Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012 I этап

Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012
I этап
Физика 8 класс, вариант 1
1. Два бегуна, стартуя одновременно, бегут с постоянными скоростями. У первого
бегуна после прохождения им 2/3 пути развязались шнурки на кроссовках. Оставаясь неподвижным, он их завязывал 6 с. А затем побежал с прежней скоростью и финишировал одновременно со вторым бегуном. Через какое время после остановки
первого бегуна, второй догнал его?
Решение.
Пусть v1 — скорость первого бегуна, v2 — скорость второго бегуна.
Искомое время после остановки первого бегуна, когда второй бегун догнал его равно:
t
2 S 2S

3 v2 3 v1
(1)
(4 б.)
Так как бегуны пришли к финишу одновременно, но при этом первый бегун затратил на бег на 6 с меньше второго, то можно написать:
S S
 6
v1 v2
(2)
(4 б.)
Из равенств (1) и (2) найдём:

2 S
S
t= 

 6  4 c .

3 v
v
 2
2

Ответ: 4 с.
(2 б.)
2. Отец решил покачаться на качелях с двумя сыm2
новьями. Старшего сына он посадил напротив се- m1
бя, на одинаковом расстоянии L от центра качелей.
На каком расстоянии от центра качелей необходиL
L
мо посадить младшего сына, чтобы качели находились в равновесии, если известно, что массы отца, старшего и младшего сыновей
равны соответственно m1 = 70, m2 = 50 и m3 = 40 кг?
Решение.
Чтобы качели находились в равновесии, необходимо, чтобы момент сил, действующих на качели, был равен нулю:
1
m1 gL  m2 gL  m3 gx  0 ,
(4 б.)
где x — искомое расстояние. Выразим отсюда x:
x
m1  m2
L
m3
(4 б.)
Подставив численные значения для масс, получим:
Ответ: x 
1
L.
2
(2 б.)
3. В стакан, в котором было налито 100 г воды при температуре 20°С, бросили кусочек металла массой 200 г, который был предварительно нагрет до температуры
30°С. Определите, какой из металлов (см. таблицу) бросили в стакан, если известно,
что установившаяся в стакане температура равна 21,5°С. Теплоёмкость воды 4,2
кДж/(К.кг).
Металл
Свинец
Олово
Медь
Теплоёмкость, кДж/(К.кг)
0,13
0,23
0,38
Решение.
Запишем условие теплового баланса:
cВmB T  T0B   cM mM T  T0M   0
(4 б.)
Выразим отсюда cM :
cM 
mB T  T0B 
кДж
cВ  0,37
mM T0M  T 
К  кг
(4 б.)
По таблице видно, что найденная теплоёмкость соответствует меди.
Ответ: медь.
4 Пробковый шарик объёмом V удерживается
нитью у дна цилиндрического стакана с водой.
Затем нить перерезают, и шарик всплывает.
Площадь стакана равна S. Плотность воды
равна ρ0. Определите плотность материала шарика, если известно, что после всплывания
уровень воды в стакане уменьшился на h.
(2 б.)
g
h
S
Решение.
Пусть H — уровень воды в стакане до того, как нить разрезали. Тогда объём воды в
стакане равен:
2
Vв  HS  V
(1)
(2 б.)
(2)
(2 б.)
Так как объём воды после разрезания нити не изменился, то:
Vв  S ( H  h)  Vпогр ,
где Vпогр — объём погруженной части шарика. Сравнивая (1) и (2), найдём:
Vпогр  V  Sh
(3)
(2 б.)
Шарик находится в равновесии, поэтому сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда:
Vg  0Vпогр g
(4)
(2 б.)
Из равенств (3) и (4) находим:


Ответ:   1 
Sh 
 0 .
V 
(2 б.)
3
Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012
I этап
Физика 9 класс, вариант 1
1. В стакан, в который было налито 200 г воды при температуре 20°С, бросили кусочек свинца массой 100 г, предварительно нагретый до температуры 100°С. Определите, какая температура установится в стакане. Теплоёмкость воды 4,2 кДж/(К .кг),
а теплоёмкость свинца 0,13 кДж/(К.кг).
Решение.
Запишем уравнение теплового баланса:
cВmB T  T0B   cCmC T  T0C   0
(4 б.)
Выразим отсюда установившуюся температуру T :
T
cBmBT0B  cC mCT0C
cBmB  cC mC
(4 б.)
Подставив численные значения, получим:
Ответ: T 
cBmBT0B  cC mCT0C
 21,2С .
cBmB  cC mC
(2 б.)
2. Четыре одинаковых проводника соединены так, как показано на
верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют
ещё один такой же проводник так, как показано на рисунке. Определить отношение сопротивлений между концами цепей до и после добавления перемычки.
Решение.
Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычки равно сопротивлению четырёх последовательно соединённых сопротивлений r:
R1  4r
(1)
(4 б.)
Сопротивление между концами цепи после добавления перемычки равно сопротивлению последовательно соединённых двух сопротивлений r и сопротивления, равного сопротивлению параллельно соединённых сопротивлений r и 2r:
R2  2r 
2r  r 8
 r
2r  r 3
(2)
(4 б.)
4
Разделив (1) на (2) получим искомое отношение:
Ответ:
R1 3
 .
R2 2
(2 б.)
3. Капли воды начали падать с крыши высотой h с малым интервалом времени τ.
Определить расстояние между второй и третьей каплей, когда первая коснулась
земли. Ускорение свободного падения равно g. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение.
Время, за которое первая капля упадёт на землю равно:
t0 
2h
g
(2 б.)
Вторая капля начинает падать спустя время τ после начала падения первой капли.
Высота, на которой будет находиться вторая капля в момент времени t0 :
y2  h 
g
2
 t0   
2
(3 б.)
Аналогичные рассуждения для третьей капли дают:
y3  h 
g
2
t0  2 
2
(3 б.)
Тогда расстояние между второй и третьей каплей равно:
h 
Ответ: h 

g
g
g  2h
2
2
 3 
 t0      t0  2     2
2
2
2 
g


g  2h
 2
 3  .
2 
g

(2 б.)
g
4. После того как пролет моста длиной L обруα
шился, по берегам реки остались две эстакады с
длиной дорожного полотна L1, наклоненного под
L
L1
углом  к горизонту. В момент, когда автомобиль
L1
подъехал к началу этого моста у него отказал
двигатель. Какова должна быть минимальная скорость автомобиля, чтобы он смог
перелететь через разрушенный пролет?
5
Решение.
Пусть v0 — скорость автомобиля в момент, когда отказал двигатель, тогда скорость
автомобиля в момент, когда он подъедет к разрушенной части моста определяется
из закона сохранения энергии:
v2
v02
m  m  mgh ,
2
2
где h  L1 sin  — высота эстакады.
(1)
(2 б.)
(2)
Время полёта автомобиля равно:
t2
vy
v
 2 sin 
g
g
(3)
(2 б.)
Для того чтобы автомобиль перелетел через разрушенный пролёт моста, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
v xt  v t cos   L
(4)
(2 б.)
Подставив (3) в (4) получим неравенство:
v2
2sin  cos   L
g
(1 б.)
Учитывая, что 2sin  cos  sin 2 , а также учитывая равенства (1) и (2) получим:
v0  2 gh 
gL
sin 2
(1 б.)
Выбирая минимальное значение скорости, находим:
Ответ: v0  2 gh 
gL
.
sin 2
(2 б.)
6
Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012
I этап
Физика 10 класс, вариант 1
1. Камень бросают через овраг прямоугольного сечения глубиной 10м. Известно, что когда камень
бросают горизонтально, то он попадает в нижний
край стенки оврага. Когда бросают под углом 45° к
горизонту, то камень попадает точно в противоположный край оврага. Сколько времени летит камень
во втором случае? Начальная скорость камня одна и та же. Сопротивлением воздуха
пренебречь, ускорение свободного падения g принять равным 10 м/с2.
Решение.
Когда камень бросают горизонтально, то время полёта камня равно:
t1 
2h
,
g
(2 б.)
где h — глубина оврага.
За это время камень пролетает в горизонтальном направлении длину, равную ширине оврага:
L = vt1  v
2h
g
(3 б.)
(1)
Когда камень бросают под углом 45° к горизонту, то камень попадает точно в противоположный край оврага, т.е.:
L = vcos(45°)t2 
2
vt2
2
(3 б.)
(2)
Из равенств (1) и (2) следует:
Ответ: t2  2
h
2c.
g
2. Камень массы m, привязанный к нити, движется по окружности радиуса R. Определите натяжение нити в нижней точке траектории, если известно, что в верхней точке траектории
натяжение нити было равно Т. Ускорение свободного падения равно g.
(2 б.)
g
R
Решение.
7
Скорость в нижней точке vн связана со скоростью в верхней точке vв законом сохранения энергии:
mvв2
mvн2
 2mgR 
,
2
2
(1)
(2 б.)
Запишем второй закон Ньютона для камня в верхней и нижней точках траектории,
учитывая, что центростремительное ускорение связано со скоростью соотношением:
v2
aцс 
R
(2 б.)
В верхней точке сила натяжения T и сила тяжести направлены в одну сторону и сообщают камню центростремительное ускорение:
vв2
T  mg  m
R
(2)
(2 б.)
В нижней точке сила натяжения Tн и сила тяжести направлены в противоположные
стороны, поэтому:
vн2
Tн  mg  m
R
(3)
(2 б.)
Вычитая (3) из (2), получим:
Tн  T  2mg 
m 2
vн  vв2 

R
Используя равенство (1), окончательно получим:
Tн  T  6mg
Ответ: Tн  T  6mg .
(2 б.)
3. Пять одинаковых проводников соединены так, как показано
на верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют ещё два таких же проводника, как показано на рисунке.
Определить отношение сопротивлений между концами цепей
до и после добавления перемычек.
Решение.
Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычек равно сопротивлению пяти последовательно
соединённых сопротивлений r:
R1  5r
(1)
(2 б.)
8
Сопротивление между концами цепи после добавления перемычек можно представить как три последовательные сопротивления: два сопротивления треугольников и
одно сопротивление проводника:
R2  r  2 R
(2 б.)
(2)
Сопротивление треугольника равно сопротивлению параллельно соединённых сопротивлению одного и двух проводников:
R 
2r  r 2
 r
2r  r 3
(3)
(2 б.)
(4)
(2 б.)
Подставляя (3) в (2), найдём, что:
2
7
R2  r  2  r  r
3
3
Разделив (1) на (4), окончательно находим:
Ответ:
R1 15
 .
R2 7
(2 б.)
4. Цилиндрический снежный ком радиуса r0 начинает
скатываться со снежной горы высотой h и наклоном
α. Определить радиус получившегося снежного валика, если считать, что за один оборот на ком налипает
снег толщиной Δr (Δr<<r0).
h
α
Решение:
Известно, что на ком налипает снег толщиной Δr . Ком скатывается с горки, проходя
расстояние:
l
h
sin 
(2 б.)
Площадь поперечного сечения слоя налипшего снега равно:
S  l  r 
h
 r
sin 
(1)
(3 б.)
Таким образом, площадь поперечного сечения снежного кома увеличится на эту величину и станет равным:
 r 2   r02  S .
(2)
(3 б.)
Здесь r — искомый радиус. Подставив (1) в (2), найдём:
9
Ответ: r  r02 
h  r
.
 sin 
(2 б.)
10
Олимпиада школьников «Будущее Сибири» — 2012
I этап
Физика 11 класс, вариант 1
1. Шесть одинаковых проводников соединены так, как показано на верхнем рисунке. Затем к имеющимся проводникам добавляют ещё два таких же проводника, как показано на рисунке. Определить отношение сопротивлений
между концами цепей до и после добавления перемычек.
Решение.
Пусть сопротивление одного проводника равно r, тогда сопротивление между концами цепи до добавления перемычек равно сопротивлению шести последовательно
соединённых сопротивлений r:
R1  6r
(1)
(2 б.)
Сопротивление между концами цепи после добавления перемычек можно представить как четыре последовательные сопротивления: два сопротивления треугольников и два сопротивления проводников:
R2  2r  2 R
(2)
(2 б.)
Сопротивление треугольника равно сопротивлению параллельно соединённых сопротивлению одного и двух проводников:
R 
2r  r 2
 r
2r  r 3
(3)
(2 б.)
(4)
(2 б.)
Подставляя (3) в (2), найдём, что:
2
10
R2  2r  2  r  r
3
3
Разделив (1) на (4), окончательно находим:
Ответ:
R1 9
 .
R2 5
(2 б.)
2. Капли воды падают с крыши высотой h с малым интервалом времени τ. Определите расстояние между двумя соседними каплями в момент, когда первая из них
коснулась земли. Ускорение свободного падения равно g. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Решение.
Время, за которое первая капля упадёт на землю равно:
11
t0 
2h
g
(1)
(3 б.)
Вторая капля начинает падать спустя время τ после начала падения первой капли.
Высота, на которой будет находиться вторая капля в момент времени t0 :
y2  h 
g
2
 t0   
2
(3 б.)
Тогда расстояние между первой и второй каплей равно:
h  y2  y1  y2  h 
g
2
t0    (2)
2
Подставив (1) в (2), получим:
2

g  2h
g 2
h  h  
    gh 
2 g
2

g 2
Ответ: h  gh 
.
2
(4 б.)
3. Пробковый шарик объёмом V и плотностью ρ удерживается нитью у дна цилиндрического стакана с водой. Затем нить перерезают, и шарик всплывает. Насколько изменится уровень воды в стакане, если площадь стакана равна S. Плотность воды равна ρ0.
Решение.
S
Пусть H — уровень воды в стакане до того, как нить разрезали. Тогда объём воды в
стакане равен:
Vв  HS  V
(1)
(1 б.)
Так как объём воды после разрезания нити не изменился, то:
Vв  S ( H  h)  Vпогр ,
(2)
(1 б.)
где Vпогр — объём погруженной части шарика, а h — изменение уровня воды в стакане. Сравнивая (1) и (2), найдём:
Vпогр  V  Sh
(3)
(2 б.)
Шарик находится в равновесии, поэтому сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда:
Vg  0Vпогр g
(4)
(2 б.)
Из равенств (3) и (4) находим:
12
 
V
h    1
 0  S
(5)
Так как ρ0>ρ (иначе шарик бы не всплывал), то выражение (5) отрицательно, а это
означает, что уровень воды уменьшится.
(2 б.)

Ответ: уровень воды уменьшится на h   1 

 V
 .
0  S
(2 б.)
4. Имеются два одинаковых клина массы m с углом при основании α. Первый клин положили на g
Fmin — ?
гладкую горизонтальную поверхность, а другой
μ m
положили сверху на первый (см. рис.). Опредеα
лите минимальную горизонтальную силу, которую нужно приложить ко второму клину, чтобы он начал скользить. Коэффициент
трения между клиньями μ, μ> tgα.
Решение.
Выберем оси так, как показано на рисунке.
Запишем второй закон Ньютона для верхнего
клина в проекции на оси OX и OY, учитывая,
что в момент начала скольжения Fтр   N (1 б),
а ускорения верхнего и нижнего клиньев одинаковы
и равны a (1 б):
F
mg
Fтр
α
N
Fтр
N
y
x
OX:
F  N sin    N cos  ma
(1)
(2 б.)
OY:
N cos  mg   N sin   0
(2)
(2 б.)
Запишем второй закон Ньютона для нижнего клина в проекции на ось
N sin   N cos  ma
OX:
(3)
(2 б.)
Решая систему уравнений (1), (2) и (3), найдём:
 2mg (sin    cos  ) 
F 

 (cos    sin  ) 
Отметим, что при   ctg и выбранном направлении силы скольжение невозможно.
 2mg (sin    cos  ) 
 ,   ctg .
(cos



sin

)


Ответ: F  
(2 б.)
13