, что если вычисления завершить по критерию (4), то для
достижения необходимой точности надо сделать 11 итераций.
Округленное до четырех десятичных знаков приближенное значение
искомого корня будет 0,5885.
Таблица 2
Номер
итерации
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xn 1
е x n 1
sin xn 1
xn   ( xn 1 )
0,7
0,521624
0,617925
0,573088
0,596025
0,584744
0,590411
0,587593
0,589001
0,58299
0,588650
0,588475
2,013752
1,684761
1,855074
1,773735
1,814890
1,794531
1,804728
1,799650
1,802186
1,800922
1,801553
1,801238
0,644217
0,498289
0,579345
0,542229
0,561357
0,551985
0,556702
0,554359
0,555530
0,554946
0,555238
0,555092
0,521624
0,617925
0,573088
0,596025
0,584744
0,590411
0,587593
0,589001
0,588299
0,588650
0,588475
0,588562
3,3  102
1,4  102
7,8  103
3,7  103
1,9  103
9,4  104
4,7  104
2,3  104
1,2  104
5,8  105
2,9  105
Если же вычисления завершить по критерию (3), то для достижения
необходимой точности нужно сделать 12 итераций. Округленное до
четырех десятичных знаков приближенное значение искомого корня будет
0,5886.
В математическом обеспечении ЭВМ имеется, как правило, стандартная
программа уточнения корней методом Ньютона, ряд программ,
реализующих
различные
итерационные
процессы
решения
трансцендентных уравнений, а также программа нахождения корней
полиномов.
Задания
Отделить корни уравнения и уточнить одним из рассмотренных методов
наименьший положительный корень каждого из уравнений:
1) arcsin x  0,2 x  0,1  0
2) arccos x  3x  0,2  0
3) arctgx  2 x  1  0
4) arcctgx  3x  0,1  0
5) chx  2 x  1,5  0
14
6)
7)
8)
9)
shx  lg( x  4)  0
thx  2 x  1,45  0
cthx  x 2  1  0
cthx  2 x  0,1  0
1
10) lg 4 x 
0
2,1x
11) x3  0,2 x2  0,2 x  0,2  0
x
 x2  4x  2  0
12)
 x 1
13) x 2  1  x 2  x  4,25  0
14) 2 x  sin 2 x  0,25  0
15) tgП  x 2  1  0
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов Н.С. Численные методы: в 2 т./ Н.С. Бахвалов. М.: Наука,
1975.Т.1.631с.
2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры /
В.В. Воеводин. М.: Наука, 1977.300 с.
3. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982.
254 с.
4. Гусак А.А. Элементы методов вычислений / А.А. Гусак. Минск:
Изд–во Белорус. ун – та, 1982. 164 с.
5. МАТЕМАТИКА: метод. указ. и задания / сост.: Ю.В Морковкин,
И.В Соломин. Саратов: СГТУ, 2000. Раздел «Аналитическая
геометрия». 20 с.
6. МАТЕМАТИКА: метод. указ. и задания / сост.: Ю.В Морковкин,
И.В Соломин. Саратов: СГТУ, 2001. Раздел «Дифференциальное
исчисление функций одной переменной». 36 с.
15
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания и задания к самостоятельной работе
Составили: МОРКОВКИН Юрий Вячеславович
СОЛОМИН Игорь Владимирович
Рецензент В.А. Пономарев
Корректор Н.Н. Крылова
Подписано в пичать
Формат 60×80 1/16
Бум. Офсет.
Усл. печ. л. 0,93(0,1)
Уч.-изд.л. 0,8
Тираж 100 экз.
Заказ
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Заключение
Кафедры «Высшая математика и механика» об издании рукописи
Морковкина Юрия Вячеславовича и Соломина Игоря Владимировича
«Математика Методические указания и задания к самостоятельной работе
студентов по разделу «методы решения нелинейных уравнений для всех
специальностей всех форм обучения».
В рецензируемой работе рассматриваются основные вопросы,
относящиеся к приближенным методам решения нелинейных уравнений.
Работа предназначена для
самостоятельного
изучения студентами
соответствующего теоретического материала и развития навыков решения
нелинейных уравнений, что очень важно при отсутствии соответствующей
литературы, учитывая, что по новым учебным планам до 50% бюджета
времени студентов отводится на самостоятельную работу.
В работе даны теоретические (контрольные) вопросы,
в целом
охватывающие теоретический материал. Следует отметить:
1) доходчивость изложения материала,
2) высокий методический уровень,
3) необходимость выполнения студентами соответствующей
самостоятельной работы по математике,
4) отсутствие подобных методик.
Учитывая все это, рецензируемая работа представляется методически
оправданной, своевременной и может быть рекомендована к
внутривузовскому изданию.
Одобрено на заседании кафедры 1 марта 2006 г., протокол № 5
соответствует стандарту.
Рецензент ассистент
В.А. Пономарев
Зав. Кафедрой, д.ф.м.н., профессор
В.Ю. Олышанский