Практическое применение оригами.

Негосударственное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов «Общеобразовательный Центр «Школа»
Математические оригами.
(Исследовательская работа)
Выполнила:
Василенко Анна Дмитриевна, ученица 8 класса
Руководитель:
Волкова А.В., учитель математики
Тольятти, 2010
2
Содержание
Введение ................................................................................................................................. 3
Обзор литературы .................................................................................................................. 4
История оригами ................................................................................................................ 4
Философия оригами. .......................................................................................................... 6
Азбука оригами, ее приемы и знаки. ................................................................................ 7
Практическое применение оригами. .............................................................................. 10
Исследовательская часть .................................................................................................... 17
Заключение ........................................................................................................................... 19
Список литературы .............................................................................................................. 20
Приложение №1. .................................................................................................................. 21
2
3
Введение
Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Постепенно оригами распространилось по всему свету и
завоевало популярность во многих странах.
Актуальность исследования состоит в том, что изучение оригами как вида искусства помогает при решении математических задач и является интересным примером
сочетания восточного искусства и математики.
В ходе работы перед нами встала проблема: противоречие между отсутствием
знаний об оригами и их необходимостью для проведения исследования по использованию оригами при решении математических задач.
Проблема исследования определила цель работы: изучить возможности оригами
при решении математических задач.
Задачи:
Изучить литературу по истории и технике оригами;
Систематизировать изученный материал;
Изучить алгоритмы применения оригами при решении практических задач;
Найти решения конкретных математических задач с помощью оригами.
Объект исследования – оригами.
Предмет исследования – математические задачи, решаемые с помощью оригами.
Гипотеза: если предположить, что решение математических задач сходно с техникой оригами, то её можно использовать в качестве одного из способов решения задач.
Работа состоит из четырех частей: вступления, обзора литературы, исследовательской части и заключения.
3
4
Обзор литературы
Изучая найденную литературу, мы выявили четыре вопроса:
1. История оригами
2. Философия оригами
3. Азбука оригами – приемы и знаки
4. Практическое применение оригами
Обратимся к первому вопросу.
История оригами
Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Постепенно оригами распространилось по всему свету и
завоевало популярность во многих странах.
Для успешного освоения оригами необходимо знать ряд особенностей при работе
в этой технике. Прежде всего, необходимо правильно подбирать бумагу; она не
должна быть рыхлой, иначе складки не будут держаться, а фигурка будет «разваливаться» и иметь неопрятный вид; бумага не должна быть очень толстой, так как будет
плохо сгибаться и ломаться на сгибах (поэтому картон для оригами не годиться).
Слово «оригами» японского происхождения и состоит из двух слов: «ори» - сложенный и «ками»- бумага. Это способ создания и конструирования из бумажного
квадрата разнообразных поделок и игрушек.[4] А квадрат в японской мифологии имеет магический смысл мироздания. Заманчиво поиграть в божество, не так ли?
История возникновения оригами неразрывно связана с появлением в Японии бумаги. Несмотря на строжайший запрет вывозить технологию изготовления бумаги из
Китая, в 7 веке странствующий буддийский монах Дан-хо (объяснение лексического
значения слов представлено в Приложении №1) добирается до Японии и передает
секрет производства бумаги. Как утверждают «Японские хроники», произошло это в
610 году н.э.
Оригами в Японии ведет свое начало от периода Хэйан (9 – 12 вв).
5
В то время бумага, сделанная вручную, была дорогим и очень ценным материалом, который использовался только в особых случаях. Изделия из сложенной бумаги
служили в основном предметами религиозного культа.
В периоды Камакура (13 – 14вв) и Муромати (14-16вв) оригами выходит за пределы храмов. Аристократы, монахи, представленные ко двору, и придворные императора должны были уметь складывать оригами. Умение складывать стало одним из
признаков хорошего образования и изысканных манер.
В период Адзути – Момояма (1513-1603гг) и Эдо (1603 – 1867гг) оригами из церемониального исскуства превратилось в популярный способ время провождения.
Именно тогда изобретается ряд новых фигурок, которые позже становится классическими.
В конце 20 века Россия познакомилась со многими новыми для нее явлениями,
как положительными, так и отрицательными. В начале 90х годов, когда интерес
наших соотечественников к оригами только начинал проявляться, за рубежом уже
существовала обширная литература, посвященная оригами.
Когда ситуация в Москве и в Санкт-Петербурге улучшилась, появились первые
центры оригами, в достаточно короткие сроки педагоги освоили азы этого творчества
и преподавали своим ученикам. В стране стали проводиться выставки, педагогические конференции и олимпиады по оригами. Люди в первую очередь интересуются
этим творчеством, а во- вторых, хотят развиться как в умственном, так и в логическом
мышлении.
Настоящая революция в области оригами относится к периоду окончания Второй
Мировой Войны. Мощный толчок развитию отечественного оригами дает создание
1989 и 1991 гг. двух общественных организаций – Московского и Петербургского
центров оригами. [1]
Для демонстрации современного состояние развития оригами в ряде городов проводятся выставки. Многие работы российских оригамистов вызывают интерес у зарубежных коллег. В 1998 году в США издательство St. Martin Press выпускает книгу
«Russian Origami», в которой представлены лучшие работы в технике складывания,
изобретенные в России.
6
Благодаря системам процесс складывания любой фигурки стало возможным
представить в виде серии рисунков – чертежей. Благодаря этой системе, которую создал японский оригамист Акира Ёсидзава, оригамисты всего мира без проблем могут
использовать чертежи. Некоторые занятия оригами являются своеобразной психотерапией, способной на время отвлечь человека от повседневных мыслей. Это впервые
проявилось в буддизме.
Микровывод:
Оригами развито не во всех странах, в каждой оно расценивается по-разному.
Где-то расценивается как своеобразная психотерапия, где-то как творчество, где-то
как сфера интересов. Оригами – творчество сложения бумаги для получения, какого
либо образа или фигуры.
Перейдем ко второму вопросу.
Философия оригами.
Оригами в его классическом варианте (только квадрат, никаких надрезов) не случайно родились в Древней Японии. Это занятие органично вписывалось в систему восточных взглядов на мир, присущих философии дзен-буддизме.
Эта философия практикует выработку взгляда на природу как на гармоничное
единство, где привычные для европейца противоречивые части и составляющие
неразрывно слиты в единое целое. В этом, вероятно, истоки иероглифической письменности, в которой каждый вписанный в квадратную рамку знак означает целостный
символ.
Пошаговая система записей в оригами очень напоминает это картиночное письмо,
понятное практически без слов. Квадрат в качестве рамки для иероглифов-символов и
как основа для складывания фигурок выбран не случайно. На востоке он является не
просто геометрической фигурой, а важным мировоззренческим символом.
В Древнем Китае квадрат олицетворял смыкающуюся с космосом землю. Необъятность Вселенной, в основе которой лежит квадрат, блестяще подчеркнута в афоризме Лао-Цзы. Таким образом, дзен буддизме квадрат является воплощением Все-
7
ленной с ее пустотой космоса и в то же время бесконечными возможностями созидания. Именно поэтому в квадрат вписаны все мандалы – священные буддийские выражения.
Попытки извлечь разнообразные формы из обыкновенного квадрата бумаги для
последователя дзен-буддизма воспринимались совершенно естественно. Более того,
обратимость этих форм, возможность вернуться к исходному квадрату и превратить
его в иную фигурку более чем наглядно иллюстрировала взгляд дзен-буддистов на
взаимопроникновение земных форм бытия.
Замечательно по этому поводу заметил Виктор Бескровных в своем философском
эссе «Оригами в поисках смысла»: «Буддийская пустота уничтожает границы между
предметами, а не разделяет их, как привычная нам западная. Вещи, люди, деревья,
дела, которые нас окружают, есть на самом деле лишь застывшие в форме проявления
Пустоты».[4]
Важно отметить одно все, что нас окружает,- это лишь проявления Пустоты, единой и неделимой. С таких позиций уже нетрудно взять квадрат - символ Пустоты и
попытаться превратить его во множество форм, как это делает «настоящая» Пустота.
Тут и заключается одна из главных причин появления оригами именно на Востоке. Казалось бы, какая пропасть между абстрактными философскими моделями мирра
и моделями из квадрата бумаги, но – нет, связь существует. Отсюда и запрет надрезать его. Надрез нарушает Единое. В оригами главное – само складывание, а не конечный результат.
Микровывод:
Классическое оригами – квадрат, следовательно, и основа для оригами. В оригами
главное – само складывание, а не конечный результат. Извлекая с помощью квадрата
разные фигурки, мы как бы позволяем проявиться тому, что заранее предшествовало
в Пустоте листа.
Азбука оригами, ее приемы и знаки.
В международной литературе по оригами давно сложился определенный набор
условных знаков, необходимых для того чтобы зарисовать схему складывания даже
8
самого сложного изделия. Большая часть условных знаков была введена в практику
еще в середине 20 века известным японским мастером Акирой Йошизавой.
Все обозначения в оригами можно разделить на стрелки, линии и знаки[1].
9
Для записывания того или иного приема знаки могут сочетаться между собой,
чаще всего это стрелки со знаками линий. Приведем несколько примеров.
1. Согнуть на себя, сделав линию сгиба «долина» –
.
Результат –
2. Стрелка нередко указывает, к какой поперечной линии надо согнуть край –
. Результат –
3. Помощь в работе могут оказать отмеченные углы или точки. В данном случае угол должен
совпасть с линией –
4. Прием «Завернуть» –
. Результат –
. Результат –
5. Прием «Согнуть назад»: фигурка обычно переворачивается на противоположную сторону.
Линия «гора» при этом превращается в «долину».
10
–
–
. Результат –
Сделаем микровывод:
Способы и приемы складывания фигур, решений передаются на схемах с помощью линий, стрелок и вспомогательных знаков и алгоритмов хода построения оригами. Не зная азбуки невозможно получить оригамское решение задачи.
Обратимся к последнему вопросу обзора литературы.
Практическое применение оригами.
Для оригами может использоваться любая бумага, но существует определенный
стандарт для складывания. Стандартная бумага для оригами должна быть тонкой,
прочной и должна хорошо держать складки. Обычно она с одной стороны белая, а с
другой – цветная и имеет форму квадрата со стороной 15 см (6 дюйм).
Некоторые художники-оригамисты также экспериментируют с другими материалами, используют для складывания картон. Отрабатывая технику складывания различных элементов изделий оригами, следует обратить особое внимание на правильное выполнение изгибов. Они должны быть практически «острыми» и слои бумаги
должны плотно прилегать друг к другу. Поэтому, после выполнения каждого отдельного этапа работы нужно проверять «остроту» всех изгибов. Важно знать особенности их строения в жизни, понять возможности стилизации. Это поможет выполнять
изделия по схемам, а также совершенствовать их и разрабатывать собственные модели.
При отработки техники складывания симметричных сгибов (выполнения ног,
клюва, элементов цветов) не следует сгибаемые стороны плотно состыковывать друг
с другом, так как при последующих операциях они могут налезать друг на друга и
портить внешний вид изделия. При грубых ошибках такого рода изделия сложить
иногда просто невозможно.
11
Базовые формы[6]:
Простые базовые формы
 Треугольник
 Книга
 Дверь
 Воздушный мей
Средние базовые формы
 Блин
 Рыба
 Водяная бомба
 Двойной квадрат
Сложные базовые формы
 Птица
.
12
 Катамаран
 Лягушка
Ученые, архитекторы и математики исследуют геометрию оригами для практических целей.
Математики открыли множество возможностей для решения геометрических и
топологических задач.
Архитекторы, строители, дизайнеры жилья увидели в оригами конструировании
возможности для проектирования. Архитекторы стали перерабатывать детали своих
будущих творений не только в чертежах на бумажной плоскости, но и в объемной.
Возникло даже новое течение – оригамная архитектура. Умелые воспроизведения в
бумаге объемных макетов позволяет лучше представить, как будет выглядеть здание с
любой точки зрения, под любым углом, при любом освещении.
Для педагогов оригами – уникальная возможность развития интеллекта ребенка.
Для психологов – одно из направлений арттерапии, возможности оказание больному помощи посредством искусства.
Относительно табу в оригами. В классическом – табу на надрезы, т.е нарушения
целостности квадратного листа, так как это был Символ вселенной, в котором все
объекты существуют в непроявленном виде, и их нужно извлечь, не нарушая единое
целое.
13
Есть такое мнение, что оригами не совместимо с коммерческой деятельностью,
так как оно вначале было только храмовым искусством, и кто забывает об этом, может быть наказан. Но это не значит, что в мире не покупают произведения искусства,
сложенные в этой технике. Маску Путина несколько лет назад продали за 4000$.
Замечательный мастер и философ оригами Виктор Бескровных считает, что невозможно придумать сатирическое оригами, на том основании, что это искусство
«появилось исторически в русле Истины как красоты, а это принципе исключает сатиру, как область поиска».
Один из идеалов оригами требует складывания исходного квадрата без предварительных чертежей и измерений. При таком складывании возникает проблема в случае, если необходимо сложить лист бумаги, например, втрое. Рассмотрим вопрос деления квадратного листа на две, три и пять равных частей[2].
1. Деление листа бумаги на две части.
2. Деление квадратного листа на три части.
3.Деление квадратов на пять частей с помощью складывания.
14
Задачами превращения одной фигуры в другую путем переложения разрезанных
частей занимались ещё в древние времена. Возникли они из потребностей практиковземлемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Появились
практические приемы и правила, не обоснованные доказательствами, и естественно,
что многие из них были неверны, ошибочны.
Один из самых замечательных арабских математиков Абул Вефа, живший в Х веке, решил целый ряд вопросов, относящихся к геометрическому превращению фигур.
В сочинении «Книга о геометрических построениях», дошедшем до нас не полностью, в списках его учеников, Абул Вефа пишет:
«В настоящей книге мы займемся разложением фигур; вопрос этот необходим
многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий. К таким вопросам мы приходим, когда требуется разложить квадраты так, чтобы получились
меньшие квадраты, или когда из нескольких квадратов требуется составить большой квадрат.
Ввиду этого мы дадим основные начала, которые относятся к данным вопросам,
так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах,
не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия»
Квадрат очень похож на механизм с хорошо прилаженными частями, который
можно разобрать и из тех же частей собрать новый механизм.
Из готовых частей квадрата можно сложить не только многоугольники, но и составить прямоугольный или равносторонний треугольник, правильный пятиугольник
или шестиугольник, три или пять квадратов и т. д.
4. Составление квадрата из трех равных квадратов.
15
Доказать: MKPN – квадрат
Доказательство:
 FEN =  MED по стороне и прилежащим к ней углам
N
 FEN =  MED – вертикальные углы,
NF=MD,
F
E
C
D
P
 NFE = 450,  MDE= 450,
поэтому  FNE =  DME.
M
A
Значит, NE=EM
B
Аналогично рассмотрим равенство образовавшихся маленьких треугольников.
А
К
5. Построить биссектрису угла.
B
C
1. Отогнуть бумагу по прямым АВ и ВС (не на лицевую сторону)
2. Совместить отогнутую АВ с отогнутым краем ВС.
3. Получившийся сгиб ВК – биссектриса угла АВС.
6. Доказать теорему: сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
1 шаг
2 шаг
2
1
3 шаг
2
1800
3
1
2
3
1
3
16
В результате обзора литературы можно сделать общий вывод: оригами как древний вид искусства, несущий в своей основе – квадрат, заключается в различных способах складывания.
Микровывод.
Складывание многих фигурок в оригами начинается с базовых форм. Базовые
формы в оригами играют роль своеобразных дебютов, сделав которые можно начинать свою собственную «партию». Оригами имеет широкий диапазон применения:
архитектура, математика, педагогика, психология, дизайнерство.
17
Исследовательская часть
В ходе исследования нами были решены следующие задачи:
Задача №1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30 лежит
катет, равный половине гипотенузы.
Док – во (с применением техники оригами)
1. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD.
С
B
D
А
2. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба.
B
C
А
D
3. Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ совместим с отрезком АК, тоесть угол А разделится на три равные части: угол ВАМ = угол NАК =
угол КАD = 30
B
N
C
B
N
C
K
A
А
D
4. Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего
точка D совместится с точкой М.
С
В
М
B
A
В
K
D
С
М(D)
K
B
A
5. Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А
18
В
В
М
N
B
K
B
А
С
М
 АМР =  МРК (совпадают
при наложении). Значит
АМ=МК и КD = КМ, КD = АК
P
B
Задача №2. Сосчитать сумму ряда
1 1 1 1
    ... .
2 4 8 16
Решение данной задачи осуществлялось с использованием компьютерных технологий. Техника оригами продемонстрирована во flash-ролике (см. файл «Сумма ряда.swf»)
Исследование продемонстрировало возможность решения математических задач
различного типа. В первой задаче техникой оригами была доказана теорема из геометрии. Второй пример продемонстрировал решение техникой оригами алгебраической задачи.
19
Заключение
Оригами – творчество сложения бумаги для получения какого-либо образа или
фигуры. Зародившись в Японии, оригами развито не во всех странах, и в каждой из
стран оно расценивается по-разному.
Оригами – это и церемониальное искусство, и способ проведения досуга, и своеобразная психотерапия. Основной символ философии оригами, и, следовательно, основа для оригами – квадрат.
Квадрат – это важный мировоззренческий символ, олицетворяющий смыкающуюся с космоса землю и подчеркивающий необъятность Вселенной. Квадрат – это
символ Пустоты. В оригами главное – само складывание, а не конечный результат.
Извлекая с помощью квадрата разные фигурки, мы как бы позволяем проявиться тому, что заранее предшествовало в Пустоте листа.
В технике оригами существует так называемая «Азбука», вобравшая в себя приемы складывания квадрата. Способы и приемы складывания фигур, решений передаются на схемах с помощью линий, стрелок и вспомогательных знаков и алгоритмов
хода построения оригами. Не зная азбуки невозможно получить оригамское решение
задачи.
Складывание многих фигурок в оригами начинается с базовых форм. Базовые
формы в оригами играют роль своеобразных дебютов, сделав которые можно начинать свою собственную «партию».
Оригами имеет широкий диапазон применения: архитектура, математика, педагогика, психология, дизайнерство.
В результате исследовательской работы гипотеза была подтверждена. В ходе исследования мы пришли к выводу о том, что оригами можно считать одним из способов решения математических задач.
20
Список литературы
1. Сергей и Елена Афонькины «Оригами». - М.: Педагогика, 1998.
2. С. Соколова «Все об оригами».- СП.: Увлечения, 2000
3. С. Соколова «Схемы оригами». - СП.: Увлечения, 2002
4. Всё про оригами - искусство складывания из бумаги [Электронный ресурс].
Адрес: www.origami.ru/
5. С. Афонькин. Искусство складывания из бумаги // Оригами. Искусство складывания из бумаги. – 1997. – 9,10.
6. О.А. Щеглова. Оригами. Волшебный мир бумаги. - Издательство: Владис, Рипол Классик, 2007.
21
Приложение №1.
Толкование лексического значения слов, встречающихся в тексте работы:
Дан-хо – странствующий буддийский монах
Хэйан -— исторический период с 794-го по 1185 г., назван по расположению императорского двора в городе Хэйан (кё) (Киото).
Муромати - исторический период с 1333 г. по 1568 г. Часто подразделяется на два
подпериода: Южной и Северной императорских династий (1336–1392) и «Эпоху воюющих провинций» (1467–1568).
Камакура - один из древних городов Японии, был основан в 1192 году. Расположен в
префектуре Канагава, на острове Хонсю. Город с трёх сторон окружен лесистыми горами, а с юга выходит на залив Сагами.
Эдо- старое название Токио, современной столицы Японии, до 1868 года. Так называют старинную центральную часть города вблизи замка Эдо.
Адзути- Момояма - (яп. 安土桃山時代) — эпоха в японской истории с 1568/1573 по
1600/1603 года. Название эпохи происходит от названий за́мков Адзути (префектура
Сига) и Момояма (Киото).