Вопросы к зачету по дифференциальной геометрии

Вопросы к зачету по дифференциальной геометрии
2014, весна
1. Гладкие многообразия и гладкие отображения, диффеоморфизмы.
2. Кривые на многообразиях. Замкнутые, простые, элементарные кривые,
носитель. Гладкость кривых. Эквивалентность кривых.
3. Кривые в Rn. Векторная функция скалярного аргумента. Регулярность.
Примеры. Вложенные кривые. Примеры. Явно заданные кривые.
4. Касательная к кривой в Rn. Касательная в регулярной точке.
Полукасательные. Уравнения касательной. Нормаль и нормальная
плоскость. Угол между кривыми.
5. Теорема об эквивалентности вложенных кривых. Длина кривой в Rn.
Свойства. Натуральная параметризация и ее существование.
6. Неявно заданные линии в R2. Примеры. Теорема Уитни.
7. Особые точки неявно заданных линий. Строение линии вблизи неособой
точки и строение линии, состоящей из неособых точек.
8. Касательная и нормаль в неособой точке неявно заданной линии. Неявно
заданная линия в R3, ее касательная и нормальная плоскость.
9. Соприкасающаяся плоскость кривой в R3. Случай регулярной точки.
Кривые общего положения. Бинормаль, главная нормаль, спрямляющая
плоскость. Трехгранник Френе.
10.Репер Френе. Вычисление в общем случае и в случае натуральной
параметризации. Пример. Случай плоской кривой.
11.Кривизна кривой в Rn. Примеры. Вычисление кривизны регулярной
кривой в Rn и в R3. Интегральная кривизна. Кривизна плоской кривой.
12.Кручение кривой в R3. Формулы для кручения регулярной кривой общего
положения. Критерий плоской кривой. Кривизна и кручение винтовой
линии.
13.Формулы Френе кривой в R2 и R3. Кривые общего положения в Rn. Репер
Френе, формулы Френе и кривизны кривой в Rn.
14.Основная теорема теории кривых в Rn. Натуральные уравнения кривой.
Примеры. Случай плоской кривой.
15.Соприкосновение (касание) кривых в Rn. Критерий касания m-того
порядка плоских кривых. Касание первого порядка.
16.Огибающая семейства плоских кривых. Примеры. Необходимое условие
принадлежности точки носителю огибающей. Примеры.
17.Соприкасающаяся окружность плоской кривой. Центр и радиус кривизны.
Эволюта. Эвольвента. Свойства и примеры.
18.Лемма о границе выпуклого множества. Выпуклые кривые, примеры.
Локальная выпуклость. Условия строгой локальной выпуклости и
локальной выпуклости. Геометрический смысл знака кривизны.
19.Связь выпуклости и локальной выпуклости, примеры. Теорема Жордана
(без доказательства). Теорема о выпуклости замкнутой кривой.
20.Овал. Вершина кривой. Примеры. Теорема о четырех вершинах овала.
21.Изопериметрическое неравенство и его геометрический смысл. Примеры.
22.Подмногообразия в Rn. Касательное пространство. Регулярность.
Примеры.
23.Погруженные и вложенные подмногообразия. Вложенность компактного
подмногообразия. Эквивалентность подмногообразий. Примеры.
24.Гиперповерхности.
Геометрическая
характеризация
касательной
гиперплоскости. Нормальное пространство подмногообразия. Уравнения
касательной плоскости и нормальной прямой поверхности в R3, пример.
25.Теорема о вложении. Теорема Уитни о вложении (без доказательства).
Примеры: двумерные компактные многообразия.
26.Явно заданные гиперповерхности, их свойства. Вид вектора нормали.
Примеры. Неявно заданные гиперповерхности и особые точки. Строение
вблизи неособой точки. Касательная гиперплоскость и нормальная
прямая. Примеры.
27.Линейчатые поверхности в R3. Их регулярность. Примеры:
цилиндрические, конические поверхности, поверхность касательных,
геликоид, поверхности второго порядка. Поверхности вращения,
примеры.
28.Регулярность кривой на подмногообразии. Касательный вектор и
дифференциал погружения, запись в локальных координатах. Длина
кривой на подмногообразии. Первая квадратичная форма и ее свойства.
29.Формула длины кривой в локальных координатах, пример. Сохранение
длин кривых при изометрии Rn. Изгибания, примеры. Угол между
кривыми на подмногообразии. Формула в локальных координатах. Угол
между координатными кривыми.