Центр описанной окружности – точка пересечения серединных

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник, многоугольник, центральный и вписанный угол, окружность,
знание их свойств.
Ориентировочное время выполнения учащимися, изучающими математику на базовом уровне: 10—15 минут.
Треугольники
1.Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные
стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием
равнобедренного треугольника. Вершина угла равнобедренного треугольника, лежащая
напротив основания, называется вершиной равнобедренного треугольника. Высота,
медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию,
совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы,
биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.
2.Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным
(равносторонним) треугольником.
Пусть a, h, S, R, r – соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и
радиус вписанной окружности правильного треугольника.
Тогда имеют место следующие соотношения:
3.Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
α + β = 90°
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего
катета к гипотенузе:
sin α = a/c, sin β = b/c
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего
катета к гипотенузе:
cos α = b/c, cos β = a/c
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
tg α = a/b, tg β = b/a
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему
катету:
ctg α = b/a, ctg β = a/b
Теорема Пифагора
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
a2 + b2 = c2
Медиана, проведенная к гипотенузе
mc = c/2, где mc − медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу c.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
R = c/2 = mc
Площадь прямоугольного треугольника
Произвольный треугольник:
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
(a,b,c – стороны:
- противолежащие им углы; p – полупериметр; R – радиус
описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь; ha – высота,
проведенная к стороне a)
Параллелограмм
Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и
длины опущенной на эту сторону высоты.
S=a·h
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между
ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон
умноженному на синус угла между ними.
S = a · b · sin α
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на
синус угла между ними.
S = 1/2d1d2 sinγ
РОМБ
Формулы площади ромба
Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту
сторону высоты.
S=a·h
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между
сторонами ромба.
S = a2· sin α
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
S= ½ d1d2
Трапеция
(a и b – основания; h – расстояние между ними; l – средняя линия):
Вписанный и описанный многоугольники
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных
сторон равны. Около него можно описать окружность, если суммы противоположных
углов равны 180 .
Окружность, круг
(r - радиус; C – длина окружности; S – площадь круга):
Углы, вписанные в окружность:
.
Свойства хорд:
(рис. 1.14).
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Нахождение координаты вектора: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы
и , помещаем начала обоих
в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ
параллелограмма. Это и будет сумма векторов
и
.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы
и
. К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало
первого и конец второго. Это и есть сумма векторов
и
.
Вычитание векторов
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов
вектора
и вектора
и
— это сумма
.
Скалярное произведение векторов
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов
и
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
: