Теоретико-множественная топология - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Гайдамак И.В.
Хохлов А.Г.
ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 44.03.01 «Педагогическое образование:
Математическое образование»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Гайдамак И.В., Хохлов А.Г. Теоретико-множественная топология. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 44.03.01
«Педагогическое образование: Математическое образование». Форма обучения очная,
Тюмень, 2014, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теоретикомножественная
топология
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Гайдамак И.В., Хохлов А.Г. 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Роль топологии в системе университетского образования весьма значительна. Без
привлечения топологических понятий вряд ли возможно построить курсы
математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии,
механики, функционального анализа, теории функций комплексного переменного,
отвечающие современному состоянию этих математических дисциплин. Теоретикомножественная топология нужна не только для того, чтобы объяснить, что такое бутылка
Клейна. Она уже давно является частью общематематического языка и изучает те
свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия
непрерывности. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в
других разделах математики и физики, например, в электромеханике, в теории жидких
кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д. По словам Р.Куранта:
“Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует
плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой” Топология
Цель курса “Теоретико-множественная топология” – ознакомление с
фундаментальными положениями общей топологии. Сформировать новые элементы
математической культуры, способность понимать и ценить абстрактную аксиоматическую
теорию.
Задачи курса. Расширить математическую культуру студентов. Понятно и точно
говорить о вещах, связанных с идеей непрерывности. Научиться привносить
геометрические образы в любую область математики, как бы далека от геометрии эта
область не была на первый взгляд.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Теоретико-множественная топология» входит в блок Б3.
Профессиональный цикл, является дисциплиной по выбору.
Требования к входным знаниям и умениям студента – знание алгебры, геометрии,
математического анализа, теории действительных чисел.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
3.2.
3.3.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.1.
2.3
5.
6.
2.2.
4.
2.1.
3.
1.3.
2.
Теория функций
действительного
переменного
Теория функций
комплексного
переменного
Основы вариационного
исчисления
Теория экстремальных и
оптимизационных задач
Физика
Функциональный анализ
1.2.
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.1.
№
п/п
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ООП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
– владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
– способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
– способен использовать систематизированные теоретические и практические знания
гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и
профессиональных задач (ОПК-2);
– способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных учреждениях (ПК-1).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теоретикомножественной топологии, формулировки и доказательства утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях
математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения теоретико-множественной топологии, решать
задачи теоретико-множественной топологии, уметь применять полученные навыки в
других
областях
теоретико-множественной
топологии
и
дисциплинах
естественнонаучного содержания.
Владеть:
аппаратом
теоретико-множественной
топологии,
методами
доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях теоретикомножественной топологии и дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4. Форма промежуточной аттестации – зачет, контрольные работы. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часа, из них
35,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (17 часов лекций, 17
часов практических занятий, 1,65 часа иных видов работ), 36,35 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
3.1.
3.2.
3.3.
*с учетом иных видов работ
Итого количество баллов
2.3.
Из них в интерактивной
форме
2.2.
Итого часов по теме
2.1
Самостоятельная
работа
1.3
Практические
занятия
1.2.
Модуль 1
Предмет топологии. Основные
этапы развития топологии.
Основные сведения из теории
множеств.
Аксиомы счётности, отделимости.
Плотные множества.
Всего
Модуль 2
Малая и большая леммы Урысона.
Классификация отображений.
Сравнение топологий.
Компактность. Метрические
пространства.
Компактность в метрических
пространствах. Категории.
Теорема Бэра.
Всего
Модуль 3
Произведение топологических
пространств. Теорема Тихонова.
Топология поточечной и
равномерной сходимости. Теоремы
Дини и Стоуна-Вейерштрасса.
Связность. Связные подмножества.
Метризация.Теорема Урысона.
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
Лекции
1.1.
Тема
1-2
2
2
4
8
1
0-10
3-4
2
2
4
8
1
0-10
5-6
2
2
4
8
2
0-10
6
6
12
24
4
0-30
7-8
2
2
4
8
2
0-10
9-10
2
2
4
8
1
0-10
11-12
2
2
4
8
1
0-10
6
6
12
24
4
0-30
13-14
2
2
4
8
1
0-10
15-16
2
2
4
8
1
0-15
17
1
1
4,35
6,35
5
5
17
17
12,35
1,65
38
22,35
1,65
72
4
6
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
10
0-15
2
0-40
10
0-100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3.
Итого количество
баллов
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
контрольная
работа
Письменные
работы
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-5
0-25
0-10
0-10
0-10
0-30
0-10
0-10
0-15
0-15
0-40
0–100
Модуль 1
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Всего
0-10
0-10
Модуль 2
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Всего
0-5
0-5
Модуль 2
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-5
0-5
0-10
0-20
0-5
0-5
0-10
0-5
0-5
0-5
0-10
0-20
0-65
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Предмет топологии. Основные этапы развития топологии
Предмет топологии. Исторические сведения. Основные этапы развития
(исторические сведения). Общие понятия пространства. Равномерность, счётность,
несчётность, мощность множества всех подмножеств данного множества, мощность
континуума. Частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Метрические
пространства. Открытые и замкнутые множества. Сходимость. Пополнение.
Примеры.
Тема 1.2. Основные сведения из теории множеств.
Топологические пространства. Операции над открытыми и замкнутыми
множествами. Окрестности, предельные точки. Замыкание. Открытые базы.
Тема 1.3. Аксиомы счётности, отделимости. Плотные множества.
Первая и вторая аксиомы счётности. Аксиомы отделимости: хаусдорфовость,
вполне-регулярность, нормальность. Отделимость замкнутых множеств функциями
и продолжение функций (для метризуемых пространств).
Модуль 2
Тема 2.1. Малая и большая леммы Урысона. Классификация отображений.
Непрерывные отображения метрических и топологических пространств.
Гомеоморфизм. Непрерывные функции. Непрерывные пути, линейная связность.
Тема 2.2. Сравнение топологий. Компактность. Метрические пространства.
Компактные (бикомпактные) пространства. Непрерывные функции на компактах,
непрерывные отображения компактных пространств. Компакты в евклидовом
пространстве. Канторово совершенное множество. Критерии компактности в
пространстве функций.
Тема 2.3. Компактность в метрических пространствах. Категории. Теорема Бэра.
Локальная компактность. Паракомпактность. Разбиение единицы, подчинение
локально конечному покрытию. Категории. Теорема Бэра.
Модуль 3
Тема 3.1. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова.
Произведение топологических пространств. Произведение компактных пространств.
Теорема Тихонова. Гильбертово пространство, гильбертов параллелепипед.
Метризуемость пространств со второй аксиомой счётности.
Тема 3.2. Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса. Компактификация. Компактификации локально компактных
пространств.
Тема 3.3. Связность. Связные подмножества. Метризация.Теорема Урысона.
Связность и локальная связность. Метризация. Теорема Урысона. Примеры
топологий (метризуемых и неметризуемых) в пространствах функций, нормы в поле
рациональных чисел и пополнения по ним. Способы построения топологических
пространств: подпространства, фактор-пространства (отображения отождествления),
склеивание двух пространств по непрерывному отображению.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Предмет топологии. Основные этапы развития топологии
Предмет топологии. Общие понятия пространства. Равномерность, счётность,
несчётность, мощность множества всех подмножеств данного множества, мощность
континуума. Частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Метрические
пространства. Открытые и замкнутые множества. Сходимость. Пополнение.
Тема 1.2. Основные сведения из теории множеств.
Топологические пространства. Операции над открытыми и замкнутыми
множествами. Окрестности, предельные точки. Замыкание. Открытые базы.
Тема 1.3. Аксиомы счётности, отделимости. Плотные множества.
Первая и вторая аксиомы счётности. Аксиомы отделимости: хаусдорфовость,
вполне-регулярность, нормальность. Отделимость замкнутых множеств функциями
и продолжение функций (для метризуемых пространств).
Модуль 2
Тема 2.1. Малая и большая леммы Урысона. Классификация отображений.
Непрерывные отображения метрических и топологических пространств.
Гомеоморфизм. Непрерывные функции. Непрерывные пути, линейная связность.
Тема 2.2. Сравнение топологий. Компактность. Метрические пространства.
Компактные (бикомпактные) пространства. Непрерывные функции на компактах,
непрерывные отображения компактных пространств. Компакты в евклидовом
пространстве. Канторово совершенное множество. Критерии компактности в
пространстве функций.
Тема 2.3. Компактность в метрических пространствах. Категории. Теорема Бэра.
Локальная компактность. Паракомпактность. Разбиение единицы, подчинение
локально конечному покрытию. Категории. Теорема Бэра.
Модуль 3
Тема 3.1. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова.
Произведение топологических пространств. Произведение компактных пространств.
Гильбертово пространство, гильбертов параллелепипед. Метризуемость пространств
со второй аксиомой счётности.
Тема 3.2. Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
Топология поточечной и равномерной сходимости. Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса. Компактификация. Компактификации локально компактных
пространств.
Тема 3.3. Связность. Связные подмножества. Метризация.Теорема Урысона.
Связность и локальная связность. Метризация. Примеры топологий (метризуемых и
неметризуемых) в пространствах функций, нормы в поле рациональных чисел и
пополнения по ним. Способы построения топологических пространств:
подпространства, фактор-пространства (отображения отождествления), склеивание
двух пространств по непрерывному отображению.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
1.2.
Предмет топологии.
Основные этапы развития
топологии.
Основные сведения из
обязательные
дополнительные
Модуль 1
Проработка
Работа с
лекций
дополнительной
Работа с
литературой
основной
Работа с
Количество
баллов
1.1.
Модули и темы
Объём часов
№
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
Виды СРС
1-2
4
0-10
3-4
4
0-10
теории множеств.
Аксиомы счётности,
1.3. отделимости. Плотные
множества.
Всего по модулю 1:
литературой
Решение
типовых задач
Интернетресурсами
5-6
4
0-10
12
0-30
7-8
4
0-10
9-10
4
0-10
11-12
4
0-10
12
0-30
13-14
4
0-10
15-16
4
0-15
17
4,35
0-15
12,35
1,65
38
0-40
Модуль 2
Малая и большая леммы
Урысона. Классификация
отображений.
Сравнение топологий.
Компактность.
2.2.
Метрические
пространства.
Компактность в
метрических
2.3.
пространствах. Категории.
Теорема Бэра.
Всего по модулю 2:
2.1.
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
Модуль 3
Произведение
топологических
3.1.
пространств. Теорема
Тихонова.
Топология поточечной и
равномерной сходимости.
3.2.
Теоремы Дини и СтоунаВейерштрасса.
Связность. Связные
подмножества.
3.3
Метризация.Теорема
Урысона.
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
Проработка
лекций
Работа с
основной
литературой
Решение
типовых задач
Работа с
дополнительной
литературой
Работа с
Интернетресурсами
0-100
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические
навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить
поставленные компетенции.
Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Упражнения и задачи для самостоятельного решения.
Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.
Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств можно
получить из одного множества, применяя к нему последовательно две операции:
замыкание и внутренность?
Постройте три открытых множества на прямой, имеющих одну и ту же границу.
Можно ли в таком построении увеличить число множеств?
Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.
Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой
точкой.
Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.
Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является
топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.
Докажите, что множество ℚ всюду плотно в ℝ.
Найти int((0,1]  {2}) в ℝ.
Пусть множества А и В таковы, что их объединение и пересечение есть связное
множество. Докажите, что множества А и В тоже являются связными, если каждое
из них: а).открыто; б).замкнуто.
Докажите, что отрезок [a, b] замкнут в ℝ.
Докажите, что канторово множество является замкнутым.
Предложите пример несравнимых топологий.
Укажите базу топологии для следующих топологических пространств:
А). Вещественная ось с T1 - топологией.
Б). Луч [0, ] с топологией “лучей”.
Докажите, что все бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из
натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в Х.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
В результате освоения ООП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
– владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
– способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
– способен использовать систематизированные теоретические и практические знания
гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и
профессиональных задач (ОПК-2);
– способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных учреждениях (ПК-1).
Выдержка из матрицы соответствия компетенции и составных частей ООП
приведена в таблице 5.
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 6.
Математический анализ
ОК-6
Геометрия
ОК-1
Алгебра
Индекс
компетенции
Общие основы педагогики*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
+
+
+
+
+
+
+
ОПК-2
+
+
+
ПК-1
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
+
+
Геометрические построения на плоскости и в
пространстве
Конструктивная геометрия и методы изображений
Действительные числа
Избранные вопросы дифференциального и
интегрального исчисления
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Геометрия
Математический анализ
+
Алгебра
2 семестр
Основы дидактики*
Естественнонаучная картина мира*
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
1 семестр
Иностранный язык (английский)*
Математический анализ
+
Геометрия
+
Алгебра
Основы воспитания*
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
Иностранный язык (английский)*
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
Иностранный язык (английский)*
Культура речи (с информационно-библиотечной
культурой) *
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
3 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Индекс
компетенции
ОК-6
ОПК-2
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория функций действительного переменного
Элементарная математика
Неевклидовы геометрии
Основания геометрии
Теоретическая механика
Физика
Философия*
Основы математической обработки информации
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория функций комплексного переменного
Элементарная математика
Дополнительные главы теории вероятностей и
математической статистики
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Методика обучения и воспитания*
4 семестр
Практикум по решению математических задач
+
Педагогическая психология
Методика обучения и воспитания*
Математическая логика и теория алгоритмов
+
Теоретико-множественная топология
Внеклассная работа по математике в школе
Теория чисел
Социальная педагогика*
Дополнительные главы алгебры
+
Элементарная математика
+
Математический анализ
ОК-1
Дифференциальные уравнения и уравнения с
частными производными
ПК-1
Возрастная психология*
Иностранный язык в профессиональной сфере
(английский)
Таблица 5 – продолжение
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
5 семестр
6 семестр
+
Практикум по решению математических задач
Основы вариационного исчисления
Теория экстремальных и оптимизационных задач
Методология и методы психолого-педагогических
исследований
ОК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
ОК-6
+
+
+
+
+
+
+
ОПК-2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Б.5.
Практики
+ +
+
+
Выпускная квалификационная работа
8 семестр
Педагогическая
Б.1-Б.3. Дисциплины (модули)
Учебная
История развития математических понятий
История математики
Методика подготовки к государственной аттестации
по математике
7 семестр
Дополнительные главы теории и методики обучения
математике
Проектирование и реализация элективных курсов по
математике
Преподавание математики в профильных классах
Числовые системы
+
Практикум по решению математических задач
Системы компьютерной математики
6 семестр
Педагогическая инноватика
+
Экономика образования*
Методика обучения и воспитания*
Обучение учащихся доказательству теорем
Методика обучения учащихся стереометрии
посредством решения задач
Дискретная математика
Индекс
компетенции
Функциональный анализ
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Избранные вопросы теории функций действительной
переменной
Случайные процессы
Таблица 5 – продолжение
Б.6.
ИГА
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код
компетенци
и
ОК-1
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
повышенный
базовый (хор.)
(удовл.)
(отл.)
76-90 баллов
61-75 баллов
91-100 баллов
Знает: основные понятия,
Знает: отличительные
Знает: связи и приложения
определения, свойства
особенности различных типов теоретико-множественной
объектов теоретикозадач, рассматриваемых в
топологии в других областях
множественной топологии;
курсе изучения теоретикоматематического знания и
формулировки основных
множественной топологии;
дисциплинах
утверждений.
методы доказательств
естественнонаучного
утверждений и теорем.
содержания.
Умеет: определять задачи для Умеет: доказывать основные
Умеет: глубоко вникать в
достижения поставленной
утверждения, теоремы;
содержательную сущность
цели, определять тип каждой
решать задачи прикладного
поставленной задачи;
поставленной задачи, ее
характера;
адекватно применять аппарат
основные характеристики;
использовать теоретический и теоретико-множественной
решать основные задачи
практический материал,
топологии в разнообразных
теоретико-множественной
необходимый для
областях математического
топологии.
представления задачи в
знания и дисциплинах
терминах и понятиях
естественнонаучного
изучаемой дисциплины.
содержания.
Владеет: необходимым
Владеет: математическим
Владеет: методами анализа и
инструментарием и знаниями, инструментарием в
моделирования реальных
чтобы понять поставленную
соответствии со спецификой
исходных данных; методами
задачу и выбрать способы ее
анализируемого класса
преобразования
решения; в соответствии с
реальных задач, необходимых разнообразных форм
поставленной целью
для достижения поставленной исходных данных с целью их
определить пути ее
цели; методами анализа и
удобного представления для
достижения.
моделирования реальных
дальнейшего анализа и
исходных данных.
моделирования и, как
следствие, достижения
поставленной цели.
Виды
занятий
Оценочные
средства
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа
Знает: способы и приемы
логически верно выстраивать
письменную и устную в
рамках изучаемой
дисциплины.
Знает: способы и приемы
логически верно выстраивать
письменную и устную речь в
профессиональной сфере в
стандартной ситуации.
Умеет: сообщать идеи,
проблемы и решения
простейших задач, как
специалистам, так и
неспециалистам.
Умеет: представлять идеи,
проблемы и решения
стандартных задач, как
специалистам, так и
неспециалистам, используя
диапазон качественной и
количественной информации.
Владеет: способами и
методами представления
решений простейших задач
теоретико-множественной
топологии.
Владеет: способами и
методами представления
доказательств основных
утверждений и теорем
стандартной учебной
ситуации.
Знает: основные законы
теоретико-множественной
топологии.
Знает: основные связи и
приложения теоретикомножественной топологии в
дисциплинах
математического содержания.
Умеет: применять
практические математические
знания при моделировании
профессиональной
деятельности в учебном
процессе.
Умеет: применять
практические и теоретические
естественнонаучные знания
при моделировании
профессиональной
деятельности в учебном
процессе.
ОК -6
ОПК-2
Знает: способы и приемы
логически верно выстраивать
письменную и устную речь в
профессиональной сфере с
целью решения прикладных
задач исследования.
Умеет: на научном уровне
представлять свои идеи,
проблемы и решения, как
специалистам, так и
неспециалистам, используя
диапазон качественной и
количественной информации;
обоснованно сопоставлять
полученный результат с
имеющимися.
Владеет: способами
представления решений задач
по самостоятельно
разработанным алгоритмам;
способами и методами
составления сообщений,
представления
самостоятельно доказанных
утверждений и теорем.
Знает: основные связи и
приложения теоретикомножественной топологии в
дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Умеет: применять
практические и теоретические
естественнонаучные знания в
профессиональной
деятельности.
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
собеседование
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа, опрос
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Лекции,
практические
занятия
Опрос,
контрольная
работа
Владеет: основными
методами теоретикомножественной топологии,
используемыми в учебном
процессе.
Знает: необходимый
минимум учебной программы
теоретико-множественной
топологии.
Умеет: реализовывать
учебные программы курса
теоретико-множественной
топологии, опираясь на
помощь извне.
ПК - 1
Владеет: необходимыми
навыками и инструментарием
для реализации учебных
программ курса теоретикомножественной топологии;
навыками работы с
программными средствами
общего и профессионального
назначения.
Владеет: аппаратом
теоретико-множественной
топологии при моделировании
профессиональной
деятельности в учебном
процессе.
Знает: на хорошем уровне
учебную программу
теоретико-множественной
топологии.
Умеет: самостоятельно
реализовывать учебные
программы курса теоретикомножественной топологии в
образовательных
учреждениях.
Владеет: необходимыми
навыками и инструментарием
для самостоятельной
реализации учебных
программ курса теоретикомножественной топологии в
некоторых образовательных
учреждениях; методами
построения учебного курса;
навыками работы с
программными средствами
общего назначения.
Владеет: на высоком уровне
Лекции,
аппаратом теоретикопрактические
множественной топологии для занятия
решения разнообразных
профессиональных задач.
Контрольная
работа
Знает: на высоком уровне
учебную программу
теоретико-множественной
топологии.
Умеет: проводить анализ
учебных программ курса
теоретико-множественной
топологии, выбирать
наилучшие учебные
программы и самостоятельно
их реализовывать в различных
образовательных
учреждениях.
Владеет: на высоком уровне
навыками, знаниями и
инструментарием для
самостоятельной реализации
и выбора наилучших учебных
программ курса теоретикомножественной топологии в
различных образовательных
учреждениях, исходя из их
специфики; навыками работы
с программными средствами
профессионального
назначения.
Лекции,
практические
занятия
Коллоквиум,
ответ на
семинаре
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа,
собеседование
Лекции,
практические
занятия
Контрольная
работа, опрос
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Перечень типовых заданий контрольных работ и коллоквиумов:
15. Показать, что внутренность круга гомеоморфна евклидовой плоскости.
16. Задача Куратовского. Какое наибольшее число попарно различных множеств можно
получить из одного множества, применяя к нему последовательно две операции:
замыкание и внутренность?
17. Постройте три открытых множества на прямой, имеющих одну и ту же границу.
Можно ли в таком построении увеличить число множеств?
18. Показать, что внутренность шара гомеоморфна евклидову пространству.
19. Показать, что евклидова плоскость гомеоморфна трехмерной сфере с выколотой
точкой.
20. Доказать, что гомеоморфизм является отношением эквивалентности.
21. Доказать, что множество всех открытых интервалов на числовой прямой является
топологией. Показать, что эта топология имеет счетную базу.
22. Докажите, что множество ℚ всюду плотно в ℝ.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
15.
Найти int((0,1]  {2}) в ℝ.
Пусть множества А и В таковы, что их объединение и пересечение есть связное
множество. Докажите, что множества А и В тоже являются связными, если каждое
из них: а).открыто; б).замкнуто.
Докажите, что отрезок [a, b] замкнут в ℝ.
Докажите, что канторово множество является замкнутым.
Предложите пример несравнимых топологий.
Укажите базу топологии для следующих топологических пространств:
А). Вещественная ось с T1 - топологией.
Б). Луч [0, ] с топологией “лучей”.
Докажите, что все бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из
натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в Х.
Теоретические вопросы к зачету
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Основные определения. Базы. Сравнение топологий.
Замыкание, внутренность и граница.
Понятие топологического пространства.
Покрытие, подпокрытие, топология. Примеры.
Различные определения топологического пространства. Примеры.
Взаимное расположение точек и множеств в топологическом пространстве.
Теоремы об открытых и замкнутых множествах.
База топологии.
Пространство со счетной базой, примеры. Предбаза топологии.
Метрическое пространство. Определение и примеры.
Связь метрических и топологических пространств.
Подпространство топологического пространства.
Некоторые свойства топологических пространств.
Открытые и непрерывные отображения топологических пространств. Связь между
ними. Примеры.
Гомеоморфизм, примеры.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Индуцированная топология и фактортопология.
Аксиомы отделимости.
Связность и линейная связность.
Компактные пространства.
Теорема Брауэра.
Лемма Урысона и теорема о метризуемости.
Различные свойства компактных пространств.
Компактность в метрических пространствах.
Критерий компактности в метрических пространствах. Пополнение.
Локальная компактность.
Теорема Тихонова.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Студент, набравший в течение семестра не менее 61 балла, получает автоматически
зачет.
Если студент не набрал необходимого числа баллов (то есть суммарное количество
баллов 60 или меньше), то ему необходимо сдавать зачет в назначенное преподавателем и
утвержденное руководством института время.
Билеты к зачету формируются из вопросов, список которых был приведен в п.10.3
данной рабочей программы.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
«Зачтено» ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
«Незачтено» ставится в случае, если:
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже
с помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Зверович, Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ресурс]: учебное
пособие в 6 частях / Э.И. Зверович. - Минск : Вышэйшая школа, 2006. - Ч. 1. Введение
в анализ и дифференциальное исчисление. - 320 с. - Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=234982 (дата обращения: 13.10.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Александров, П.С. Очерк основных понятий топологии [Электронный ресурс] /
П.С. Александров, В.А. Ефремович. - б.м. : ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 95 с. - Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=235299 (дата
обращения:
13.10.2014).
2. Бурбаки, Н. Общая топология. Основные структуры [Электронный ресурс] /
Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер. С.Н. Крачковский. - 3-е изд. - М.: Изд-во
"Наука",
1968.
275
с.
–
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112130 (дата обращения: 12.10.2014).
3. Бурбаки, Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними
группы и пространства [Электронный ресурс] / Н. Бурбаки; под ред. Д.А. Райков; пер.
С.Н. Крачковский. - М.: Изд-во "Наука", 1969. - 392 с. - Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112132 (дата
обращения:
12.10.2014)
4. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.
5. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - Ч. 2. - 2005. - 464 с.
6. Элементарная топология / О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. М. : МЦНМО, 2010. - 368 с. - ISBN 978-5-94057-587-0 ; То же [Электронный ресурс]. –
Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=64196 (дата обращения
13.10.2014).
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Наглядная топология В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович
http://math.ru/lib/book/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.djvu
2.
Наглядная топология. В.В.Прасолов http://math.ru/lib/book/pdf/prasolov/pra.pdf
3.
Литература по математике: http://window.edu.ru/library?p_rubr=2.2.74.12
4.
Литература по топологии: http://math.ru/lib/cat/top
5.
Дж.Келли Общая топология http://pskgu.ru/ebooks/dkellitop.html
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Теоретико-множественная топология» содержит 3 модуля, которые
изучаются один семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность
по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на практических занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных
контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это
проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Условия получения зачета на основе полученного суммарного количества
баллов можно найти в п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Примеры задач и упражнений приведены в разделе 9
(Упражнения и задачи для самостоятельного решения). Результаты решения задач и
выполнения упражнений, а также возникшие трудности студент может обсудить с
преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.