КЛАССЫ СИММЕТРИИ n
advertisement
КЛАССЫ СИММЕТРИИ В кристаллах низшей и средней категорий возможны следующие сочетания элементов симметрии. Простейшие, или примитивные, классы симметрии: имеется только одна ось симметрии n-го порядка вдоль единичного направления (табл. 7).Во всех этих классах ось симметрии полярна. В классе 1вообще нет макроскопической симметрии, все направления не эквивалентны и полярны. Таблица 7 Обозначение примитивных классов симметрии Международное обозначение 1 2 3 4 6 Формула симметрии L1 L2 L3 L4 L6 Сингония Триклинная Моноклинная Тригональная Тетрагональная Гексагональная Центральные классы симметрии (табл. 8). К единственной оси добавляется центр симметрии, при этом направление остается единственным, но уже никакое направление не является полярным. Таблица 8 Обозначение центральных классов симметрии Элемент симметрии порождающий порождённый 1 – 2 m 3 3 4 m 6 m Класс симметрии 1 2/m 3 4/m 6/m Формула симметрии C L2PC L3 L4PC L6PC Сингония Триклинная Моноклинная Тригональная Тетрагональная Гексагональная Сочетание оси 3 и центра симметрии привело к появлению инверсионной оси. Обычно классы с инверсионными осями относят не к центральным, а к инверсионно примитивным, которые рассмотрим позднее. Планальные классы симметрии (табл. 9). Вдоль порождающей оси симметрии добавляется плоскость симметрии. По теореме 4 таких плоскостей окажется n. Таблица 9 Обозначение планальных классов симметрии Элемент симметрии порождающий порождённый 1 n плоскостей вдоль оси 2 3 4 6 Класс симметрии m mm2 3m 4mm 6mm Формула симметрии P L22P L33P L44P L66P Сингония Моноклинная Ромбическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная Во всех планальных классах единственная ось симметрии полярна. В классе m, кроме того, любое направление, лежащее в самой плоскости симметрии, будет единственным и полярным. Международный символ планального класса ромбической сингонии mm2записывается, таким образом, в соответствии с правилами записи символа, направление вдоль оси Z располагается на третьей позиции. Аксиальные классы симметрии (табл. 10). Добавляется ось 2 перпендикулярно порождающей оси симметрии. По теореме 3 таких осей окажется n. Таблица 10 Обозначение аксиальных классов симметрии с добавлением оси 2 Элемент симметрии порождающий порождённый 1 n осей 2 2 3 4 6 Класс симметрии 2 222 32 422 622 Формула симметрии L2 3L2 L33L2 L44L2 L66L2 Сингония Моноклинная Ромбическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная Класс 2уже был выведен ранее. В аксиальных классах единственная ось неполярна, потому что её концы могут быть совмещены поворотом вокруг оси 2, однако полярными могут быть другие направления, в частности в классе 32 оси 2 полярны. Если добавить к порождающей оси перпендикулярную ей плоскость (табл. 11), то получится только одно новое сочетание – класс 6. Таблица 11 Обозначение аксиальных классов симметрии с добавлением плоскости симметрии Элемент симметрии порождающий порождённый 1 – 2 1 3 – 4 1 6 1 Класс симметрии m 2/m 6 4/m 6/m Формула симметрии P L2PC L3P L4PC L6PC Сингония Моноклинная Ромбическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная Планаксиальные классы симметрии получаются, если к порождающей оси симметрии n-го порядка добавить центр симметрии, параллельные плоскости симметрии и перпендикулярные оси 2. Для чётных осей при этом появятся ещё и поперечные плоскости (табл. 12). Таблица 12 Обозначение планаксиальных классов симметрии Элемент симметрии порождающий порождённый 1 m 2 3 m 4 m 6 m Класс симметрии 2/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm Формула симметрии L2PC 3L23PC L33L23PC L44L25PC L66L27PC Сингония Моноклинная Ромбическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная В планаксиальных классах нет полярных направлений. Символ класса 4/mmm можно записывать более подробно: 4 2 2 , т. е. имеются единственная mmm ось 4, параллельная оси Z, и плоскость m, нормальная к ней, две оси 2 в координатных направлениях и плоскости, нормальные к ним, и две оси 2 в диагональных направлениях и плоскости, нормальные к ним. Мы рассмотрели все возможные сочетания, в которых порождающей была простая ось симметрии. Теперь в качестве основных осей симметрии возьмем инверсионные оси. В результате образуются инверсионнопримитивные и инверсионно-планальные классы, причём последние следуют из теоремы 6 (табл. 13 и 14). Таблица 13 Обозначение инверсионно-примитивных классов симметрии Международное обозначение Формула симметрии 3 4 6 L3С L4 L3P Сингония Тригональная Тетрагональная Гексагональная Таблица 14 Обозначение инверсионно-планальных классов симметрии Международное обозначение Формула симметрии 42m 6m2 L42L22P L63L23P = L33L24P Сингония Тетрагональная Гексагональная Из этих классов уже были выведены классы 3 и 6. Таким образом, для кристаллов низшей и средней категорий получилось 27 классов симметрии. Выведем классы симметрии кристаллов высшей категории, у которых нет единичных направлений и обязательно есть несколько осей симметрии порядка больше двух. В многограннике все эти оси пересекаются в одной точке. Если есть две оси симметрии, то, согласно теореме Эйлера, в системе рождается третья ось. В результате возникают ограничения на взаимное расположение осей симметрии порядка больше двух. Этим а б ограничениям удовлетворяют только Рис. 29. Симметрия тетраэдра (а) и октаэдра (б) два сочетания, соответствующие осям симметрии тетраэдра и октаэдра (рис. 29). Следует отметить, что симметрия октаэдра совпадает с симметрией куба. В результате получаем два класса симметрии. Классы симметрии тетраэдра и октаэдра для высшей категории представлены в табл. 15. Таблица 15 Классы симметрии тетраэдра и октаэдра Ось 3, 3, 2 4, 3, 2 Многогранник Тетраэдр Октаэдр Класс симметрии 23 432 У тетраэдра с осями координат совпадают три оси 2, у октаэдра, также как и у куба, – три оси 4. Цифра 3 на второй позиции в символе 23 или 432 означает наличие четырёх осей 3, проходящих через вершины куба или центры граней октаэдра, или через вершину и центр противоположной грани тетраэдра. Цифра 2 на третьей позиции означает 6 диагональных осей 2 октаэдра или куба. Остальные классы кубической сингонии можно вывести так же как и для более низших сингоний путём добавления поочередно центра симметрии или плоскостей симметрии (табл. 16). Плоскости можно добавлять лишь двумя способами: три координатных плоскости или шесть диагональных. Другое расположение плоскостей приведёт к появлению новых осей симметрии. Оси 2 добавлять тоже нельзя, потому что исчерпаны все возможные сочетания осей. Таблица 16 Классы симметрии высшей категории, возникающие при добавлении центра и/или плоскости симметрии 23 432 Элементы симметрии порождающий порождённый Три координатных 1 плоскости Плоскость m вдоль 1 оси 2 Шесть диагональных Плоскость m вдоль плоскостей; вместо оси 3 осей 2 оси 4 Три координатных плоскости; шесть 1 диагональных плоскостей Плоскость m вдоль оси 4 Плоскость m вдоль оси 3 1; шесть диагональных плоскостей Три координатных плоскости;1 Класс симметрии символ формула m3 4L33L23PC m3 -"- 43m 3L44L36P m3m 3L44L36L29PC m3m -"- m3m -"- Окончательно для кубической сингонии получаем 5 классов симметрии, которые представлены в табл. 17. Таблица 17 Классы симметрии кубической сингонии Есть ось 4 m3m Есть плоскости m Нет оси 4 Есть центр Нет центра симметрии симметрии m3 43m Нет плоскостей m Есть ось 4 Нет оси 4 432 23 Таким образом, получили все 32 класса точечной симметрии. Представим в табл.18 полный перечень всех классов. Таблица 18 32 класса симметрии Сингония Символ класса Формула Название Триклинная 1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm 3 3 32 3m 3m 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm 4 L1 C L2 P L2PC 3L2 L22P 3L23PC L3 L3C = L3 L33L2 L33P L33L23PC L6 L3P L6PC L66L2 L66P L33L24P L66L27PC L4 Примитивный Центральный Примитивный Планальный Центральный Аксиальный Планальный Планаксиальный Примитивный Центральный Аксиальный Планальный Планаксиальный Примитивный Инверсионно-примитивный Центральный Аксиальный Планальный Инверсионно-планальный Планаксиальный Примитивный 4 4/m 422 4mm 4m2 4/mmm 23 m3 432 43m m3m L4 L4PC L44L2 L44P L42L22P L44L25PC 4L33L2 4L33L23PC 3L44L36L2 3L44L36P 3L44L36L29PC Инверсионно-примитивный Центральный Аксиальный Планальный Инверсионно-планальный Планаксиальный Примитивный Центральный Аксиальный Планальный Планаксиальный Моноклинная Ромбическая Тригональная Гексагональна я Тетрагональна я Кубическая Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой – винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения. Всего известно 230 пространственных групп симметрии. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например, винтовая ось в огранке кристалла проявляется как соответствующая простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 пространственных групп симметрии макроскопически схожа (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп.