Загадки и свойства листа Мёбиуса

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №41
Канавинского района г.Н. Новгорода
Научное общество учащихся
Загадки и свойства листа Мёбиуса
Выполнил: Ермолаев Денис,
ученик 6 б класса
Научный руководитель:
Ручина Л.Г.
учитель математики
г. Нижний Новгород
2014г.
Содержание
Стр.
Введение…………………………..........................................................3
1 История открытия….. ……………………………………………4
2 Наука топология...............................................................................5
3 Изготовление листа Мебиуса ………………………………........7
4 Свойства листа Мёбиуса..................................................................9
5 Эксперименты с листом Мёбиуса ………….…………………..10
6 Применение листа Мёбиуса……………………………………..13
Заключение….........................................................................................19
Список используемых источников и литературы………………….20
2
Введение
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое
«поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса,
поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь
неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа
Мёбиуса показывает, что может. Чем же интересен этот лист? А тем, что у
листа Мёбиуса — всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой
поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или
волейбольная камера) – две стороны.
Впервые о таинственной и знаменитой петле я узнал из
фантастического рассказа Дж. Дейча «Лист Мёбиуса». Родители показали
мне, как он выглядит. Меня очень заинтересовала эта тема, поэтому я решил
узнать как можно больше о его свойствах, особенностях и истории открытия.
Я изучил литературу, затем сам изготовил лист Мебиуса, проводил
исследования, ставя опыты, изучая его удивительные свойства.
Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на
пол- оборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом.
Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый
день используют ленту Мёбиуса.
Цель работы: рассказать и показать людям, что на вид простая лента,
повёрнутая на пол-оборота со склеенными концами, может заключать в себе
много неожиданностей.
Задачи:
1. познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;
2. научиться самому и научить других изготавливать лист Мёбиуса;
3. изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;
4. узнать, где используются его свойства.
3
История открытия
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (лента Мёбиуса)
придумал в 1858 г. Немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (17901868), ученик «короля математиков» Гаусса.
Август Фердинанд Мёбиус годы жизни 1790-1868г.г., немецкий
геометр. Родился в городе Шульпфорт. Некоторое время под руководством
К. Гаусса изучал астрономию. Профессор Лейпцигского университета с 1816
года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и
аналитические методы исследования;
получил новую классификацию
кривых
общее
и
поверхностей,
установил
понятие
проективного
преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести
самостоятельные
астрономические
наблюдения
в
Плейсенбургской
обсерватории, в 1818г. Стал её директором. Работая в спокойном уединении,
Мёбиус
сделал
много
интересных
открытий.
Установил
(1858г.)
существование односторонних поверхностей, одна из которых – лист
Мёбиуса.
Существуют две легенды открытия односторонней поверхности. По
первой легенде, знаменитую ленту Мебиуса изобрел вовсе не сам Август
Фердинанд Мебиус, немецкий астроном и математик, а его горничная,
которая в силу невезения неправильно прострочила воротничок рубашки
ученого, таким образом, войдя в историю. По второй легенде, открыть свой
4
«лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы
ленты.
Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август
Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса, астроном и геометр,
послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом
листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись,
опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и
другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор
Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года
раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких
профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона и один край.
Открытие листа Мёбиуса положило начало новой науке, которая называется
топология.
Наука топология
С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил
существование
удивительного
одностороннего
листа
бумаги,
начала
развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией (подругому – «геометрия положения»).
«Геометрия»-слово греческое, в переводе на русский язык означает
«землемерие», («гео» - по–гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает
свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.
1. Планиметрия (лат. Слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел
геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат,
круг, окружность и т.д.).
2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) – раздел
геометрии,
изучающий
свойства
фигур
параллелепипед и т.д.).
5
в
пространстве
(шар,
куб,
З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из
самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются
свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать,
сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях.
Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные
воздушные шарики. С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и
то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих
тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать
отверстие, надо разорвать резину.
Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур,
остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных
отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая
от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше
время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к
объяснению устройства мироздания.
Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в
основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать
такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы
аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом
Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем
Александровым.
Удивительные свойства листа Мёбиуса — он имеет один край,
одну сторону,— не связаны с его положением в пространстве, с понятиями
расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.
Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства
такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с
наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй
и теорией функций.
6
Изготовление листа Мёбиуса
Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску
АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные
стороны АВ и А*В*, т.е. так, что совместятся точки А и В* и точки А* и
В. Получим перекрученное кольцо.
Полоска для изготовления листа Мёбиуса должна быть узкой и
длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного
листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот
факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу
запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса
можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров
7
– склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не
склеиваемых. Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в
гармошку, перегнув его чётное количество раз. Затем из этой гармошки, как
из
толстой
бумажной
полоски,
склеим
лист
Мёбиуса,
вставляя
соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 1 видно, что лист
бумаги, из которого склеен лист Мёбиуса, оказался смятым.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но
не мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее
полоска, тем легче склеить из неё лист Мёбиуса. Таким образом, существует
число λ, что из полоски длины больше λ, лист Мёбиуса склеить можно, а из
полоски длины меньше λ – нельзя (что будет для полоски, длина которой в
точности равна λ, нас не интересует). Очень хотелось бы найти это λ.
Удивительно, но решение этой задачи до сих пор неизвестно, но
ученые нашли ограничения на число λ
1,57(п./2 = 90°) < λ < 1,73( 3 )
Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать,
поэкспериментировать с ним. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к
элементам топологии.
8
Свойства Листа Мёбиуса
У листа Мёбиуса одна сторона и один край. Убедиться в
односторонности листа Мёбиуса несложно:
если начать постепенно
окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по
завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.
Если представить себе, что по ленте Мебиуса путешествует
муравей, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он
обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это
доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.
Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на
внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив
лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А
если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если,
конечно, паук бегает быстрее!
9
Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги изгибая, но,
не сминая его, математики называют развёртывающимися. Существует целая
теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой –
удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики
называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонардо Эйлеру).
Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна.
Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса
по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не
создавая самопересечения, невозможно.
Другое похожее множество — проективная плоскость. Если
проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет
листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса,
совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.
Эксперименты с листом Мёбиуса
№1.
№2. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное)
бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два
кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина
10
окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист
Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна
длинная лента с двумя полуоборотами.
№3.
Если
разрезать
ленту
Мёбиуса,
отступая
от
края
приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более
тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.
11
№4. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим
две ленты с двумя полуоборотами.
№5. Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое
звено этой цепочки
по средней линии вдоль. Получится лента с двумя
полуоборотами. И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в
два раза уже исходного.
№6. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым
углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что
получится, если разрезать двойное кольцо.
12
Получилась квадратная рамка!
Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной
полоской, если склеить из неё лист Мёбиуса.
Мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими
топологическими
свойствами
как
односторонность,
непрерывность,
связность.
Применение листа Мёбиуса
Удивительные
свойства
листа
Мёбиуса
применяются
и
используются сейчас в технике, физике, оптике. Он вдохновил на творчество
многих писателей, художников и архитекторов.
Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные
механизмы. Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных
тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса
ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему
работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно
изнашивается. В технике, например, при шлифовании, широко используются
мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но
и резать различные материалы, те же граниты и базальты.
Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в
портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их
13
вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных
материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно
изнашивается, а значит, и служить она будет дольше.
Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса,
то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного
кольца.
В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который
предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух
сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и
склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или
считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость
кассеты в два раза и соответственно время звучания.
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса
для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист
Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.
Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть
роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая
пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же,
вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно
механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы
14
стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную
– своего рода вечный двигатель.
Физики утверждают, что все оптические законы основаны на
свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это
своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли
секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.
Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является
фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен
для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне
логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль
замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Лист Мёбиуса служит вдохновением для скульпторов, художников
и архитекторов. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и
посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна
из известных
показывает муравьев, ползающих по поверхности листа
Мёбиуса.
15
Проект библиотеки в Астане.
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно
вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967
году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс,
его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На
ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два
метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику
и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.
У входа в Музей
истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная
лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся
международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную
марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И
монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные
памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу,
профессору Лейпцинского университета.
16
Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.
Лист
Мёбиуса
изображают
на
различных
эмблемах, значках, как, например, на значке механикоматематического факультета Московского университета.
Международный символ переработки
также представляет собой Лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг
«Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной
фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда
научно-фантастические
рассказы
(вслед
за
физиками-теоретиками)
предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым
листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в
произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине
Великого Кристалла». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча,
бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится
настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на
этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят
фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея
ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».
Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и
времени главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».
Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и
17
фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных
фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались
даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов
Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до
средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры.
Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в
две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист
Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать
интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста.
Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа
бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ
стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до
открытия ленты Мёбиуса.
Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве
в
сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С
большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина
Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и
листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»).
18
Заключение
Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую
открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних
поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому
направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных,
изобретателей, художников. Мне были очень интересны открытые свойства
листа Мёбиуса:
 Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону
 Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая
топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не
разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
 Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его
положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
 Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в
технике, физике, и архитектуре. Он вдохновил на творчество многих
писателей и художников.
 Чудесные свойства ленты порождают множество научных
трудов, изобретений.
Работая над данной темой, я получил удовольствие от полезной и
интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смог сделать своими
руками и поделиться этим с одноклассниками. Мною не исчерпаны опыты с
листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного
терпения.
19
Список используемых источников и литературы
1. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957
2. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по
математике»»: М.: «Глобус», 2007
3. Волошинов А.В., "Математика и искусство" издательство: "Просвещение"
4. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г
5. интернет - ресурсы сайта: http://ru.wikipedia.
6. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками Квант, 1974
7. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь «Педагогика»,1987
8. Стинрод Ю. и Чинн У. «Первые понятия топологии», Москва,
издательствово «Мир», 1967 год
9. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998
20