Задания №8. Геометрический смысл производной. Касательная Задача 1.

Задания №8. Геометрический смысл
производной. Касательная
Часть 2.
Здесь смотрите части 1, 3, 4
В данной статье мы с вами рассмотрим Задачи №8 ЕГЭ по математике, связанные с касательной к
графику функции.
Задача 1.
Прямая
параллельна касательной к графику функции
.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
1). Значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной.
2). Так как касательная параллельна прямой
, их угловые коэффициенты равны.
Из п. 1, 2 следует: значение производной в точке касания равно 4.
Поэтому находим абсциссу из следующего уравнения:
где левая часть – производная функции
Откуда
Ответ: 4,5.
Задача 2.
Прямая
является касательной к графику
функции
. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Составим уравнение касательной к графику функции
точке
:
Так как уравнение касательной
касания), то нам предстоит найти
Тогда
в
(где
:
– точка
Теперь приведем уравнение касательной к виду
А так как прямая
:
и есть касательная к к графику
функции
в точке
, то
Откуда
Ответ: 0.
Замечание.
Немного облечим себе задачу на будущее. Хотя вполне можно решать задачи способом, показанным
выше (задача 2).
Сформулируем условие касания графика функции
Пусть
– касательная к графику функции
и прямой
в точке
Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции
в точке
или, что тоже самое,
то
– касательная к графику функции
и
в точке
.
.
.
образом:
Но если и
в точке (точках)
,
задается следующим
Последнее условие можно немного представить по другому с учетом первого:
.
Итак, можно сказать, что для того чтобы прямая
была касательной к графику функции
, необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа
, для которого выполняется
система:
В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт.
Задача 3.
Прямая
функции
является касательной к графику
. Найдите
.
Решение:
Воспользуемся условием касания графика функции
Получаем:
и прямой
в точке (точках)
:
Итак,
Ответ: 15.
Задача 4.
Прямая
Найдите
является касательной к графику функции
, учитывая, что абсцисса точки касания больше
.
Решение:
Согласно условию касания графика функции
и прямой
в точке (точках)
имеем:
В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем
только вариант
Откуда
.
Ответ: -19.
Задача 5.
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему
.
в точке с абсциссой
в точке
. Найдите значение производной функции
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной
где
– угол наклона касательной к графику функции
положительному направлению оси
Из прямоугольного треугольника
что
, проведенной через точку
.
, помеченного голубым цветом, видно,
.
Поэтому
Ответ: 2.
Задача 6.
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему
,
,к
в точке с абсциссой
в точке
. Найдите значение производной функции
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной
, где
касательной к графику функции
, к положительному направлению
оси
, проведенной через точку
– угол наклона
.
Видим, что
– тупой угол. Рассмотрим угол
, смежный углу
.
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Ответ: -0,25.
Задача 7.
На рисунке изображен график функции
. Прямая, проходящая через начало координат, касается
графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в
точке
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной
, где
касательной к графику функции
, к положительному направлению
оси
, проведенной через точку
– угол наклона
.
Касательная проходит через начало координат и точку
Видим, что угол наклона касательной
В прямоугольном треугольнике
Тогда
Ответ: -0,6.
. Проведем эту касательную.
– тупой угол. Рассмотрим угол
, смежный углу
.