Вариант задания олимпиады 2006 года

Вариант
1
1. Диагонали трапеции, имеющей площадь 121, разбивают ее на четыре треугольника,
один из которых имеет площадь 36. Найти площади остальных треугольников.
2. Экзамены по трем предметам: алгебре и геометрии (А), математическому анализу (М) и
информатике (И) сдавали 43 студента факультета ВМК. Следующая таблица показывает,
сколько студентов провалились на каждом предмете, и их различные комбинации:
Предмет
А
М
И
АМ
АИ
МИ
АМИ
Число
13
6
9
3
7
4
2
провалившихся
(К примеру, 6 студентов провалились по математическому анализу, среди них 4
провалившихся как по мат. анализу, так и по информатике, и только двое из этих 4
провалились по всем трем предметам).
Сколько студентов сдали все три экзамена?
3. Решите систему
x 2 y 2  x 2 z 2  17 xyz
y 2 x 2  y 2 z 2  13xyz
z 2 x 2  z 2 y 2  5 xyz
4. Имеются три грузовика разной грузоподъемности и груз, который нужно перевезти.
Любой из грузовиков может перевезти груз за определенное число поездок, причем
грузовик с наименьшей грузоподъемностью – за 11 поездок (недогруз грузовиков
запрещен). Сколько совместных поездок необходимо двум другим грузовикам, чтобы
перевезти весь груз?
5. Дан треугольник АВС с острыми углами А и С, высота треугольника, опущенная из
вершины В, делит АС в отношении 5:3, считая от вершины А. Внутри треугольника взята
точка К, так что L AKB  90 , L BKC  180  L ACB.
В каком отношении прямая ВК делит сторону АС?
6. На плоскости задан квадрат со сторонами, параллельными осям координат, и заданы две
точки вне этого квадрата. Написать программу нахождения длины кратчайшего пути
между этими точками, не проходящего через внутренность квадрата. Вводятся координаты
точек (X1, Y1) и (X2, Y2), координаты двух противоположных вершин квадрата (X3, Y3) и
(X4, Y4), при условии X3 < X4, Y3 < Y4.
7. Заданный текст содержит только малые (строчные) латинские буквы и пробелы. Слова
могут содержать только одну или две буквы. Написать программу, которая напечатает
слово, встречающееся в заданном тексте чаще всего.
8. Дано N грузов с весами P1, P2, .. PN (N – заданная константа) и корабль
грузоподъемности Т. Написать программу определения максимальной загрузки корабля
имеющимися грузами. В результате вывести список грузов, размещенных на корабле.