Домашнее задание 6

Домашнее задание 6 класс (летняя сессия 2009)
1. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки
а) совпадают; б) составляют развернутый угол; в) составляют
прямой угол?
2. В записи 88888888 поставьте между некоторыми цифрами знак
сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно
1000.
3. Найти целое число, которое в семь раз больше цифры его
единиц.
4. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы
полученное число делилось на 15.
5. Незнайка перемножил два двузначных числа, а затем заменил в
примере одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные – на
разные. У него получилось АБ  ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что Незнайка
где-то ошибся.
6. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько
яиц снесут 6 куриц за 6 дней?
7. Три ежика делили три кусочка сыра массами 5, 8 и 11 граммов
соответственно. Лиса стала им помогать. Ей разрешили от любых
двух кусочков отрезать по одному грамму сыра (эти обрезки лиса
съедает). Сможет ли лиса оставить ежикам равные кусочки сыра?
Информатика
1. Коля живет в многоэтажном доме в квартире с номером N.
Определить, на каком этаже и в каком подъезде живет Коля, если в
доме 7 этажей, на лестничной клетке 4 квартиры.
2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих M
(M<10000), сумма цифр которых делится на 3.
3. Петя выехал в ОЗШ в субботу 15 августа. Написать программу,
которая определяет, на какой день недели приходится день его
рождения в августе, если он наступает через k дней после заезда.
4. Известно, что 1 января 2009 года – это четверг. Написать
программу, которая определяет, на какой день недели приходится
день рождения Пети в этом году. Дата рождения Пети – k-е число n-го
месяца.
5. Незнайка с Сиропчиком случайно забрались на склад с
газированной водой двух видов. Уйти с пустыми руками они,
естественно, не могли. Коротышки решили напиться вволю и
улучшить свое материальное положение. Однако, у каждого оказалось
только по одной емкости для этой наивкуснейшей газировки, первая
рассчитана на B1 литров жидкости, вторая на B2 литров. Один литр
«Пепси» они смогли бы продать за A1 рублей, один литр «Спрайта» –
за A2 рублей. Им надо было заполнить обе емкости таким образом,
чтобы получить как можно больше денег за их продажу. При
смешении жидкостей, естественно, получается несъедобная смесь. С
другой стороны, коротышки – гурманы, и решили, что надо вынести
воду обоих видов.
Требуется написать программу, которая определяет, на какую
максимальную сумму предприимчивые Незнайка и Сиропчик смогут
продать газировку, если они заполнят свои емкости по условиям
задачи.
Формат входных данных:
С клавиатуры вводятся четыре числа: A1, A2, B1, B2. Все числа
целые и не превосходят 100.
Формат выходных данных:
На экран выдать результат – сумму в рублях, которую смогут
Незнайка и Сиропчик заработать в случае наилучшего для себя
заполнения емкостей газировкой.
Пример входных данных:
1232
Результат:
8
Делимость
1. Пользуясь признаками делимости определить, делятся ли на 2, 3,
4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12 и 15 следующие числа:
а) 8580;
б)11340;
в)75600
2. Разложить следующие числа на простые множители:
а) 49500;
б) 32760.
Алгоритмы
1. Составить систему команд для робота, обслуживающего
жильцов многоэтажного дома в лифте.
2. Укажите ошибки в алгоритме для сбора Пети Торопыжкина в
школу. Предложите свой правильный алгоритм. Алгоритм
следующий:
встать, протереть левый глаз, взять мыло, намылить руки,
протереть правый глаз, промыть руки, умыться, пройти в столовую,
съесть завтрак, надеть левый носок, схватить портфель, надеть
школьную форму, надеть обувь, бежать бегом в школу.
Домашнее задание 7 класс (летняя сессия 2009)
1. В ряд выложены 28 одинаковых по внешнему виду монет.
Известно, что среди них есть 2 фальшивые монеты – более тяжелые
по весу, чем настоящие. Можно ли за 3 взвешивания на чашечных
весах без гирь найти все фальшивые монеты, если известно, что они
лежат рядом друг с другом?
2. Докажите, что число 10101010…10101 (101 единица) является
составным, если оно записано в системе счисления с произвольным
натуральным основанием, большим 1.
3. Квадратное поле 2005-ю вертикальными и 2005-ю
горизонтальными линиями разделили на прямоугольные участки, на
каждом из которых поселился рыцарь или лжец. Рыцари всегда
говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый владелец заявил, что
площадь его участка больше площадей соседних по стороне участков.
Какое наибольшее количество владельцев могли быть рыцарями?
4. На сторонах треугольника АВС взяты точки А1, В1, С1 так, что
отрезки АА1, ВВ1, СС1 делят соответствующие стороны треугольника
А1В1С1 пополам. Верно ли, что точки А1, В1, С1 непременно являются
серединами сторон треугольника АВС?
5. Найдите наибольшее натуральное число n, которое делится на
все натуральные числа, квадрат которых не превышает n2.
Комбинаторика
1. Сколько можно составить различных пятизначных чисел из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 7, если: а) все цифры числа различны;
б) цифры могут
повторяться?
2. Сколько существует четырехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 9
таких, что они делятся на 3, но не начинаются с 2 (все цифры чисел
различны)?
Геометрия
1. Нарисуйте 4-звенную ломаную, проходящую через 9 точек
2. Как разрезать квадрат на 5 прямоугольников, чтобы никакие два
из них не имели общей стороны?
3. Можно ли нарисовать замкнутую 8-звенную ломаную, которая
пересекает каждое своё звено ровно 1 раз?
4. Можно ли разрезать квадрат на несколько тупоугольных
треугольников?
5. Можно ли расположить на плоскости 6 точек и соединить их
непересекающимися отрезками так, чтобы каждая точка была
соединена ровно с четырьмя другими?
6. Замостите плоскость одинаковыми 5-угольниками.
7. Докажите, что квадрат можно разрезать на 1989 квадратов.
8. Точка M находится на стороне AB, а точка K – на стороне BC
треугольника ABC. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O.
Докажите, что если OM = OK, и равны углы KAC и MCA, то
треугольник ABC – равнобедренный.
9. Две команды разыграли первенство школы в 10 видах, причём за
победу команда получала 4очка, за ничью 2 очка и за проигрыш 1
очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?
Делимость
1. Существуют ли такие натуральные a и b, что ab(a-b)=45045?
2. Натуральные числа x и y таковы, что 34x=43y. Докажите, что
число x+y – составное.
3. Существует ли натуральное число, произведение цифр которого
равно 1980?
Информатика
1. Подсчитайте количество уникальных чисел в массиве.
2. В массиве содержатся числа 0, 1,…, 15 и только они. Упорядочить массив по возрастанию.
Домашнее задание 8 класс (летняя сессия 2009)
Мат. индукция
1. Доказать (4 + 15n – 1) делится нацело на 9.
2. Доказать 13 + 23 + 33 + … + n3 = (n2(n + 1)2)/4
Полиномы
1. Умножить “столбиком”
a)
x3 – 2x2 + x + 3 на x + 1
б)
-x3 – 2x2 + x + 3 на x2 + 2x – 3
в)
2x3 – 3x2 + x + 1 на 2x3 + 2x2 – 3x + 1
2. Разделить “столбиком”
а)
x4 + 3x3 – 13x2 + 3x + 6 на x - 2
б)
x5 – 8x4 + 7x3 – 13x2 – 3x – 2 на x2 – x + 2
в)
x6 – 1 на x – 1.
3. Проверить является ли x0 корнем p
а)
p(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 4x – 1
x0 = 1
б)
p(x) = x3 + x2 – 4x + 6
x0 = -3
3
2
в)
p(x) = 2x – 7x + 4x + 4
x0 = -1
Квадратные и биквадратные уравнения
1. Решить в вещественных числах, пользуясь подходящей
формулой:
a) 2x² - x – 15 = 0 б) 3x² - 6x – 105 = 0
в) x² - 5x + 3 = 0
г) x²-2x+8=0
д) x4 + x2 -12 = 0
е) 9x2 - 12x + 4 = 0
Делимость
1.Доказать, что число n2 + 1 не делится на 4 нацело ни при каких
натуральных n.
2.Известно, что одно из натуральных чисел x и y четно, другое –
нечетно. Представить число xy + y в виде разности квадратов двух
целых чисел.
3.Можно ли сдать сдачу в 50 копеек, используя ровно 13 монет по 5
и по 1 копейке?
4.Докажите тождество: [a + 0.5] = [2a] – [a], где [a] – целая часть
числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a.
Олимпиадные задачи
1. Существует ли четырехугольник со сторонами 1, 2, 4 и 7
сантиметров?
2. Дан равнобедренный треугольник с углом 20 градусов при
вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного
основания.
n
3. Доказать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.
4. Каково наибольшее число квартир в 100-квартирном доме, у
которых сумма цифр номера одинакова?
Информатика
1. Зеркало и дверь
Дверной проем зала во дворце имеет форму прямоугольника M•N.
Королеве привезли зеркало в форме прямоугольного треугольника с
катетами a, b. Определить, смогут ли послушные подданные
протащить зеркало в зал королевы через дверь. Зеркало разрешается
вертеть. Желательно изобразить схему "протаскивания" зеркала в
плоскости дверного проема. Все данные задачи (числа M,N, a, b не
превышают 50).
а) Решить задачу при M=3, N=4, a=4, b=4.
б) Решить задачу при M=3, N=4, a=10, b=20.
в) Написать программу, которая по введенным числам M, N и
длинам катетов a и b зеркала-треугольника выдаёт ответ о том,
удастся или нет протащить зеркало.
Примечание: толщиной зеркала можно пренебречь.
2. Счастливый билет
По введенному шестизначному номеру автобусного билета
определить, является ли он счастливым.
3. Скобочное выражение.
а) Имеется выражение, содержащее скобки ( и ). Определить,
правильно или нет они расставлены.
Например, в выражении ()) неправильно расставлены скобки.
б) Решить ту же задачу для скобок двух видов.
Например, в выражении [ ( ) [ ] ] скобки расставлены правильно, а в
выражении ( ] – неправильно.
Комбинаторика
1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр
0,1,2,3,4,5? Цифры не повторяются.
2. Сколько четных 4-значных чисел можно составить из цифр
1,2,3,4,5,6, если цифры нельзя повторять?
3. Сколькими способами можно сформировать подарок из пяти
предметов, содержащий 2 блокнота и 3 ручки, если всего имеется 10
блокнотов и 5 ручек.
Домашнее задание 9 класс (летняя сессия 2009)
1. Построить графики функций:
а) y = |2-|x-2||
б) y = (x-2)2 + 4
в) y = x2 – 6x + 3
г) y = |x-1|(1-x)
д) y = |x+2| - |3-x|
е) y = |x2 – 4| + 8 – x2
ж) y = sgn||x +1| - 2| з) график уравнений y+ = x+ и y- = x-.
2. 25 различных натуральных чисел, не превосходящих 1000,
таковы, что произведение любых двух из них является точным
квадратом. Докажите, что все эти 25 чисел сами являются точными
квадратами.
3. Возьмем любое натуральное число с нечетным количеством
цифр. Припишем к нему справа точно такое же число. Доказать, что
полученное число делится нацело на 11.
4. Построить параллелограмм, у которого середины трех сторон
лежат в заданных точках.
5. Построить треугольник по трем медианам.
Элементы выпуклого анализа
1. Пусть M и N – середины отрезков АВ и CD. Доказать, что
1
MN  ( AC  BD )
2
2. Докажите, что из медиан треугольника можно составить
треугольник.
3. Найти скалярное произведение векторов a и b, если a имеет
координаты (5, 6), b имеет координаты (-1, 2).
4. Докажите, что если векторы a – b и a + b перпендикулярны,
то |a| = |b|.
5. Дан вектор а с координатами (a1, a2). Выписать координаты всех
векторов b, перпендикулярных a, причем требуется, чтобы a и b имели
одинаковую длину.
6. Доказать: |a + b|2 + |a – b|2 = 2(|a|2 + |b|2)
7. Известно, что векторы а = (5, 3 – u) и b = (u,12) перпендикулярны
друг другу. Найти координаты векторов.
8. Дано уравнение прямой L: kx + b = 0. Определить, при каких
условиях на k и b точка (1, 0):
а) будет лежать на прямой L;
б) будет лежать в правой полуплоскости;
в) будет лежать в левой полуплоскости.
9. Какая геометрическая фигура задается параметрическим
уравнением:
 x  p1  (1   ) g1

 y  p2  (1   ) g 2
при   1.
10. Заданы общие уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника АВС:
x y20
x y20
x  2y  4  0
Записать условия принадлежности точки (x, y) треугольнику АВС.
11. Даны координаты отрезков AB и CD. Точка А имеет
координаты  ,  , точка В -  ,  , С -  ,  , D -  , .
1 2
1 2
1 2
1 2
Какому условию должны удовлетворять эти координаты, чтобы
пересечение отрезков АВ и CD не было пустым множеством?
12. Написать общее уравнение прямой, параллельной прямой
2x+6y -2=0 и проходящей через точку (3, 3).
13. Написать общее уравнение прямой, перпендикулярной прямой
x – y + 5 = 0 и проходящей через начало координат.
14. Написать общее уравнение средней линии ЕН треугольника
АВС (точка Е лежит на стороне АВ, точка Н лежит на стороне АС).
Известно, что ВС лежит на прямой 2x – y – 5 = 0, координаты точки
А(3, 4).
15. Написать общее уравнение высоты АН треугольника АВС, если
координаты вершин А(0; 0), В(4; 2), С(-2; 4).
16. Написать уравнения диагоналей ромба ABCD, если даны
координаты вершины A(-3; 2) и C(7; -6).
17. Найти центр и радиус описанной окружности треугольника
АВС, если координаты вершин: А(-2, 3), В(6, 1), С(6, 3).
18. Найти центр и радиус описанной окружности, если даны
координаты вершин: А(1; 1), В(7; 1), С(5; 5).








Решение уравнений в целых числах
Решить в целых числах уравнения:
1) 2x – 3y = 0
2) 5x – 6y = 4 3) 6x – 9y = 0 4) 6x – 9y = 3
5) 6x – 9y = 4
6) x 2  y 2  3
7) Решить в целых числах систему уравнений:
2 x  3 y  z  2

3x  2 y  2 z  6
Комбинаторика
1. Сколько различных натуральных пятизначных чисел можно
составить из цифр 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, если: а) ни одна из цифр не
повторяется; b) цифры могут повторяться; с) числа должны быть
нечетными (цифры не повторяются)?
2. В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический
кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих
кружков. Сколько учеников посещают и математический, и
физический кружки? Сколько учеников посещают только
математический кружок?
3. Известно, что через каждые две различные точки можно
провести прямую. Дано 10 точек, никакие три из которых не лежат на
одной прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки
попарно?
Информатика
Для награждения победителей школьной олимпиады по
информатике закупили одинаковые пеналы и калькуляторы.
Калькуляторов закупили на 7 штук меньше, чем пеналов. За пеналы
заплатили К рублей, за калькуляторы – В рублей Как известно, товар
в магазине может стоить только целое число копеек как за одну
штуку, так и за несколько. Скидок в оплате за количество в магазине
не делают. Сколько калькуляторов и пеналов закупили? Все данные
задачи не превосходят 10000.
1. Решить задачу для К=100, В=70.
2. Решить задачу для К=19, В=1.
3. Написать программу для компьютера, которая по введенным
числам К и В находит количество калькуляторов и пеналов,
удовлетворяющее условию задачи.
Пример входных данных: К=100, В=70.
Результат: 8 пеналов, 1 калькулятор.