Теория для решения задач № 16 по планиметрии ЕГЭ 2016

Теория для решения задач № 16 по планиметрии
ЕГЭ 2016
Для решения задач по стереометрии необходимо знать формулы площадей фигур и
формулы объѐмов тел.
Необходимая теория:
теорема Пифагора
теорема косинусов
определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в
прямоугольном треугольнике
формулы площадей треугольника
отношение площадей подобных фигур
 Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема косинусов
Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽.
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾.
Зная две стороны треугольника и угол между ними, мы всегда можем найти третью
сторону.
Если нам будут известны все три стороны треугольника, то всегда можно найти любой
угол:
cos 𝛼 =
cos 𝛽 =
cos 𝛾 =
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
2𝑏𝑐
𝑎2 +𝑐 2 −𝑏2
2𝑎𝑐
𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2
2𝑎𝑏
,
,
.
Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого
угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет 𝑎, лежащий напротив угла 𝛼, называется противолежащим (по отношению к
углу𝛼). Другой катет 𝑏, который лежит на одной из сторон угла 𝛼, называется
прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего
𝑎
катета к гипотенузе: sin 𝛼 =
𝑐
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к
𝑏
гипотенузе:cos 𝛼 = 𝑐
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение
𝑎
противолежащего катета к прилежащему:𝑡𝑔𝛼 = 𝑏
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего
𝑏
катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑎
Таким образом, зная два-три элемента в прямоугольном треугольнике, мы всегда сможем
найти все остальные его элементы (углы и стороны).
Отношение площадей подобных фигур
Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
𝑆1
= 𝑘2
𝑆2
То есть, при изменении (увеличении или уменьшении) всех линейных размеров фигуры в
k раз, отношение площади полученной к площади исходной фигуры будет равно 𝑘 2 .
По
соотношению
сторон
треугольники
разделяются
на разносторонние и равнобедренные (в том числе и равносторонние).
По
величине
наибольшего
угла
треугольники
на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
разделяются
Признаки равенства треугольников:
1. По двум сторонам и углу между ними:
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам:
3. По трем сторонам:
Признаки подобия треугольников:
1.
, если
2.
, если
3.
, если
.
.
.
Средняя линия - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
Биссектриса - отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий
угол пополам.
Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Высота - отрезок, выходящий из вершины треугольника и
перпендикулярный противоположной стороне.
Срединный перпендикуляр - прямая, проведенная через середину стороны
треугольника, перпендикулярная к этой стороне.
Четыре замечательные точки треугольника:
1. Точка пересечения медиан (медианы ∆ пересекаются в одной точке).
2. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности
(биссектрисы ∆ пересекаются в одной точке).
3. Точка пересечения высот (высоты ∆ пересекаются в одной точке).
4. Точка пересечения срединных перпендикуляров - центр описанной
окружности (срединные перпендикуляры ∆ пересекаются в одной точке).