Приложение №1 - Dugino.edusite.ru
advertisement
Муниципальное казённое образовательное учреждение Дугинская средняя общеобразовательная школа Исследовательская работа на тему Номинация «Математика вокруг нас» Работу выполнила: Рютикова Валентина Олеговна Класс: 10 Руководитель: Гусева Елена Борисовна, учитель математики Сычевка 2013 год Содержание: Стр. I. Введение…………………………………………………………………………3 II. Основная часть. 1. История многогранников………………………………………………………4 2. Классификация многогранников.....…………………………………………8 3. Практическое применение многогранников в архитектуре и искусстве……………………………………………………………………….15 4. Многогранники в природе……………………………………………………21 5. Изготовление моделей многогранников…………………………………….24 III. Заключение…………………………………………………………………..28 IV. Список литературы………………………………………………………….29 V. Приложение………………………………………………………………….. 30 2 I. Введение. Тема моей исследовательской работы «Этот удивительный мир многогранников». Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от маленького ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Особый интерес к правильным многогранникам связан с красотой и совершенством их форм. На уроках математики в 9 классе при изучении темы «Начальные сведения из стереометрии» мы, оторвавшись от двумерной плоскости, вышли в трехмерное пространство, где заметили, что все геометрические тела состоят из знакомых уже нам плоских планиметрических фигур: треугольники, квадраты, прямоугольники, окружности, круги, трапеции, ромбы, параллелограммы, и др. Я заметила, что ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. Меня эта тема очень заинтересовала, и я решила ее подробно изучить. Проблема: понять важность темы «Многогранники». Объект: многогранники. Гипотеза: если изучу тему «Многогранники», проанализирую информацию по этой теме, то смогу ответить на возникшие вопросы и использовать полученные знания в дальнейшем. Цель: Познакомиться с видами многогранников, их возникновением, возможными путями применения. Задачи: 1. Появление многогранников в математике. Изучить историю. 2. Изучить теорию. 3. Рассмотреть практическое применение многогранников в архитектуре и искусстве. 4. Выяснить, встречаются ли многогранники в природе. 5. Научиться изготовлять модели многогранников. 3 II. 1. История многогранников Эпиграфом к своей работе я взяла следующее высказывание английского математика Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Изучив литературу по данной теме, информацию Интернет-ресурсов, я для себя открыла следующие интересные факты об истории возникновения многогранников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Особенно важное место многогранникам уделяли пифагорейцы – ученики школы Пифагора (VI – V века до н. э.), где устройство мира тесно связывалось с геометрией, геометрическим телами. Именно им древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывал построение пяти правильных многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Но позже было установлено, что Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр. В то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный, философ-идеалист Платон (428 – 348 до н.э.), в учении которого они играли важную роль. Именно Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, поэтому они и стали называться Платоновыми телами. Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Какими соображениями при этом он руководствовался? Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре, которые можно было бы сопоставить со стихиями. Платон считал, что некоторые элементы правильных многогранников могут перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников в другие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Но для этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которые были бы для них общими. Из внешнего вида правильных многогранников следует, что грани трех многогранников – тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр – построены: первый – из квадратов, а второй – из правильных пятиугольников, поэтому они не мо4 гут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела. Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и, что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода. Что касается пятого многогранника – додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платон ограничивается замечанием, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал». Приписывая частицам огня форму тетраэдра, частицам земли – форму куба и т.д., Платон также учитывал чувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь – наиболее подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались. Какие частицы могли бы обусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкие частицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырех многогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяет тетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня. Земля же выступает как самая неподвижная и устойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством в максимальной мере обладает куб. Поэтому частицам земли Платон приписал кубическую форму. Аналогичным образом с двумя прочими стихиями были соотнесены частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр – частицу воздуха. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим. Итак, тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх. Куб или гексаэдр символизировал – землю, как самый "устойчивый". Октаэдр символизировал воздух, как самый "воздушный". Икосаэдр символизировал воду, т.к. он самый "обтекаемый". И всей Вселенной была приписана форма додекаэдра, т. е. мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. 5 В связи с этим представляет интерес «закон взаимности» для правильных многогранников. Если соединить отрезками центры соседних граней правильного многогранника, то эти отрезки станут рёбрами другого правильного многогранника: у куба — октаэдра, а у октаэдра — куба; у икосаэдра — додекаэдра, а у додекаэдра — икосаэдра; а у тетраэдра – снова тетраэдра. Также правильными многогранниками занимался и Архимед, однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников. Эти многогранники были впервые рассмотрены в недошедшем до нас сочинении Архимеда в 111 в. до н. э. Его работа дошла до нас только через сочинения других авторов. Первым опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны и поныне, немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). 1.1. Мнимая «Космографическая тайна» И. Кеплера. А теперь побываем в Европе XVI–XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571–1630). Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганну Кеплеру принадлежит особое место среди ученых, исследовавших многогранники. В начале своего научного пути И. Кеплер, для которого правильные многогранники были любим предметом изучения, сделал мнимое открытие, которое на первых порах принесло ему много славы, но от которого впоследствии пришлось отказаться. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. По мнению Кеплера, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры впи6 санной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. Своё «открытие» Кеплер изложил в первом крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» – «Космографическая тайна» (1596). Оно состояло в следующем: вокруг сферы, на поверхности которой движется Меркурий (его орбита принимается за окружность), описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера, на которой оказывается Земля; затем идёт додекаэдр со сферой, на которой движется Марс; затем описывается тетраэдр на сфере Юпитера; затем следует куб со сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета – Сатурн. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.(Рис. 1) Рис. 1 Позже Кеплер обнаружил, что Марс движется не по кругу, а по эллипсу, и критически пересмотрев свои взгляды на движение планет, пришёл к «законам Кеплера». 1.2. Теория четырёх стихий мироздания. Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдрододекаэдровую структуру Земли (Рис. 2). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных 7 многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. Рис. 2. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли 2. Классификация многогранников. А сейчас перейдем от научных гипотез и философии жизни к научным фактам. Итак, что же такое многогранник? Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения: 1) каждое ребро должно являться общей стороной двух и только двух граней, называемых смежными; 2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней; 8 3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол. Геометрические тела Рис. 3.Многогранник Рис. 4. Не многогранник Фигура на рисунке 3 является многогранником, потому что она удовлетворяет всем требованиям, приписываемым многогранным поверхностям. Совокупность из 18 квадратов на рисунке 4 многогранником не является, потому что не выполняются ограничения, накладываемые на многогранные поверхности. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Рис. 5.Невыпуклый многогранник Рис. 6. Выпуклый многогранник Примерами многогранников являются: параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов; прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани – прямоугольники; куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов; призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями; прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники; правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники; 9 пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды; правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны; усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются nугольники (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n-четырёхугольников (боковые грани). Многогранник называется правильным, если: - он выпуклый; - все его грани являются равными правильными многоугольниками; - в каждой его вершине сходится одинаковое число граней; - все его двугранные углы равны. «Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когдато Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Тетраэдр - (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Рис. 7. Тетраэдр Элементы симметрии тетраэдра Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер. Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру. 10 Куб или гексаэдр (от греческого hex — шесть и hedra — грань) составлен из 6 квадратов. Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. Рис. 8. Гексаэдр. Элементы симметрии куба Ось симметрии куба может проходить либо через середины параллельных ребер, не принадлежащих одной грани, либо через точку пересечения диагоналей противоположных граней. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких 3). Октаэдр - (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240° . Рис. 9. Октаэдр. 11 Элементы симметрии октаэдра Как и все правильные многогранники, октаэдр обладает симметрией. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть – через середины ребер. Центр симметрии октаэдра – точка пересечения его осей симметрии. Три из 9 плоскостей симметриитетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости. Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер. Икосаэдр – (от греческого ico — шесть и hedra — грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°. Рис. 10. Элементы симметрии икосаэдра Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии. Плоскостей симметрии также 15. Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер. 12 Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra– грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Рис. 11. Элементы симметрии додекаэдра Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются полуправильными многогранниками или архимедовыми телами. Множество архимедовых тел можно разбить на четыре группы. Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения: усеченный тетраэдр усеченный куб усеченный октаэдр усеченный икосаэдр усеченный додекаэдр рис. 12. Первая группа Архимедовых тел Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая 13 грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются кубоктаэдр икосододекаэдр Рис. 13. Вторая группа Архимедовых тел В третью группу входят ромбокубоктаэдр, который иногда называют малым ромбокубоктаэдром и ромбоикосододекаэдр, называемый также малым ромбоикосододекаэдром. ромбокубоктаэдр ромбоикосододекаэдр Рис. 14. Третья группа Архимедовых тел. В эту же группу входят ромбоусеченный кубоктаэдр, иногда называемый большим ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный икосододекаэдр, называемый также большим ромбоикосододекаэдром, которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения. ромбоусеченный кубоктаэдр ромбоусеченный икосододекаэдр Рис. 15. Третья группа Архимедовых тел. В четвертую группу входят две курносые модификации - курносый куб и курносый додекаэдр. курносый куб курносый додекаэдр Рис. 16. Четвертая группа Архимедовых тел. 14 Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки. Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр. малый звездчатый додекаэдр большой додекаэдр большой звездчатый додекаэдр большой икосаэдр рис. 17. Тела Кеплера-Пуансо. 3. Практическое применение многогранников в архитектуре и искусстве. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса — немой трактат по геометрии, а греческая архитектура — внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора» Ле Корбюзье (французский архитектор) Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. Различные геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство. Многие художники разных эпох и стран испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построен15 ные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы. В 2009 г. исполнилось 500 лет со времени выхода в свет книги Луки Пачоли «Божественная пропорция», а следовательно, и изобретения Леонардо да Винчи для ее иллюстрации метода жестких ребер. Книга Пачоли, для которой Леонардо выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. Гравюру с изображением усеченного икосаэдра Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron Abscisus(усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт, что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Рис. 18. Иллюстрация к книге Луки Пачоли Строго говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими линиями (которые, как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и составляют основу способа пространственного изображения многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер. Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить, какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням многогранника (что практически невозможно при изображении ребер геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь геометрическое тело, ощутить его в пер16 спективе, глубине, которые теряются при использовании техники сплошных гране. Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения научной информации. Эта техника впоследствии многократно использовалась художниками, скульпторами и учеными. Леонардо да Винчи изображал своим способом не только индивидуальные многогранники, но и, например, плотную упаковку кубов(Рис. 19 а). Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов. Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Эшера, относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства» (рис. 19 б). а) б) Рис. 19. Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо (а) и Эшера (б). Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (18981972), две из которых представлены на рис. 20 (изображая многогранники в этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо). Творчество Эшера весьма почитаемо учеными, в частности, математиками и кристаллографами. 17 Рис. 20 В конце XV — начале XVI веков в северной Италии было очень популярно искусство интарсии (intarsia) — особого вида инкрустации, мозаики, собранной из тысяч мелких кусочков различных пород дерева. Два выдающихся образца этого искусства с изображением многогранников показаны на рис. 21. Обе мозаики созданы Фра Джованни да Верона (1457-1525) для церкви Santa Maria in Organo в Вероне ориентировочно в 1520 г. Изображение полуоткрытых ставень создает эффект объемности на плоской мозаике, который усиливается изображением многогранников (в том числе, усеченного икосаэдра) в разработанной Леонардо технике жестких ребер. Рис. 21. Интарсии работы Фра Джовани да Верона, созданные для церкви Santa Maria in Organoв Вероне. Нельзя не привести примеры изображений многогранников, выполненных художниками XX века Альберто Джакометти (1901-1966) и Сальвадором Дали (1904-1989) (рис. 22), убедительно доказывающих, на мой взгляд, что революционные изменения в искусстве XX века коснулись и изображения многогранников. Рис.22.Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955). 18 В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр. Первые архитектурные сооружения строились из камней, кусков глины, дерева и влажного песка. Если мы рассмотрим архитектурные сооружения, которые строились человеком, то можно отметить, что уже тогда человек выбирал самые выразительные по форме и величине камни. Всѐ это говорит о том, что дизайн архитектурного сооружения начинает своѐ развитие с древних времѐн. Пирамидальная форма в строительстве была популярна в древнем мире. Первое чудо света: Пирамида Хеопса самое грандиозное сооружение, вот уже почти пять тысяч лет стоит на земле. Построить такое сооружение – трудная инженерная задача: края блоков должны быть выверены и выравнены с самого начала строительства, иначе они не сойдутся в одной точке на вершине пирамиды. Ошибка даже в два градуса могла бы привести к кастрофическим результатам. Остаѐтся удивляться, как без современных научных приборов древние египтяне могли определить направление на нужную точку в воздухе и строить прямо по направлению на нее. Рис.23.ПирамидаХеопса. Седьмое чудо света - Александрийский маяк или Фарос Александрийский, огромный маяк, сооруженный у входа в бухту египетского города Александрия, на острове Фарос. Александрийский маяк построен в 299 – 279 г. до н. э. при фараоне Птолемее II Египетском. Находясь на перекрестке морских дорог, он был знаком всем мореплавателям как самый крупный и самый красивый маяк. Его высота составляла около 150 метров. Фаросский маятник состоял из трѐх мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня имела форму параллелепипеда. На этой башне располагалась меньшая, восьмигранная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. 19 Рис. 24. Александрийский маяк Смоленскую крепость называют "ожерельем Русской земли", почти в первозданном виде дошедшим до наших дней. Смоленская крепостная стена с удивительной архитектурой, узенькими бойницами и строгими башнями выдающийся памятник русского зодчества XVII века. «Смоленский Кремль» - так ее еще называют - строили под руководством Фѐдора Коня. Многогранные башни Смоленской крепости сложены из правильных хорошо отѐсанных блоков, имеющих форму параллелепипеда различных размеров. Тринадцать глухих башен имели прямоугольную форму. С ними чередовались шестнадцатигранные (семь башен) и круглые (девять). Рис. 25. Башни Смоленской крепости. В Казани находится башня Сююмбике и состоит из семи ярусов, нижние ярусы представляют из себя параллелепипеды а верхние - многогранники. Рис. 26. Башня Сююмбике. В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Где мы живем, на чем мы ездим, где учимся, где работаем, где покупаем и при20 обретаем товары и услуги – мы в постоянном окружении многогранников, все архитектурные строения возведены в виде многогранников. 4. Многогранники в природе. В книге немецкого биолога Э. Геккеля «Красота форм в природе» можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают оточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды. Кристаллы соли Кристаллы льда Кристаллы горного хрусталя Рис. 27. Аметист был известен уже в Древнем Египте. В Древнем Риме аметист называли «благословенным камнем», считали, что он приносит удачу, покой и благо, успокаивает нервы и улаживает распри. В средние века его называли «апостольским камнем». Он имеет пирамидальную форму, а иногда призматическую. Рис. 28. Кристалл аметиста. Сера в самородном состоянии, а также в виде сернистых соединений известна с древнейших времен. С запахом горящей серы, удушающим действием сернистого газа и отвратительным запахом сероводорода человек познакомился, вероятно, еще в доисторические времена. Именно из-за этих 21 свойств сера использовалась жрецами в составе священных курений при религиозных обрядах. Кристаллы серы ромбической формы или имеют форму вытянутых призм. Рис. 29. Кристаллы серы Возраст алмазов, по данным некоторых исследований, может быть от 100 миллионов до 2,5 миллиардов лет. Алмаз уже многие столетия является популярнейшим и дорогим драгоценным камнем. Ограненный алмаз называется бриллиантом. Кристаллы алмаза имеют форму октаэдра. Рис. 30. Кристалл алмаза. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Рис. 31. Водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов — представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью) сторонами 22 нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Рис. 32. Водоросль вольвокс. Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма встречается у вирусов всех этих трех групп. Рис. 33. Вирус под микроскопом 23 5. Изготовление моделей многогранников. Я познакомилась с несколькими способами изготовления моделей многогранников. 1 способ. С помощью разверток. Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки: Рис. 34. 2 способ. Способ «плетения» Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги. Приложение 1. 3 Способ. Создание моделей правильных многогранников методами оригами. Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании 24 возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - "оригамика". Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. Существует несколько методов для создания одного и того же многогранника. Мной были изучены и опробованы при создании моделей правильных многогранников 4 метода оригами. 1) Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Шеремет Г.Г. Для создания тетраэдр, октаэдра и икосаэдра можно использовать универсальный модуль Шеремета Г.Г. Этот модуль представляет собой правильный шестиугольник, который в результате перекладываний превращается либо в три равносторонних треугольника с двумя «вставками» и одним «карманом», либо в два равносторонних треугольника с двумя «карманами» и одной «вставкой». Схема сборки модуля Шеремета приводится в Приложении 2. Рис. 35. 2) Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги. Данные модели наименее трудоемкие и одни из самых простых в сборке, схема их сборки приводится в Приложении 3. 25 Рис. 36. 3) Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Miyuki Kawamura При использовании модулей Miyuki Kawamura модели получаются составленными из ребер. Это удобно, если необходимо представить, как будет выглядеть диагональ многогранника или его сечение. Схема сборки данных моделей приводится в Приложении 4. Рис. 37. 4) Узловое оригами. При создании данных моделей модули соединяются в своеобразные «узлы». Рис. 38. 26 Схема сборки данной модели приводится в Приложении 5. Схемы сборки некоторых моделей многогранников можно посмотреть на сайте youtube.com 27 III. Заключение. Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, приведены способы для их изготовления, показано, где они встречаются в природе. Я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. В результате данной исследовательской работы я лишний раз убедилась в том, что математика не «сухая» наука, и ее «выход» в повседневную жизнь может быть чрезвычайно интересен, красив и даже загадочен. Я выполнила все задачи, которые ставила перед собой в начале данной исследовательской работы: 1) расширила собственную систему знаний и сведений о правильных многогранниках 2) изучила различные методы оригами для создания моделей правильных многогранников; 3) создала коллекцию моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами. Я считаю, что систематизированный мной материал заинтересует многих увлекающихся математикой, а полученные мной модели могут быть использованы на различных уроках физики, математики, химии, биологии и факультативных занятиях как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся. Останавливаться на достигнутом мне бы не хотелось. Моя мечта научиться изготовлять модели полуправильных многогранников и некоторых звездчатых многогранников. 28 IV. Список литературы и Интернет-ресурсов. 1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981. 2. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974. 3. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. 4. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989. 5. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983. 6. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990. 7.«Polyhedron Origami For Beginners», Miyuki Kawamura, Tokyo, Japan, Published by Nihon CO., LTD, 2001. 8. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992. 9. http://ru.wikipedia.org 10. http://www.vseznaika.ru 11. http://youtube.com 12. http://origamisan.com 13. http://liberte.com 29 Приложение 1. Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно: 1. Согните и разогните каждую из полосок по пунктирным линиям, чтобы образовались сгибы – “овраги”. 2. Наложите цветную полоску на белую. 3. Сложите из белой тетраэдр так, чтобы цветной треугольник оказался внутри него, затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками. Рис. 1. Плетём куб: 1. Вырежьте три полоски: белую, чёрную, красную. 2. Сложите белую полоску. 3. Оберните её чёрной полоской. 4. Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, остальные – чёрные. 5. Третью полоску (красную) пропустите сзади куба в щель между белой и чёрной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и чёрной полоской. 30 Рис. 2. Приложение 2 Универсальный модуль для построения моделей тетраэдра, октаэдра, икосаэдра (автор – Шеремет Г.Г.) 1. Построение начинаем с правильного шестиугольника (рис. 1). рис. 1 2. Наметить три линии сгиба, совмещающие стороны шестиугольника через одну с соответствующей диагональю (рис. 2). рис. 2 3. Наметить средние линии получившегося правильного треугольника (рис. 3). рис. 3 4. Одновременно согнуть по всем указанным линиям (рис. 4). 31 рис. 4 5 Заправить нижнюю полоску под слой бумаги (рис. 5). рис. 5 6. Получилась фигура, составленная из трех равносторонних треугольников. Средний треугольник – основная часть. Одна сторона этого треугольника имеет удобный карман в форме равного ему треугольника. Два оставшихся треугольника играют роль вставок (рис. 6). рис. 6 7. Так как у треугольника нечетное число сторон, а при построениях желательно, чтобы число карманов и вставок совпадало, то второй вариант модуля получается из этого выворачиванием вовнутрь одного из треугольников-вставок (рис. 7). рис. 7 При желании, преобразуя этот модуль дальше, можно получить треугольный модуль с тремя карманами и без вставок. 32 Приложение 3 Создание моделей правильных многогранников из квадратного листа бумаги 1. Додекаэдр (автор – Поль Джексон) 2. Куб (гексаэдр) Для построения одного модуля необходимо сначала разделить квадрат на равные части. Можно это сделать методами оригами, как показано на схеме: Рис. 1. 33 Рис. 2. 34 Приложение 4 Создание моделей правильных многогранников с помощью модуля Miyuki Kawamura 1. Куб Рис. 1. 35 Рис. 2. 36 Тетраэдр Рис. 3. 37 Рис. 4. 38 Приложение 5 Узловое оригами 1. Додекаэдр Рис. 1. 39
