СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ С
ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
К а з а к о в И. Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.:
Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,1977, 416
стр.
6ф6.5 К14 УДК 62-50
В книге на основе теории марковских процессов с поглощением реализаций и единого
метода систематизировано изложены вероятностные задачи анализа и синтеза систем с
переменной (случайной) структурой. К таким системам относятся автоматические
устройства, имеющие несколько детерминированных состояний, переходы в которые
описываются случайными процессами, системы поиска и захвата сигнала, системы с
возможными нарушениями и системы с перестраиваемым законом управления.
Рассмотрены задачи определения вероятности нахождения системы в каждом
состоянии, оценки вероятности распределения фазовых координат, моментом и
точности функционирования при действии помех. Изложена общая задача нелинейной
фильтрации и определения оптимальных управлений, т. е. структуры оптимального
регулятора в системах с переменной структурой. Главное внимание уделяется
инженерным приближенным алгоритмам решения перечисленных задач на базе
использования ЭВМ. Рассмотрены примеры. Книга предназначена для научных
работников, инженеров и студентов старших курсов по специальности автоматических
систем управления.
Серия: «Теоретические основы технической кибернетики»
1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Но где на поверхности происходит игра случайности,
там сама эта случайность всегда оказывается
подчиненной внутренним скрытым законам. Все дело
в том, чтобы открыть эти законы.
Ф. Энгельс. Людвиг Фейербах и конец классической
немецкой философии
Вероятностный характер законов природы не
позволяет нам высказать никаких категорических
утверждений, даже если ограничиться
категорическими утверждениями, содержание
которых обусловлено состоянием мира в данный
момент.
Е. Вигнер Этюды о симметрии
Развитие современного производства и повышение его эффективности основано на
резком улучшении качества авматических систем, используемых для управления
технологическими процессами и техническими устройствами.
Автоматизация сложных процессов управления в современной технике приводит к
необходимости использования систем с переменной структурой. Системы с переменной
структурой (мультиструктурой) имеют несколько детерминированных состояний
(структур), переходы в которые являются случайными, зависящими от времени и от
некоторых текущих фазовых координат процесса.
Структура и конструкция таких систем разнообразны. Система с переменной
структурой может состоять из отдельных детерминированных подсистем,
последовательн о и л и параллельно включаемых в работу. Основной общей
особенностью является резкое изменение некоторых параметров или структуры в
целом по случайному закону. При применении указанных систем удается
автоматизировать процессы переключения различных алгоритмов управления,
обеспечить максимально точное управление при различных условиях
функционирования устройств и при наличии случайных нарушений.
Как видим, основой рассматриваемых автоматических систем с переменной структурой
является детерминированные структуры. Но включение различных структур происходит
в случайные моменты времени, зависящие от случайного характера процесса
управления, протекающего в системе. Кроме того весь процесс функционирования
сложной системы следует рассматривать в условиях действия помех и при случайных
внешних управляющих сигналах.
Более сложный и совершенный класс систем с переменной структурой может быть
построен на базе произвольной стохастической структуры со специальной логикой ее
изменения по адаптивным алгоритмам. Это класс наиболее сложных кибернетических
систем, обладающих случайной переменной структурой. По существу все
перечисленные системы имеют случайную структуру и это приводит к необходимости
применения теоретико-вероятностного подхода при рассмотрении их динамики.
Задачи теоретико-вероятностного анализа и синтеза таких систем в настоящее время
являются актуальными и еще недостаточно изученными. Так, более подробно
рассмотрены задачи срыва слежения, частные задачи анализа систем с возможными
нарушениями и задачи со случайными параметрами. Развиты приближенные методы
анализа частного вида систем с переменной структурой. В журнальных статьях
рассмотрены некоторые более общие задачи фильтрации измерений сигнала, полезная
2
часть которого описывается уравнениями переменной структуры, а также синтеза
управлений.
В данной книге дается единый метод статистического исследования указанных систем с
переменной (случайной) структурой. Такой общий метод удается развить на основе
рассмотрения динамики системы в пространстве состояний и использования теории
случайных марковских процессов с поглощением реализаций.
Содержание книги можно разделить на три части. Первая часть является вводной, к
ней относятся первая и вторая главы. В них приведены канонические уравнения
динамических систем, изложены основы теории марковских процессов с поглощением
реализаций, а также формулируются общие уравнения, определяющие вероятностные
характеристики.
Ко второй части можно отнести последующие шесть глав, начиная с третьей и кончая
восьмой. Они содержат изложение общих и приближенных методов анализа
вероятностных характеристик динамических систем. В этих главах последовательно и
систематически с единой точки зрения рассмотрен вероятностный анализ основных
классов систем с переменной структурой.
К третьей части следует отнести девятую и десятую главы, содержащие материал по
фильтрации и оптимальному синтезу управлений в рассматриваемых системах.
Таким образом, в книге рассмотрен основной круг задач, решаемых исследователем
при проектировании и оценке эффективности функционирования систем управления.
Особенность систем уравнения с переменной структурой приводит к усложнению
алгоритмов анализа п синтеза. При этом общие алгоритмы включают необходимость
решения систем обобщенных уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова для
функций плотностей вероятностей фазовых координат исследуемых процессов.
Практическая реализация этих алгоритмов анализа трудна. Поэтому важное значение
имеют приближенные алгоритмы, которые более просто реализовать на современных
вычислительных машинах.
В книге наряду с общими алгоритмами излагаются приближенные процедуры расчетов,
в основе которых лежат методы аппроксимации искомых функций плотностей
вероятностей с помощью вероятностных моментов и других представлений. Остается
только вопрос о необходимой точности аппроксимации, решение которого зависит от
конкретной задачи и цели исследования.
Круг задач, относящихся к статистической динамике систем с переменной структурой,
достаточно широк и охватывает не включенные в книгу задачи идентификации,
параметрической оптимизации и другие, решение которых базируется на изложенных
методах или требует некоторого расширения понятий. Поэтому данную книгу следует
рассматривать как введение в проблему теоретико-вероятностного исследования
указанных систем.
При написании книги автор с благодарностью использовал советы и замечания
С.В. Мальчикова и В.А. Бухалева, которые прочитали значительную часть рукописи.
Параграфы 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 были написаны по материалам, представленным
С. В. Мальчиковым, за что выражаю признательность.
Автор благодарен рецензенту П. И. Андрееву, замечания которого способствовали
улучшению книги.
И . Казаков
Москва, март 1977
3
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а р у ч а - Р и д А.Т., Элементы теории марковских процессов и ее приложения, М.,
«Наука», 1969.
2. Батков А.М., Баусин Е.М., Метод определения оптимального управления, Труды III
Всесоюзного совещания по автоматическому управлению. Оптимальные системы, М.,
«Наука», 1967, стр. 287—292.
3. Беллман Р. Динамическое программирование, М., ИЛ. 1960.
4. Б е р н ш т е й н С.Н. Стохастические дифференциальные уравнения, Собр.
сочинений, т. IV, М., «Наука», 1964.
5. Б е р н ше й н С. Н. Принципы теории стохастических дифференциальных
уравнений, Собр. сочинений, т. IV, М., «Наука», 1964.
6. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понт р я г и н Л.С. К теории оптимальных
процессов, ДАН СССР, т. 110, № 1, 1956, стр. 7—10.
7. Б о л ь ш а к о в И.А. Анализ срыва слежения в системах автоматического
регулирования под влиянием флуктуационной помехи, Автоматика и телемеханика, т.
XV, № 12, 1959, стр. 18—21.
8. Бунке X. (Bunke Н.) Gewohnliche Differential-gleihungen mit zufglligen Parametern,
Berlin, Akademie-Verlag, 1972.
9. Буxалeв В. A. (Buhalev) The analisis of the accuracy of dynamic systems changing their
structure in the random time moment, Problems of Control and Information theory, v. 4 (3),
1975, pp. 134-146.
10. Б у х а л е в В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной скачкообразной
структурой, Автоматика и телемеханика, № 2, 1976, стр. 44—54.
11. Б у х а л е в В.А. Анализ точности динамических систем со случайной структурой,
описываемой условной марковской цепью, Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, №
2, 1976, стр. 179—187.
1 2 . В а с и л ь е в А.М. Применение теории броуновского движения к исследованию
помехоустойчивости импульсных радиотехнических следящих устройств, М., НДВШ,
Радиотехника и электроника, № 1, 2, 1959, стр. 28—31.
13. В и н е р Н. (Wiener N.), Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time
series, John. Wiley, N° 7, 1949.
14. Воловник Г.А., К модели надежности сложных систем со структурными
нарушениями, Автоматика и вычислительная техника, № 4, 1967, стр. 25—31.
15. Вонхэм У.М. (Wonham W.М.) Stochastic problems in optimal control, BIAS Techn.
Report, v. 1, 1964, pp. 63—64.
16. Вонxэм У.M. (Wonham W.M.) On the separation theory of stochastic control, SIAM,
Jorn. Control, v. 6, № 2,1968, pp. 312—326.
17. ГИxман И.И., С к о р о х о д А.В., Введение в теорию случайных процессов, М.,
«Наука», 1965.
18. Г у р т а М. ., Н и к и ф о р у к П. Н. (Gurta М.М., Nikiforuk P.N.), On dynamic
behavior of stochastic systems with discontinuitis in parameters, Automatica, № 1, 1976,
pp. 97—101.
4
19. Дapxовский Б.С, Лейбович В.С, Статистическая устойчивость и моменты выходного
сигнала одного класса систем со случайным изменением структуры, Автоматика и
телемеханика, № 10, 1971, стр. 67—73.
20. Д у б Дж.Л. Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956.
21. Е в л а н о в Л.Г., К о н с т а н т и н о в В.М. Системы со случайными параметрами,
М., «Наука», 1976.
22. Е м е л ь я н о в С.В. Системы автоматического управления с переменной
структурой, М., «Наука», 1967.
23. Е м е л ь я н о в С . В . и др. Теория систем с переменной структурой, М., «Наука»,
1970.
24. Ж и л ь ц о в К.К. Приближенные методы расчета систем с переменной структурой,
М., «Энергия», 1974.
25. 3арицкий В.С, С в е ш н и к о в А.А., О граничных условиях решения уравнения
Фоккера — Планка в задачах о срыве слежения в нелинейных системах, Автоматика и
телемеханика, № 12, 1969, стр. 81—86.
26. З у б о в В.И. Теория оптимального управления, Л., «Суд-промгиз», 1966.
27. И т о К. (Ito К.) Stochastic integral, Proc. Imp., Acad., Tokyo, v. 20, 1944, pp. 519524.
28. КаЗ акОВ И.E. Алгоритм определения функции плотности вероятности фазовых
координат нелинейной стохастической системы, Автоматика и телемеханика, № 5,
1969, стр. 54—66.
29. К а з а к о в И.Е. Статистический синтез управлений по квадратическому критерию
обобщенной работы, Автоматика и телемеханика, № 10, 1974, стр. 43—48.
30. К а з а к о в И.Е., Статистическая теория систем управления в пространстве
состояний, М., «Наука», 1975.
31. Казаков И. Е. (Kazakov I.Е.) Analitical synthesis of the statistical quasioptimal control
of the nonlinear subject, Problems of Control and Information Theory, v. 5(1), 1976, pp.
51—61.
32. К а з а к о в И.E. Синтез квазиоптимального управления по критерию обобщенной
работы при неточных измерениях, Техническая кибернетика, Изв. АН СССР, №6, 1976,
стр. 179—187.
33. Казаков И. Е., Вероятностный анализ смены режима работы автоматической
системы, Автоматика и телемеханика, №*1, 1977, 23—29.
34. К а з а к о в И. Е., Вероятностный анализ одного класса систем с переменной
структурой, Автоматика и телемеханика, 1977,'№ 3, стр. 69 79.
35. Калман P. E. (Kalman R. Е.), Contributio to the theory of optimal control, Boletin do la
Sociedad Matematica, Mexicana, v. 5, № 1, 1960, pp. 102—119.
36. Калман P. Е. (Kalman R. Е.), A new approach to linear filtering and prediction problems,
Trans., ASME, Journ. Basic Engineering, March, v. 79, 1960, pp. 35—45.
37. Калман P.E., Коeпскe P.В. (Kalman R.E., Koepcke R.W.), Optimal synthesis of linear
sampling control systems using generalized performance indexes, Trans. ASME, v. 80,
1960, pp. 1820—1828.
38. Калман P.E. Об общей теории систем управления, Труды 1 конгресса ИФАК, Теория
дискретных и самонастраивающихся систем, АН СССР, 1961, стр. 521—547.
5
39. Калман Р.Е., X о Ю Ши, Н а р е н д р а К.С. (Kalman R.Е., Н О Y. С, Narendra К. S.)
Controllability of linear dynamical systems, Contributions to differential equations, v.l, № 2,
1963, pp. 189—213.
40. Калман P.E., Фалб П., Apбиб М. Очерки по математической теории систем, М.,
«Мир», 1971.
41. К о л м о г о р о в А. П. О статистических методах в теории вероятностей, Успехи
математических наук, вып. 5, 1938, стр. 5—41.
42. К о л м о г о р о в А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных
случайных последовательностей, Изв. АН СССР, серия математическая, т. 5, № 1, 1941.
43. Кочин В.В. Векторное исчисление и начала тензорного, М., ГОНТИ, 1938.
44. К р а с о в с к и й А.А. Системы автоматического управления полетом и их
аналитическое конструирование, М., «Наука», 1973.
45. К р а с о в с к и й А. А. Фазовое пространство и статистическая теория
динамических систем. М., «Наука», 1974.
46. Красовский Н.Н., Летов А.М., К теории аналитического конструирования
регуляторов, Автоматика и телемеханика, т. ХХШ, № 6, 1962, стр. 11—18.
47. К р а с о в с к и й Н.Н. Теория управления движением, М., «Наука», 1968.
48. Кушнер Г.Д., Швеппе Ф.К. (Kushner Н J., Schweppe F. С), A maximum principle for
stochastic control systems, Journ. Math. Anal, an Appl., v. 8, № 2, 1964, pp. 287—297.
49. Ланда П.С, Стратонович Р. ., К теории флуктуационных переходов различных
систем из одного стационарною состояния в другое, Вестник МГУ, Физика и
астрономия, т. 3, № 1, 1962, стр. 15-21.
50. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III, Автоматика и
телемеханика, т. XXI, № 4, 5, 6, 1960, стр. 5—11, стр. 10—17, стр. 4—13;
Аналитическое конструирование регуляторов. V, Автоматика и телемеханика, т. XXIII,
№ 1, 1962, стр. 25—33.
51. Летов А.М. Динамика полета и управление, М., «Наука», 1969.
52. М а л ь ч и к о в С.В. Приближенный метод определения законов распределения
фазовых координат нелинейных автоматических систем, Автоматика и телемеханика,
№ 5, 1970, стр. 43—50.]
53. М а л ь ч и к о в С.В., Определение вероятности недостижения границы
прямоугольной области многомерным случайным процессом, Автоматика и
телемеханика, № 4, 1973, стр. 19—28.
54. Майфилд У.У. (Mayfilld W.W.) Asequonce solution to the Fokker—Plank equation, IEEE,
Trans. Inform. Theory, v. 19, № 2, pp. 165-176.
55. М и д д л т о н Д. Введение в статистическую теорию связи, М., «Сов, радио», 1961.
56. М и ш у л и н а О. А. Исследование точности линейных систем автоматического
управления со случайным изменением структуры, Изв. АН СССР, Техническая
кибернетика, № 1, 1970, стр. 26—31.
57. М о и с е е в Н.Н. Элементы теории оптимальных систем, М., «Наука», 1975.
58. О б р е з к о в Т.В., Разевиг В. Д. Методы анализа срыва слежения, М., «Сов.
радио», 1972.
59. О с т р о м К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления, М., «Мир», 1973.
6
60. Параев Ю.И., Введение в статистическую динамику процессов управления и
фильтрации, М., «Сов. радио», 1976.
61. П е т р о в Б. Н., Е м е л ь я н о в С.В. Принцип построения комбинированных САР с
переменной структурой, ДАН СССР, т. 153, № 5, 1963, стр. 97 — 100.
62. Пискунов Н.С. Краевые задачи для уравнений эллиптического и параболического
типов, Математический сборник, т. 7 (49), № 3, 1940, стр. 20-24.
63. Половко А.М. Основы теории надежности. М., «Наука», 1964.
64. П о н т р я г и н Л.С, А н д р о н о в А.А., В и т т А.А. О статистическом рассмотрении
динамических систем, ЖЭТФ, т. 3, № 3, 1933, стр. 237—241.
65. П о н т р я г и н Л.С, Б о л т я н с к и й В.Г., Га м к р ел и д з е Р.В., Мищенко Е.Ф.
Математическая теория оптимальных процессов, М., «Наука», 1969.
06. П у г а ч е в В.С. Применение теории марковских процессов к анализу точности
автоматических систем, Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, № 3, 1961, стр.
46—57.
67. П у г а ч е в В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления, М., «Наука», 1962.
68. П у г а ч е в В.С. Стохастические системы и их соединения, ДАН СССР, т. 197, № 6,
1971, стр. 1288-1290.
69. П у г а ч е в В.С. Нормальные стохастические системы, ДАН СССР, т. 208, № 3,
1973, стр. 566—569.
70. П у г а ч е в В.С., Казаков И. Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории
автоматических систем, М., «Машиностроение», 1975.
71. Репин В. Г. Анализ одного класса систем со случайно изменяющимися
параметрами, Автоматика и телемеханика, 1970, № 6, стр. 54—59.
72. Сигалов Г.Г., Яшугин Е. А. Оценка условий срыва слежения в нелинейных системах
автоматического управления, Автоматика и телемеханика, 1966, № 4, стр. 89—92.
73. С к л я р е в и ч A.H. Линейные системы с возможными нарушениями, М., «Наука»,
1975.
74. С т р а т о н о в и ч Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике,
М., «Сов. радио», 1961.
75. С т р а т о н о в и ч Р.Л. К теории оптимального управления. Достаточные
координаты, Автоматика и телемеханика, т. XXIII, № 7, 1962, стр. 910-917.
76. С т р а т о н о в и ч Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и
уравнений, Вестник МГУ, серия мат., мех., № 1, 1964, стр. 57-65.
77. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории
оптимального управления, М., МГУ, 1966.
78. Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А., Уравнения математической физики, М.,
ГИТТЛ, 1957.
79. Тихонов В.И., Ч е л ы ш е в К.В. Статистическая динамика ФАПЧ, Радиотехника и
электроника, 1963, № 2, стр. 35—41.
80. Т и х о н о в В.И., Статистическая радиотехника, М., «Сов. радио», 1966.
81. Т и х о н о в В.И., К у л ь м а н Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов, М., «Сов. радио», 1975.
7
82. Феллер В. К теории стохастических процессов, Успехи математических наук, вып.
5, 1938, стр. 57—96.
83. Ф е л л е р В. Параболические дифференциальные уравнения и соответствующие
им полугруппы преобразований, Математика, т. 4, 1957, стр. 124—129.
84. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических
уравнений второго порядка, Математика, т. 7, № 6, 1963.
85. Ф о р т е т P. (Fortet R.), Les fonctions aleatoires du tupe de Markoff, J . Math. Pures.
Appl., v. 22, 1938, pp. 117—243.
86. Xасьминский Р.3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при
случайных возмущениях их параметров, М.,«Наука», 1969.
87. Чамран A. (Tchamran A.) On Bellmans functional equation and a class of time optimal
control systems, J . of the Pranclin Inst., v. 280, № 6, 1965, pp. 34—41.
88. Ч е р к а с о в И. Д. О преобразовании диффузионного процесса в винеровский,
Теория вероятностей и ее применение, вып. 1957, стр. 53—60.
89. Ш и р о к о в Л. Е. Оценка состояния нелинейной динамической системы при
непрерывно-дискретном канале наблюдения, Изв. АН СССР, Техническая кибернетика,
№ 1 , 1975, стр. 31-42.
8