Применение показателей вариации в статистическом исследовании 1 Содержание 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ В СТАТИСТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ .............................. 3 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ ....................................... 6 ВЫВОДЫ ................................................................................................................. 8 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... 9 2 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ В СТАТИСТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся: • размах колебаний; • среднее линейное отклонение; • среднее квадратическое отклонение; • дисперсия; • квартильное отклонение. Размах колебаний (размах вариации) где xmах , xmin - соответственно максимальное и минимальное значения признака. Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариант и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда. Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение (σ) показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения. Среднее линейное отклонение определяется по формулам: а) для несгруппированных данных (первичного ряда) б) для п вариационного ряда Среднее квадратическое отклонение (σ) и дисперсия (σ2) определяются так: а) для несгруппированных данных 3 б) для п вариационного ряда Формула для расчета дисперсии может быть преобразована: т. е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины. Следовательно, Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних. Квартильное отклонение (dk) применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений: где Q1 и Q1 - соответственно третья и первая квартили распределения. Квартиль - значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части. Таких величин будет три: первая квартиль (Q1), вторая квартиль (Q2), третья квартиль (Q3). Вторая квартиль является медианой. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы. Сначала определяют положение или место квартили: Затем по накопленным частотам в дискретном ряду определяют численное значение. 4 В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором лежит квартиль, затем определяют ее численное значение по формуле где ХQ - нижняя граница интервала, в котором находится квартиль; S(Q-1) - накопленная частота интервала, предшествующего тому, в котором находится квартиль; fQ - частота интервала, в котором находится квартиль. При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах. Формулы расчета относительных показателей вариации следующие: Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). 5 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ Пример 1. При определении коэффициента вариации по статистическому ряду распределения числа рабочих по разрядам будем использовать следующие формулы: Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле: d xx f f . Дисперсия определяется по формуле: xx Д f 2 f . Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации: G Д ; G 100 . x Результаты расчетов представлены в таблице. Таблица 1 – Распределение числа рабочих по тарифным разрядам и вспомогательные расчеты Тарифный раз- Число рабо- xf x x f xx2 f ряд (xi) чих (fi) 2 8 16 15,2 28,88 3 16 48 14,4 12,96 4 17 68 1,7 0,17 5 12 60 13,2 14,52 6 7 42 14,7 30,87 Всего 60 234 59,2 87,4 Среднее значение тарифного разряда определяется по формуле: 6 x xf 234 3.9 f 60 Среднее линейное отклонение равно: 59.2 0.99 60 d Дисперсия: Ä 87,4 1,46 60 Среднее квадратическое отклонение: G 1.46 1.21 Коэффициент вариации: 1.21 100 31% 3.9 Пример 2. Из урны, содержащей 8 белых, 6 черных шаров наугад извлекают 2 шара. Пусть Х – число вынутых черных шаров. Найдем коэффициент вариации этой случайной величины. Ряд распределения случайной величины Х: Хi 2 1 0 Рi 0,165 0,527 0,308 Если оба вынутых шара черные: Р1 С62 6! 2!12! * 0,165 2 С14 2!4! 14! Р2 С61 * С81 / С142 Р3 С82 / С142 6! 8! 2!12! * * 0,527 1!5! 1!7! 14! 8! 2!12! * 0,308 2!6! 14! Функция распределения имеет вид: 7 0, если х 0, 0,308, если 0 x 1, F (x) 0.835, если 1 x 2, 1, если x 2. Математическое ожидание: n М xi pi 0.165 * 2 0.527 *1 0.857 i 1 Дисперсия: n D ( xi M ) 2 pi (2 0.857) 2 * 0.165 (1 0.857) 2 * 0.527 (0 0.857) 2 * i 1 * 0.308 0.4526 Коэффициент вариации: D 100 0,4526 / 0,857 *100 52,8% Ì ВЫВОДЫ В лабораторной работе изучено применение показателей вариации в статистическом исследовании. Для этого рассмотрены теоретические аспекты применения показателей вариации в статистическом исследовании, определены коэффициенты вариации на двух условных примерах. В результате определения коэффициента вариации по статистическому ряду распределения числа рабочих по разрядам получен коэффициент вариации, равный 31%, что свидетельствует об однородности совокупности. Во втором примере нахождение коэффициента вариации числа вынутых из урны черных шаров дало его значение в размере 52,8%. Это свидетельствует о неоднородности совокупности, так как значение коэффициента вариации больше 33%. 8 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Статистика рынка товаров и услуг: Учебник / Под ред. И.К. Беляевского. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 432с. 2. Экономическая статистика: учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 480с. 3. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник. – М.: Издательство „Дело и сервис”, 2000. – 464с. 4. Социально-экономическая статистика / Под ред. С.Р. Несторович. – Минск: БГЭУ, 2000. 9