8. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
Декан ______________ факультета
___________
подпись
______________
Ф. И О
«______» _____________200__г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
наименование дисциплины
Специальность 010400-Физика, направление 510400-Физика
Факультет Физический
Курс 1
Семестр
1, 2
Кафедра
Геометрии
Общая трудоемкость дисциплины (в часах по учебному плану дневной формы
обучения) 180
В том числе:
Лекции
44
Практические занятия
62
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа 72
Рабочая программа принята на заседании кафедры
«___»__________200__г.
Заведующий кафедрой
подпись
Ф. И. О.
Приложение к приказу № 2/132
От 8 апреля 2003 года
Форма № 2.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА
Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Наименование курса
I.
Объяснительная записка
Курс читается студентам физического факультета, дневного отделения, в первом и
втором семестрах.
II.
Содержание учебного материала
2.1. Разделы курса
Раздел 1.
Определители второго и третьего порядка, их свойства.
Раздел 2.
Векторы и координаты.
Раздел 3.
Прямые и плоскости.
Раздел 4.
Кривые и поверхности второго порядка.
Раздел 5.
Матрицы и определители.
Раздел 6.
Линейные пространства.
Раздел 7.
Системы линейных уравнений.
Раздел 8.
Евклидовы и унитарные пространства.
Раздел 9.
Линейные операторы в конечномерном пространстве.
Раздел 10.
Билинейные и квадратичные формы.
2.2. Краткое описание разделов (по темам).
Раздел 1.
Понятие определителя. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.
Вывод основных свойств определителей.
Раздел 2.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.
Системы координат на плоскости и в пространстве ( декартовы, полярные, цилиндрические,
сферические). Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства.
Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов. Преобразование
декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.
Раздел 3.
Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Различные типы уравнений
прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. Формула расстояния от точки до
прямой, от точки до плоскости. Формулы для вычисления углов между прямыми,
плоскостями, прямой и плоскостью.
Раздел 4.
Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы, параболы. Параметрические
уравнения этих прямых. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы. Приведение к
каноническому виду общей кривой второго порядка. Инварианты кривых второго порядка.
Канонические уравнения и свойства поверхностей второго порядка.
Раздел 5.
Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Определители и их свойства.
Теорема об определители произведения матриц. Обратная матрица. Решение систем
линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Формулы Крамера. Ранг матрицы.
Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Ортогональные и
унитарные матрицы, их свойства.
Раздел 6.
Определение и свойства линейных пространств над полем действительных и комплексных
чисел. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Преобразование базиса и
координат. Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств.
Раздел 7.
Теорема Кронекера-Капелли. Базис и размерность пространства решений однородной
системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
Раздел 8.
Определение евклидова и унитарного пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
Ортогональный базис. Разложение евклидова пространства на прямую сумму
подпространств. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве.
Раздел 9.
Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Действия над линейными
операторами
и соответствующие действия над матрицами. Обратный оператор.
Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в
евклидовом пространстве, их свойства. Линейные операторы в унитарном пространстве.
Эрмитов оператор. Унитарный оператор.
Раздел 10.
Понятие билинейной
квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон
инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Экстремальные
свойства собственных значений симметричных матриц. Симметричная билинейная форма и
ее канонический базис.
III. Тематическое планирование
№
п/п
Наименование разделов, тем
Определители второго
порядка, их свойства.
1.
и
Всего часов
(общая
трудоемкость)
Аудиторные занятия
Семи - Лабо –
нары,
ратор
Лек практ.
-ные
ции
заня работ
тия
ы
Самосто ятельная
работа
третьего
Понятие
определителя.
Правила
вычисления определителей второго и
третьего порядков. Вывод основных
свойств определителей.
6
1
2
3
11
3
4
4
Векторы и координаты.
2.
Понятие вектора. Линейные операции над
векторами. Разложение вектора по базису.
Системы координат на плоскости и в
пространстве ( декартовы, полярные,
цилиндрические, сферические). Скалярное,
векторное и смешанное произведение
векторов,
их
свойства.
Условия
коллинеарности,
ортогональности
и
компланарности векторов. Преобразование
декартовой
прямоугольной
системы
координат на плоскости.
Прямые и плоскости.
3.
Прямая на плоскости. Плоскость и прямая
в пространстве. Различные типы уравнений
прямой на плоскости, плоскости и прямой
в пространстве. Формула расстояния от
точки до прямой, от точки до плоскости.
Формулы для вычисления углов между
прямыми,
плоскостями,
прямой
и
плоскостью.
13
3
4
6
11
3
3
4
9
2
3
4
5
1
2
2
6
1
2
3
8
2
3
3
11
3
4
4
Кривые и поверхности второго порядка.
4.
Канонические уравнения и свойства
эллипса,
гиперболы,
параболы.
Параметрические уравнения этих прямых.
Оптические свойства эллипса, гиперболы,
параболы. Приведение к каноническому
виду общей кривой второго порядка.
Инварианты кривых второго порядка.
Канонические уравнения и свойства
поверхностей второго порядка.
Матрицы и определители.
5.
Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц. Определители и их
свойства. Теорема об определители
произведения матриц. Обратная матрица.
Решение систем линейных уравнений с
определителем,
отличным
от
нуля.
Формулы Крамера. Ранг матрицы. Методы
вычисления ранга матрицы. Теорема о
базисном миноре. Ортогональные и
унитарные матрицы, их свойства.
Линейные пространства.
6.
Определение
и
свойства
линейных
пространств над полем действительных и
комплексных чисел. Базис и координаты.
Размерность линейного пространства.
Преобразование базиса и
координат.
Подпространства. Линейные оболочки.
Изоморфизм линейных пространств.
Системы линейных уравнений.
7.
Теорема Кронекера-Капелли. Базис и
размерность
пространства
решений
однородной системы линейных уравнений.
Общее решение неоднородной системы
линейных уравнений.
Евклидовы и унитарные пространства.
8.
9.
Определение евклидова и унитарного
пространства.
Неравенство
КошиБуняковского.
Ортогональный
базис.
Разложение евклидова пространства на
прямую сумму подпространств. Общий вид
линейного функционала в евклидовом
пространстве.
Линейные операторы в конечномерном
пространстве.
Понятие линейного оператора. Матрица
линейного оператора. Действия над
линейными
операторами
и
соответствующие действия над матрицами.
Обратный
оператор.
Инвариантное
подпространство линейного оператора.
Собственные векторы и собственные
значения
линейного
оператора.
Сопряженный,
симметричный,
ортогональный операторы в евклидовом
пространстве, их свойства. Линейные
операторы в унитарном пространстве.
Эрмитов оператор. Унитарный оператор.
Билинейные и квадратичные формы.
10.
Понятие билинейной квадратичной формы.
Приведение квадратичной формы к
каноническому виду методом Лагранжа и
методом ортогональных преобразований.
Закон инерции квадратичных форм.
Классификация
квадратичных
форм.
Критерий Сильвестра. Одновременное
приведение двух квадратичных форм к
каноническому
виду.
Экстремальные
свойства
собственных
значений
симметричных матриц. Симметричная
билинейная форма и ее канонический
базис.
10
3
4
3
IV. Формы промежуточного и итогового контроля.
Контрольные работы, экзамен в каждом семестре.
V. Учебно-методическое обеспечение.
5.1. Рекомендуемая литература (основная).
1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1999.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999.
3. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и
линейная алгебра с приложениями. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
4. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и
линейная алгебра с приложениями. Группы, тензоры, численные методы. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1991.
5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).
Методические пособия по курсу.
Автор (автор - составитель) программы
Н.В. Новикова
подпись
Ф. И. О.